Изображение ступенчатой функции

На рис. 9.9, а показана функция х_вх(?), представляющая собой последовательность трех ступеней величиной: 1) х (0) (при t = 0); 2) Дх, (при? = ?,); 3) Дх₂ (при t = t₂).

Поскольку изображение единичной ступени, возникающей в момент t = 0 (функции Хевисайда 1(f)), равно 1 /р, то заданной ступенчатой функции х_|1Х(0 соответствует изображение

Рис. 9.9. К определению изображения ступенчатой функции:

а — общий случай ступенчатого воздействия; б — прямоугольный импульс — частный случай ступенчатого воздействия В частном случае — для прямоугольного импульса величиной А_т и длительностью t_H (рис. 9.6, б) — изображение содержит два слагаемых:

Изображение экспоненциального импульса длительностью tn

Рассмотрим функцию, равную нулю при t< 0, а при t > 0 определяемую следующим образом:

Ее график построен на рис. 9.10, а. Функцию такого вида можно считать совокупностью двух экспонент:

При t < 0 обе функции равны нулю, а при t > 0 удовлетворяют условиям.

где В = Ae ^а'^и.

Их графики построены на рис. 9.10, б.

Рис. 9.10. К расчету изображения импульса, имеющего на вершине экспоненциальную форму:

а — импульс б — представление заданного импульса в виде двух экспонент/,(<).

и /₂(Г), сдвинутых по времени Запишем изображения по Лапласу функций f_x(t) и /₂(t), используя теорему запаздывания:

Тогда изображение заданной функции х_нх(С) равно сумме записанных изображений, т. е.

Пример 9.6. На вход пассивного четырехполюсника (рис. 9.11, а), нагруженного на резистивное сопротивление Д_и, подастся импульс тока i_BX(?) длительностью t_H = 0,25 мс, имеющий на вершине экспоненциальную форму (рис. 9.11, б) ijt) = l₀e-" = 5e-^2m‘( А).

Определить напряжение на нагрузке и_н(?), если /?_и = 800 Ом, L = 0,2 Гн.

Рис. 9.11. Расчет реакции пассивной цени на экспоненциальный импульс тока.

а — заданная цепь; 6 — входное воздействие в — операторная модель для нахождения передаточной функции К (р)

Решение

1. Изображение входного воздействия i_BX(t) .=' /_вх(р).

Согласно сказанному в начале подпараграфа изображение заданного импульса равно:

• на вершине импульса, при 0 _n

• по окончании воздействия, при t_n< t < °°.

• (9.19)
• (9.20)
• 2. Расчет передаточной функции К (р).

На рис. 9.11, в построена операторная модель заданной цепи при нулевых начальных условиях. В рассматриваемом случае входного воздействия передаточная функция является отношением изображений напряжения на нагрузке С/_Н(р) и тока входной ветви /_Г1Х(р), т. е.

поэтому искомая передаточная функция равна.

Она имеет размерность сопротивления.

3. Изображение выходного напряжения находим по формуле На временном интервале 0 <? < ?" 1_их(р) определяется выражением (9.19), поэтому с учетом формулы (9.21) для U_n(p) справедливо равенство.

На временном интервале ?" <? < °° изображение входного воздействия имеет вид (9.20), умножая его на (9.21), получаем.

4. Переход от изображения U_n(p) к оригиналу «,(?).

В таблицах соответствия дается оригинал следующего изображения:

Изображения (9.22) и (9.23) по виду сходны с (9.24), что позволяет записать искомые реакции:

• на интервале 0 <? < ?_и

• на интервале ?" <? < °°.