Общие свойства систем

Математическая модель систем с разнотемповыми процессами представляет собой систему дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных.

где функции /(•) и ф () соизмеримы по норме в рабочей области пространства состояний.

Обсудим некоторые свойства этой системы, фазовый портрет которой изображен на рис. 9.11.

Рис. 9.11. Пример фазового портрета системы с разнотемповыми процессами.

Как видим, процессы имеют две фазы движения: из произвольных начальных условий к поверхности ср (х, у) = 0 и вдоль нее. Выясним, как соотносятся при этом векторы скорости у и х.

1. Во всем пространстве, кроме окрестности поверхности ср (х, у) = 0, вектор скорости ориентирован почти параллельно координате у. Это означает, что скорость изменения переменных у много выше, чем х. Они связаны следующим приближенным соотношением:

Если изображающая точка системы движется вдоль поверхности <�р (х, у) = О, то скорости изменения переменных будут соизмеримы. В этом нетрудно убедиться. Поскольку в этом случае справедливо условие.

то полная производная функции ф (-) по времени также будет равна нулю, т. е.

Векторы у их связаны конечным соотношением без малых или больших параметров, что и означает их соизмеримость.

Таким образом, при движении из произвольных начальных состояний вначале процесс развивается быстро в силу большей скорости изменения переменной у. При подходе к поверхности ср (х, у) = 0 модуль вектора у уменьшается, а на поверхности у и. Остановятся соизмеримыми, и вдоль нее изображающая точка движется с «нормальной» скоростью.

Интуитивно понятно, что пренебречь быстрыми движениями можно в случае, когда процессы сходятся к поверхности ф (х, у) = 0 за существенно меньшее время, чем полная длительность процессов системы. Конкретные рекомендации на этот счет дает метод разделения движений.