ΠΠ°ΡΡΠ½ΠΈΠΊ ΡΡΠΊΠΎ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΌΠ΅Ρ
Π°Π½ΠΈΠΊΠ°
Π ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΡ (16.5) ΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΡΠ»Π΅Π½Ρ, Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠΎ Ρ , Ρ, Ρ , Ρ. ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ w = Ρ + iy ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (16.5) ΡΠ°ΠΊ: ΠΠ΄Π΅ΡΡ g = -gez — ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ»Ρ ΡΡΠΆΠ΅ΡΡΠΈ (ΡΡΠΌΠΌΠ° Π³ΡΠ°Π²ΠΈΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ ΠΈΠ½Π΅ΡΡΠΈΠΈ), Π΅2 ΠΎΡΡ ΠΎΡΠΈ Oz, Π = (0, Ocos. ΠΡΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎ Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ΅ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΡΠΈΠ»Ρ ΡΡΠΆΠ΅ΡΡΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ. ΠΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ Π., 2 = sin<οΏ½Ρ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠ°ΡΡΠ½ΠΈΠΊ ΡΡΠΊΠΎ. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠ° (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡ Π² Π½Π΅ΠΈΠ½Π΅ΡΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Oxyz, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ Π²ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉΡΡ ΠΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΉ. ΠΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΡΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²ΡΠ·Π°ΡΡ ΡΡΠΆΠ΅Π»ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠ°Π»Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ°Ρ ΠΊ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΠ½ΠΊΠΎΠΉ Π½ΠΈΡΠΈ, Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΡΠ΅ΠΏΠ»Π΅Π½. ΠΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠΉ ΠΎΠΏΡΡ Π±ΡΠ» Π²ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ ΡΡΠ°Π½ΡΡΠ·ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎΠΌ Π. Π€ΡΠΊΠΎ Π² 1851 Π³., Π² Ρ ΠΎΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΡΡΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π½Π°Π±Π»ΡΠ΄Π°ΡΡ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π²ΡΠ·Π²Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΠ΅ΠΌΠ»ΠΈ.
ΠΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅ΡΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ (ΡΠΎΡΠΊΠ° Π), ΠΎΡΡ Oz Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π° ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ, ΠΎΡΡ ΠΡ — Π½Π° Π²ΠΎΡΡΠΎΠΊ, Π° ΠΎΡΡ ΠΡ — Π½Π° ΡΠ΅Π²Π΅Ρ. ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π½ΠΈΡΠΈ / ΠΈ ΡΠΈΠ»Π° Π΅Π΅ Π½Π°ΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π’ (ΡΠ΅Π°ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ), ΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π² Π½Π΅ΠΈΠ½Π΅ΠΎΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠΉΠΌΠ΅Ρ Π²ΠΈΠ΄.
ΠΠ΄Π΅ΡΡ g = -gez — ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ»Ρ ΡΡΠΆΠ΅ΡΡΠΈ (ΡΡΠΌΠΌΠ° Π³ΡΠ°Π²ΠΈΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ ΠΈΠ½Π΅ΡΡΠΈΠΈ), Π΅2 ΠΎΡΡ ΠΎΡΠΈ Oz, Π = (0, Ocos.
Ρ% z) — ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Ρ Π³= /. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (16.1) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ = -/Π΅7, Π’mg. ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠ°ΡΡΠ½ΠΈΠΊ Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΏΠΎ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ.
ΠΡΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎ Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ΅ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΡΠΈΠ»Ρ ΡΡΠΆΠ΅ΡΡΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ.
ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠΈΠ»Π° ΠΈΠ½Π΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΠΎΡΠΈΠΎΠ»ΠΈΡΠ° ΠΈ ΡΠ΅Π°ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Π½Π΅ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ . Π ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡ Ρ = Ρ= 0, z = -/ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ° z = -^/2 — Ρ 2 — Ρ2 > ΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (16.2) ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ h ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ -mgl + Π΅. ΠΠ· ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° (16.3) ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Ρ , Ρ, Ρ , Ρ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΌΠ°Π»Ρ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ Π΅, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΠ°Π»Π°. Π‘ΡΠΈΡΠ°Ρ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ°Π»ΡΠΌΠΈ Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠΌΡΡΠ»Π΅, ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ (16.1) ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ»Π΅Π½Ρ, Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠΎ Ρ , Ρ, Ρ , Ρ.
ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (16.1) Π½Π° ΠΎΡΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Oxyz, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ.
ΠΠ· ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (16.4) ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π’Π° mg Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π΄ΠΎ ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Ρ , Ρ, Ρ , Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ Π΄Π²Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (16.4). Π ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ Π΄Π²Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (16.4) Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.
Π ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΡ (16.5) ΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΡΠ»Π΅Π½Ρ, Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠΎ Ρ , Ρ, Ρ , Ρ. ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ w = Ρ + iy ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (16.5) ΡΠ°ΠΊ:
Π₯Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ Π., 2 = sin<οΏ½Ρ ± ΠΊΠΎ, Π³Π΄Π΅ ΡΠΎ2 = gl~l + ?i2 sin2 <οΏ½Ρ. ΠΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (16.6).
Π³Π΄Π΅ Π‘), Π‘*2 — ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠ΅, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠ°ΠΊΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΡ Ρ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π»ΠΈΠΏΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡfisincp.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π΄Π²Π° ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ.
Π°) ΠΡΡΡΡ ΠΈ>(0) = 0, ii0) = Ρ0 . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π‘, = 0, Π‘2 = toΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π ΠΈΡ. 27.
Π±) ΠΡΡΡΡ u>(0) = iv0, w (0) = 0. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°.
Π’ΡΠ°Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π² ΡΡΠΈΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Ρ Π½Π° ΡΠΈΡ. 27.
ΠΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π€ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΈ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠ°ΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ Π‘2 sirup. ΠΡΡΠ΅ΠΊΡ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΈ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π° ΡΠΊΠ²Π°ΡΠΎΡΠ΅ ΠΠ΅ΠΌΠ»ΠΈ.