Операторные характеристики линейных цепей

Реакция цени на экспоненциальное воздействие. Выясним, какой физический смысл имеет оператор р, входящий в выражения для операторных сопротивлений и проводимостей. С этой целью найдем реакцию цепи на экспоненциальное внешнее воздействие

где Лиг — некоторые комплексные числа.

Коэффициент А = Ае^^А имеет размерность внешнего воздействия, его называют обобщенной комплексной амплитудой. Величина г = а + jo имеет размерность с^-1, ее называют обобщенной (комплексной) частотой.

Заметим, что многие встречающиеся на практике внешние воздействия можно рассматривать как частный случай экспоненциального воздействия или как сумму некоторого их числа. Действительно, при Im А = 0, Imr = 0 выражение.

(6.72) описывает экспоненциально затухающее (а 0) или неизменное (а = 0) внешнее воздействие. Полусумма экспоненциальных воздействий с комплексно-сопряженными амплитудами и комплексно-сопряженными частотами представляет собой гармоническое колебание:

амплитуда которого нарастает (а > 0), затухает (а < 0) или неизменна во времени (а= 0). Как следует из выражения.

(6.73), мнимую часть комплексной частоты г = а +усо можно рассматривать как угловую частоту некоторого гармонического колебания, а вещественную часть — как коэффициент, определяющий характер изменения огибающей этого колебания. Вследствие того что интегрирование и дифференцирование экспоненциальной функции не изменяют ее вида, реакция линейной цепи на экспоненциальное внешнее воздействие определенной комплексной частоты г является экспоненциальной функцией той же частоты, причем отношение реакции цепи к внешнему воздействию в этом случае не зависит от времени.

Пусть напряжение, приложенное к зажимам идеализированного пассивного элемента (сопротивления, емкости, индуктивности), изменяется во времени по закону:

В этом случае ток сопротивления ток емкости.

ток индуктивности.

Входным сопротивлением Z® пассивного линейного двухполюсника при экспоненциальном внешнем воздействии называется отношение мгновенного значения напряжения на зажимах этого двухполюсника к мгновенному значению тока:

Используя выражения (6.74)—(6.78), находим входные сопротивления идеализированных пассивных элементов при экспоненциальном внешнем воздействии:

Полагая в выражениях (6.79) г = р> получаем рассмотренные ранее выражения для операторных входных сопротивлений идеализированных пассивных элементов, а в случае r=jco — выражения для комплексных входных сопротивлений тех же элементов при гармоническом внешнем воздействии. Таким образом, комплексные сопротивления идеализированных пассивных элементов при гармоническом внешнем воздействии численно равны входным сопротивлениям тех же элементов при экспоненциальном внешнем воздействии a (t) = Ае^ а операторные входные сопротивления исследуемых элементов — входному сопротивлению этих элементов при экспоненциальном внешнем воздействии.

Следовательно, оператор преобразования Лапласа р, входящий в выражения для операторных входных сопротивлений и проводимостей идеализированных пассивных элементов, можно рассматривать как обобщенную (комплексную) частоту экспоненциального воздействия вида (6.80).

Переходя от идеализированных пассивных элементов к участкам цепей, составленным из таких элементов, и, далее, к произвольным линейным цепям, убеждаемся, что отношение двух любых токов ши напряжений этих цепей при экспоненциальном внешнем воздействии вида (6.80) численно равно отношению операторных изображений соответствующих токов или напряжений при нулевых начальных условиях.