Оптимальный размер заказа в условиях периодического поступления и равномерного расхода запаса

Модель размера производственного заказа (модель EPQ).

В практике закупочной, производственной и сбытовой логистики достаточно часто встречается ситуация, когда определенные партии материального ресурса (сырья, материалов, заготовок, деталей, узлов, комплектующих изделий и товаров) поступают на склад ЛС (или логистический узел) не сразу целиком единовременно, а в течение определенного периода времени. Эта ситуация наиболее характерна при планировании запасов незавершенного производства, т. е. для производственной (промышленной, сельскохозяйственной или строительной) логистики. Условия движения запаса материального ресурса в такой хозяйственной ситуации для одного цикла можно наглядно представить в графическом виде (рис. 9.3).

Рис. 9.3. Движение текущего запаса в условиях периодического поступления и равномерного потребления материального ресурса.

Интервал поставки при данных условиях пополнения запаса складывается из двух периодов Т = + t₂, где tj —.

период, когда происходит поступление материального ресурса в запас с интенсивностью р при одновременном его расходе (производственном потреблении) с интенсивностью Ь; г₂ — период потребления из запаса с интенсивностью Ь.

Основным условием такого движения запаса, при котором происходит его накопление в условиях одновременного поступления и расхода материального ресурса за период t_l=Q/p, будет р > Ь. В случае, если р < Ь, текущие производственные потребности не будут покрываться за счет собственного производства (дефицитная ситуация) и необходимо организовать дополнительное производство данных изделий (т.е. увеличить величину р) или прибегнуть к внешним источникам снабжения. В случае, когда р = Ь, размер текущего запаса будет оставаться неизменным (т.е. S = const), а сами данные условия будут соответствовать ситуации, обеспечивающей функционирование логистической системы по критерию JiT.

Движение текущего запаса в заданных условиях будет определяться кусочно-линейной функцией вида:

Очевидно, что максимальный уровень текущего запаса при заданных условиях будет меньше размера партии поставки, т. е. должно соблюдать неравенство S^max(р — Ь)? t = Q — b? t или в точке f = Q/p. Отсюда следует, что максимальный уровень текущего запаса в условиях его пополнения за конечный период и равномерного расхода:

Средний размер текущего s запаса в интервале между очередными поставками teO, T согласно методике, изложенной в разделе 8.2, пропорционален интегралу функции, характеризующей динамику величины текущего запаса в заданных условиях:

Поскольку Т = Q/b, то выражение для определения среднего размера текущего запаса S для данных условий примет вид:

Методика вывода формулы для определения оптимального размера заказа в заданных условиях аналогична классической (основной) модели управления запасами и включает в себя следующие этапы.

• 1. Формирование функции общих (суммарных) затрат на создание и хранение запаса.
• 2. Поиск минимального значения функции общих затрат.
• 2.1. Нахождение первой производной функции общих затрат по неизвестному параметру (Q) для поиска ее экстремума.
• 2.2. Нахождение второй производной функции общих затрат по неизвестному параметру (Q) для определения вида функции (выпуклая или вогнутая), на основании чего можно сделать вывод о виде экстремума (минимум или максимум).
• 2.3. Формирование уравнения для нахождения точки минимума функции общих затрат, для чего необходимо приравнять нулю ее первую производную, а затем решить полученное уравнение относительно неизвестного параметра (Q).
• 3. Анализ полученного результата (формулы).

Выполним указанные действия. Суммарные издержки по формированию и содержанию запаса на один заказ (объем партии поставки) будут определяться следующим образом:

Удельные издержки, т. е. затраты в расчете на единицу заказываемого материального ресурса, будут иметь вид.

Если речь идет действительно о выборе стратегии производственного заказа, то под К понимают затраты на организацию каждого производственного цикла, т. е. затраты на запуск партии изделий в производство (в основном это затраты на переналадку оборудования), а под с — себестоимость производства (обработки) единицы продукции.

Для нахождения точки, в которой эта функция достигает своего экстремума, необходимо найти ее первую производную, приравнять полученный результат нулю и решить уравнение относительно неизвестного параметра (в данном случае Q). Первая производная функции общих удельных затрат в данном случае будет иметь вид:

Вторая производная функции общих удельных затрат будет , так как параметры К и Q неотрицательны.

Отсюда следует вывод, что функция общих удельных затрат является выпуклой и в точке экстремума достигает своего минимума. Далее необходимо решить уравнение с одним неизвестным, в качестве которого и выступает параметр Q:

Выполнив простейшие алгебраические преобразования, получим формулу для определения размера заказа в заданных условиях периодического поступления:

Из формулы (9.24) видно, что часть входящих в нее параметров описывают собственно классическую модель запасов (9.9) и поэтому ее лучше представить в несколько ином виде. С учетом этого замечания оптимальный размер заказа в условиях периодического поступления и равномерного потребления запаса будет выглядеть так:

Формула (9.25) представляет собой модель для определения оптимального размера заказа в условиях периодического поступления материального ресурса (пополнения запаса в течение определенного периода времени в каждом интервале поставки) и равномерном расходе запаса. Нетрудно заметить, что эта математическая модель состоит из двух частей. Первая часть представляет собой формулу Харриса—Уилсона, или классическую модель управления запасами (модель EOQ), а вторая является поправочным коэффициентом, учитывающим особенности заданных условий. Поэтому формулу (9.25) можно представить в виде следующей модели:

Поскольку поправочный коэффициент в формуле (9.26) согласно первоначальным условиям (р > ?>) больше единицы, то и оптимальный размер заказа при данных условиях пополнения запаса будет больше, чем при «мгновенной поставке». В данном случае этот поправочный коэффициент будет учитывать возможность увеличения размера заказа за счет экономии на издержках по содержанию запаса. Такая модификация формулы EOQ была обоснована еще в 1918 г., правда, за базовую модель была принята формула (9.10).

В этих условиях оптимальный максимальный уровень текущего запаса будет определяться как.

оптимальный средний уровень текущего запаса.

оптимальное количество заказов (поставок) за плановый период.

и оптимальный интервал между поставками составит.

Формулы (9.25) и (9.26) для определения оптимального размера заказа в условиях периодического поступления и равномерного потребления запаса носят название модели EPQ (Economic Production Quantity) — модель экономичного размера производственного заказа, которая широко используются в практике производственного менеджмента.

Модель экономичного размера партии (модель EBQ). Другой достаточно известной разновидностью формулы определения размера производственного заказа, при котором цикличность движения запаса отображается графиком типа рис. 9.3, является модель EBQ (Economic Batch Quantity). Принципиальным отличием в этой модели будет то, что в период ti происходит только накопление материального запаса, без его потребления (расхода). Однако эта модель все же имеет определенные отличия от модели EPQ, и поэтому рассмотрим ее графическую интерпретацию на одном цикле (рис. 9.4).

Рис. 9.4. Движение текущего запаса в условиях периодического накопления и последующего равномерного потребления запаса.

Интервал поставки при данных условиях формирования и расхода запаса также складывается из двух периодов: Т = = fi + г², где ti — период, когда происходит накопление запаса с интенсивностью р (без его потребления); t₂ — период потребления материального ресурса из запаса с интенсивностью Ь.

Очевидно, что в таких условиях формирования и потребления запаса период его накопления будет определяться отношением tj = Q/p, а период потребления запаса составит t₂ = Q/b.

Тогда интервал поставки можно определить как.

Движение текущего запаса в заданных условиях будет определяться кусочно-линейной функцией вида:

где М — некоторая условная точка, получаемая на графике (рис. 9.4) путем продолжения траектории потребления запаса и характеризующая возможный максимальный уровень запаса при переходе к мгновенной поставке.

Численное значение параметра М можно получить из условия равенства значений функций движения запаса (9.32) в точке ее перегиба t = Q/p:

Очевидно, что максимальный уровень текущего запаса при заданных условиях будет равен размеру заказа, т. е. должно соблюдаться равенство S^max =Q. Средний размер текущего запаса S в интервале между очередными поставками будет равен половине его максимального уровня или S =Q/2, что можно аналитически доказать, воспользовавшись методикой определения среднего уровня запаса (см. раздел 8.2).

Данная модель управления запасами достаточно часто рассматривается в специальной литературе. При этом в ряде публикаций названия моделей EBQ и EPQ попросту путают¹, а в некоторых изданиях, в том числе и весьма достойных^[1][2], утверждается, что для данных условий формула оптимального размера заказа будет полностью совпадать с моделью EOQ. В таком утверждении можно усомниться, так как в этих условиях по-разному определяются основные параметры модели (например, S^max и Т), не соблюдается часть равенств (8.8), а также в самой формуле не находит использование параметр р, который и определяет особенности рассматриваемого логистического процесса.

Методика вывода формулы для определения оптимального размера заказа в заданных условиях аналогична классической (основной) модели управления запасами.

Выполним указанные действия. Суммарные издержки по формированию и содержанию запаса на весь размер заказа (объем партии поставки) или за один цикл поставки будут определяться следующим образом:

Удельные издержки, т. е. затраты в расчете на единицу заказываемого материального ресурса, будут иметь вид.

Для нахождения точки, в которой эта функция достигает своего экстремума, необходимо найти ее первую производную, приравнять полученный результат нулю и решить уравнение относительно неизвестного параметра (Q). Первая производная функция общих удельных затрат в данном случае будет иметь вид:

Значение второй производной функции общих удельных.

затрат будет положительным, так как параметры К и Q неотрицательны.

Отсюда следует вывод, что функция общих удельных затрат является выпуклой и в точке экстремума достигает своего минимума. Далее традиционно необходимо решить уравнение с одним неизвестным Q:

Выполнив необходимые алгебраические преобразования, получим формулу для определения оптимального размера заказа в условиях периодического поступления:

Из формулы (9.34) видно, что часть ее параметров также описывает классическую модель запасов (9.9). С учетом этого замечания оптимальный размер заказа в условиях периодического накопления и последующего равномерного потребления запаса можно представить:

Формула (9.35) представляет собой модель для определения оптимального размера заказа в условиях периодического поступления материального ресурса (пополнения запаса в течение определенного периода времени в каждом интервале поставки) и последующего его равномерного расхода. Эта математическая модель носит название EBQ и также состоит из двух частей. Первая часть представляет собой формулу Уилсона, или классическую модель управления запасами (модель EOQ), а вторая является поправочным коэффициентом, учитывающим особенности данных условий. Поэтому формулу (9.35) можно представить в виде следующей модели:

Из полученных формул (9.35) и (9.36) следует, что модель EBQ отличается от модели EOQ на соответствующий поправочный коэффициент и утверждение об их идентичности не соответствует действительности. При этом оптимальный размер заказа в модели EBQ будет меньше, чем для идеальных условий поступления и потребления запаса, так как значение поправочного коэффициента будет меньше единицы.

В этих условиях формирования и потребления запаса оптимальный средний уровень текущего запаса будет определяться как.

оптимальное количество заказов (поставок) за плановый период и оптимальный интервал между поставками составит.

Из сравнения формул (9.25—9.26) и (9.35—9.36) можно сделать вывод, что оптимальный размер производственного заказа в условиях периодического поступления и равномерного потребления запаса при использовании модели EPQ будет превышать объем экономичного заказа, рассчитанного по модели EBQ, за счет экономии на издержках хранения запаса.

• [1] См., например: Зайцев М. Г. Методы оптимизации управлениядля менеджеров: компьютерно-ориентированный подход: учеб, пособие. М.: Дело, 2002. С. 177—179.
• [2] См., например: Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений: пер. с англ. М.: Аудит, ЮНИТИ, 1997. С. 361—362.