Решение игр в смешанных стратегиях

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. Так, в задаче 12.1 седловая точка отсутствует. В гаком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.

Смешанной стратегией Si игрока А называется применение чистых стратегий с вероятностями pv.

причем сумма вероятностей равна 1:

Смешанные стратегии игрока А записываются в виде матрицы:

или в виде строки . Аналогично смешанные стратегии игрока Л оОозначаются:

, или

где сумма вероятностей появления стратегий равна 1:

Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать строкой, в которой 1 соответствует чистой стратегии. На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение (или решение) игры: это пара оптимальных стратегий в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры ?. Цена игры удовлетворяет неравенству.

(12.5).

где, а и? — нижняя и верхняя цены игры.

Справедлива следующая основная теорема теории игр — теорема Неймана^[1]. Каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий.

Пусть и  — пара оптимальных стратегий. Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с отличной от нуля вероятностью, то она называется активной.

Справедлива теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры ?, если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.

Эта теорема имеет большое практическое значение — она дает конкретные модели нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки.

Рассмотрим игру размера 2×2, которая является простейшим случаем конечной игры. Если такая игра имеет седловую точку, то оптимальное решение — это пара чистых стратегий, соответствующих этой точке.

В игре, в которой отсутствует седловая точка, в соответствии с основной теоремой теории игр: оптимальное решение существует и определяется парой смешанных стратегий и

Для того, чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных стратегиях. Если игрок А придерживается своей оптимальной стратегии S, то его средний выигрыш будет равен пене игры ?, какой бы активной стратегией ни пользовался игрок В. Для игры 2×2 любая чистая стратегия противника является активной, если отсутствует седловая точка. Выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) — случайная величина, математическое ожидание (среднее значение) которой является ценой игры. Поэтому средний выигрыш игрока А (оптимальная стратегия) будет равен? и для 1-й, и для 2-й стратегии противника.

Пусть игра задана платежной матрицей.

Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию , а игрок В — чистую стратегию Вх (эго соответствует 1-му столбцу платежной матрицы Р), равен цене игры ?:

Тот же средний выигрыш получает игрок Л, если игрок В применяет стратегию В,2, т. е. . Учитывая, что.

, получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии S'A и цены игры ?:

(12.6)

Решая эту систему, получим оптимальную стратегию.

(12.7).

и цену игры.

(12.8).

Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании S'B - оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А (Л, или А2) средний проигрыш игрока В равен цене игры ?, т. е.

(12.9).

Тогда оптимальная стратегия ?(?[ (/¦>) определяется формулами:

(12.10)

Применим полученные результаты для отыскания оптимальных стратегий игры, рассмотренной в задаче 12.1.

12.3. Найти оптимальные стратегии игры, приведенной в задаче 12.1.

Решение. Игра «поиск» задана платежной матрицей без седловой точки:

Поэтому ищем решение в смешанных стратегиях; для игрока А средний выигрыш равен цене игры? (при В] и В2); для игрока В средний проигрыш равен цене игры? (при Л, и Л2). Системы уравнений (12.6) и (12.9) в данном случае имеют вид:

Решая эти системы, получаем Это означает, что оптимальная стратегия каждого игрока состоит в том, чтобы чередовать свои чистые стратегии случайным образом, выбирая каждое из убежищ с вероятностью 0,5, при этом средний выигрыш равен нулю. >

• [1] Дж. фон Нейман (1903−1957) — американский математик.