Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Краевые задачи для уравнений теории упругости с условиями типа неравенств на границе

Диссертация: Краевые задачи для уравнений теории упругости с условиями типа неравенств на границе
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В последнее время развитие получили методы, приводящие задачи теории упругости к вариационным и квазивариационным неравенствам. Впервые в отечественной математике теорию вариационных неравенств к теории упрз-тости применил А. С. Кравчук. В его статье приведен пример постановки контактных задач для нескольких тел как задач линейного программирования. Известно множество работ и других авторов, как… Читать ещё >

Содержание

  • ГЛАВА I. Задача о равновесии трехмерного упругого тела, имеющего трещину
    • 1. Постановка задачи
    • 2. Существование решения
    • 3. Краевые условия на внутренней границе
    • 4. Гладкость решений
  • ГЛАВА II. Равновесие трехмерного вязкоупругого тела с трещиной
    • 1. Разрешимость задачи равновесия
    • 2. Регулярность решений по временной переменной
    • 3. Краевые условия на внутренней границе
    • 4. Эквивалентная постановка задачи
    • 5. Задача оптимального управления
    • 6. Исследование гладкости решений
  • ГЛАВА III. Контактные задачи для пластин с трещинами
    • 1. Задача о контакте двух вязкоупругих пластин, одна из которых имеет трещину
      • 1. 1. Постановка задачи. Существование решения
      • 1. 2. Существование производной по временной переменной
      • 1. 3. Вывод полной системы краевых условий
      • 1. 4. Дифференциальная постановка задачи
      • 1. 5. Задача о минимизации объема трещины
      • 1. 6. Исследование гладкости решений
    • 2. О равновесии упругой пластины с трещиной, контактирующей с жестким штампом
      • 2. 1. Разрешимость задачи равновесия
      • 2. 2. Гладкость решений
    • 3. АК Л Ю ЧЕНИЕ

Краевые задачи для уравнений теории упругости с условиями типа неравенств на границе (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Краевые задачи — одна из тех областей математической науки, которые имеют наиболее тесную связь с реальными объектами. Моделирование природных процессов в виде краевых задач не только быстро находит приложение на практике, но и нередко бывает вызвано требованиями науки и техники на текущий момент.

В данной диссертации изучаются краевые задачи в областях с негладкими границами в приложении к теории упругости и, в частности, к проблемам теории трещин. При использовании математического аппарата в теории трещин краевая задача рассматривается в области, которую занимает тело. При этом граница этой области состоит из поверхности, которая ограничивает тело и поверхности, определяющей форму трещины. Считается, что трещина имеет два берега. Следовательно, задавать краевые условия необходимо не только на внешней границе (условия закрепления, опоры и т. д.), но и на части границы, соответствующей берегам трещины.

Классический подход к задачам о трещинах предполагает задание на ее берегах значений функции перемещений точек тела или компонент тензора напряжений [29, 46, 79−82, 93−100, 119−121]. Эти условия записываются в виде равенств аг]п] = /г на 3 или гч = д-г на 5, где щ — компоненты вектора перемещенийи^ - компоненты тензора напряжений- 51 — поверхность, задающая трещину, п — нормаль к поверхности 5- /?, д{ - заданные функции.

Задачи теории трещин с краевыми условиями в виде равенств на берегах широко изучены в механике. Для их исследования и решения разработаны различные математические методы. К классическим подходам можно отнести применение аппарата теории функций комплексного переменного. Подробному изложению такого подхода посвящены труды Н. И. Мусхелишвили, Г. П. Черепанова, В. З. Партона и др. [43, 63, 81, 82, 100, 107, 119−121]. Исследования в этой области направлены на изучение концентрации напряжений в окрестности кончика трещины, получение критерия начала распространения трещины и вывод формулы для интенсивности напряжений [29].

Также интенсивно используются методы интегральных уравнений для широкого класса задач теории упругости. Интегральные уравнения и их применение к решению пространственных задач теории трещин описаны в работах [3, 33, 99, 130]. После сведения задач к интегральным уравнениям становится возможным использование численных методов решения.

Для решения некоторых интегральных уравнений Винер и Хопф предложили метод, основанный на идее факторизации. С техникой применения этого способа можно познакомиться, например, в [133].

Поскольку наличие трещины нарушает гладкость границы рассматриваемой области, то отсюда вытекают сложности моделирования задач теории упругости. Например, определение напряженно — деформированного состояния в окрестности нерегулярных точек для нелинейных задач связано с существенными математическими трудностями. Дж. Райсом был предложен метод приближенного анализа физически нелинейных задач о концентрации напряжений вблизи нерегулярных точек, основанный на введении некоторого криволинейного интеграла, не зависящего от пути интегрирования и окружающего сингулярную точку [103, 132]. Впоследствии этот метод был усовершенствован и различные его модификации в приложениях к конкретным задачам описаны в работах [130, 150−152].

Теория потенциалов, используемая в теории упругости и изложенная в монографии В. Д. Купрадзе [66], также получила применение к задачам теории трещин [22, 46]. Метод потенциала для плоской задачи рассмотрен в [34].

Широкое распространение при решении задач о трещинах получил и метод конечных элементов. Применение этого метода подробно описано в работе [79].

Краевыми задачами для эллиптических операторов в областях с негладкими границами занимались С. А. Назаров, В. Г. Мазья, Б.А. Пла-меневский [2, 22, 25, 28, 54, 72, 73, 75, 76, 83, 86−90]. В этих работах получены результаты для областей коническими, угловыми точками, с ребрами и остриями. В статьях [41, 55 — 60, 123] изучено поведение обобщенных решений эллиптических уравнений вблизи границы и исследованы вопросы гладкости решений в окрестности сингулярных точек, исследования эллиптических задач проводились также в [1, 5, 6, 44, 64, 67, 91, 105, 125, 129, 135, 147]. Асимптотика решений вблизи вершины трещины для эллиптических уравнений исследованы в работах [72 — 74].

Таким образом, вышеуказанные методы широко используются для исследования краевых задач в классической постановке с граничными условиями в виде равенств на берегах трещины.

В теории упругости часто используются и вариационные принципы [16, 19, 24, 78, 104, 122]. В частности, задача равновесия упругого тела может быть поставлена как задача минимизации функционала потенциальной энергии. Таким образом, краевой задаче ставится в соответствие некоторая вариационная и обратно, любое гладкое решение вариационной задачи есть решение краевой. Отметим также вариационный подход к теории трещин для вязкоупругого случая в [80].

Кроме перечисленных, рассматривались и обратные задачи. Например, в [14] приведена задача об определении формы криволинейной трещины, близкой к прямой.

В последнее время развитие получили методы, приводящие задачи теории упругости к вариационным и квазивариационным неравенствам. Впервые в отечественной математике теорию вариационных неравенств к теории упрз-тости применил А. С. Кравчук. В его статье [65] приведен пример постановки контактных задач для нескольких тел как задач линейного программирования. Известно множество работ и других авторов, как отечественных, так и зарубежных, работавших в этом направлении [13, 31, 48, 85, 92, 112, 131]. Способы и формулировки задач в виде вариационных неравенств в каждом случае различны. В большинстве работ сведение к ним вызвано нелинейностью задачи. Нелинейность может быть связана с видом целевого функционала в задаче равновесия или нелинейными граничными условиями. Исследование дифференциальных свойств слабого решения вариационных неравенств — вопрос тонкий. Действительно, нельзя, например, ожидать гладкой стыковки решения на части границы, являющейся берегами трещины. Для таких задач характерны пороги гладкости. Таких общих результатов, как разрешимость и теоремы о регулярности решений для вариационных неравенств нет. Способы доказательств регулярности решений вариационных неравенств (в пределах, допустимых порогом гладкости) обусловлены конкретным видом ограничений. Гладкость решений вариационных неравенств изучалась в [9−13, 114−118, 128, 134, 136−141, 144−146, 148]. Вопрос выбора экстремальных форм разрезов в пластинах исследован в [116]. Задачи оптимального управления вариационными неравенствами рассматривались в [115, 117, 126]. Также разработаны специальные методы для численного исследования вариационных неравенств [32, 49−53, 142, 143].

Примеры вариационных задач, эквивалентных краевым, и их физическую интерпретацию можно найти, например, в [13, 40, 65, 151]. В частности, для задачи Синьорини в [13] найдена система краевых условий, представляющих собой совокупность уравнений и неравенств, а также доказана эквивалентность вариационного неравенства краевой задаче. Исследование этой задачи, необходимое и достаточное условие существования ее решения изучены также в [111].

Для краевых задач, описывающих равновесие упругих пластин с трещинами, А. М. Хлудневым было предложено краевое условие, имеющее вид неравенства.

Здесь И7, w — функции, задающие горизонтальные и вертикальные перемещения точек срединной поверхности пластиныквадратные скобки обозначают скачок функции на берегах трещиныГс — кривая, определяющая форму трещиныv — нормаль к Гс- 2t — толщина пластины. Эти условия интерпретируются как взаимное непроникание берегов трещины для линейной модели упругой пластины. Постановка краевой задачи с граничными условиями такого вида является более точной, поскольку случай проникания берегов друг в друга исключается заранее. Наличие краевых условий типа неравенств приводит к использованию вариационного неравенства в качестве эквивалентной постановки. В работах [114−118, 137−141] рассмотрены задачи для упругих и неупругих тел, имеющих трещины, исследованы свойства регулярности решений, выведены полные системы краевых условий, выполняющихся на берегах трещины. В статьях [115, 117, 137] исследована сходимость при? —" 0 и доказано, что задачи с краевым условием (1) сходятся при е —> 0 к решению задачи с условием вида.

Условие (2) не учитывает толщину пластины и дает приближенное описание условия непроникания между берегами трещины по сравнению с (1).

Численные исследования вариационных неравенств для задач с условиями непроникания приведены в [49−53, 142−143]. .

1).

1Г], х >0 на Гс.

2).

В настоящей работе рассматриваются краевые задачи с условиями непроникания для трехмерных тел, имеющих трещины, а также контактные задачи для пластин с трещинами.

Предполагается, что рассматриваемое линейное трехмерное тело занимает ограниченную область Г2 С Л3 и имеет трещину, которая представляет собой некоторую регулярную поверхность Гс. Граница Г области О считается гладкой и может пересекать Гс. Задача равновесия рассматривается в области 0, с = ^ Гс для упругого тела и в цилиндре (5е = а х для вязкоупругого. Граница области 0, с состоит из Г и двух берегов Г+ и Г~ трещины, т. е. задача ставится в области с негладкой границей.

Условия непроникания, задаваемые на Гс, имеют вид где и (х) = (гг1, гг-2, ггз) — вектор функций, задающих малые перемещения точек тела, и — нормаль к поверхности Гс. На внешней границе Г задаются условия закрепления.

Решение задачи равновесия ищется в классе функций, интегрируемых с квадратом в и имеющих интегрируемые с квадратом в 0С производные первого порядка.

В первой главе рассматривается трехмерное тело с трещиной, подчиняющееся закону Гука. В этом случае задачу можно поставить в виде вариационной задачи о минимизации функционала энергии. Благодаря дифференцируемости этого функционала постановка эквивалентна вариационному неравенству и Е К '¦ ац (и) £1]{'и ~ и) > ¡-(у — и) с/0с, /у Е К. (4).

Здесь через К обозначено множество допустимых перемещений, е^ -компоненты тензора деформаций, / - функция, задающая внешние нагрузки, действующие на тело.

Для удобства записи в некоторых интегралах будем опускать дифференциал от переменной интегрирования.

Существование решения задачи равновесия доказывается исследованием свойств коэрцитивности и слабой полунепрерывности снизу и]и >0 на Г,.

С1.

3) и = 0 на Г. функционала энергии. Доказательство основано на справедливости первого неравенства Корна в области Qc. Обоснование неравенства Корна для областей с различными границами можно найти в [40, 59, 61−62, 84, 111]. Единственность решения задачи (4) доказывается подстановкой соответствующих пробных функции.

Условие непроникания (3) не является единственным краевым условием. С помощью вариационного неравенства (4) молено вывести урав—нения равновесия, справедливые в области Г2С, а так лее вид полной системы краевых условий на внутренней границе Гс. Эта система выглядит следующим образом: as = 0, gv > 0 на Гг,.

К] = 0 на Гс,, [и]и > 0 на Гс, [0) av, а у — 0 на Гс.

Здесь as и ии — касательная и нормальная составляющие вектора {сгijVj] соответственно. Вид краевых условий получен в предположении дополнительной гладкости решений и (х). При этом предпололее-нии молено таклее показать эквивалентность двух постановок: в виде вариационного неравенства (4) и в виде уравнений равновесия вместе с граничными условиями (5).

Далее, в рассматривается вопрос о регулярности решений и (х) задачи равновесия (4), и доказано, что нулевое раскрытие трещины и бесконечная дифференцируемость функций внешних нагрузок обеспечивает существование производных любого порядка функции и{х). Это означает, чТо равенство нулю скачков [t?] приводит к задаче Дирихле для эллиптического оператора в области U с гладкой границей Г.

Во второй главе исследуется задача о равновесии трехмерного вяз-коупругого тела, имеющего трещину. Задача рассматривается в цилиндре Qc = ucx (0,Т), на боковой поверхности которого заданы условия закрепления. Условия непроникания (3) задаются на Гс х (0,Т). Вводятся обозначения i u*{t, x) = u (t, x) + j u{T, x) dr (6) o и в дальнейшем предполагается, что функции a.?j и s? j могут зависеть от //'(/.гт.е. содерлеать временную переменную. Такая модель соответствует реологии вязкоупругого материала, а интегралы в (6) называются интегралами «наследственного» типа [99, 100]. Другие задачи для вязкоупругих тел можно найти в [30, 45].

Для доказательства разрешимости задачи равновесия приводится формулировка в виде вариационного неравенства, доказано существование решения этого неравенства. и в пункте 4 второй главы с использованием полученных в первом пункте свойств решений u (t, x) обоснована эквивалентность вариационного неравенства краевой задаче.

Вариационное неравенство, выписанное в имеет вид т т xdt>j J f (v-u)dxdt, Vv G К, (7).

0 Пс ' 0 где К — множество допустимых перемещений, в его определение входит условие непроникания, закрепление по границе и выбор функционального пространства, в котором ищется решение.

Предполагается, что функция u{t, x) является суммируемой с квадратом на (0,Т) по переменной t. Поэтому определить след u (t°, x) на сечении цилиндра Qc при фиксированном t = вообще говоря, невозможно. Однако, результаты, полученные в пункте 2 второй главы показывают, что регулярность решения по временной переменной выше по сравнению с исходной: существует первая производная по t функции u (t, x). Это позволяет рассматривать задачу равновесия, т. е. вариационное неравенство (7), при фиксированном значении переменной t. Тогда в (7) молено избавиться от интегрирования по t. Однако, функции ffij зависят от ит, т. е. интегралы «наследственного» типа как в неравенстве, так и в полученных краевых условиях, сохранятся.

Далее, в пункте 3 выведена система краевых условий, выполняющихся на Гс х (0,Г). Она аналогична системе (5), но функции в этом случае зависят от uT (t, x). С помощью этих краевых условий и в предположении достаточной гладкости решений получена эквивалентная постановка задачи. Кроме того, исследована задача оптимального управления внешними нагрузками и исследована регулярность решений и (х) при условии нулевого раскрытия трещины в окрестности выбранной точки х° G Гс.

Третья глава посвящена изучению контактных задач для пластин с трещинами.

Первая задача поставлена для двух контактирующих вязкоупругих и.

G К: [ J и — 6 в где ги-и — прогиб верхней и нижней пластин соответственно, 6 > 0 -расстояние между пластинами в недеформированном состоянии.

Используя методы вариационных неравенств и монотонных операторов, доказывается разрешимость задачи равновесия. Также исследуется регулярность решения по переменной ?, в частности, доказано существование производной первого порядка. Найден вид краевых условий на Гс х (0, Т). Кроме того, доказана теорема об оптимальном управлении и исследована регулярность решений по х.

Во второй части главы 3 исследована задача о контакте упругой пластины, имеющей трещину с жестким штампом. В качестве условий непроникания используется (2). Более того, на решение х = (И^ м) накладывается условие непроникания точек пластины и штампа, в котором участвует только прогиб пластины ик.

Для поставленной задачи равновесия доказано существование реше-< ния и исследована регулярность решений. Показано, что для бесконечной дифференцируемости функции горизонтальных перемещений ]¥-(х) достаточно бесконечной гладкости функции внешних нагрузок и нулевого раскрытия трещины.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В работе получены следующие результаты. Наличие условий типа неравенств на части границы области приводит к постановке задачи равновесия в виде вариационного неравенства. Можно показать, что при определенной гладкости решений эта постановка эквивалентна краевой задаче, где условие непроникания является одним из граничных условий. При этом с помощью вариационного неравенства определяются и уравнения равновесия, и все краевые условия, и функциональные пространства, в которых ищется решение. Таким образом, свойства решений задач о равновесии можно получить, исследуя соответствующие вариационные неравенства.

1. Для задачи о равновесии упругого тела с трещиной задача ставится в виде вариационной задачи о минимизации функционала потенциальной энергии. Этот функционал обладает свойствами коэр-цитивности и слабой полунепрерывности. Поэтому решение задачи существует. Благодаря дифференцируемости функционала по Гато, ее можно переписать в виде вариационного неравенства. Из вариационного неравенства можно получить полную систему краевых условий, выполняющихся на берегах трещины. Краевая задача (уравнения равновесия вместе с выведенными краевыми условиями) в некотором смысле эквивалентна вариационному неравенству. Если раскрытие трещины равно нулю, то бесконечная дифференцируемость функций внешних нагрузок обеспечивает принадлежность решений задачи равновесия классу С°°.

2. Эквивалентную постановку задачи о равновесии вязкоупругого тела с трещиной не удается получить минимизацией какого-либо дифференцируемого функционала энергии. Здесь вводится вариационное неравенство специального вида и в дальнейшем доказывается его эквивалентность краевой задаче. Для постановки задачи в виде краевой необходимо вывести краевые условия на внутренней границе. Тогда в предположении дополнительной гладкости решений можно доказать эквивалентность двух постановок. При нулевом раскрытии трещины и бесконечной гладкости функции внешних нагрузок решение также бесконечно дифференцируемо.

3. Постановка задач о контакте двух пластин подразумевает задание двух видов условий непроникания: первое — для берегов трещины в одной из пластин и второе — непроникание между контактирующими пластинами. Оба этих условия имеют вид неравенств. В случае, когда обе пластины вязкоупругие, задача равновесия также может быть поставлена в виде вариационного неравенства. Она однозначно разрешима. Решение х) имеет производную по Таким образом, рассматривая задачу в некотором цилиндре, можно исследовать свойства вариационного неравенства на каждом сечении. В частности, краевые условия, выведенные на сечении внутренней границы, выполняются на всей Гс х (0,Т). В этой главе показано, что если в некоторой точке отсутствует контакт между пластинами, то в некоторой окрестности этой точки выполняются уравнения равновесия и краевые условия, а задача в виде вариационного неравенства эквивалентна краевой.

Рассматривая задачу для упругой пластины с трещиной, можно ставить задачу в виде задачи о минимизации функционала энергии. Для пластины, контактирующей со штампом, вводится дополнительное условие непроникания между пластиной и штампом. В этом условии участвуют только функция т, задающая прогиб пластины и функция, определяющая форму штампа. Функционал энергии пластины обладает свойством дифференцируемости, поэтому задача на минимум функционала эквивалентна решению вариационного неравенства. Это вариационное неравенство однозначно разрешимо.

Предположим, что в некоторой точке Е Гс раскрытие трещины нулевое: ту] = и = о.

Тогда в обеих задачах из условия бесконечной гладкости в О функций внешних нагрузок следует включение IV Е С°°(0), т. е. наличие трещины в этой точке не влияет на регулярность функции горизонтальных перемещений. Однако в случае второй контактной задачи гладкость т не удается повысить ни при каких условиях на функции внешних нагрузок. В то же время в первой задаче доказывается включение ги Е при бесконечно дифференцируемой функции нагрузок и отсутствии контакта между пластинами в точке х°.

Показать весь текст

Список литературы

  1. И.А., Назаров С. А. Асимптотически точные условия сопряжения на стыке пластин с сильно различающимися характеристиками // ПММ. 1998. т.62. вып.2. с.272−282.
  2. А.Я., Соловьев Ю. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Наука, 1978. 462с.
  3. С.Е., Гольдштейн Р. В. О разрушении упругого цилиндра вследствие возникновения трещины конечной площади // Известия РАН. МТТ. 1998. N3. с. 189−196.
  4. Алхутов Ю.А. Lp-оценки решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка // Математический сборник. 1998. т.189. N1. с. 3−20.
  5. Ю.А., Кондратьев В. А. Разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в выпуклой области // Дифференциальные уравнения. 1992. т.28. N5. с.806−818.
  6. А.Е. Пространственные задачи теории трещин. Киев: Наукова думка, 1982. 345с.
  7. B.C., Желтов Ю. П. О деформации упругого полупространства с тонкой щелью при смешанных условиях на ее границе // ПММ. 1990. т.54. N6. с.1031−1035.
  8. A.A. О гладкости решения одной системы вариационных неравенств // Вестник ЛГУ. 1982. N7. с.48−52.
  9. A.A. О предельной гладкости решения задачи с двусторонним препятствием // Вестник ЛГУ. 1984. N7. с.5−9.
  10. A.A. О предельной гладкости решения нестационарной задачи с одним или двумя препятствиями // Проблемы математического анализа. Л.:Издательство ЛГУ. — 1983. вып.9. с.149−156.
  11. A.A. О регулярности решения задачи с препятствием, выходящим на границу для сильно эллиптических операторов // Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1988. с. З-20.
  12. К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Наука, 1988. 448с.
  13. Н.В. Определение формы криволинейной трещины методом малого параметра // МТТ. N2. 1970. с. 130.
  14. Н.В. Численное решение задачи о прогибе упругой пластины, стесненной ограничениями // Инженерный журнал. МТТ. 1967. N4. с.
  15. В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448с.
  16. Бережницкий J1.T., Делявский М. В., Панасюк В. В. Изгиб тонких пластин с дефектами типа трещин. Киев: Наукова думка, 1979. -331с.
  17. Л.Т., Панасюк В. В., Стащук Н. Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле. Киев: Наукова думка, 1983. 288с.
  18. А.Н. Об одном методе построения весовых функций для круговой трещины // ПММ. 1990. т.54. N6. с.1022−1030.
  19. Д. Основы механики разрушения. М.: Высшая школа, 1980. 360с.
  20. Ю., Мазья В. Г. Некоторые вопросы теории потенциала и теории функций для областей с нерегулярными границами. JL: Наука, 1967. с.
  21. М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972. 416с.
  22. К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542с.
  23. Г. М., Мазья В. Г. О замыкании в Ьр оператора задачи Дирихле в области с коническими точками // Известия ВУЗов. Сер.математическая. 1974. т.145. N6. с.8−19.
  24. A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972. 432с.
  25. Вычислительные методы в механике разрушения. М.: Мир, 1990. 392с.
  26. Р.П., Ильин A.M. Асимптотика собственных значений задачи Дирихле в области с узкой щелью // Математический сборник. 1998. т.189. N4. с.25−48.
  27. Галин Л.А., Фридман, Черепанов Г. П., Морозов Е. М., Партон В. З. Об условии в конце трещины // ДАН СССР. 1969. т.187. N4. с.754−757.
  28. Галин J1.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоупруго-сти. М.: Наука, 1980. 303с.
  29. И., Гаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. М.: Мир, 1986. 270с.
  30. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. 574с.
  31. Р.В., Ентов В. М. Качественные методы в механике сплошных сред. М.: Наука, 1989. 223с.
  32. Р.В., Салганик Р. Л. Плоская задача о криволинейных трещинах в упругом теле // Известия РАН. МТТ. 1970. N3. с.69−82.
  33. А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. Киев: Наукова думка, 1983. 296с.
  34. А.П. Основы трехмерной теории устойчивости деформируемых тел. Киев: Вища школа, 1986. 512с.
  35. А.Н. Точное решение плоской задачи о разрушении материала при сжатии вдоль трещин, лежащих в одной плоскости // ДАН СССР. 1990. т.310. N3. с.563−566.
  36. Р.В. Краевые задачи математической теории трещин // Труды, ин-та прикл. мат-ки. Тбилисский гос.университет. 1990. N39. с.68−84.
  37. Р.В., Натрошвили . О непрерывности обобщенных решений краевых задач математической теории трещин // Сообщ. АН ГССР. 1989. т.135. N3. с.497−500.
  38. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 384с.
  39. Ю.В., Кондратьев В. А., Олейник O.A. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях // Математический сборник. 1998. т.189. N3. с.45−68.
  40. Ш. П. Жесткий штамп, прижатый к обводу кругового отверстия анизотропной плоскости // Труды ин-та прикл. мат-ки. Тбилисский гос.университет. 1990. N39. с.
  41. H.A., Широкова Е. А. Решение задачи теории упругости для плоскости с двоякосимметричным вырезом, имеющим два нулевых угла // ПММ. 1995. т.59. вып.З. с.524−528.
  42. A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения II порядка в области с узкой щелью.1.Двумерный случай // Математический сборник. 1976. т.99. N4. с.514−537.
  43. A.A. Механика разрушения вязкоупругих тел. Киев: Наукова думка, 1980. 160с.
  44. Г. Н., Курносов Н. В., Партон В. З. О применении метода потенциала к двумерным задачам упругого равновесия области с нерегулярной границей // Проблемы прочности. 1982. N7. с.3−5.
  45. В.М. Численное решение двух контактных задач для упругих пластин // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. N6.C.68−72
  46. Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983. 256с.
  47. В.А. Итерационный метод решения вариационных неравенств в контактной упругопластической задаче с использованием метода штрафов // Журнал выч. математики и мат.физики. 1993. т.ЗЗ. N9. с.1409−1415.
  48. В.А. Метод численного решения задачи о контакте упругой пластины с препятствием // ПМТФ. 1994. т.35. N5. с.142−146.
  49. В.А. Решение задачи о балке с разрезом // ПМТФ. 1996. т.37. N4. с. 160.
  50. В.А. Сходимость решений вариационных неравенств в задаче контакта пластины с негладким штампом // Дифференциальные уравнения. 1994. т.30. N3. с.488−492.
  51. В.А. Численное решение задачи о контакте упруго-пластической балки для модели Тимошенко // МТТ. 1996. N5. с.79−84.
  52. Л.Г., Назаров С. А. Вариация формы ребра плоской локально неравновесной трещины нормального отрыва // Изв. РАН. МТТ. 1997. N3. с.125−133.
  53. В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками / / Труды Московского математического общества. 1967. т. 16. с.209−292.
  54. В.А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в окрестности ребра // Дифференциальные уравнения. 1970. т.6. с.1831−1843.
  55. В.А., Копачек И., Олейник O.A. О поведении обобщенных решений эллиптических уравнений II порядка и системы теории упругости в окрестности граничной точки // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1982. вып.8. с.135−152.
  56. В.А., Копачек И., Олейник O.A. О характере непрерывности на границе негладкой области обобщенного решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения // Математический сборник. 1990. т.181. N4. с.564−575.
  57. В.А., Олейник O.A. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенства Корна // УМН. 1988. т.43. N5. с.55−98.
  58. В.А., Олейник O.A. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // УМН. 1983. т.38. N2. с.3−77.
  59. В.А., Олейник O.A. О зависимости констант в неравенстве Корна от параметра, характеризующего геометрию области // УМН. 1989. т.44. N6. с.157−158.
  60. В.А., Олейник O.A. О неравенствах Харди и Корна для некоторого класса неограниченных областей и их приложениях в теории упругости // ДАН СССР. 1990. т.312. N6. с.1299−1303.
  61. Я.А. Явное решение одного частного случая смешанной задачи теории упругости для плоскости с разрезами, лежащими на вещественной оси // Весщ АН Беларуси. Сер. ф1з.-мат.наук. 1997. N1. т.141. с.61−67.
  62. А.И. Регулярность решений эллиптических уравнений и систем. М.: Наука, 1986. 238с.
  63. A.C. К задаче Герца для линейно и нелинейно упругих тел конечных размеров // ДАН СССР. 1976. т.230. N2.
  64. В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физ-матгиз, 1963. 472с.
  65. О.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964. 538с.
  66. К. Вариационные принципы механики. М.: Мир, 1965. -408с.
  67. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587с.
  68. В.Н. Предельное равновесие плоскости с круговым вырезом // Укр.мат.журнал. 1993. т.45. N7. с.980−981.
  69. Л.П., Бережницкий Л. Т. Изгиб трансверсально изотропных пластин с дефектами типа трещин. Киев: Наукова думка. 1990. 245с.
  70. В.Г. О поведении вблизи границы решений задачи Дирихле для бигармонического оператора // ДАН СССР. 1977. т.235. N6. с.1263−1266.
  71. В.Г. Пространства С.Л.Соболева. Ленинград: Издательство ЛГУ, 1985. 415с.
  72. В.Г., Назаров С. А. Асимптотика интегралов энергии при малых возмущениях границы вблизи угловых и конических точек // Труды московского математического общества. 1987. N50. с.79−129.
  73. Мазья В.Г., Пламеневский Б. А. Lp-оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами // Труды московского математического общества. 1978. т.37. с.49−93.
  74. В.Г., Соловьев A.A. Об интегральном уравнении задачи Дирихле в плоской области с остриями на границе / / Математический сборник. 1989. т.180. N9. с.1211−1233.
  75. В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983. 424с.
  76. С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512с.
  77. Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980. 254с.
  78. Е.М., Сапунов В. Т. Применение вариационного принципа к решению задач теории трещин в упруговязких средах // Прикладная механика. 1972. т.8. N6. с.33−38.
  79. Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 255с.
  80. Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.
  81. С.А. Асимптотика решения краевой задачи в тонком цилиндре с негладкой боковой поверхностью // Изв. РАН.Сер. математика. 1993. т.57. N1. с.202−239.
  82. С.А. Весовые неравенства Корна на параболоидальных областях // Математические заметки. 1997. т.62. вып.5. с.751−765.
  83. С.А. Вывод вариационного неравенства для формы малого приращения трещины отрыва // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. т.24. N2. с.152−160.
  84. С.А. Задача Синьорини с трением для тонких упругих тел // Труды московского математического общества. 1995. N56. с.262−302.
  85. С.А. Трещина на стыке анизотропных тел.Сингулярности напряжений и инвариантные интегралы // ПММ. 1998. т.62. вып.З. с.489−502.
  86. С.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М.: Наука, 1991. 336с.
  87. С.А. Эллиптические задачи с условиями излучения на ребрах границы // Математический сборник. 1992. т.183. N10. с.13−44.
  88. О.А., Тронель Ж., Чиоранеску Д. О неравенствах Корна для структур типа решеток и соединений с точными оценками для постоянных // УМН. 1994. т.49. N4. с. 139.
  89. .В. О смешанной задаче с неоднородными граничными условиями для эллиптических с параметром уравнений второго порядка в липшицевых областях // Математический сборник. 1996. т.187. N4. с.59−116.
  90. П. Неравенства в механике и их приложения. М.: Мир, 1989. 492с.
  91. В.В., Андрейкив А. Е., Партон В. З. Основы механики разрушения материалов. Киев: Наукова думка, 1988. 487с.
  92. В.В., Андрейкив А. Е., Стадник М. М. Пространственные задачи теории трещин // Физико химическая механика материалов. 1979. N4. с.39−55. N5. с.45−65. N6. с.17−26.
  93. В.В., Саврук М. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений около трещины в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1976. 445с.
  94. В.В., Стадник М. М., Силованюк В. П. Концентрация напряжений в трехмерных телах с тонкими включениями. Киев: Наукова думка, 1986. 214с.
  95. В.З., Борисковский В. Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение, 1988. 239с.
  96. Партон В.3., Морозов Е. М. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, 1985. 502с.
  97. В.З., Перлин П. И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977. 312с.
  98. Партон В.3., Перлин П. И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688с.
  99. В. Введение в механику сплошных сред. М.: ИЛ., 1963. -311с.
  100. Проблемы современной механики разрушения. Л.: Издательство ЛГУ, 1990. 202с.
  101. Дж. Математические методы в механике разрушения. Разрушение. Т.П. М.: Мир, 1975. 764с.
  102. К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 589с.
  103. .Я., Ройтберг Я. А. Эллиптические граничные задачи в негладких областях в полных шкалах банаховых пространств // ДАН. 1996. т.346. N4. с.448−451.
  104. М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1981. 324с.
  105. B.B. Краевые задачи теории упругости для плоскости со счетным множеством разрезов // Известия ВУЗов. Математика. 1992. N4. с.61−69.
  106. Трехмерные задачи математической упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976. 664с.
  107. С.В., Демиденко Г. В., Перепелкин В. Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям. Новосибирск: Наука. Сиб.отд., 1984. 223с.
  108. Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. М.- Л., 1963. 368с.
  109. Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974. 159с.
  110. А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами. М.: Наука, 1990. 535с.
  111. К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988. -364с.
  112. A.M. Задача о равновесии термоупругой пластины, содержащей трещину // Сибирский математический журнал. 1996. т.37. N2. с.452−463.
  113. A.M. Контактная задача для пологой оболочки с трещиной // ПММ. 1995. т.59. вып.2. с.318−326.
  114. A.M. Об экстремальных формах разрезов в пластине // Изв. РАН. МТТ. 1992. N1. с.170−176.
  115. A.M. О контакте двух пластин, одна из которых содержит трещину // ПММ. 1997. т.61. вып.5. с.882−894.
  116. A.M. Экстремальные формы разрезов в пластине, контактирующей с жестким штампом // Краевые задачи для неклассических уравнений мат.физики. Новосибирск, 1989. с.60−67.
  117. Г. П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1983. 296с.
  118. Г. П. О распространении трещин в сплошной среде // ПММ. 1967. т.31. N3. с.476−488
  119. Черепанов Г. П., Ершов J1.B. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977. 224с.
  120. Ф.Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики и у правления. Численные методы. М.: Наука, 1973. 238с.
  121. Е.И. О краевых задачах теории упругости для областей с угловыми точками (плоская деформация) // ДАН. 1996. т.347. N3. с.342−345.
  122. И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 399с.
  123. Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973. 232с.
  124. Barbu V. Optimal control of variational inequalities. Boston: Pitman, 1984.
  125. Boieri P., Gastaldi F., Kinderlehrer D. Existence, uniqueness, and regularity results for the two-body contact problem // Applied mathematicals and optimization. 1987. v.15. N3. p.251−277.
  126. Brezis H., Kinderlehrer D. The smoothness of solutions to nonlinear variational inequalities // Indiana Univ.Math.J. 1974. v.23. p.831−844.
  127. Brown R. The mixed problem for Laplace’s equation in a class of Lipschitz domains // Communications in partial differential equations. 1994. v.19. N7−8. p.1217−1233.
  128. Cotterell В., Rice J.R. Slightly curved or kinked cracks // Int.J.Fracture. 1980. N16. p.155−169.
  129. Duduchava R., Wendland W. The Winer-Hopf method for systems of pseudodifferential equations with application to crack problem // Integral.Equation.Oper. 23. 1995. p.295−334.
  130. Frehse J. On the regularity of the solution of a second order variational inequality // Boll. Unione Mat.Ital. 1972. v.6. N4. p.312−315.
  131. Grisvard P. Elliptic problems in non-smooth domains. Pitman. Boston. 1985.
  132. Jensen R. Boundary regularity for variational inequalities // Indiana Univ.Math. 1980. v.29. p.495−504.
  133. Khludnev A.M. Contact problem for a plate having a crack of minimal opening // Control and Cybernetics. 1996. v.25. N3. p.605−620.
  134. Khludnev A.M. Existence of extreme unilateral cracks in a plate // Control and Cybernetics. 1994. v.23. N3. p.453−460.
  135. Khludnev A.M. On contact problem for a plate having a crack // Control and Cybernetics. 1995. v.24. N3. p.349−361.
  136. Khludnev A.M. On equilibrium problem for a plate having a crack under the creep condition // Control and Cybernetics. 1996. v.25. N5. p.1015−1029.
  137. Khludnev A.M., Sokolowsky J. Modelling and Control in Solid Mechanics. Birkhauser. Basel, Boston, Berlin. 1997. 382p.
  138. Kovtunenko V. Iterative approximations of penalty operators // Numerical.Funct.Anal.Optimization. 1997. v. 18. N3−4. p. 383−387.
  139. Kovtunenko V. Iterative penalty method for plate with a crack // Adv.Math.Sci.Appl. 1997. v.7. N2. p.667−674.
  140. Lewy H., Stampacchia G. On the regularity of the solution of variational inequality // Communications Pure and Applied Math. 1969. v.22. p.153−188.
  141. Lewy H., Stampacchia G. On the smoothness of superharmonics which solve a minimum problem // J.Anal.Math. 1970. v.23. p.224−236.
  142. Lewy H., Stampacchia G. On existence and smoothness of solutions of some noncoercive variational inequality // Arch.Ration.Mech.Anal. 1971. v.41. p.241−253.
  143. Mosco U., Troianiello G.M. On the smoothness of solutions of unilateral Dirichlet problems // Boll.U.Mat.Ital. 1973. v.4. N8. p.57−67.
  144. Necas J. On regularity of solutions to nonlinear variational inequalities for second-order elliptic systems // Rend.Math. 1975. v.6. N8. p.481−498.
  145. Necas J., Hlavacek I. Mathematical theory of elastic and elasto-plastic bodies. An introduction. Elsevier. Amsterdam-Oxford-NY, 1981.
  146. Ohtsuka K. Mathematical analysis of three-dimensional fracture phenomenon by Griffith’s energy balance theory under increasing loads // Theoretical and Applied Mechanics. 1996. v.45. p.99−103.
  147. Ohtsuka K. Mathematics of Brittle Fracture. In: Theoretical Studies on Fracture Mechanics in Japan. Hiroshima, 1998. p.99−172.
  148. Huber H., Nickel J., Kuhn G. On the decomposition of the J-integral for the three-dimensional crack problems // Int.J.Fracture. 1993. v.64. p.339−348.
  149. T.C. Контактная задача для пластины с трещиной. Материалы XXXIV международной научной студ. конференции «Студент и НТП». Новосибирск, 1996, с.70−71.
  150. Т.С. О регулярности решения задачи равновесия для пластины с трещиной. // Математические заметки ЯГУ. 1996. т.З. вып.2. с.124−132.
  151. Т.С. Задача о равновесии линейного упругого тела с трещиной. II международная конференция по математическому моделированию. Тезисы докладов. Якутск, 1997. с. 48.
  152. Т.С. Задача о равновесии трехмерного тела с трещиной при условии ползучести. Сибирская школа-семинар «Математические проблемы механики сплошных сред». Тезисы докладов. Новосибирск, 1997. с. 111.
  153. Popova T.S. The Equilibrium Problem for a Linear Elastic Body with a Crack. // Математические заметки ЯГУ. 1998. т.5. вып.1. с.113−127.
  154. Popova T.S. The Equilibrium Problem for a Linear Viscoelastic Body with a Crack.// Математические заметки ЯГУ. 1998. т.5. вып.2. с.118−134.
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?