Вертикальная устойчивость. 
Частота Вяйсяля

Рассмотрим случай, при котором температура Т, соленость S и плотность р морской воды, как и все другие термодинамические параметры, зависят только от вертикальной координаты z (ось z направлена вниз). Выясним условия, при которых морская вода находится в состоянии механического равновесия (термодинамическое равновесие, очевидно, в данном случае невозможно, поскольку температура непостоянна). Пусть частица морской воды единичного объема, имеющая плотность р, смещается по вертикали адиабатически (т. е. с сохранением потенциальной температуры) с уровня z₀ на уровень z₀+Az, где плотность окажется равной р₀=р+Др. На смещенную частицу будет действовать архимедова сила F (сила плавучести), а соответствующее этой силе ускорение частицы массой m (w=p-1 =р) составит:

Поведение частицы под влиянием архимедовой силы зависит от характера изменения плотности с глубиной — плотностной стратификации. Если плотность с глубиной уменьшается, то Др0 и ускорение частицы будет отрицательным. В этом случае частица будет стремиться возвратиться на глубину Zo, проскочит исходное положение и, в конечном итоге, начнет совершать малые колебания вверх и вниз вблизи этого уровня. Чтобы найти их частоту, необходимо преобразовать формулу (6.24) таким образом, чтобы она приняла вид уравнения простых гармонических колебаний:

Введем обозначение:

тогда выражение (6.26) перепишется в виде:

Решение этого уравнения выглядит так:

где А и ср — соответственно амплитуда и фаза колебаний, определяемая начальными условиями. Очевидно, что величина N и представляет частоту колебаний частицы морской воды, смещенной адиабатически по вертикали при положительной стратификации.

В формуле (6.26) градиент плотности вычисляется по отношению к глубине z. Вместе с тем современные океанографические приборы определяют характеристики в толще воды как функцию давления. Если учесть сжимаемость морской воды, такая замена вертикальной координаты имеет преимущества и с физической точки зрения [21]. Для замены градиентов в выражении (6.26) можно воспользоваться гидростатическим приближением с учетом направления оси z вниз (dp = g p dz), тогда:

Помимо частоты колебаний N, широкое распространение получила тесно связанная с ней величина — полная вертикальная устойчивость Е:

В соответствии с выражением (6.26), произведение g-E представляет собой вертикальное ускорение смещенной из состояния механического равновесия по вертикали частицы воды, деленное на величину этого смещения Аг. При стремлении Аг к нулю можно перейти от конечных разностей к полной производной плотности:

Домножая числитель и знаменатель в (6.31) на dp = g-p-dz, можно получить выражение для устойчивости через градиент давления, а не глубины:

Получаемая в результате расчетов по формулам (6.30) и (6.32) размерность устойчивости, очевидно, одинакова и соответствует м'¹. Заметим, что если частота Вяйсяля может быть только действительным числом (N²> 0), то устойчивость, как и стратификация, — более широкое понятие. Можно говорить об устойчивом (?>0), неустойчивом (Е<0) или безразличном (?=0) механическом равновесии.

Представим дифференциал плотности в выражении для устойчивости (6.32) с учетом уравнения состояния морской воды (4.7):

где 9 — потенциальная температура, Т" — адиабатическая поправка. Два первых члена в квадратных скобках этой формулы представляют произведение частных производных уравнения состояния по солености и температуре in situ на соответствующие изменения солености и температуры при перемещении частицы с уровня р на уровень p+dp, последнее слагаемое — барический градиент плотности.

Если рассмотреть однородный сжимаемый океан, в котором вертикальные градиенты солености и потенциальной температуры отсутствуют, то выражение (6.33) будет выглядеть следующим образом:

где ^^г— = Г — адиабатический градиент температуры, вычисляе- dp

мый по формуле Кельвина (4.74). Величина Е_р определяется по существу адиабатической сжимаемостью воды, ее можно назвать барической устойчивостью. Все компоненты, стоящие в квадратных скобках последней формулы, являются функциями температуры, солености и давления, но не зависят в общем случае от вертикальных градиентов термохалинных характеристик. Вообще же для характерных диапазонов изменения температуры, солености и давления величина Е_р составляет примерно (4−5)-10'⁵ м'¹ [69] и может превышать все остальные слагаемые полной устойчивости.

При этом следует помнить, что вычислять условия стратификации слоев имеет смысл тогда, когда их характеристики приведены к единому давлению. Действительно, в самом начале этого параграфа при рассмотрении условий равновесия и выводе формулы (6.1) мы пренебрегали тем, что плотность частицы воды, перемещающейся с уровня z₀ (давления р₀) на уровень z (с давлением р), может изменяться за счет адиабатической сжимаемости. В реальных условиях механическое равновесие этой частицы воды на новой глубине или изобарической поверхности будет наблюдаться тогда, когда ее плотность и плотность окружающей среды одинаковы именно на этом уровне. Значит, при определении разности плотностей частицы и среды Др = р₀ — р в формуле (6.29) величины в правой части должны быть приведены к одному давлению. Отсюда следует, что полную производную — в.

dp

(6.32) или — в (6.31) необходимо заменить на сумму тех компо- dz

нентов, которые определяются изменениями потенциальной температуры и солености по вертикали и не зависят от чисто барических эффектов. Именно поэтому в океанологии рассчитывают вместо полной устойчивости так называемую термохапинную устойчивость, представляющую разность между полной и барической устойчивостью: или, используя градиенты давления:

Впервые этот параметр с использованием градиентов солености и температуры in situ по глубине был предложен в 1915 г. Т. Хессельбергом и X. Свердрупом, а в 1955 г. М. Поллак предложил выражать величину устойчивости через градиент давления.

Если бы океан был несжимаемым, то формулы (6.33) и (6.35) давали бы одинаковый результат. Следовательно, условие положительной стратификации — > 0 справедливо лишь для несжи;

dp

маемого океана. Условия же равновесия для реальных условий будут выглядеть так:

Е> Е" (?ед >0) — положительная стратификация,

Е< Е_а (Ee.s<0) — отрицательная стратификация,.

Е = E_a(E$_s= 0) — нейтральная (равновесная) стратификация.

В соответствии с этими условиями, частота колебаний частицы морской воды, выведенной из положения равновесия в сжимаемом океане, будет определяться следующим соотношением:

В океанологической литературе величину N_BS обычно называют частотой Вяйсяля или Вяйсяля-Брента по фамилии геофизиков, предложивших в 1925;27 гг. эту величину для анализа колебаний в океане и атмосфере. Размерность N, очевидно, соответствует с'¹.

Характерный профиль вертикального распределения частоты Вяйсяля в Северной Атлантике по данным вертикального зондирования приведен на рис. 6.3. Как мы видим, значения частоты в верхнем слое составляют 10'³ с'¹, увеличиваются на порядок в слое основного скачка плотности и затем вновь понижаются ко дну до 10³ с'¹. Соответствующие частоте Вяйсяля периоды Г тер;

А мохалинных колебаний (Г = —) изменяются от 8−10 минут в.

N

слое скачка до нескольких часов в глубинной части океана.

N. 1/с.

Рис. 6.3. Вертикальное распределение частоты N и периода Т термохалинных колебаний в Северной Атлантике (Саргассово море)

Интересной особенностью представленного профиля можно считать наличие относительно тонких (порядка десятков метров) прослоек ниже скачка плотности с большими изменениями значений частоты Вяйсяля.

Обратимся теперь к рассмотрению отдельных компонентов термохалинной устойчивости. В соответствии с формулами (6.35) и (6.36), величина E_QS может быть представлена в виде суммы трех слагаемых — температурной устойчивости ?/•> соленостной устойчивости Es и адиабатической устойчивости Е_а, причем:

Такое представление дает возможность оценить вклад каждого из компонентов в формирование вертикальной стратификации океанов.

Температура в океане в основном понижается с глубиной, производная плотности по температуре также отрицательна, поэтому величина Е_т оказывается положительной. Производная плотности по солености положительна, а кривая вертикального распределения солености в океане обычно имеет несколько экстремумов. Таким образом, кривая соленостной устойчивости для какой-либо станции в океане также может несколько раз менять знак. Последний компонент — адиабатическая устойчивость — на 2−3 порядка меньше двух первых в верхнем слое океана и играет роль в сохранении положительной стратификации только на больших глубинах, где вертикальные градиенты температуры и солености невелики. В качестве примера на рис. 6.4 приведены вертикальные распределения температуры, солености и компонентов термохалинной устойчивости для той же станции в Северной Атлантике, что и на рис. 6.3.

Между изобарами 200 и 1500 дбар на графике отчетливо видно, как температурный компонент устойчивости компенсирует отрицательные значения E_s порядка 10″ ⁷—10 ⁶ м'¹, а в глубинном слое с давлением более 4500 дбар положительная стратификация на всех уровнях определяется уже прежде всего компонентом Е_а, превышающим температурную устойчивость. Вновь обращают на себя внимание резкие скачки температурной и соленостной устойчивости, которые практически при любом давлении оказываются скомпенсированными.

Если объединить температурную и адиабатическую части устойчивости, то можно говорить о влиянии на стратификацию градиента потенциальной температуры или о «потенциальной температурной устойчивости» Е_е.

Отношение Е% к E_s называется в океанологии плотностным числом:

Рис. 6.4. Вертикальное распределение температуры Т, солености S и составляющих вертикальной устойчивости Ej, Es, Е_Л в Северной Атлантике.

В формуле (6.39) вместо отношения производных плотности по температуре и солености стоит равное ему отношение коэффициентов термического расширения и соленостного сжатия (действительно, коэффициенты равны соответствующим производным, помноженным на р¹).

Плотностное число, как можно видеть по соотношению температурной и соленостной частей устойчивости на рис. 6.4, — очень изменчивая величина, поскольку E_s на вертикальном профиле часто меняет знак.

В практике океанографических расчетов используют как локальное значение плотностного числа для данного давления р, так и среднее значение плотностного числа для слоя воды, соответствующего главному термоклину в океане (200−1500 м).

Помимо методов оценки термохалинной устойчивости (и частоты Вяйсяля) по вертикальному градиенту потенциальной температуры и солености (6.36) {метод Хессельберга-Свердрупа), существуют и другие способы расчета этой величины.

Один из них был реализован Фофоновым в так называемом методе адиабатического выравнивания. Если в формуле (6.32) заменить дифференциал плотности на дифференциал удельного объема v = р'¹:

и представить в соответствии с (3.48) удельный объем v (S, T, p) как сумму аномалии удельного объема 5(S, T, p) и удельного объема стандартного океана у (35,0,/>), то выражение для термохалинной устойчивости будет выглядеть так [76]:

где давление р соответствует середине интервала (р, р_г). Выражение для квадрата частоты Вяйсяля, очевидно, можно получить, домножив (6.41) на ускорение свободного падения g.

Наконец, третий метод вычисления вертикальной устойчивости основан на представлении зависимости адиабатического градиента плотности от скорости звука в соответствии с формулой (5.10). Действительно, представление термохалинной устойчивости как разности полной вертикальной устойчивости, определяемой градиентом плотности in situ p (S, Tp), и барической устойчивости Е_р, позволяет использовать вместо выражения (6.34) формулу для скорости звука (5.10). Тогда:

а выражение для термохалинной устойчивости примет вид:

Расчет устойчивости в соответствии с выражением (6.43) первым ввел в океанографическую практику М. Поллак. Хотя метод Поллака выглядит, на первый взгляд, наиболее предпочтительным при вычислении термохалинной устойчивости, он подразумевает получение малой разницы двух больших величин, определяемых по сложным эмпирическим формулам для р(S, T, p) и.

C (S, T, p), причем эти зависимости не согласуются между собой с точки зрения влияния давления. Сравнение всех трех схем расчета величины квадрата частоты Вяйсяля в работе [76] показало, что самым экономичным с точки зрения объема вычислений остается метод Хессельберга-Свердрупа, на 20% более трудоемок метод Фофонова, а схема Поллака требует в несколько раз больше расчетов. Тем не менее, метод адиабатического выравнивания (6.41) более предпочтителен с точки зрения точности вычислений для любого вертикального расстояния между горизонтами наблюдений. При современном уровне точности зондирующей аппаратуры метод Фофонова позволяет добиться точности вычисления величины N² или E^.s с ошибкой не более 1% в главном термоклине и не более 5% на абиссальных глубинах для вертикального разрешения между соседними горизонтами наблюдений (т. е. при разности р_г-р) в 20 дбар. Используя больший интервал между горизонтами наблюдений (100−200 дбар), можно уменьшить ошибку еще в несколько раз. Интересно отметить, что входящее в формулы вычисления вертикальной устойчивости и частоты Вяйсяля ускорение свободного падения g изменяется между экватором и полюсом примерно на 0,5% и при расчетах обычно полагается постоянным и не зависящим от широты.