Потенциальная энергия. 
Динамика машин. 
Колебания

В механизмах потенциальная энергия, участвующая в формировании колебательных процессов, возникает в основном от упругих деформаций элементов системы. При малых колебаниях в окрестности устойчивого положения равновесия потенциальная энергия может быть представлена в виде знакоположительной квадратичной формы обобщенных координат [9*]:

где c_ik=(d²V/dq_idq_k)"  — квазиупругие коэффициенты (практическое определение см. ниже); ()° - отвечает q_v …, q_}l = 0. Структура выражения (3.5) в раскрытом виде совпадаете (3.3), если заменить a_ik на c_jk и q_nq_k на q_jyq_k.

Устойчивость положения равновесия. Теорема Лагранжа-Дирихле

Выше при представлении потенциальной энергии в виде квадратичной формы мы использовали термин «устойчивость». Дадим некоторые пояснения в связи с этим понятием. Различают три состояния системы, проиллюстрированные на рис. 3.1. При устойчивом положении (рис. 3.1, a) отклонение от положения равновесия приводит к появлению восстанавливающей силы, направленной к этому положению; при неустойчивом (рис. 3.1,6) — возникает дестабилизирующая сила, стремящаяся увести систему от этого положения; при безразличном состоянии (рис. 3.1, в) отклонение не при;

Рис. 3.1.

водит к возникновению каких-либо сил. Очевидно, что колебания возникают только около устойчивого равновесия, поэтому именно это состояние является характерным для вопросов, изучаемых в данном курсе.

Рис. 3.2.

На первый взгляд кажется, что для суждения об устойчивости положения равновесия достаточно просто посмотреть на схему, как мы это сделали в приведенных примерах. Однако в общем случае ответ на этот вопрос не столь очевиден. Обратимся к модели обращенного маятника, безмассовый стержень которого зажат между упругими элементами (рис. 3.2). В данном случае визуальный анализ нс приводит к результату. В подобных случаях следует воспользоваться теоремой Лагранжа-Дирихле, которая устанавливает, что равновесие материальной системы, находящейся под действием консервативных сил, является устойчивым, если в этом положении ее потенциальная энергия имеет минимум [9*].

Для рассматриваемой модели потенциальная энергия маятника при его отклонении от положения равновесия определяется как.

где /? = /(l-cos.

х — деформация упругого элемента; с *2с — приведенный коэффициент жесткости.

В окрестности положения равновесия.

Тогда

При ф — 0 имеем Э У/Э<�р = 0. Это свидетельствует о том, что данное положение отвечает равновесию. Однако для устойчивости этого положения согласно теореме Лагранжа-Дирихле следует обеспечить условие V (0) = V_min; для этого необходимо, чтобы при . Отсюда следует

Коэффициент с, можно трактовать как запас устойчивости. Следует ли всегда стремиться к увеличению запаса устойчивости? Однозначного ответа на этот вопрос нс существует, однако ясно одно: чем технически совершеннее система, тем ближе значение? к его критическому значению с, = 1. Дело в том, что с ростом с, утрачивается мобильность системы, проявляющаяся в способности быстро реагировать на внешние возмущения. В этом легко убедиться, сопоставив, например, процесс ходьбы человека с перемещением жука.