Линейная теория наследственности

Простейшей наследственной теорией, в основе которой лежит принцип наложения (суперпозиции) деформаций, является линейная теория наследственности, предложенная Больцманом.

Допустим, что в течение малого промежутка времени (отсчет времени ведется от начала нагружения) напряжение в растянутом стержне равно а (?). Это напряжение вызывает некоторую деформацию, которая впоследствии изменяется во времени. Примем, что в момент времени t >? деформация пропорциональна напряжению о (?), длительности его воздействия и некоторой убывающей функции отрезка времени (/ —g), которую обозначим Н ((— g), и обратно пропорциональна модулю упругости Е. Функция Н (( — g) должна быть убывающей функцией времени (, так как с течением времени материал «забывает» воздействие напряжения а. Зависимость функции Н от разности двух аргументов t — g свидетельствует о том, что эта функция не изменяется при изменении начала отсчета времени, т. е. инвариантна по отношению к началу отсчета времени.

Для описания деформирования стареющих материалов, механические свойства которых изменяются во времени, например бетонов, функция Н должна быть функцией t и g в отдельности.

Согласно принципу суперпозиции в момент времени t деформация, возникшая вследствие напряжений, которые имели место.

I

до момента времени t, равна -g- [ Н (t — g) о (g) rig. Напряжение о.

в момент времени t вызывает деформацию о1Е. Следовательно, полная деформация в момент времени / складывается из этой деформации и деформации, возникшей вследствие 'напряжений, действовавших до момента времени.

Уравнение (2.16) позволяет по заданному закону изменения напряжений во времени определить закон изменения деформаций. В частном случае постоянного напряжения о = о (0) = const из уравнения (2.16) получаем.

Если закон изменения деформации во времени е (/) известен, то относительно напряжения a (t) уравнение (2.16) является линейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода. Функция Н (t — g) — ядро этого уравнения. Оно может быть найдено из известной кривой ползучести. Для этого продифференцируем выражение (2.17) по времени:

где х = < — g, откуда H (t) = ?с/а (0).

Таким образом, ядро интегрального уравнения (2.16) определяется законом изменения скорости деформации во времени.

Простейшим ядром интегрального уравнения (2.16) является затухающая показательная Функция

Подставляя ее в выражение (2.16), получим Продифференцируем это уравнение по t:

Исключив из уравнений (2.19) и (2.20) интеграл, найдем.

Таким образом, выбор ядра в форме (2.18) равносилен принятию уравнения состояния в форме (2.21). Заметим, что это уравнение описывает деформирование тела Кельвина [501. В частном случае при а — 0 получаем тело Максвелла (501.

Ядро интегрального уравнения (2.16) может быть выбрано в виде суммы затухающих показательных функций:

Можно показать, что в таком случае интегральное уравнение (2.16) эквивалентно линейному дифференциальному уравнению л-го порядка.

Больцман предложил ядро интегрального уравнения в виде.

н (t — о = сц 1 — о.

Ядро Больцмана имеет сильную особенность в том смысле, что в начальный момент времени скорость деформации бесконечно велика и интеграл от него расходится. Этот недостаток может быть устранен выбором ядра в виде, предложенном Дюффингом: Н (t — ?) = С J (i — Q⁰. где 0 < а < 1. В таком случае из выражения (2.17) получаем уравнение кривой ползучести при постоянном напряжении:

В работах 115, 57, 76, 78] приведены и исследованы иные типы ядер. Ю. Н. Работнов 176] ввел ядро вида.

где Г (1 -(-а) — гамма-функция, и разработал теорию так называемого Э_а-оператора, ядро которого является резольвентой ядра (2.22).

звана длительным модулем упругости.

Из формулы (2.17) следует, что предел деформации при стремлении времени к бесконечности.

Рассмотрим явление обратной ползучести. Допустим, что после ползучести стержня при постоянном напряжении о (0) в течение времени I, стержень разгружается. Мгновенное уменьшение деформации при разгрузке по закону разгрузки (закону Гука) равно а (0)/Е. Дальнейшее уменьшение деформации устанавливаем согласно формуле (2.17):

Разность интегралов в квадратных скобках равна заштрихованной на рис. 2.8 площади, которая, очевидно, уменьшается с увеличением времени t и стремится к нулю при стремлении времени t к бесконечности. Таким образом, последействие является упругим.

где функция разности двух переменных R (t — ?) называется реРешение уравнения (2.16) относительно функции a (t) имеет вид 184].

Методы определения ее.

Рис. 2.8. Зависимость Я от ?

зольвентой интегрального уравнения, рассмотрены в теории интегральных уравнений 184].

Уравнение (2.23) позволяет по заданному закону изменения деформаций определить закон изменения напряжений и, в частности, описать явление релаксации при постоянной деформации. В этом частном случае e (t) = е (0) = const и из уравнения (2.23).

При помощи последнего уравнения может быть построена кривая релаксации напряжений при постоянной деформации, если известна резольвента интегрального уравнения (2.16).

Линейная наследственная теория Больцмана была развита Вольтерра, которым были исследованы интегральные уравнения, используемые в этой теории, а также предложены нелинейные интегральные соотношения, обобщающие уравнения Больцмана. Поэтому иногда эта теория называется теорией Больцмана— Вольтерра.

Н. X. Арутюнян 11 ] развил вариант этой теории, отражающий ползучесть и старение бетона. Он принял, что.

где ?, — возраст материала; С (t, ?) — мера ползучести.

Соотношение (2.24) является линейным интегральным уравнением Вольтерра для функции о с ядром.

Как показывают экспериментальные исследования, теория линейной наследственности Н. X. Арутюняна хорошо подтверждается опытами при напряжениях, меньших половины временного сопротивления бетона [ 1).