Численная оптимизация замкнутых систем

Процедура для автоматической оптимизации регуляторов

Для запуска оптимизации в программе VisSim необходимо следующее:

• 1) задать один или больше оптимизируемых параметров с помощью блоков «Parameter unknown»;
• 2) задать начальные (стартовые) значения каждому из этих параметров, подавая константу на вход этих блоков;
• 3) обеспечить использование этих параметров в качестве коэффициентов регулятора, которые следует оптимизировать. С этой целью полезно присвоить им названия функциональных переменных (например, P, I, D — коэффициенты пропорционального, интегрального и дифференцирующего трактов). Присвоенные названия следует использовать для вызова этих функций и их использования в качестве соответствующих коэффициентов усиления. Можно использовать блоки умножителей или непосредственно блоки коэффициентов усиления;
• 4) обеспечить вычисление стоимостного критерия и отправку результата в блок «Cost», который должен быть единственным в проекте. С этой целью формируется вычислитель, выход которого соединен с входом этого блока;
• 5) обеспечить индикацию результата оптимизации, для чего целесообразно использовать блок индикатора значения на выходе каждого из блоков «Parameter unknown».

Кроме того, можно, но необязательно отражать значение получаемого переходного процесса на блоке осциллографа и значение стоимостной функции на таком блоке и (или) на блоке индикатора числового значения.

Пример 6.1. На рис. 6.1 показан пример проекта оптимизации ПИДрегулятора для объекта из примера 4.3. При этом используется критерий (5.15). Получаемые в результате коэффициенты следует округлить до значений, содержащих не более трех-четырех действующих цифр для каждого параметра. В данном примере стартовые значения коэффициентов интегрального, пропорционального и дифференцирующего трактов были соответственно к_р = 1; /с, = 0; k_d = 0, а после оптимизации получены к_р = 0,584; = 3,02; k_d = 1,9.

Рис. 6.1. Проект автоматической оптимизации ПИД-регулятора для объекта из примера 4.3 по критерию (5.15).

После округления полученных коэффициентов следует обязательно проверить допустимость такого округления и сохранение достигнутого вида переходных процессов (допускаются незначительные его изменения) и приблизительное сохранение значения стоимостной функции. Для этого следует методом copy-paste перенести полученные параметры в блоки, задаваемые затравочными константами, округлить эти параметры, в меню «настройка оптимизации» убрать галочку в окне «выполнить оптимизацию», в меню настройки осциллографов выбрать галочку «запоминание графиков» и запустить моделирование.

Указанный способ проверки необходим для исключения негрубого решения, т. е. такого решения, которое обеспечивает заданное качество только при условии предельно точного соответствия значений параметров их найденным значениям.

Наличие негрубого решения может возникать в случае, например, когда в объекте содержится неустойчивое колебательное звено, для стабилизации которого математическое моделирование предлагает введение в регулятор заграждающего фильтра, настроенного на эту же частоту. Такое решение не имеет практического значения, поскольку его реализация невозможна, а также по той причине, что достаточно точная идентификация такого объекта также невозможна, т. е. объект с такими свойствами, вероятнее всего, не в точности соответствует используемой модели, а реализация регулятора, вероятнее всего, не совпадет с рассчитанным регулятором.

Пример 6.2. На рис. 6.2 показан пример проекта оптимизации ПИДрегулятора для того же самого объекта из примера 4.3 с использованием критерия (5.6). Как видим, результат решения не столь привлекателен. Поэтому критерий (5.6) можно считать менее удачным для этой задачи. Однако отметим, что наш анализ переходного процесса осуществлен визуально по виду графика переходного процесса. Если же использование этого критерия диктовалось техническими условиями функционирования объекта (и системы на его основе), например, именно квадрат ошибки характеризует количество произведенной бракованной продукции или иные адекватно представляемые виды потерь от недостаточной точности управления, то использоваться должен именно этот критерий. В таком случае большего доверия заслуживает не наша субъективная оценка переходного процесса, а результат вычисления стоимостной функции (5.6).

Рис. 6.2. Проект автоматической оптимизации ПИД-регулятора для объекта из примера 4.3 по критерию (5.6).

Пример 6.3. На рис. 6.3 показан пример проекта оптимизации ПИДрегулятора для того же самого объекта с использованием критерия (5.7).

Как видим, критерии (5.15) и (5.7) обеспечивают довольно привлекательные на вид переходные процессы с выбранным объектом из примера 4.3.

Отметим еще несколько важных принципов применения автоматической оптимизации.

1. Не только шаг дискретизации по времени, но и время моделирования следует выбирать обоснованно. Нужно стремиться к тому, чтобы переходный процесс заканчивался приблизительно за 70—80% от длительности моделирования. Если переходный процесс еще не закончен, результаты оптимизации следует поставить под сомнение. Если же переходный процесс заканчивается слишком быстро по отношению ко времени моделирования, следовательно, в стоимостную функцию входит результат обработки сигнала, слабо связанный с качеством переходного процесса.

Рис. 6.3. Проект автоматической оптимизации ПИД-регулятора для объекта из примера 4.3 по критерию (5.7).

• 2. Целесообразно стремиться к тому, чтобы целевая функция по окончании переходного процесса выходила на стабильный уровень и завершала свой рост некоторым установившимся значением. Если это не так, следовательно, выбор длительности моделирования вносит существенный вклад в целевую функцию, а значит, в результат оптимизации тоже. Рост целевой функции к концу времени моделирования может также указывать на некоторые ошибки или некорректности использования режима оптимизации, например, недостаточный учет таких факторов, как шумы или ошибка дискретности АЦП, осуществляющего измерительное преобразование выходного сигнала.
• 3. Если оптимизация осуществляется с применением реального объекта или с использованием максимально подробной модели, вплоть до АЦП или шумов, следует учесть, что строго нулевой ошибка управления быть на практике не может. В этом случае необходимо использовать максимально допустимую ошибку в качестве граничной величины. В любой реальной системе можно указать такое достаточно малое значение ошибки, которое может быть сочтено пренебрежимо малым, т. е. попадание абсолютной величины ошибки в интервал между нулем и этим значением можно приравнять к нулевому значению ошибки. В этом случае такое попадание можно считать достижением ошибкой нулевого значения. Это необходимо использовать в целевой функции, т. е. ввести нелинейность типа «зоны нечувствительности». Тогда интеграл от такой ошибки будет равен нулю, что соответствует естественному принятию такой ошибки несущественной для работы системы.
• 4. В результате оптимизации может получиться негрубая система. Следует убедиться, что полученная система достаточно грубая для того, чтобы ее можно было применять на практике. Для этого достаточно округлить полученные коэффициенты, оставив лишь две-три значащие цифры в каждом из них, и повторить моделирование. Процедуру оптимизации повторять не требуется. Полученные переходные процессы должны не слишком отличаться от процессов, полученных с точными значениями параметров регулятора, вычисленных в результате процедуры оптимизации. Если это не так, то система не грубая и ее результаты не надежные, т. е. не могут обеспечить требуемое качество функционирования реальной системы.

Пример 6.4. Рассмотрим задачу оптимизации ПИД-регулятора для объекта со следующей передаточной функцией:

Соответствующая структура объекта показана на рис. 6.4. Структура ПИД-регулятора представлена на рис. 6.5. Структура для оптимизации ПИД-регулятора в целом изображена на рис. 6.6. При этом объект и ПИДрегулятор собраны в составные блоки, чтобы не перегружать рисунок.

Рис. 6.4. Структура объекта автоматической оптимизации ПИД-регулятора из примера 6.4.

Рис. 6.5. Структура ПИД-регулятора (для всех случаев).

Рис. 6.6. Структура системы для автоматической оптимизации ПИД-регулятора из примера 6.4.

После запуска процедуры оптимизации в окнах дисплея блока оптимизации получаются значения искомых коэффициентов ПИДрегулятора, как показано на рис. 6.7. Получаемый при этом переходный процесс представлен на рис. 6.8. Переходный процесс заканчивается приблизительно через 70 с. Перерегулирование незначительное (около 2%), статическая ошибка равна нулю (что естественно при использовании ПИД-регулятора).

Следующим шагом должна служить проверка полученного результата на грубость. С этой целью округлим результаты. Зададим к_р = 1,5; /с, — = 0,052; k_d = 6,5. Полученный переходный процесс практически полностью совпадает с процессом, представленным на рис. 6.8, из чего следует заключить, что система достаточно грубая.

Рис. 6.7. Результат оптимизации ПИД-регулятора из примера 6.4.

Рис. 6.8. Переходный процесс, получаемый в результате оптимизации ПИД-регулятора из примера 6.4.

Можно также продемонстрировать (но не доказать) оптимальность полученного решения. Для этого достаточно добавить в структуру индикатор значения стоимостной функции, после чего изменять отдельные коэффициенты в сторону увеличения и уменьшения. Если система оптимальна, то любое изменение любого коэффициента даст увеличение стоимостной функции. При полученных коэффициентах значение стоимостной функции составляет 231,5.

Зададим приращение пропорциональному коэффициенту на величину 0,2. При повышении данного коэффициента на эту величину стоимостная функция становится равной 292,0, а при понижении она равна 371,8. Графики соответствующих переходных процессов показаны на рис. 6.9.

Рис. 6.9. Переходные процессы из примера 6.4 при изменениях коэффициента пропорционального тракта:

линия 1 — увеличение; линия 2 — исходное значение; линия 3 — уменьшение Аналогично зададим приращение коэффициенту интегрирующего тракта на величину 0,04. При увеличении этого коэффициента стоимостная функция становится равной 285,5, а при уменьшении — 277,5. Соответствующие переходные процессы показаны на рис. 6.10.

Рис. 6.10. Переходные процессы из примера 6.4 при изменениях коэффициента интегрирующего тракта:

линия 1 — увеличение; линия 2 — исходное значение; линия 3 — уменьшение Изменим коэффициент дифференцирующего тракта на величину 0,4. При увеличении этого коэффициента стоимостная функция становится равной 244,3, а при уменьшении — 222,7. Соответствующие переходные процессы показаны на рис. 6.11.

Рис. 6.11. Переходные процессы из примера 6.4 при изменениях коэффициента дифференцирующего тракта:

линия 1 — увеличение; линия 2 — исходное значение; линия 3 — уменьшение Последние действия, казалось бы, опровергают утверждение о том, что полученные значения коэффициентов ПИД-регулятора оптимальны. Однако не следует торопиться с выводами. Дело в том, что нами было осуществлено округление результатов оптимизации. Если взять более точные результаты, а именно, к_р = 1,538; k_t = 0,0516; k_d = 6,4, то стоимостная функция принимает значение 217,0. Поэтому все же следует признать, что осуществленные испытания подтвердили оптимальность полученного результата (правда, это подтверждение относится к результату с точностью до четырех значащих цифр). Изменения графиков переходных процессов при округлении несущественны, поэтому полученное округленное значение параметров регулятора можно считать оптимальным в некотором приближении.