Задачи. 
Экономико-математические методы и модели в коммерческой деятельности

1. На оптовую базу прибывают автомашины с непродовольственными товарами. Поток простейший и поступает с интенсивностью восемь автомашин в час. На территории базы могут одновременно находиться не более пяти автомашин. На базе имеются две бригады грузчиков, которые разгружают автомашины. Среднее время разгрузки одной машины каждой бригадой составляет 1 ч.

Определите основные показатели СМО оптовой базы и разработайте рекомендации по улучшению ее работы.

2. Универсам получает ранние овощи и зелень из теплиц пригородного совхоза. В среднем прибывают с товаром три автомашины «Газель» в день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют обработать и хранить товар объемом не более двух автомашин одновременно. В универсаме работают пять групп фасовщиков, каждая из которых может обработать товар с одной автомашины в среднем в течение 0,5 дня.

Определите вероятность обслуживания приходящей автомашины Р₀с,_с? Какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность обслуживания была бы больше или равна заданной величине Р₀*б_с > 0,97?

3. В магазин самообслуживания поступает пуассоновский поток покупателей с интенсивностью 120 человек/ч. Средняя продолжительность обслуживания одного покупателя на расчетном узле составляет 1,5 мин. Уровень суммарных потерь связан с простоем среднего числа свободных контролеров-кассиров и пребыванием среднего числа покупателей в очереди.

Постройте график зависимости суммы среднего числа свободных контролеров-кассиров п,._н и среднего числа покупателей в очереди L_OH в зависимости от числа контролеров-кассиров п + и_св) = /(«).

Определите оптимальное число контролеров-кассиров п₀, при котором суммарные потери будут минимальными.

4. В магазин самообслуживания поступает пуассоновский поток с интенсивностью 200 покупателей в час. В течение дня их обслуживают три контролера-кассира с интенсивностью 90 покупателей/ч. Интенсивность входного потока покупателей в часы пик возрастает до величины 400 покупателей/ч, а в часы спада достигает величины 100 покупателей/ч.

Определите вероятность образования очереди в магазине Р_оч и среднюю длину очереди в течение дня, а затем необходимое число контролеров-кассиров в часы пик и часы спада, обеспечивающих такую же длину очереди L₀₄ и вероятность ее образования Р_оч, как и в номинальном режиме.

5. В торговом павильоне покупателей обслуживает один продавец. Площадь павильона составляет 24 м², причем 10 м² приходится на торговый зал, вместимость которого ограничена. Поэтому если очередь на обслуживание составляет 10 человек, то потенциальный покупатель туда не входит, что свидетельствует об отказе в обслуживании и, как следствие, снижении товарооборота и ухудшении других экономических показателей работы коммерческого предприятия.

Дайте оценку СМО и определите рекомендации, но созданию оптимального режима работы, если интенсивность прихода покупателей составляет 60 чел/ч, а среднее время обслуживания продавцом одного покупателя — 3 мин.

6. Минимаркет с одним контролером-кассиром обслуживает покупателей, входящий поток которых подчиняется закону Пуассона с параметром 20 покупателей/ч. Время обслуживания подчиняется показательному закону с параметром 25 покупателей/ч.

Определите вероятность простоя контролера-кассира, среднюю длину очереди, среднее число покупателей в минимаркете, среднее время ожидания обслуживания, среднее время пребывания покупателей в минимаркеге и дайте оценку его работы.

7. В магазине самообслуживания шесть контролеров-кассиров. Входящий поток покупателей подчиняется закону Пуассона с интенсивностью 120 чел/ч. Один кассир может обслужить 40 чел/ч.

Определите вероятность и долю времени простоя кассира, среднее число покупателей в очереди, среднее время ожидания, среднее число занятых кассиров и среднее число кассиров, свободных от обслуживания; дайте оценку работы СМО.

8. Среднее число покупателей, поступающих на узел расчета в магазин самообслуживания, 100 чел/ч. Кассир может обслужить 60 чел/ч.

Определите, какое число кассиров необходимо для того, чтобы вероятность появления очереди не превысила 0,60.

• 9. В магазине самообслуживания планируется разместить расчетный узел с кассами сканирования для приема от покупателей денег за товары. По прогнозам, интенсивность входного потока покупателей составляет 8 чел/мин. Интенсивность обслуживания должна составлять 4 чел/мин. Допустимая длина очереди не должна превышать семь человек. Определите, какое минимальное количество кассовых аппаратов необходимо установить, чтобы выполнялось условие стационарного режима работы системы, и рассчитайте основные показатели работы СМО.
• 10. Отделение фирмы «Автолайн» обслуживает пассажиров, но маршруту и насчитывает 12 такси вместимостью 12 человек. В среднем каждая машина ломается раз в 5 дней. Приведите аргументы против того, что ноток поломок машин в отделении фирмы является пуассоновским.
• 11. Используя терминологию и модели теории массового обслуживания, опишите реальные объекты, процессы и состояние покупателей в торговле, автолюбителей на дорогах, потоки пассажиров в метро, на вокзалах, аэропортах, больных на приеме к врачам, населения в социально-бытовых учреждениях.
• 12. На АТС поступают заявки на междугородние переговоры. В среднем за 1 ч поступает 15 заявок. Приведите аргументы в пользу того, что поток заявок на телефонную станцию является пуассоновским. Найдите среднее число заявок, поступающих за сутки, среднее время между появлениями заявок. На телефонной станции появляются сбои в работе, если за полчаса на нее поступит более 50 заявок. Найдите вероятность сбоя станции.
• 13. Миша и Виктор занимаются починкой автомобилей. Миша выполняет кузовной ремонт, Виктор — красит, причем друзья подряжаются только на работу, где одновременно необходимы и ремонт кузова, и покраска. Клиентура у мастеров непостоянная, в среднем, но одному клиенту в 2 недели. Среднее время, необходимое для кузовного ремонта, — 10 дней, для покраски — 5 дней. Если Миша занят кузовными работами, то клиент уходит к конкурентам. Постройте стохастический граф марковского процесса, описывающего работу предпринимателей. Запишите систему дифференциальных уравнений Колмогорова для марковского процесса, систему алгебраических уравнений и вычислите финальные распределения вероятностей.
• 14. Торговая фирма планирует выполнять заказы на приобретение товаров по телефону, для чего необходимо установить соответствующую мини-АТС с несколькими телефонными аппаратами. Если заказ поступает, когда все линии заняты, то клиент получает отказ. Если в момент поступлени я заявки хотя бы одна линия свободна, то производится переключение на эту линию и оформляется заказ. Интенсивность входящего потока заявок составляет 30 заказов в час. Длительность же оформления заказа в среднем равна 5 мин.

Определите оптимальное число каналов обслуживания, чтобы обеспечить условие стационарной работы СМО.

15. Коммерческая фирма отпускает винно-водочную продукцию клиентам. Погрузку на машины осуществляют три бригады грузчиков, каждая из которых состоит из четырех человек. Дебаркадер и склад вмещают одновременно шесть машин. Если на площадке находятся шесть машин, то вновь прибывшая машина не обслуживается. Интенсивность входящего потока машин составляет 3 автомашины в час. Интенсивность погрузки составляет 1,5 машины в час.

Дайте оценку работы СМО и предложите вариант ее реорганизации.

16. На станцию технического обслуживания в кооперативном гараже по ремонту отечественных автомобилей Волжского автозавода ВАЗ поступает простейший ноток заявок с интенсивностью один автомобиль за 2 ч. Во дворе в очереди может находиться не более трех автомашин. Среднее время ремонта — 2 ч.

Дайте оценку работы СМО и разработайте рекомендации по улучшению обслуживания.

17. На рис. 5.22 представлена столбиковая диаграмма регистрации потока покупателей на входе супермаркета в течение рабочего дня.

Рис. 5.22.

Определите необходимое количество кассовых аппаратов в расчетном узле, если хронометраж времени, затраченного покупателями на операции по приобретению товаров, представлен в табл. 5.17, а в табл. 5.18 представлены результаты проведенного хронометража количества покупок и времени расчета одним контролером-кассиром 120 покупателей в течение 10 мин работы по кассе № 2 универсама.

18. В табл. 5.19 представлены результаты хронометража, проведенного в течение недели, числа покупателей и выручки от реализации в универсаме, но дням и часам работы. Определите количество кассовых аппаратов в расчетном узле.

Таблица 5.17

Таблица 5.18

Таблица 5.20

и постройте график выхода на работу контролеров-кассиров, используя данные задачи 17.

19. В табл. 5.20 представлены результаты проведенного хронометража количества покупок по часам и дням недели.

Определите количество кассовых аппаратов в расчетном узле и постройте график выхода на работу кассиров с учетом данных задач 17 и 18.

За неделю количество покупок — 66 371. Средняя цена покупки — 1469 руб. на общую сумму 97 498 700 руб.