Все ли лебеди белые?

В процитированной ранее статье К. Поппер приводит еще один парадокс, направленный против вероятностной интерпретации индукции^[1].

Пусть Е = «Все лебеди в Австрии белые», Я, = «Все лебеди белые» (индуктивное обобщение), Я₂ = «Все лебеди, за исключением лебедей в Австрии, зеленые» (антииндуктивное обобщение). Формулируется теорема:

Согласно ей свидетельство Е индуктивно иррелевантно, т. е. никак не влияет на отношение апостериорных и априорных вероятностей индуктивной и антииндуктивной гипотез.

Равенство (1) истинно, если и только если выполняется.

Из (2) следует, что К. Поппер, защищая равенство (1), мог исходить либо из допущения.

либо из допущения.

В соответствии с (3) свидетельство Есообщает обеим гипотезам равное правдоподобие, значение которого меньше 1 и больше 0. В индуктивном познании подобная ситуация возможна, но она малоинтересна с методологической точки зрения. Ведь если некоторая гипотеза и ее альтернатива равным образом правдоподобны, значит не достигнута главная цель индуктивного обобщения: не найдена гипотеза, дающая лучшее объяснение, чем все ее альтернативы.

Рассматриваемый случай свидетельствует, однако, о том, что Поппер стремится доказать иной тезис. По его мнению, гипотезы с разными объяснительными способностями могут иметь равную высшую степень правдоподобия. Последнее возможно, если истинно как Я,+ ?, так и Я₂+ Е. Таким образом, К. Поппер отстаивает допущение (4), а не допущение (3). Но подтверждает ли оно пример с лебедями?

Рассмотрим гипотезу Я₂, так как для Я, выполнение условия Я, + Е очевидно. Пусть утверждение —Е = «Все неавстрийские лебеди зеленые» — обозначает отрицание свидетельства Е. Получается:

и Стало быть:

Из (5) следует, что условие Я₂1- ?и тем самым условие Р (Н₂ & Е) = 1 не выполняется. Равенство (7) позволяет вычислять правдоподобия гипотез в подобных случаях.

Допустим, общее число лебедей равно 1000, причем 100 из них находятся в Австрии. Пусть Р (Я,) = 0,6 и Р (Н₂) = 0,4. Сформулируем три следующих свидетельства:

• ?, = «Все 100 лебедей в Австрии белые».
• ?₂ = «Все 100 лебедей в Австрии белые и 1 неавстрийский лебедь также белый».
• ?₃ = «Все 100 лебедей в Австрии белые и 1 неавстрийский лебедь зеленый».

Результаты вычислений показывают, что:

Согласно (8) априорные шансы индуктивной гипотезы Я, расцениваются как 3:2. Свидетельство ?, увеличивает их до 15:1, а ?₂ делает их максимальными (соответственно шансы Я₂ нулевыми). Свидетельство.

Еу наоборот, лишает гипотезу Я, всяческих шансов быть истинным индуктивным обобщением (и увеличивает шансы Я₂ до максимума). Это означает, вопреки доказательствам К. Поппера, что различные свидетельства изменяют вероятности и шансы гипотез, и нет никаких формальных оснований считать теорию вероятностей непригодной для анализа проблемы индукции.

• [1] Popper К. Указ. соч. Р. 252.