Расчетные соотношения метода

В случае оптимального управления и = и⁰ соотношение (12.24) принимает вид.

Продифференцируем уравнение (12.25) по и вдоль оптимальной траектории:

Добавив уравнения (12.26) к уравнению (12.25), получим систему из т + 1 уравнения с т + 1 неизвестным, решая которую, можно найти оптимальное управление.

Поскольку уравнения (12.25) и (12.26) представляют собой систему уравнений в частных производных, для определения из нее оптимального управления, как правило, приходится использовать приближенные численные методы. В результате найденное управление получается не оптимальным, а близким к нему.

Задача отыскания точного оптимального управления методом динамического программирования носит название задачи АКОР (аналитического конструирования оптимальных регуляторов). Эта задача имеет решение при наличии следующих условий.

• 1. Объект управления описывается линейным уравнением состояния
• (12.3), т. е. х = Ах + Ви, где х е и е /и < и.
• 2. Переход из начальной точки х (0) в конечную х (Т) рассматривается на бесконечном интервале времени (Г—? °°).
• 3. Критерий оптимальности имеет вид квадратичной формы (12.11)

Оптимальное управление, полученное методом динамического программирования, для такой постановки задачи будет иметь вид и⁰ = Кх.

Таким образом, оптимальным для задачи АКОР будет пропорциональный закон управления.

Пример 12.3. Объект, модель которого имеет вид.

необходимо перевести из начальной точки х (0) = 0 в конечную х (Т) = 1. Время процесса не ограничено, а критерий оптимальности следующий:

Решение

Запишем основное уравнение метода динамического программирования (12.25): Дополним его уравнением в частных производных (12.26):

ар Выразим из второго уравнения — и подставим в первое уравнение, в рс;

дх

зу л ьтате п о л учим или после приведения подобных.

Решение квадратного уравнения относительно управления дает два значения.

Поскольку для одной системы двух оптимальных законов управления быть не может, одно из найденных значений не является оптимальным. Для определения оптимального управления проверим устойчивость замкнутой системы.

1. В уравнение объекта подставим значение (г/₀), и получим уравнение замкнутой системы х = Зх.

Как видим, система неустойчива, а значит, первое управляющее воздействие не является оптимальным.

2. В уравнение объекта подставим значение (и₀)₂, при этом уравнение замкнутой системы примет вид х = -Зх и она будет устойчивой.

Таким образом, оптимальный закон управления имеет вид и₀ = Кг, где К = -1.