Овладение дробями. 
Педология

Для ребенка 7—8 лет «часть» — кусок, немного и т. п. Он еще плохо разбирается даже в отношениях между видимыми конкретными явлениями. Тем труднее для него, конечно, разбираться в отношениях между отвлеченными числами, а так как дробь есть как раз такое отношение, то изучение дробей начинается сравнительно поздно и представляет значительные трудности.

Многочисленные исследования, произведенные различными исследователями (Липман и Боген, Пиаже, Штерн и др.), притом часто по различной методике, почти единодушно утверждают, что особенно быстрый рост способности устанавливать отношения бывает у детей приблизительно около 10—11 лет. Как раз с этого возраста школа начинает изучение дробей. На трудность их для детей указывает тот факт, что когда дети изучают дроби, неуспеваемость их по арифметике значительно увеличивается. При оперировании с дробями детей в особенности затрудняет: 1) обращение со знаменателями и 2) понимание значения умножения и деления дробей.

ПОЧЕМУ УЧЕНИК ПЛОХО РЕШАЕТ ЗАДАЧИ?

Надо различать технику арифметических действий и умение решать задачи. Замечено, что у большинства детей умение складывать, вычитать, умножать и делить, притом как целые числа, так и дроби, очень тесно коррелирует между собой: хороший вычислитель обыкновенно хорошо вычисляет во всех этих областях, плохой — отстает от других также обыкновенно во всех областях. Овладение техникой арифметических действий в I классе очень тесно связано с общим уровнем умственного развития, но довольно скоро эта связь ослабевает, а у взрослых выдающихся счетчиков она слабо замечается: ряд очень знаменитых счетчиков не представлял собой в умственном отношении ничего выдающегося, но некоторые из них были в то же время и интеллектуально очень крупными людьми.

Однако одна черта присуща всем выдающимся счетчикам: они все владеют особыми приемами счета и особыми вспомогательными средствами (например, зрительными схемами и т. д.). Пожалуй, правилен вывод одного крупного психолога (Scripture): «Эти люди обладают колоссальной способностью выучиваться счету». В том, что в этой выучке большую роль играет образование соответствующих навыков, убеждает нередкий факт потери этой способности после долгого неупражнения в ней.

В том, что при условии достаточного умственного развития самое главное — навык, упражнение, притом в строгой последовательности, убеждают исследования Шмитта (Schmitt). Обследовав учеников, которые, не будучи слабоумными, все же очень сильно отстали по технике арифметики, он нашел, что основная причина — частые манкировки их по болезни. Ни на каком предмете так гибельно не отражаются пропуски уроков, как на математике. Другие обследователи нашли у учеников с очень плохой техникой вычислений ряд недопустимых и неудобных привычек.

Так, например, некоторые дети 9+7+5 считают так: 9+2+ 2+2+1+2+2+1.

Если для овладения техникой арифметических вычислений самое главное — образование в строгой последовательности ряда правильных навыков, то для того, чтобы решать хорошо задачи, нужно больше данных. Здесь самое большое значение имеет умственное развитие, которое для решения задач требуется в гораздо большей степени, чем для решения так называемых «примеров». Связь между степенью умственного развития и умением решать задачи у детей настолько тесная, что многие исследователи (например, Торндайк), считают решение задач показательным для умственного развития и дают задачи в качестве ментиметрических тестов. Большое значение имеет также умение осмысленно читать про себя, так как именно так обыкновенно читаются решаемые учеником задачи. Третьей основной причиной неумения решать задачи является непонимание специальных терминов и выражений в задачах. Наконец, часто дети плохо решают задачи по той причине, что не умеют разлагать ее на отдельные вопросы и не умеют ставить, формулировать эти вопросы. Более редкими причинами неумения решать задачи являются следующие: 1) незнание мер, 2) плохая техника вычисления, 3) незнание значений арифметических действий и в связи с этим непонимание, каким действием решается данный вопрос, 4) трудный текст задачи и 5) отсутствие интереса и плохое внимание.

Так как техника вычислений является только одним (но не единственным) условием уменья решать задачи, то связь между нею и этим уменьем оказывается не очень тесной (г=0,60).