Корреляционный анализ детерминированных сигналов

В теории связи корреляционная теория используется при исследовании случайных процессов, позволяя установить связь между корреляционными и спектральными свойствами случайных сигналов. Часто возникает задача обнаружения одного передаваемого сигнала в другом или в помехах. Для надежного обнаружения сигналов и применяется метод корреляции, основанный на корреляционной теории. На практике оказывается полезным анализ характеристики, дающей представление о скорости изменения во времени, а также длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие.

Пусть копия сигнала u (t — т) смещена относительно своего оригинала u (t) на интервал времени т. Для количественной оценки степени отличия (связи) сигнала u (t) и его смещенной копии u (t — т) используют автокорреляционную функцию (АКФ). АКФ показывает степень сходства между сигналом и его сдвинутой копией — чем больше значение АКФ, тем это сходство сильнее.

Для детерминированного сигнала конечной длительности (финитного сигнала) аналитическая запись АКФ представляет собой интеграл вида Формула (2.56) показывает, что при отсутствии сдвига копии относительно сигнала (т = 0) АКФ положительна, максимальна и равна энергии сигнала:

Такая энергия [Дж] выделяется на резисторе с сопротивлением в 1 Ом, если к его выводам подключить некоторое напряжение u (t) [В].

Одним из важнейших свойств АКФ является ее четность: В (т) = В (-т). Действительно, если в выражении (2.56) произвести замену переменной х = t — т, то

Поэтому интеграл (2.56) можно представить в другом виде:

Для периодического сигнала с периодом Г, энергия которого бесконечно велика (поскольку сигнал существует бесконечное время), вычисление АКФ по формуле (2.56) неприемлемо. В этом случае определяют АКФ за период:

Пример 2.3.

Определим АКФ прямоугольного импульса, который имеет амплитуду Е и длительность т_и (рис. 2.24).

Решение

Для импульса вычисления АКФ удобно провести графически. Такое построение показано на рис. 2.24, а — г, где приведены соответственно исходный импульс u (t) = u_t сдвинутая на т его копия м_т(?) = u (t — т) = м_т и их произведение u (f)u (t — т) = uu_v Рассмотрим графическое вычисление интеграла (2.56). Произведение u (t)u (t — т) не равно нулю на интервале времени, когда имеется наложение друг на друга любых частей сигнала и его копии. Как следует из рис. 2.24, этот интервал равен х — т_м, если временной сдвиг копии меньше длительности импульса. В подобных случаях для импульса АКФ определится как В (т) = Е²(т_и — |т|) при временном сдвиге копии на текущее время |т| < т_н. АКФ прямоугольного импульса имеет вид равнобедренного треугольника с основанием в два раза больше длительности импульса и высотой, определяемой энергией сигнала В (0) = = Е²т_и = Э (см. рис. 2.24, г).

Рис. 2.24. Определение АКФ импульса:

а — импульс; 6 — копия; в — произведение сигнала и копии; г — АКФ Часто вводят удобный для анализа и сравнения сигналов числовой параметр — интервал корреляции т_к, аналитически и графически равный ширине основания АКФ. Для данного примера интервал корреляции т_к = 2т_и.

Пример 2.4.

Определим АКФ гармонического (косинусоидального) сигнала u (t) = = t/_mcos (co? + <�р₀) с ненулевой начальной фазой (рис. 2.25, а).

Рис. 2.25. Диаграммы к примеру 2.4:

а — гармонический сигнал; б — АКФ гармонического сигнала.

Решение

Используя формулу (2.57) и обозначив В_п(т) = В (т), находим.

Из этой формулы следует, что АКФ гармонического сигнала тоже является гармонической функцией (рис. 2.25, б) и имеет размерность мощности (В²). Отметим еще один очень важный факт, что вычисленная АКФ не зависит от начальной фазы гармонического сигнала (параметр <�р в полученном выражении отсутствует).

Из проведенного анализа следует важный вывод: АКФ практически любого сигнала не зависит от его фазового спектра. Следовательно, сигналы, амплитудные спектры которых полностью совпадают, а фазовые различаются, будут иметь одинаковую АКФ. Еще одно замечание заключается в том, что по АКФ нельзя восстановить исходный сигнал (опять же вследствие утраты информации о фазе).

Связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала. Пусть импульсный сигнал u (t) имеет спектральную плотность 5(со). Определим АКФ, но формуле (2.56), записав и (С) в виде обратного преобразования Фурье (2.30):

Введя новую переменную х = t — т, из последней формулы получим Здесь интеграл.

есть функция, комплексно-сопряженная спектральной плотности сигнала.

S (cо).

С учетом соотношения (2.59) формула (2.58) примет вид.

Функцию.

1К_и(со) = 5(со)5'(со) = |5(со)|² (2.60).

называют энергетическим спектром (спектральной плотностью энергии) сигнала, показывающим распределение энергии по частоте. Размерность энергетического спектра сигнала соответствует величине IP/со) — [(В²-с)/Гц].

Учитывая соотношение (2.60), окончательно получим выражение для АКФ:

Итак, АКФ сигнала представляет собой обратное преобразование Фурье от его энергетического спектра. Прямое преобразование Фурье от АКФ.

Итак, прямое преобразование Фурье (2.62) АКФ определяет энергетический спектр, а обратное преобразование Фурье энергетического спектра (2.61) — АКФ детерминированного сигнала. Эти результаты важны по двум причинам. Во-первых, исходя из распределения энергии, но спектру становится возможным оценить корреляционные свойства сигналов — чем шире энергетический спектр сигнала, тем меньше интервал корреляции. Соответственно, чем больше интервал корреляции сигнала, тем короче его энергетический спектр. Во-вторых, соотношения (2.61) и (2.62) позволяют экспериментально определить одну из функций по значению другой. Часто удобнее вначале получить АКФ, а затем с помощью прямого преобразования Фурье вычислить энергетический спектр. Этот прием широко применяют при анализе свойств сигналов в реальном масштабе времени, т. е. без временной задержки при его обработке.

Взаимокорреляционная функция двух сигналов. Если надо оценить степень связи между сигналами u_x(t) и u₂(t), то используют взаимокорреляционную функцию (ВКФ).

При т = О ВКФ равна так называемой взаимной энергии двух сигналов

Значение ВКФ не меняется, если вместо задержки второго сигнала u₂(t) рассматривать опережение его первым сигналом и,(?), поэтому.

АКФ является частным случаем ВКФ, если сигналы одинаковы, т. е. u_y(t) = u₂(t) = u (t). В отличие от АКФ ВКФ двух сигналов В₁₂(т) не является четной и необязательно максимальна при т = 0, т. е. при отсутствии временного сдвига сигналов.