Импульс, кинетический момент, кинетическая энергия твердого тела

Импульс (количество движения) тела удобно находить с помощью полученного выше равенства (10.9) как произведение массы тела на скорость его центра масс: Q = М_с.

Вычисление двух других мер движения начнем с наиболее простого случая — поступательного движения тела. При поступательном движении скорости всех точек тела равны, поэтому в (10.12) и (10.14) можно положить v* = vс (С- центр масс тела). В результате получим:

Таким образом, кинетический момент и кинетическая энертия тела при его поступательном движении вычисляются так же, как для материальной точки, совпадающей с центром масс тела и имеющей массу, равную массе тела.

Рис. 10.4.

Рассмотрим теперь вращение тела вокруг оси Oz. с угловой скоростью а)(0,0,(У-) (рис. 10.4). Скорости точек вращающегося тела выразим в виде векторных произведений (6.12):

где r_k(x_k, у_к, Zk) ~ радиус-векторы точек тела.

Выражение (10.12) для кинетического момента тела с учетом (10.17) принимает вид:

Этот результат можно представить в матричной форме.

Нетрудно убедится, что равенство К₀ = 1₀ со выполняется и для произвольного направления вектора н>(<�у" а., ох) угловой скорости тела.

Для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz (рис. 10.4), таким же способом получаем:

Этот результат также можно представить в матричном виде.

1 _т

и показать, что равенство Г = — со со верно для любого со(со_х, со₇).

В заключение рассмотрим свободное твердое тело. Из кинематики (гг 7.4) известно, что его движение можно представить как сложное, состоящее из двух движений:

• — переносного поступательного вместе с подвижной системой координат Cxyz, начало которой С — центр масс тела (рис. 10.5);
• — относительного сферического движения вокруг точки С в подвижной системе Cxyz, оси которой сохраняют неизменное направление (рис. 10.5).

Тогда скорость _к каждой точки тела представляется в виде суммы переносной скорости v_c и скорости _кг точки в относительном сферическом движении вместе в телом вокруг С:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Радиус-вектор г* каждой точки тела представим (рис. 10.5) в виде:

Рис. 10.5.

где г_с — радиус-вектор центра масс тела, р* — радиус-вектор точки тела относительно его центра масс С.

Выражение для кинетического момента тела (10.12) с учетом (10.21) и (10.22) принимает вид:

Здесь г_с х М_с — кинетический момент центра масс как точки, в которой сосредоточена масса Мтела [сравните (10.15)];

п

Хра ^xw*^v*r ⁼ Kc ~ кинетический момент относительного сфери;

к=1.

ческого движения тела, вычисленный в подвижной системе координат Cxyz (рис. 10.5);

n n

Yj^mkPk = ^MPc = ⁰ — Т'^пк*кг = ^MyCr = 0. потому что p_c = 0 и V_Cr = 0.

k=1 k=I.

Окончательный результат:

Выражение (10.14) для кинетической энергии свободного твердого тела с учетом (10.21) примет вид:

Здесь М_с²/2 — кинетическая энергия тела в поступательном движении со скоростью центра масс С [сравните (10.16)];

^ ^ткУкг — Т_г- кинетическая энергия относительного сферическо;

*=i ²

го движения тела, вычисленная в подвижной системе координат Cxyz (рис. 10.5);

Окончательно с учетом трех последних равенств получим:

Замечание 1. Кинетический момент К'_с и кинетическую энергию Т, тела в его относительном сферическом движении можно найти так же, как при вращении тела вокруг неподвижной оси (10.18), (10.20). Это возможно благодаря тому, что при сферическом движении в каждый момент времени скорости точек тела распределены так же, как и при вращении тела вокруг неподвижной оси, совпадающей с осью мгновенного вращения CQ (п. 6.5).

Из этого замечания следует, что.

где со — вектор мгновенной угловой скорости тела; 1_с — матрица инерции тела в точке С (в центре масс); Icq — момент инерции тела относительно оси мгновенного вращения в его движении относительно системы Cxyz.

С учетом последних равенств выражения для кинетического момента и кинетической энергии (10.23) и (10.24) примут следующий вид:

Замечание 2. Вычисления вращательных составляющих кинетического момента и энергии в (10.25) и (10.26) существенно упрощаются, если компоненты матрицы 1_С вычислены в системе координат, жестко связанной с телом, и поэтому остаются постоянными. В формуле (10.27) такое упрощение невозможно, потому что ось мгновенного вращения СП в общем случае меняет своё направление по отношению к телу. Приятным исключением является случай плоскопараллельного движения тела, когда ось относительного мгновенного вращения СП перемещается поступательно, оставаясь перпендикулярной плоскости движения (см. пример 1). В этом случае момент инерции 1_Сп в (10.27) не меняется при движении тела и формула (10.27) становится приемлемой для приложений.

Рис. 10.6.

Пример 1. Найти импульс, кинетическую энергию и кинетический момент однородного цилиндра радиусом R и массой ш, который катится без проскальзывания с угловой скоростью со по неподвижной плоскости (рис. 10.6).

Решение. Движение цилиндра плоскопараллельное. Для соответствующей плоской фигуры (рис. 10.7) МЦС находится в точке К, поэтому v_c = coR (см. п. 8.4).

Рис. 10.7.

Тогда согласно (10.9) величина импульса цилиндра Q = mv_c = mRco, а его направление совпадает с v_c (рис. 10.7).

Для вычисления кинетической энергии воспользуемся формулой (10.27), в которой полагаем v_c = coR, а /_ш = mR²/2 согласно (10.29):

Найдем кинетический момент К₍₎ цилиндра относительно неподвижной точки О (рис. 10.6).

Для этого воспользуемся правилом (10.25), равенством (10.18) и представлением (10.29) матрицы инерции цилиндра в центральных осях:

где i, j, к — орты осей Ox, Оу, Oz (рис. 10.6).

Итак, кинетический момент К₀ имеет величину 1,5mRrao и направлен вдоль оси Оу (рис. 10.6).

Приложение 1. Момен ты инерции тел простой формы

Моменты инерции однородного параллелепипеда массой т в центральных осях Сх, Су, Cz (рис. 10.8):

Рис. 10.8.

Матрица инерции 1_г параллелепипеда в этих осях имеет вид:

Матрица инерции однородного кругового цилиндра массой т радиусом R, высотой /г в центральных осях Сх, Су, Cz (рис. 10.9) имеет вид:

Рис. 10.9.

Приложение 2. Моменты инерции относительно параллельных осей.

Между моментами инерции системы относительно параллельных осей существует зависимость, которая задается следующей теоремой.

Теорема (Гюйгенс, Штейнер). Момент инерции механической системы относительно произвольной оси г равен сумме:

• — момента инерции относительно центральной оси Cz параллельной оси г,
• — произведения массы системы М на квадрат расстояния с! между осями z и Cz'(рис. 10.10).

Рис. 10.1С

Доказательство: Дополним оси z и Cz' декартовыми осями Ох, Оу и Сх Су' (рис. 10.10).

Как видно из рис. 10.10, координаты хь, у к и х’ь, у’к точек системы связаны зависимостями: х_к = х_с + х'_к; у_к = Ус + У’к • Момент инерции относительно оси z выразим, используя третье из равенств (10.4), а затем перейдем к координатам у':

и и ^ ^.

Здесь (*с + Ус)2^т* = Md², ^/я*(л:*² + ;у*") = /_Сг', а из двух по;

*=i *=1.

следних слагаемых при помощи формул (10.2) получим.

Аналогичным свойством обладают и центробежные моменты инерции. Его символьная запись дается ниже без вывода:

Приложение 3. Радиус инерции.

Радиусом инерции i_s системы относительно оси s называют расстояние, на котором следует поместить от оси s точку массой, равной массе М системы, чтобы моменты инерции этой точки и системы относительно оси s были равны. Из этого определения следует.

Удобство использования радиусов инерции состоит в том, что для однородных геометрически подобных тел они также подобны. Это означает, что, зная радиус инерции i_s одного тела, можно найти момент инерции I_s любого подобного ему, если известна масса этого второго тела и коэффициент их геометрического подобия.