Толстостенная труба из вязкоупругого материала под действием внутреннего давления
В этом решении оставить модуль объемной упругости К и константу со = 2G/(3K), модуль упругости первого рода и коэффициент Пуассона выразить через эти два параметра; Это обстоятельство является благоприятным, так как большинство изотропных полимерных материалов лучше сопротивляются сжимающим напряжениям. Рассмотрим нагруженную внутренним давлением толстостенную трубу, которая вставлена без зазора… Читать ещё >
Толстостенная труба из вязкоупругого материала под действием внутреннего давления (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Рассмотрим нагруженную внутренним давлением толстостенную трубу, которая вставлена без зазора и без «натяга» в тонкостенную цилиндричес;
кую оболочку (рис. 5.17 и 5.18).
Рис. 5.18.
Рис. 5.17
Труба изготовлена из полимерного материала, который в рассматриваемых условиях находится в высокоэластичном состоянии и обладает вязкоу пру г и м и свойствам и.
Физические соотношения примем в форме уравнений (5.12) и (5.13). Объемные деформации упругие, т. е. 0 = /С/стг|).
Механические характеристики полимера заданы кривыми ползучести (рис. 5.19) и модулем объемной упругости К = 1,11 -103 МПа. Функции сдвиговой ползучести и релаксации примем в виде П (?) = П0?", R (t) = R0t~a.
Рис. 5.19.
В результате обработки экспериментальных кривых ползучести были найдены параметры функции сдвиговой ползучести П0 = 334−10'6 МПа, а = 0,258.
Анализ кривых ползучести показывает, что при напряжениях, меньших 4 МПа, наблюдается линейность вязкоупругих свойств полимера.
Найдем параметры функции сдвиговой релаксации. Компоненты девиаторов деформаций и напряжений связаны соотношениями.
Изображения этих функций по Лапласу — Карсону равны Отсюда.
где Г (а + 1) — гамма-функция.
Изображение функции сдвиговой ползучести имеет вид где R0 =
а се оригинал.
sin (rca).
П07га Таким образом, материальные функции и константы полимера внутренней трубы установлены.
Оболочка (наружная труба) также изготовлена из полимерного материала, который находится в стеклообразном состоянии и деформируется, подчиняясь закону Гука. Модуль упругости этого полимера Е0= К)1 МПа.
Перейдем к определению напряженного состояния рассматриваемой конструкции. При решении этой задачи воспользуемся методом интегральных преобразований в сочетании с методом аппроксимаций А. А. Ильюшина.
Как указывалось выше, при решении необходимо:
- • найти решение соответствующей «упругой» задачи;
- • в этом решении оставить модуль объемной упругости К и константу со = 2G/(3K), модуль упругости первого рода и коэффициент Пуассона выразить через эти два параметра;
- • функции, содержащие параметр со, аппроксимировать функциями вида (5.28);
- • записать это решение в изображениях по Лапласу — Карсону, заменив
• найти оригиналы искомых функций, осуществив обратное преобразование.
Реализуем этот алгоритм.
1. «Упругое» решение.
Плоское напряженное состояние толстостенной трубы и радиальные перемещения ее точек при действии равномерного радиального давления определяются формулами (2.23) и (2.24), где а, и — радиальное и окружное напряжения; и — радиальное перемещение; г — текущий радиус (я < r< b — для внутренней трубы и b < г < с — для наружной); ра и рь — внутреннее п наружное давление.
В рассматриваемом случае при действии на составную трубу внутреннего давления на поверхности контакта возникает контактное давление (см. подпараграф 2.6.2), которое можно определить из условия равенства радиальных перемещений точек труб, прилегающих к поверхности контакта, т. е. из уравнения.
Запишем выражения для этих перемещений:
Наружная труба имеет малую толщину свода h = с — Ь, с учетом этого с точностью до бесконечно малых более высокого порядка можно записать Подставляя эти выражения в равенство (5.30), найдем контактное давление:
где т = Ъ/а.
Тогда «упругое» решение задачи по определению напряжений во внутренней трубе имеет вид.
Проведем в этой формуле замены Е = 9Кы/(2 + со) и р = (1 — со)/(2 + со), тогда где.
Аппроксимируем эту функцию функцией вида.
При т = 2 коэффициенты аппроксимирующей функции оказываются равными /1 = 0,074,/1(1> = 0,037, /1 = -0,036.
На рис. 5.20 показаны графики этих функций (сплошная кривая соответствует функции /(со), кружки — функции /1 (со)).
Рис. 5.20.
Как очевидно, аппроксимация вполне удовлетворительная.
Таким образом, решение «упругой» задачи можно записать в виде.
Найдем решение «вязкоупругой» задачи, для чего запишем полученное выражение в изображениях по Лапласу — Карсону:
1 R*
Проведя замену — —* ЗКП, со* —*? —, получим.
Оригиналы искомых функций имеют вид.
На рис. 5.21 показаны эпюры рассчитанных по этим формулам нормальных напряжений во внутренней трубе в различные моменты времени.
Рис. 5.21.
Изменение во времени напряжений при постоянном внутреннем давлении является следствием протекания релаксационных процессов (ползучести и релаксации) в материале трубы.
Важно отметить, что учет вязкоупругих свойств материала дал возможность выявить характерную особенность окружных напряжений: с течением времени они из положительных (растягивающих) становятся отрицательными (сжимающими).
Это обстоятельство является благоприятным, так как большинство изотропных полимерных материалов лучше сопротивляются сжимающим напряжениям.