Метод Рунге-Кутты четвертого порядка

Методы Рунге-Кутты третьего и четвертого порядков можно вывести аналогично тому, как это делалось при выводе методов первого и второго порядков.

Не будем воспроизводить эти выкладки, а приведем формулы, описывающие метод четвертого порядка — один из самых применяемых методов интегрирования ОДУ. Этот метод применяется настолько широко, что в литературе просто называется «методом Рунге-Кутты» без указаний на тип и порядок. Этот классический метод Рунге-Кутты описывается системой следующих соотношений:

Геометрическая интерпретация метода представлена на рис. 8.6.

Рис. 8.6.

Порядок построения:

• 1. С шагом /г/2 из точки А/₀(х" у,) под углом y,=tg (klh) проводим прямую в точку М (х, + /г/2, у, + Ы2).
• 2. В точке М_х вычисляем направление tg (y₂) = kJh и, делая шаг в этом направлении, из точки М₀ попадаем в точку М₂{х, + /г/2, у, + /г/2).
• 3. В точке М₂ вычисляем tg (у₃) = &₃//г и, делая шаг в этом направлении, из точки М₀ попадаем в точку М₃(х, + /г/2, у, + к₂).
• 4. В точке М_} вычисляем tg (y₃) = k-Jh.

5. Полученные величины к, к₂, к₄ усредняются по формуле

6. Используя величину Ду" делаем окончательный шаг из (х" у,) в (х,_+|, >0;

Пример 8.2. Для дифференциального уравнения, приведенного в примере 8.1, покажем последовательность решения методом РунгеКутты четвертого порядка:

начальные условия: при ?=0,у₀= 1;

Найдем решения в точках:

Рис. 8.7. Блок-схема метода Рунге-Кутты.

Выполнив аналогичным образом вычисления во всех последующих точках интервала [1, 5] с шагом h = 0,1, получим в момент времени / = 5 концентрацию вещества: Сл = 0,3673 моль/л.

Ранее показано, что точное решение — С_л = 0,3679, следовательно, относительная ошибка составляет примерно 0,16%.

В табл. 8.1 приведены результаты расчетов по методу Эйлера и Рунге-Кутты, а также точное решение дифференциального уравнения (8.14). Как видно из таблицы, наиболее точным является решение, полученное по методу Рунге-Кутты.

Блок-схема метода Рунге-Кутты четвертого порядка приведена на рис. 8.7.