Линейный и нелинейный коды

Если избыточные символы кодовой комбинации (кодовой последовательности) образуются путем применения к информационным символам некоторых линейных операций, код называют линейным. В противном случае получается нелинейный код. Как линейные, так и нелинейные коды образуют обширные классы, содержащие много различных конкретных видов помехоустойчивых кодов. Среди линейных блочных кодов наибольшее значение в практике кодирования имеют коды с одной проверкой на четность, М-коды (симплексные), ортогональные, биортогональные, Хемминга, БЧХ (названные по первым буквам имени ученых Боуза, Чоудхури и Хоквингсма), Голея, Рида — Соломона (РС-коды).

Линейные коды отличаются от нелинейных замкнутостью кодового множества относительно некоторого линейного оператора, например сложения или умножения слов кода, рассматриваемых как векторы пространства, состоящего из кодовых слов — векторов. Линейность кода означает, что каждый символ этого кода может быть линейно выражен через другие символы, что упрощает его построение и реализацию. При большой длине слов практически могут быть использованы только линейные коды. Вместе с тем часто нелинейные коды обладают лучшими параметрами по сравнению с линейными. Для относительно коротких кодов сложность построения и реализации линейных и нелинейных кодов примерно одинакова. Почти все схемы кодирования, применяемые на практике, основаны на линейных кодах. Двойные линейные блоковые коды часто называют групповыми кодами, поскольку кодовые слова образуют математическую структуру, называемую группой.