Основные типы моделей гидродинамических структур потоков в аппаратах химической технологии

Напомним, что рассматриваемый в настоящей главе подход к синтезу оператора ФХС состоит в построении математического описания объекта исходя из модельных представлений о внутренней структуре процессов, происходящих в технологическом аппарате. Основу этого подхода составляет набор типовых идеализированных структур гидродинамической обстановки в аппарате. Каждая из структур отражает тот или иной вид движения субстанции и характеризуется определенным «элементарным» функциональным оператором. Построение математического описания технологического процесса сводится к подбору такой комбинации элементарных операторов, чтобы результирующая модель достаточно точно отражала внутреннюю структуру реальной системы.

Для химико-технологических объектов в силу специфики целей и задач, стоящих перед ними, описание потоков важно большей частью лишь в отношении перемещения и распределения масс компонентов в рассматриваемых потоках. Поэтому анализируемые ниже модели гидродинамических структур потоков будут даны преимущественно в виде уравнений, характеризующих изменение концентрации вещества в потоке, обусловленное его движением.

Дальнейшее изложение будет строиться по следующему принципу: в тексте дается краткая характеристика особенностей той или иной модели; все, что касается структурной схемы модели, формулировки ее математического описания, вида решения уравнений модели при конкретных начальных и граничных условиях, а также области ее применения — вынесено в таблицы. Решения уравнений моделей при заданных дополнительных условиях даны либо в явном виде, либо, если получение явного вида решения затруднительно, приведены соответствующие передаточные функции.

Модель идеального вытеснения соответствует структуре поршневого движения потоков, при котором перемешивание субстанций в направлении движения потока отсутствует, а в точках сечения, ортогонального направлению движения, свойства потока одинаковы. Уравнение, описывающее изменение концентрации в одномерной зоне идеального вытеснения, имеет вид.

Структурная схема модели и дополнительная математическая характеристика даны в табл. 4.2.

Модель идеального перемешивания соответствует структуре потока, в которой частицы вещества, поступающего на вход зоны идеального смешения, мгновенно распределяются равномерно по всему объему зоны, так что концентрация распределяемого вещества во всех точках зоны и на выходе из нее одинакова. Зависимость между концентрацией вещества на входе в зону с₀ и на выходе из нее с дается уравнением.

где V — объем зоны идеального смешения; Q — объемный расход потока.

Структурная схема модели и дополнительная математическая характеристика приведены в табл. 4.2.

Однопараметрическая диффузионная модель соответствует гидродинамической структуре поршневого потока с перемешиванием в продольном направлении. При этом принимается, что продольное перемешивание может быть описано уравнениями, аналогияными уравнениям молекулярной диффузии. Основным параметром, характеризующим модель, является коэффициент продольного перемешивания D, который по физическому смыслу и размерности аналогичен коэффициенту молекулярной диффузии. Если D -* оо, то поток приближается к потоку идеального перемешивания, а если D -? 0, — к потоку идеального вытеснения.

При выборе однопараметрической диффузионной модели принимаются следующие допущения: концентрация вещества является непрерывной функцией пространственной и временной координат; концентрация во всех точках сечения, ортогонального направлению движения, одинакова; скорость потока и коэффициент продольного перемешивания не изменяются по длине и поперечному сечению потока.

Уравнение, описывающее изменение концентрации по длине аппарата, в соответствии с однопараметрической диффузиоппой моделью, имеет вид.

Схема модели и дополнительная математическая характеристика приведены в табл. 4.2.

В двухпараметрической диффузионной модели, так же как и однопараметрической, процесс описывается уравнениями молекулярной диффузии. Отличие моделей состоит в том, что в двухпараметрической диффузионной модели учитывается перемешивание потока как в продольном, так и в радиальном направлении. Таким образом, модель характеризуется двумя параметрами: коэффициентом продольного D и радиального D_r перемешивания. Принимается, что коэффициенты продольного и радиального перемешивания не изменяются соответственно по длине и сечению аппарата. Для случая одномерного движения потока в аппарате цилиндрической формы с постоянной по длине и сечению скоростью v уравнение двухпараметрической диффузионной модели имеет вид.

Опубликовано несколько решений уравнений (4.18), сводка которых приведена, например, в работе [8] (см. также табл. 4.2). Решения являются сложными и поэтому используются редко.

Диффузионная модель с застойными зонами. Иногда существенный вклад в неравномерность распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате вносят застойные объемы жидкости в системе, а также такие явления, как адсорбция и десорбция вещества на поверхности элементов насадки, диффузия вещества в пленки, карманы, поры твердых частиц системы и т. д. При этом погрешности описания ситемы с помощью однопараметрической диффузионной модели резко возрастают. Для учета перечисленных явлений объем потока в аппарате V

представляется в виде суммы V=V₁—V₂, где — эффективно используемый объем, V₂ — объем, который может служить источником или стоком массы. К последней части объема относится объем застойных зон, объем норового пространства в частицах, элементах насадки, стенках аппарата и т. д. Плотность источника или стока массы, т. с. количество выделяемого или поглощаемого вещества в единице объема в единицу времени, определяется характером обмена, который может происходить в объеме и на поверхности за счет как молекулярной, так и турбулентной диффузий. Общий вид диффузионной модели с источником (стоком) массы может быть записан как [14].

где q — плотность источника (стока) массы (обобщенная характеристика скорости обмена между проточными и застойными зонами системы); ^^:=SV₁/V_t — относительный объем источника (стока) массы в потоке.

В случае, когда обмен между проточными и застойными зонами системы носит конвективный и диффузионный характер, результирующий обменный поток выражается соотношением (см. § 7.1).

и расчетная система уравнений принимает вид [15] для проточной зоны:

для застойной зоны:

Если, участвуя в конвекции и диффузии, растворенное вещество адсорбируется на стенках аппарата и частицах насадки или вступает в химическую реакцию, то имеет место обмен с неравными скоростями обмена в противоположных направлениях. В этом случае результирующий обменный поток выражается соотношением (см. § 7.1).

и расчетная система уравнений принимает вид [15] (см. табл. 4.2).

для проточной зоны: для застойной зоны:

Числовые характеристики функций распределения, рассчитанные по уравнения (4.19) и (4.20) для различных типов экспериментальных схем, приведены в табл. 7.1 и 7.3 (см. § 7.1). Там же дан подробный анализ этой модели.

В ячеечной модели поток условно разбивается на ряд последовательно соединенных ячеек. При этом в каждой из этих ячеек имеет место полное перемешивание потока, а перемешивание между ячейками отсутствует. Количество таких идеальных ячеек п является параметром, характеризующим модель реального потока; когда п —> оо, имеет место модель идеального вытеснения, когда п= 1, — модель идеального перемешивания.

При условии, что объемы всех ячеек одинаковы и сумма их равна объему аппарата, а объемная скорость потока постоянна, ячеечная модель опишется системой уравнений

Решения системы (4.21) для импульсного, ступенчатого и синусоидального возмущений приведены в табл. 4.2.

Ячеечная модель с обратным потоком. Дальнейшим усовершенствованием ячеечной модели является ячеечная модель с обратным потоком. Обычная ячеечная модель является моделью однонаправленного действия, которая не воспроизводит явлений заброса вещества в направлении, обратном основному потоку. Такой структуре потоков удовлетворяет модель, в основе которой лежат ячеечные представления, и, кроме того, учитывается существование обратного потока между ячейками (отсюда название — ячеечная модель с обратным потоком).

Модель описывается системой уравнений [121

Таблица 4.3.

Комбинированные модели структуры потоков.

где.

Выражение для передаточной функции (4.22) позволяет определить моменты М_х, Л/₂, М₃ и т. д. кривой распределения времени пребывания как функций числа ячеек п и доли обратного потока f=Q_l/Q₀. Первые три момента определяются из соотношений (см. § 7.4).

Структурная схема ячеечной модели с обратным потоком показана в табл. 4.2. Результаты расчетов моментов функции распределения по соотношениям (4.22)—(4.25) сведены в номограммы, показанные на рис. 7.24 и 7.25. Анализ этой модели дан в § 7.4.

Ячеечная модель с застойными зонами. Структурная схема ячеечной модели с застойными зонами при неравных скоростях обмена в противоположных направлениях представлена в табл. 4.2. Объем i-й ячейки V_t представляется в виде суммы двух объемов: объема проточной зоны V_u и объема застойной зоны У*А х_{ — концентрация в проточной части ячейки; у₍ — концентрация в застойной части i-й ячейки. Между зонами происходит обмен веществом, характер которого может быть различным. Наиболее вероятными видами обмена могут быть конвективный, диффузионный, а также виды обмена типа адсорбции, химической реакции и т. п. Исходя из принципа аддитивности, общий обменный поток q за счет действия отдельных видов обмена выражается соотношением q=k_xx—к#, где к_1У к₂ — суммарные коэффициенты обмена в прямом и обратном направлении. Уравнения материального баланса индикатора для i-й ячейки имеют вид 116].

В табл. 4.2 приведено аналитическое решение уравнений (4.26) для системы из п ячеек, когда к_х=к_%=к. Подробный анализ модели и методы определения ее параметров по экспериментальным данным рассмотрены ниже в § 7.3.

Комбинированные модели. При анализе гидродинамической обстановки в реальных аппаратах широкое распространение получили комбинированные модели [5, 13J. В общем случае комбинированную модель рассматривают как совокупность ячеек идеального смешения, вытеснения, застойных зон, связанных между собой перекрестными, байпасными и рециркуляционными потоками. Параметрами комбинированной модели являются объемы отдельных ячеек (mV — объем ячейки идеального смешения; bV — объем ячейки идеального вытеснения; V (3 — объем застойной зоны) и соотношения потоков, связывающих эти ячейки (X — доля байпасного потока, г — доля рециркуляционного потока). Методы нахождения параметров некоторых комбинированных моделей, исходя из информации, получаемой па основании экспериментальных кривых отклика, подробно изложены в [5, 8,13].

В табл. 4.3 приведены решения в виде передаточных функций W (р) и аналитических выражении для импульсных — С (0) и ступенчатых — F (0) функций отклика для наиболее распространенных комбинированных моделей. В качестве примера получения этих решений рассмотрим модель вытеснения с рециркуляцией по контуру вытеснения (см. табл. 4.4) Уравнение материального баланса для первой зоны вытеснения имеет вид

Это уравнение преобразуется по Лапласу при следующих дополнительных условиях: с = 0 при? = 0 и с = с_х при F = 0. В результате получим передаточную функцию для первой зоны:

Аналогично для второй зоны вытеснения получим.

Тогда передаточная функция модели будет иметь вид.

Уравнения импульсной С (0) и ступенчатой F (0) функций можно получить при помощи обратного преобразования Лапласа:

Рис. 4.2. Трехканальная комбинированная" модель структуры потока жидкости на ситчатой тарелке.

где 8 (0) — дельта-функция; R — число рециклов;

• (1, 0>О
• 71 (0) == 1₀ Q

Комбинированные модели получили широкое распространение для описания структуры потоков жидкости и газа в тарельчатых аппаратах [17, 18]. Для примера на рис. 4.2 изображена трехкапальная комбинированная модель структуры потока жидкости на ситчатой тарелке [18].

Математическое описание этой модели имеет вид

с граничными условиями:

где X, Xj — доли потока жидкости, прошедшей по тарелке и через центральную зону; qb (t) — количество вводимого индикатора; S_ul, ?"2 — площади сечения потока в центральной и боковой зонах; D_l% D₂ — коэффициенты продольного перемешивания;

m_lt m₂, /Tig, m₄, m_ai, т_д2 *— доли объема жидкости на тарелке V, занимаемого различными зонами; fj, /₂ —- длины пути жидкости.

Решение этой системы уравнений относительно первого и второго центрального моментов имеет вид

где Ре_1э Ре₂ — числа Пекле для центральной и боковой зон.

Циркуляционные модели. В некоторых промышленных аппаратах, например реакторах с мешалкой, при перемешивании возникают ярко выраженные циркуляционные контуры. Это обстоятельство позволяет более строго подойти к составлению структурных схем комбинированных циркуляционных моделей, тем более что в некоторых случаях возможно определение параметров таких моделей, исходя из конструктивных особенностей реальных аппаратов и режимных факторов их работы: взаимное расположение входных и выходных потоков, скорости циркуляционных потоков, место установки и конструкция перемешивающих устройств, энергия, затрачиваемая на перемешивание, я т. д.

В табл. 4.4 рассмотрены наиболее распространенные комбинированные циркуляционные модели и приведены решения уравнений материального баланса. Особый интерес представляют ячеечные циркуляционные модели аппаратов с мешалкой, предложенные в работах Ц9—21].

Основной характеристикой аппарата с мешалкой является его насосная производительность, зависящая от конструкции мешалки, ее геометрических размеров, скорости вращения. Поэтому насосная производительность мешалки принята в качестве основного параметра ячеечных циркуляционных моделей.

В работе 1201 предложена и подробно рассмотрена двухконтурная ячеечная модель с переменной структурой химического реактора с мешалкой, которая представляет повып рациональный подход в математическом описании структуры потоков в реальных аппаратах па основе использования свойств стохастических марковских процессов.

Таблица 4.4

Циркуляционные модели структуры потоков в аппаратах с мешалкой

Методы определения параметров моделей рассматриваются в гл. 7. Существо этих методов заключается в том, что на входе потока в аппарат наносится возмущение по составу потока путем введения индикатора и экспериментально определяется функция отклика на выходе потока из аппарата — кривая переходного процесса. В качестве индикаторов используются растворы солей и кислот, красители, радиоактивные изотопы. Обычно используются возмущения типа импульсного — в виде о-функцпи, ступенчатого, синусоидального или возмущения в виде случайного сигнала. Неизвестные параметры моделей определяются сравнением экспериментальных и расчетных функций отклика (см. § 7.1—7.5).