Фазовые фильтры. 
Электротехника (теория электрических цепей)

Общие сведения. Для неискаженной передачи сигналов сложной формы через цепь необходимы постоянство коэффициента передачи цепи и линейная зависимость фазового сдвига от частоты, т. е. должны выполняться два условия: К (со) = К₀ = const, ф (со) = -Т₃со. В этом случае каждая гармоническая составляющая напряжения сигнала.

с любой частотой со будет изменять на выходе цени свою амплитуду в К₀ раз и претерпевать постоянный временной сдвиг на -Т₃ = с/ср (со)/с/со. Знак «-» свидетельствует о запаздывании сигнала при прохождении через цепь. Величина Г₃ называется временем групповой задержки. При выполнении указанных условий на основании принципа наложения результирующий сигнал сохранит свою форму, но сдвинется по времени на -Т₃. Цепи, обладающие такими свойствами в некоторой полосе частот, относят к неминимально-фазовым цепям и называют фазовыми фильтрами (ФФ).

Рассмотрим особенности неминимально-фазовых цепей второго порядка, передаточная функция которых имеет следующий вид:

После подстановки s =j(0 в (6.11.1) получаем частотную характеристику цепи.

где.

Как очевидно из (6.11.2), АЧХ или коэффициент передачи К₀ цепи является постоянной величиной и может принимать положительное или отрицательное значение. При отрицательном значении К₀ сложный сигнал имеет инверсную (перевернутую) форму, а гармонический сигнал — дополнительный фазовый сдвиг на 180° (запаздывание на половину периода). Фазочастотная характеристика ф (со) имеет нелинейную зависимость от частоты. Используя (6.11.3), определим время групповой задержки:

Зависимость группового времени задержки от частоты (6.11.4) является частотной характеристикой фазовых фильтров. С помощью (6.11.4) можно дать оценку граничной частоты полосы пропускания (или частоты среза со_с) ФФ как частоты, на которой Г (со⁰)"|2сг₁| уменьшается в <2 раз, т. е. Г₃(со₍.) = -2″₁/л/2. В области высоких частот Г₃(о)—>°о) «2а_л/(а₂со²), ^т-^е— наблюдается спад группового времени задержки со скоростью -40 дБ/декада.

Следует отметить, что путем подбора коэффициентов а_л, а₂ можно получить постоянство Т₃ в более широкой полосе частот. При со —^ 0 знаменатель в (6.11.4) можно представить как (1 + х)^-1 «1-х, поэтому.

При а,² = 3а₂ устраняется влияние квадратичных членов, поэтому частотная характеристика будет более плотно прилегать к значению -2а, в более широкой полосе частот.

При а₂ = 0 приведенные выше соотношения описывают ФФ первого порядка (6.11.1). Из (6.11.4) при а₂ = 0 находим частоту среза фильтра со_с = 0,6436/а, групповое время задержки Т₃(ю—>0) * |2а,| и 7'_s(co—"оо) * |2/(«₁со²|.

К основным отличительным особенностям фазовых фильтров следует отнести:

• • постоянство АЧХ на всех частотах со от 0 до оо;
• • существование полосы (в области нижних частот) с незначительным изменением группового времени задержки Т

^л 3*.

Таким образом, если рассмотренные выше ФПЧ, ФВЧ, ПФ и РФ действительно являются фильтрами, поскольку пропускают или не пропускают (фильтруют) гармонические колебания в определенной полосе частот, то фазовые фильтры таковыми не являются. Они лишь позволяют для определенных частот гармонических колебаний получить близкое время задержки Т._л при их прохождении через цепь, пропуская при этом колебания всех частот с одинаковым коэффициентом передачи К₀.

Область применения ФФ: коррекции ФЧХ, управления фазой гармонических сигналов и их временной задержкой.

Принципы построения ФФ. Рассмотрим структуру, состоящую из обычного (частотного) фильтра с передаточной функцией Х_чф(х) и сумматора-вычитателя с коэффициентами передачи К_х и К₂, причем у сумматора коэффициенты передачи по обоим входам имеют одинаковый знак (рис. 6.11.1,a), ay вычитателя — разные знаки (рис. 6.11.1,6).

Передаточная функция такой структуры имеет вид.

Рис. 6.11.1. Структуры ФФ при использовании обычного фильтра на инвертирующем (а) и неинвертирующем (б) ОУ.

На основании (6.11.5) при использовании в качестве К_чф(з) ФНЧ первого порядка получаем следующие выражения для передаточной функции:

При К₂ = -I, = 2/К_{) получаем передаточную функцию.

если же принять К₂ = 1 , К_Х = -2/К₀, то.

Полученный результат для ФФ первого порядка можно записать в общем виде:

Такое же выражение для передаточной функции ФФ можно получить при использовании в качестве /С_чф(л) ФВЧ первого порядка:

Если в (6.11.5) подставить передаточные функции /С_чф(л*) ПФ и РФ второго порядка, то получим выражения для передаточных функций ФФ второго порядка:

Отметим, что использование ФНЧ и ФВЧ второго порядка не приводит к желаемому результату.

Таким образом, общими условиями реализации ФФ с помощью обычных частотных фильтров К_чф(з) являются К₂ = 1, К_х = -2/К₀ или К₂ = -1, = 2//С₀, при этом:

• • если К₀ < 0, то используется сумматор (см. рис. 6.11.1, я), если же К₀ > 0, то — вычитатель (см. рис. 6.11.1,6);
• • одно из условий дает прямую форму сигнала на выходе ФФ, другое — инверсную.

ФФ первого порядка. Покажем, как можно построить ФФ первого порядка при использовании только одного вычитателя. Для этого определим передаточную функцию для изображенной на рис. 6.11.2,я схемы вычитателя.

Вычитатель описывается системой из двух уравнений:

Подставив из второго уравнения в первое U_x, находим.

Приняв U_Bxi = U_Bx2 = U_BX, преобразуем (6.11.6) к виду.

откуда находим.

Рис. 6.11.2. Схемы вычитателя (а) и ФФ первого порядка на его основе (б, в).

Передаточная функция (6.11.7) при к = 1, Z₃ = R, Z₄ = sC, а также при к = 1, Z₃ = sC, Z_A = R соответствует передаточной функции ФФ первого порядка. Оба варианта схем ФФ приведены на рис. 6.11.2, б, в.

ФФ второго порядка. Рассмотрим схему фильтра второго порядка с одним ОУ, которая изображена на рис. 6.11.3 и описывается системой из трех уравнений:

Определив из системы уравнений (7_ВЬ1Х, можно получить следующее выражение для коэффициента передачи:

Рис. 6.113. Схема ФФ второго порядка.

Из (6.11.8) следует, что для получения передаточной функции фазового фильтра коэффициент при s числителя должен быть равен с обратным знаком коэффициенту при 5 знаменателя, т. е.

При С_х = С₂ = С, /?! = R₂ = R получаем k ^x + 4 = Кили.

При II, = оо (в схеме отсутствует R_?>) этому условию соответствует соотношение /?₄//?₅ = 4.

Если параметры схемы дополнительно удовлетворяют условию.

то получаем передаточную функцию режекторного фильтра. При С, = С₂ = С, R_{ = R₂ = R и k = 1 получаем R/JRj = 2.

Условие, при котором реализуется полосовой фильтр: R₅ = 0; R_a = оо или К = Rs/(R + R$) = 0.