Исследование колебаний предварительно напряжённых пластин

Развитие современной техники и, в частности, строительной техники выдвигает повышенные требования к исследованиям в области механики деформируемого твердого тела. Необходимо развитие более достоверных представлений о деформационных и механических свойствах материалов при различных режимах их эксплуатации.

Законы внутреннего развития фундаментальных исследований в механике деформируемого твердого тела выявили тенденции к возможно более полному учёту механических и физических свойств исследуемых материалов, эффектов взаимосвязи деформационных полей. Среди всех перечисленных факторов одно из ведущих мест занимают проблемы теоретического и экспериментального анализа волновых и колебательных процессов в деформируемых средах и в частности плоских элементах строительных конструкций различного назначения. Частным их случаем являются пластинки.

Пластины, как плоские элементы конструкций, постоянно имеют широкое применение в различных областях техники и строительства. Это объясняется тем, что тонкостенным конструкциям присущи легкость и рациональность форм, высокая несущая способность, экономичность и хорошая технологичность. Огромный размах промышленного и жилищного строительства приводит к необходимости дальнейшего развития положений строительной науки. Одним из таких вопросов является вопрос расчета колебаний ограниченных в плане плоских конструкций. Поэтому развитие и уточнение теорий колебания пластин, а также точная формулировка краевых задач для этих теорий, является одним из актуальнейших разделов прикладной теории упругости.

Отметим, что многие уточненные теории поперечных колебаний пластин основываются на ряде допущений и гипотез физического и геометрического характера, в ряде случаев не согласующихся между собой, а также отсутствует строгое обоснование начальных и граничных условий. В силу этого анализ полученных в диссертационной работе граничных условий, при решении краевых задач о колебаниях прямоугольных в плане пластин и сравнительный анализ полученных решений для различных видов уравнений колебания (т.е. для различных теорий колебания) является весьма актуальной темой для научного поиска, имеющей несомненный практический интерес.

Поведение подобных конструкций при статических нагрузках достаточно хорошо изучено. Изучение поведения этих конструкций при динамических нагрузках еще далеки от завершения, а, как показали классические работы российских и зарубежных ученых, поведение, например, слоистых конструкций при динамических воздействиях может существенно отличаться от их поведения при статических нагрузках.

Основной вклад в развитие математических методов решения динамических задач теории упругости и вязкоупругости внесли ученые: Ж. Д. Ахенбах, В. В. Болотин, Б. Ф. Власов, В. З. Власов, Э. И. Григолюк,.

A.A. Ильюшин, В. А. Ильичев, Б. Г. Коренев, Г. Кольский, Р. Кристенсен,.

B.Д. Кубенко, H.H. Леонтьев, А. Ляв, Н. П. Огибалов, О. Д. Ониашвили, Г. И. Петрашень, Г. И. Пшеничнов, Х. А. Рахматулин, Д. В. Релей,.

A.Р. Ржаницын, И. Т. Селезов, В. И. Смирнов, И. Г. Филиппов и другие. Видное место в литературе занимают публикации, связанные с широким анализом таких физических факторов, как анизотропия, неоднородность и вязкость. Эти вопросы исследовались в работах: С. А. Амбарцумяна,.

B.И. Андреева, Е. Ф. Бурмистрова, Г. С. Варданяна, О. О. Егорычева, Г. Б. Колчина, C.B. Кузнецова, С. Г. Лехницкого, В. И. Митчел, С. Г. Михлина, П. Теодореску, Д. Я. Шерман и многих других.

Наряду с этим широко применяются численные методы решения, что отражено в работах: В. А. Андреева, И. А. Бригера, Я. М. Григоренко, В. А. Ломакина, Н. Д. Покровской, A.M. Проценко, В. И. Соломина, P.A. Хечумова, H.H. Шапошникова и многих других.

Теоретические и экспериментальные исследования в области динамики элементов конструкций и сооружений, связаны с работами таких ученых, как Л. Я. Айнола, А. Я. Александров, A.A. Амосов, В. В. Болотин, Н. М. Бородачев, JI.M. Бриховский, Г. С. Варданян, В. З. Власов, М. А. Дашевский, O.A. Егорычев, Г. Каудерер, Б. Г. Коренев, Г. Б. Муравский, JI.B. Никитин, Ю. Н. Новичков, В. В. Найвельт, У. К. Нигул, H.A. Николаенко, И. Н. Преображенский, В. Д. Райзер, А. Е. Саргсян, Д. Н. Соболев, С. П. Тимошенко, Я. С. Уфлянд, Г. Л. Хесин, А. И. Цейтлин, Г. Э. Шаблинский, Т. Ш. Ширенкулов и многие другие.

Вопросы распространения волн в упругих и вязкоупругих средах изучались в работах многих ученых: Д. Бленд, А. Н. Гузь, В. Д. Кубенко, Р. Д. Миндлин, Г. И. Петрашень, С. Б. Смирнов, А. Я. Сагомонян, Л. И. Слепян, Х. Р. Рахматулин, И. Г. Филиппов, Г. Л. Хесин, Я. С. Уфлянд и многие другие.

Математическая сложность динамических задач в механике деформируемого тела, исследуемых методами математической физики, обусловлена рядом причин, такими как свойства материалов, так и геометрическими особенностями механических систем.

Проблемам вывода уравнений поперечных колебаний пластин и методам их решения посвящены работы большого числа авторов.

Леонард Эйлер одним из первых рассмотрел проблему изгиба тонкой упругой пластины применительно к ее колебаниям, представляя поверхность пластины системой упругих ортогональных нитей, обладающей поперечной инерцией. Е. Хладни своими исследованиями в области акустики дал толчок к развитию теории колебания пластин. Якоб Бернулли исследовал малый поперечный изгиб пластины, рассматривая ее уже не как систему нитей, а как систему балок.

Уравнения изгиба упругих тонких пластин, нагруженных поперечной нагрузкой, с учётом растягивающих усилий в срединной поверхности выводили Ж. Лагранж и С. Пуассон. Они основывались на представлении о молекулярном строении пластин, предполагая, что молекулярные силы пропорциональны изменению расстояния между молекулами. В1829 году С. Пуассон дал теорию колебания осесимметричных круглых пластин на основе уравнений Л. Навье теории упругости.

Классическая теория изгибных колебаний пластин была наиболее полно развита Г. Кирхгофом.

Густав Кирхгоф в статье «О равновесии и движении упругой пластины» [133] оспорил поставленные С. Пуассоном граничные условия и с помощью принципа возможных перемещений получил дифференциальные уравнения изгиба пластины в форме Ж. Лагранжа и С. Пуассона, но с другими граничными условиями. Его метод основан на двух допущениях: 1) что линейные элементы, которые до деформации перпендикулярны к срединной плоскости, остаются прямолинейными и нормальными к искривленной срединной поверхности после деформации, 2) что элементы срединной плоскости не подвергаются растяжению. Он нашел, что усилия для поперечной силы и крутящего момента объединяются одним условием.

В.Томпсон (Кельвин) и П. Тэт дали геометрическую интерпретацию результата Г. Кирхгофа, указывая, что три условия (для поперечной силы, изгибающего и крутящего моментов) С. Пуассона выполняются только для толстой пластины, а для тонкой пластины должны выполняться два условия Г. Кирхгофа (для обобщенной поперечной силы и изгибающего момента).

На основе этих предположений Г. Кирхгоф вывел уравнение поперечных колебаний безграничной в плане пластины 4-го порядка по линейным координатам и 2-го порядка по производным по времени. Это уравнение параболического типа и, как отмечалось многими авторами, удовлетворяет только медленно протекающим низкочастотным процессам.

Существенным уточнением уравнения поперечных колебаний Кирхгофа является уравнение, полученное Уфляндом [113] на основе модели Тимошенко, в которой (применительно к пластинкам) полагается, что элемент первоначально прямолинейный и нормальный к срединной плоскости пластины, остается и после деформации прямолинейным, однако угол его наклона к срединной плоскости пластины может быть отличен от прямого. Уравнение, полученное Уфляндом, является гиперболическим уравнением (в отличие от уравнения Кирхгофа) 4-го порядка по производным по линейным координатам и по времени, описывает распространение не одного, как у Кирхгофа, а двух типов волн с дисперсией, которые оказались связанными.

Б.Ф. Власов [16] построил теорию статического изгиба пластин с учётом искривления первоначально прямолинейного и нормального к срединной плоскости пластины элемента пластины после деформирования. Им были выведены следующие гипотезы: а) прямолинейный элемент пластины, нормальный к срединной поверхности до деформации, в процессе деформации искривляется так, что сдвиги по толщине пластины изменяются по параболическому законуб) напряжённое состояние пластины аппроксимируется системой изгибающих и крутящих моментов и перерезывающих сил.

В работе ЕЛ. ВгипеПе [129] дано простое обобщение уравнения Тимошенко, на случай трансверсально-изотропной пластины, имеющей начальные прогибы и подверженной действию постоянных сил Их, Иу, в срединной поверхности. Предполагается, что пластина имеет конечные модули поперечного сдвига, углы сдвига и постоянные по толщине, а продольные перемещения линейны по поперечной координате. В результате получено уравнение поперечных колебаний гиперболического вида типа Тимошенко с добавочными членами в правой части, соответствующими учёту предварительного прогиба.

Одним из основных методов построения приближённых уравнений (аппроксимаций) теории пластин является метод степенных рядов, впервые примененный еще в работах Коши и Пуассона [135]. С помощью этого метода трёхмерная задача динамической теории упругости приводится к приближённой двухмерной.

— 9 В динамике пластин метод степенных рядов применял И. Г. Селезов [99]. На основе предположения о том, что изменение механического поля в зависимости от координат характеризуется некоторым параметром /, который значительно больше толщины пластины 2/г, делается заключение о том, что все линейные размеры по координате 2 малы и, таким образом, становится возможным представление векторов перемещения и, V, и м> в виде степенных рядов по малому параметру г. Подставляя эти ряды в граничные условия на боковых гранях пластины и в уравнения движения, делая ряд дополнительных предположений, получают уравнения поперечных колебаний. Оно содержит бесконечные производные по координатам и времени, удерживая то или иное их число можно получить аппроксимации возрастающего порядка.

Впоследствии Г. И. Петрашень [84] дал математическое обоснование метода степенных рядов на примере динамической задачи о слое в случае плоской деформации. Обоснование заключается в том, что строго показана применимость этого метода для задач, принадлежащих к классу функций, пред ставимых в виде: о — (/) где (I) — разомкнутый контур на комплексной плоскости, прилегающий справа к участку мнимой оси (-¿-у0/, <у0/) .

Сначала доказывается, что бесконечные ряды, которыми представляются компоненты вектора перемещений, приводят к точному решению. Затем оценивается погрешность при усечении рядов. Если обозначить через с1 допустимую относительную погрешность, то для к0 и со0 имеем: 2 т г~г 2 т.

Ко~-лМ п Ьп где т — номер члена ряда, Ь — скорость поперечной волны.

С увеличением т и уменьшением И пределы применимости расширяются. При малых т, как раз и представляющих практический интерес, внешние нагрузки должны достаточно плавно изменяться по х и I, т. е. задачи о концентрированных нагрузках заведомо нельзя изучать с помощью этого метода. В силу вышеизложенного вопрос о применимости результатов получаемых посредством использования метода степенных рядов должен оговариваться в каждом конкретном случае.

Несмотря на наличие большого числа новых уточненных теорий поперечных колебаний пластин, до недавнего времени при расчете пластин применялись классические теории, основанные на гипотезах Кирхгофа. Это объяснялось тем, что в теориях, на основе которых получаются уравнения колебаний гиперболического типа, которые содержат производные по времени 4-го и более высоких порядков, отсутствует четкий подход к формулированию необходимого числа начальных и граничных условий. В этом отношении в более выгодном положении находится теория построения уравнения колебания, основанная на математическом подходе, который наибольшее развитие получил в работах Филиппова И. Г. [121]. Этот подход отличает относительная свобода от большого числа предварительных гипотез, а также тот факт, что для уравнений колебаний любого порядка по производным по времени и по координатам, полученных на основе этого метода, предложена методика однозначного формулирования начальных и граничных условий, исходя из классических.

Как отмечалось ранее, при расчете пластин чаще всего применяются уравнения, основанные на гипотезах Кирхгофа. При этом точное аналитическое решение задачи о собственных колебаниях пластины существует только для шарнирно опёртой по всему контуру пластины. Однако существуют и приближённые решения этой задачи, так, например, Галин М. П. [23] для решения выше поставленной задачи применяет приближённый метод Галеркина и получает решение мало отличное от точного.

Задача об определении частот и форм собственных колебаний защемленной по контуру (жёстко заделанной) прямоугольной пластины не поддается решению в аналитической форме и может быть решена лишь приближёнными методами. Чаще всего формы собственных колебаний ищутся в виде произведения балочных функций, соответствующих балке с защемленными концами [11].

Если пластина свободна по контуру, то граничные условия принимаются в виде: d2w d2w d3w, ч d3w, А, >.

— + v—г = —- + (2 — v)-7 = 0 (х = 0,/,) дх ду дх3 V Jdxdy2 V х) d2w d2w d3w (r. ч d3w A (^, ч.

3x ЭуЭх (1.1) где v — коэффициент Пуассона, w — прогиб.

В работах Филиппова И. Г. и Егорычева О. О. получены новые граничные условия на свободном крае при х = const: р d2W ^ d2W | 7 -4v d2W.

M dt2 ~ ду2 + 3 — 2v дх2 = 0 ax3.

Первое условие (1.2) учитывает динамическую деформируемость свободного края, в этом условии появляется инерционный член.

Если край x=lj прямоугольной пластины жёстко соединён с поддерживающей его балкой, то прогиб на этом крае будет равен не нулю, а прогибу балки и потому угол поворота края равен углу закручивания балки.

Тогда граничные условия на упруго заделанном крае имеют вид:

В —т =И—7 гН> Яг Яг2 дМ ^ д [д2м> д д2м?

1.3) ду ^ дхду) ^ дх где В — жёсткость балки при изгибе, С — жёсткость балки при кручении, Б — цилиндрическая жёсткость пластины.

В некоторых работах предлагаются граничные условия на упруго заделанном крае пластинки при х=1] в виде:

Из которого видно, что при к=0 получаем граничные условия на краю пластины жёстко заделанной, а при к=1 шарнирно опёртой.

Из анализа граничных условий (1.3) и (1.4) видно, что они отражают действительность в основном для стационарных задач. Их применение к динамическим задачам не всегда возможно, т.к. они не содержат инерционного члена.

При этом из граничных условий (1.4) невозможно получить граничные условия на свободном крае, что, вообще говоря, представляется сомнительным.

А так же получены новые граничные условия упругого соединения с пластинкой из другого материала, при этом сопричастные пластинки взаимно перпендикулярны.

Параметры горизонтальной пластины обозначим индексом «1», а вертикальной пластины индексом «2» .

1.4).

1.6).

1.5).

В том случае, если вертикальная пластинка отсутствует, то из условий (1.5) получаем граничное условие для края, свободного от напряжений. Если же вертикальная пластинка является жёстким телом, то получаем граничные условия для края пластинки, находящейся в условиях жёсткого закрепления. Заметим так же, что из условий упругой заделки невозможно получить условия шарнирного закрепления.

Широкое применение получил асимптотический метод в расчете пластин на колебания, разработанный Болотиным В. В. [10].

Согласно этому методу асимптотическое решение для форм свободных колебаний выражается в виде суммы внутреннего решения и поправочных решений, которые называются динамическими краевыми эффектами. Для каждой границы тела строят решения, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям и условиям на соответствующей границе. Число таких выражений равно числу границ. Затем полученные решения склеивают. Эта процедура аналогична склеиванию моментных и без моментных решений в теории оболочек или склеиванию вязких и невязких решений в гидродинамике. Вообще говоря, это склеивание может быть выполнено только приближённо. Чем быстрее затухают краевые эффекты, тем меньше ошибка асимптотического решения. Процедура склеивания позволяет получить систему трансцендентных уравнений для параметров, определяющих как внутреннее решение, так и краевые эффекты. Затем может быть получено асимптотическое выражение для собственных частот. Что касается асимптотического выражения для свободных форм, то оно может быть построено для всей области, исключая окрестности углов и ребер. Это типично и для других методов, использующих идею краевого эффекта.

Следует заметить, что выше указанным приближённым методом следует пользоваться для задач, когда граничные условия отличны от краевых условий Навье, т.к. решение, удовлетворяющее основному уравнению движения, одновременно удовлетворяет и краевым условиям.

— 14 В настоящей работе используется новый приближённый метод, метод декомпозиций, предложенный для решения статических задач Пшеничновым Г. И. [89] и переработанный Филипповым И. Г. и Егорычевым О. О. [36] для динамических задач. Используется также новый аналитический метод, приводящий к трансцендентным частотным уравнениям, после анализа которых преобразуется к алгебраическим частотным уравнениям.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы.

— 112-ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. На основе математического подхода к задаче о колебаниях упругих и вязкоупругих ограниченных средах плоских элементов (типа пластин) поставлена задача о выводе общих уравнений колебаний предварительно напряжённой трансверсально-изотропной однородной пластины.

2. Получены общие уравнения поперечных колебаний ограниченных пластин, и затем получены приближенные уравнения поперечных колебаний конечного порядка.

3. Получены общие уравнения продольных колебаний ограниченных пластин и сформулированы приближенные уравнения конечного порядка.

4. Определена сходимость функциональных рядов, входящих в уравнения колебания, найден ряд сходимости.

5. Из анализа выполненных в диссертационной работе теоретических и прикладных задач и их решений выявлены новые механические эффекты. В частности, можно сделать выводы:

— используя при решении задачи о собственных колебаниях пластин приближённое уравнение четвертого порядка относительно производной по времени, получаем две частоты, зависящие от коэффициента Пуассонав отличие от уравнения колебаний Кирхгофа, при этом всегда, при любых граничных условиях, значения частот, полученных из уравнения Кирхгофа всегда больше первой частоты, определяемой вновь полученными уравнениями;

— величина численного значения частот, в первую очередь, зависит от граничных условий, так численное значение частоты для пластины жёстко закреплённой по контуру всегда выше частот, определяемых другими граничными условиями;

— используя новые представления граничных условий для свободного края, или края закреплённого упруго, значительно отличается количеством частот, если эти граничные условия записаны в классическом видетак, например, при выводе частотного уравнения колебания пластины, три края которой свободны, а четвёртый упруго закреплён, для классических граничных условий получаем частотное уравнение четвёртого порядка, а для новых граничных условий двенадцатого;

— при решении эквивалентных задач о собственных колебаниях всегда значения частот выше, если пластина предварительно напряжена по отношению к ненапряжённой пластине.

6. Получены аналитические решения задач о вынужденных колебаниях пластины.

7. Выведенные формулы для определения значений частот свободных поперечных колебаний предварительно напряженной пластины постоянной толщины для различных видов закреплений, удобны для практического использования и могут быть применены для расчета строительных и других инженерных конструкций.

— 114.