Подобие оптимальных структур и две теоремы в теории иск

В основе моделирования исследований и общих законов изменения свойств в теории ИСК лежит важное научное положение о подобии оптимальных структур. Имеется в виду подобие геометричсское, физическое и технологическое. Как известно, фундаментальные работы в области теории подобия выполнены Бертраном Н. С., Кирничевым В. Л., Афанасьевой Т. А., Кирпичевым М. В., Седовым Л. И., Гухманом А. А., Вениковым В. А. и др. Были разработаны и убедительно доказаны три теоремы о подобии систем, а также о соответствующем их моделировании.

Геометрическос подобие в этой теории устанавливается при условии равенства сходственных углов и пропорциональности сходственных длин у геометрических фигур одинаковой формы. В оптимальных структурах искусственных конгломератов, размещающихся на гиперболических кривых MNі или параболических кривых МИг (см. рис. 3.8), в качестве таких геометрических фигур выступают континуальные пленки связующего вещества или матрицы. Вдоль упомянутых гиперболической или параболической кривых оптимальных структур отношение толщин 8/5* этих пленок, умножаемых на соответствующие коэффициенты масштабов подобия, остаются пропорциональными величинами. Другой геометрической фигурой практически одинаковой формы вдоль упомянутых кривых оптимальной структуры выступают сферические поры. С увеличением заполняющей части в конгломерате диаметр пор возрастает, что фиксируется с помощью коэффициентов масштабов подобия, как это было в случае отношений толщин пленок. Количество пор (пористость в единице объема) вдоль кривой оптимальных структур остается практически одинаковым (2—3%). Наличие этих двух сходственных элементов структуры и их количественных пропорциональностей фиксирует геометрическое подобие оптимальных структур.

Геометрическому подобию оптимальных структур сопутствует их физическое подобие. Физические явления, процессы или системы подобны, если сходственные величины, характеризующие состояние системы (в данном случае — оптимальной структуры) пропорциональны соответствующим величинам другой системы (т. е. другой оптимальной структуры конгломерата).

Для доказательства физического подобия оптимальных структур в теории ИСК используется ее первая теорема. Имеются два произвольных ИСК оптимальной структуры — А и Б. В отношении каждого из них действуют закономерности, которые ранее были установлены для материалов с конгломератным типом структуры. Требуется доказать, что конгломерат, А физически подобен конгломерату Б. Для доказательства возможно использовать каждую из трех теорем, известных в теории подобия, или привлечь всех их вместе.

Согласно теореме подобия в формулировке М. В. Кирпичева (известной как первая теорема теории подобия), «подобные явления описываются буквенно-одинаковыми уравнениями, которые условно или безусловно инвариантны, но отношению к подобным преобразованиям входящих в них величин». Известно, что в теории ИСК одинаковыми буквенными уравнениями описываются прочность и вне зависимости от напряжения, которое она выражает, дсформативность и, в частности, величина упругих, не пластических (т. с. обратимых) деформаций. Соответствующей им величиной выражается и модуль упругости. В буквенные сходственные выражения уравнений входят подобные и притом инвариантные физические величины как характеристики оптимальных структур вяжущего вещества (матрицы) и качества заполняющего компонента конгломератов. Так, например, по условию доказываемой теоремы прочность конгломерата, А равна: /?_А=/?'(^-)", а прочность конгломерата Б равна:

Понятно, что обе эти формулы являются апостериорными. Однако, исходя из подобия, возможно априори написать, что прочность еще одного конгломерата, например В, будет равна: /?_g=/?" (-f-)* и т. д. Таким образом, в полном согласии с теоремой М. В. Кирпичева «подобные явления описываются буквенно одинаковыми уравнениями» и, следовательно, принятые по условию конгломераты А, Б, В оптимальной структуры геометрически и физически подобны между собой, что и требовалось доказать.

Для доказательства первой теоремы теории ИСК можно воспользоваться и второй теоремой теории подобия, называемой также Пи-теоремой и в свое время доказанной Бэкингемом, Т. А. Афанасьевой и др. В ней при подобии явлений и систем устанавливается связь не только между реальными размерными — именованными — величинами, как по первой теореме М. В. Кирпичева, но и между их безразмерными комбинациями, именуемыми критериями подобия.

В теории ИСК из общей Формулы прочности (и других свойств) следует, что с_л/ф^/?_л/Л' =с_в/ф^Л[,/Л' =…=с/фл/r/R'=с'/ф, где с'/ф выступает как инвариант подобия, а величина с'/фт/л/Л' — как критерий подобия. Все числовые значения являются безразмерными, что полностью удовлетворяет условиям Пи-теоремы, а следовательно, конгломераты, А и Б физически (при ранее отмеченном геометрическом подобии) подобны между собой, что и требовалось доказать.

Для доказательства первой теоремы ИСК можно воспользоваться и третьей теоремой теории подобия, выведенной М. В. Кирпичевым и А. А. Гухманом. Она устанавливает следующие необходимые и достаточные условия для подобия явлений и систем: геометрическое подобие, буквенная одинаковость уравнений (т. е. соблюдение первой теоремы теории подобия). Достаточным условием является равенство определяющих критериев подобия (т. е. вторая теорема теории подобия) или равенство единице критерия подобия, называемого тогда индикатором подобия. Выше показано, что в теории ИСК принят индикатор подобия А, предложенный И. А. Рыбьевым:

При оптимальных структурах А = I и, следовательно, согласно третьей теореме теории подобия, конгломераты (в данном случае конгломераты, А и Б) оптимальных структур подобны между собой, что и требовалось доказать.

Подобие структур сохраняется нс только в данный момент, но и в течение времени, т. е. оно носит временной характер. Следует только обеспечить необходимую долговечность ИСК по его структурным и, следовательно, экстремальным качественным показателям. Временной характер подобия в теории ИСК указывает на технологическое подобие конгломератов оптимальной структуры.

Цементные бетоны, асфальтобетоны, пластмассы, строительные растворы, древесностружечные плиты и т. п. применяют в конструкциях нередко в виде сложных сочетаний в системах, в которых отдельные конгломераты выступают в качестве подсистем. Однако и в этом случае каждый материал в системе должен иметь по возможности свою оптимальную структуру, поскольку тогда обеспечивается наилучшее качество всей конструкции. Согласно теореме В. А. Веникова, если подобны подсистемы, то оказываются подобными и сами системы. Следовательно, материалы оптимальной структуры нс только подобны между собой, но и образуют в целом систему (строительную конструкцию) наилучшего качества, что способствует эффективному решению многих инженерных задач.

Кроме первой теоремы о подобии конгломератов оптимальной структуры, в теории ИСК имеется еще и вторая теорема — о правомерности закона конгруэнции для конгломератов оптимальной структуры, изготовленных не только на общем, но и на основе различных вяжущих веществ. Выше, в 3.2.2, закон конгруэнции сформулирован в его полном объеме, однако его третья часть утверждения осталась недоказанной. Поэтому требуется доказать, что существует обязательное соответствие свойств между конгломератами оптимальной структуры при различных числовых значениях вяжущих веществ, а также показать масштабный критерий подобия в общем уравнении.

Для доказательства написано уравнение прочности конгломерата при первом вяжущем веществе:

То же — для второго вяжущего вещества: =R'₂ /х" ^!. Решая эти два уравнения применительно к первому или второму конгломератам, находится формула (3.3), показанная ранее в 3.2.2. Из той же форму лы (3.3) следует, что масштабным показателем подобия является отношение расчетных характеристик принятых вяжущих веществ, т. е. безразмерная величина, равная (/?]//?,'), или ей обратная. Понятно, что присутствие масштабного показателя не нарушает доказательства первой теоремы о подобии конгломератов оптимальных структур.