Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при гармонической вынуждающей силе

Конкретизируем общие положения, изложенные в параграфе 5.1, для случая гармонической силы F = F₀ coscot. При этом W = cos со/, где W_a =F"/a. Частное решение ищем в виде У = /1 cos oof. где Л, со — амплитуда и частота вынужденных колебаний. Подставив У в (5.2), при п = 0 получаем Тогда согласно (5.4)

Поведение системы при со = k остается пока неопределенным, так как амплитуда последних двух слагаемых обращается в бесконечность с противоположными знаками. При рассмотрении поведения системы в окрестности этого режима можно, не теряя общности, исключить из рассмотрения свободные колебания, приняв q₀ = 0, q" = 0.

Режим биений (ю = (). На основании (5.10) имеем.

Функция В (г) = 2 W₀ (k¹ — со²) ¹ sin 0,5 (k — co) f характеризует огибающую колебательного процесса (рис. 5.1), амплитуда которого попеременно возрастает и убывает. Такой режим называют биениями. Период биений т_Б легко определить исходя из очевидного равенства х_{ (к — со)/2 = к; тогда.

При со —"k имеем т_в —> о®.

Резонанс (со = k). В этом случае формула (5.11) дает неопределенность, для раскрытия которой представим q (t) в следующем виде:

Поскольку при со —> k получаем.

Таким образом, при отсутствии силы сопротивления резонансная амплитуда нарастает по линейному закону, поэтому при быстром пересечении резонансной зоны можно избежать аварийных последствий. Это обычно реализуется при разгоне машин и в меньшей степени — при выбеге.

Рис. 5.1.