Спиновые эффекты при плоскостном каналировании релятивистских электронов, позитронов и тяжелых водородоподобных ионов
Диссертация
В связи с этим формулируются следующие цели работы: теоретически исследовать движение релятивистских электрона и позитрона в одномерном электрическом поле, таком, что частица движется практически ортогонально полю. Определить сохраняющиеся направления спина частицы при таком движении и рассмотреть уравнения Дирака для электрона и позитрона с учетом определенной поляризации спина частицы… Читать ещё >
Содержание
- 1. Движение релятивистской частицы со спином ½ в одномерном электрическом поле
- 1. 1. Уравнение Дирака
- 1. 2. Спиновые операторы
- 1. 3. Решение уравнения Дирака и спиновые интегралы
- 1. 3. 1. Продольная поляризация
- 1. 3. 2. Поперечная поляризация
- 1. 4. Уравнение Клейна-Гордона
- 2. Спиновые поправки к уровням энергии связанных состояний поперечного движения релятивистских электронов и позитронов при плоскостном каналировании
- 2. 1. Каналирование позитронов. Параболический потенциал
- 2. 1. 1. Продольная поляризация
- 2. 1. 2. Поперечная поляризация
- 2. 1. 3. Уравнение Клейна-Гордона
- 2. 2. Оценки влияния спина позитрона на спектр связанных состояний поперечного движения
- 2. 2. 1. Продольная поляризация
- 2. 2. 2. Поперечная поляризация
- 2. 3. Каналирование электронов. Модифицированный потенциал Пешля-Теллера
- 2. 3. 1. Продольная поляризация
- 2. 3. 2. Поперечная поляризация
- 2. 1. Каналирование позитронов. Параболический потенциал
- 3. 1. Кристаллический потенциал
- 3. 1. 1. Система координат. Векторы обратной решетки
- 3. 1. 2. Плоскостной потенциал
- 3. 1. 3. Потенциал Мольер
- 3. 2. Движение водородоподобного иона при плоскостном каналировании
- 3. 2. 1. Уравнение движения
- 3. 2. 2. Сопутствующая система отсчета
- 3. 3. Уровни энергии орбитального электрона водородоподобного иона при плоскостном каналировании
- 3. 3. 1. Боровские уровни энергии
- 3. 3. 2. Волновые функции орбитального электрона
- 3. 3. 3. Спин-орбитальное взаимодействие
- 3. 3. 4. Лэмбовский сдвиг
- 3. 3. 5. Траекторно-зависящий эффект Штарка для каналированных ионов
- 3. 3. 6. Уровни энергии и волновые функции орбитального электрона водородоподобного иона в кристалле
- 3. 3. 7. Оценка влияния кильватерного потенциала на уровни энергии орбитального электрона релятивистского водородоподобного иона при плоскостном каналировании
- 3. 4. Квантовая динамика иона при плоскостном каналировании в условиях RCE
- 3. 4. 1. Временное уравнение Шредингера для орбитального электрона ка-налированного водородоподобного иона
- 3. 4. 2. Резонансное приближение при решении временного уравнения Шредингера для орбитального электрона водородоподобного иона
- 3. 4. 3. Ионизация каналированного водородоподобного иона при взаимодействии с электронами кристалла
- 3. 4. 4. Фракции ионов в выходящем из кристалла пучке в условиях RCE
- 3. 5. Оценка влияния магнитного поля, существующего в сопутствующей системе, на процесс RCE
- 4. 1. Плоскостное каналирование 390 МэВ/а.е.м. ионов Аг17+
- 4. 1. 1. Уровни энергии орбитального электрона иона Аг17+
- 4. 1. 2. RCE 390 МэВ/а.е.м. ионов Аг17+
- 4. 1. 3. Сравнение с экспериментом
- 4. 2. Плоскостное каналирование 11 000 МэВ/а.е.м. ионов U91+
- 4. 2. 1. Уровни энергии орбитального электрона иона U91+
- 4. 2. 2. Особенности RCE ионов U91+ при энергиях FAIR
Список литературы
- Robinson М. Т., Оеп О. S. The channeling of energetic atoms in crystal lattices. // Appl. Phys. Lett. 1963. — v. 2. — p. 30.
- Robinson M. Т., Oen O. S. Computer studes of the slowing down of energetic atoms in crystals. // Phys. Rev. 1963. — v. 132. — p. 2385.
- Robinson M. T. Deduction of Ion ranges in solids from collection experiments. // Appl. Phys. Lett. 1962. — v. 1. — p. 49.
- Оцуки Е.-Х. Взаимодействие заряженных частиц с твердыми телами. М.: Мир, 1985. — 280с.
- Байер В. Н., Катков В. М., Страховенко В. М. Электромагнитные процессы при высокой энергии в ориентированных монокристаллах. Новосибирск: Наука, 1989. — 285 с.
- Ахиезер А. И., Шульга Н. Ф. Электродинамика высоких энергий в веществе. М.: Наука, 1993. — 344 с.
- Кумахов М. А. Излучение каналированных частиц в кристаллах. М.: Энергоатом-издат, 1986. — 160 с.
- Базылев В. А., Жеваго Н. К. Излучение быстрых частиц в веществе и во внешних полях. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 272 с.
- Барышевский В. Г. Каналирование, излучение и реакции в кристаллах при высоких энергиях. Минск: Изд-во БГУ им. В. И. Ленина, 1982. — 256 с.
- Рябов В. А. Эффект каналирования. М.: Энергоатомиздат, 1994. — 240 с.
- Gemmcll Donald S. Channeling and related effects in the motion of charged particles through crystals. // Reviews of Modern Physics. 1974. — v.46, no.l. — p. 129.
- Ugerrhoj U. I. The interaction of relativistic particles with strong crystalline fields. // Rev. Mod. Phys. 1974. — vol. 77, no. 4. — p. 1131.
- Ахиезер А. И., Шульга Н. Ф. Излучение релятивистких частиц в монокристаллах. // УФН. 1982. — т. 137, № 4. — с. 561.
- Высоцкий В. И., Кузьмин Р. Н. Каналирование нейтральных частиц и квантов в кристаллах. // УФН. 1992. — т. 162, № 9. — с. 1.
- Ахиезер А. И., Шульга Н. Ф., Трутень В. И., Григоренко А. А., Сыщенко В. В. Динамика заряженных частиц высоких энергий в прямых и изогнутых кристаллах. // УФН. 1995. — т. 165, № 10. — с. 1165.
- Базылев В. А., Жеваго Н. К. Каналирование быстрых частиц и связанные с ним явления. // УФН. 1990. — т. 160, № 12. — с. 47.
- Andersen J. U., Andersen S. К., Augustyniyak W. M. Channeling of electrons and positrons. // K. Dan. Vidensk. Selsk. Mat. E>s. Medd. 1977. — vol. 39, no. 10. — p. 1.
- Kimball J. C., Cue N. Quantum electrodynamics and channeling in crystals. // Phys. Rep. 1985. — vol. 125. — p. 69.
- Haakon A. Olsen, Yuri Kunashenko. Dirac states of relativistic electrons channeled in a crystal and high-energy channeling electron-positron pair production by photons. // Phys. Rev. A. 1997. — v. 56, no. 1. — p. 527.
- Augustin J., Shafer A., Greiner W. Quantum-mechanical treatment of high-energy channeling radiation. // Phys. Rev. A. 1995. — vol. 51, no. 2, — p. 1367.
- Багров В. Г., Тернов И. М., Холомай Б. В. Эффект радиационной самополяризации спина электрона при аксиальном каналировании. // Письма в ЖЭТФ. 1964 — том 10, вып. 3. — с. 145.
- Okorokov V. V. // Ядерная физика. 1965. — № 2. — с. 1009.
- Окороков В. В. Когерентное возбуждение оптических спектров атомов, пролетающих через кристалл. // Письма в ЖЭТФ. 1965. — т. 2, № 12. — с. 111.
- Okorokov V.V., Tolchenkov D.L., Tolchenkov I.S. et al. The Coherent Excitation of Atoms Moving Through a Crystal: Experimental Results // Phys. Lett. A. 1973. — v. 43. — p. 485.
- Okorokov V. V. // 8-th Japan-Russia International Symposium on Interaction of Fast Charged Particles with Solids, Quantum Science and Engineering Center, Kyoto University, Kyoto, Japan, 24−30 November 2002, Kyoto, Japan, 2003. — p. 207.
- Окороков В. В. Использование когерентного возбуждения релятивистских ядер в кристалле в фундаментальных исследованиях по СТО и ОТО. // УФН. 2003. — т. 173, № 4.. с. 447.
- Okorokov V. V. Coherent Coulomb Excitation of Nuclei and Atoms Moving through a Crystal: The Review of Main Results. // Physics of Atomic Nuclei. 2007. — vol. 70, no. 7. — p. 1174.
- Gaillard M. J., Poizat J. C., Remillieux J., Gaillaard M. J. Another experimental evidence for coherent electronic excitation of channeled He+ ions. // Phys. Lett. A. 1973. — vol. 45. — p. 306.
- Moak C. D., Datz S. D., Crawford О. H., Krause II. F., Dittner P. F., Gomez del Campo J., Biggerstaff J. A., Miller P. D., Hvelplund P., Knudsen H. Resonant Coherent Excitation of Channeled Ions // Phys. Rev. B. 1979. — v. 22, no. 3. — p. 977.
- Crawford Oakley H., Ritchie R. H. Atomic Physics of Channeled Ions. // Phys. Rev. A. -1979. v. 20, no. 5, — p. 1848.
- Yamashita Y., Ohtsuki Y. H. Peak Profiles of the Okorokov Effects for Heavy Ions in a Crystals. // Phys. Rev. B. 1980 — v. 22, no. 3. — p. 1183.
- Shindo S., Ohtsuki Y. H. Theory of the Okorokov Effect. // Phys. Rev. B. 1976 — v. 14, no. 9. — p. 3929.
- Garcia de Abajo F. J., Echenique P. M. Resonant-Coherent Excitation of Channeled Ions. // Phys. Rev. Lett. 1996 — v.76, no. 11. — p. 1856.
- Garsia de Abajo F. J., Echenique P. M. Impact-parameter dependence of resonant-coherent excitation of channeled ions. // Nucl. Instr. Methods В 1996 — v. 115 — p. 299.
- Кривошеев О. E., Пивоваров Ю. JI. Резонансное когерентное возбуждение быстрых ионов Ne9+ в кристалле компьютерный эксперимент // Письма в ЖЭТФ — 1992 — т. 6, вып. 5. — с.246.
- Balashov V. V., Bodrenko I. V. Characteristic X-ray production in RCE process // Phys. Lett. A. 2006. — v.352. — p. 129.
- Balashov V. V., Bodrenko I. V. Metastable ion production in the RCE process. // Nucl. Instr. Methods B. 2006. — v. 245. — p. 52.
- Базылев В. А., Жеваго H. К. Влияние излучения на движение плоскоканалированных частиц. // ЖЭТФ. 1979. — т. 77. — с. 312.
- Jackson S. A., Platzman P. М. Electron pickup from a free-electron gas by channeled heavy ions. // Phys. Rev. B. 1980. — vol. 22. — p. 88.
- Окороков В. В. Интерференционное когерентное возбуждение в двух кристаллах. // Письма в ЖЭТФ. 1995. — т. 62, вып. 12. — с. 895.
- Окороков В. В. О возможности точной экспериментальной проверки замедления хода движущихся часов с помощью когерентного возбуждения релятивистских ядер в кристалле. // Письма в ЖЭТФ. 2001. — т. 74, вып. 8. — с. 445.
- Fujimoto F. Resonant coherent excitation of channeled heavy ions and photon emission due to its deexcitation. // Nucl. Instr. Methods B. 1989. — v. 40−41. — p. 165.
- Andersen I. U., Ball G. C., Chevallier I., Davies J. A., Davies W. G., Forster J. S., Geiger J. S., Geissel H. Heavy ion channeling. // Nucl. Instr. Methods B. 1996. — v. 119. — p. 292.
- Fusina R., Kimball J. C. Resonant excitations of fast nuclei in a crystals. // Nucl. Instr. Methods B. 1987. — v. 27. — p. 368.
- Auth С., Winter H. Resonant coherent excitation of hydrogen atoms during grazing scattering from a LiF (OOl) surface. // Phys. Rev. A. 2000. — v. 62. — p. 2903.
- Winter H., Auth C., Hecht Т., Mertens A. Charge exchange and excitation phenomena at insulator surfaces. // Nucl. Instr. Methods B. 1999. — v. 157. — p.' 32.
- Hatke N., Dirska M., Luderer E., Robin A., Grether M., Narmann A., Heiland W. Energy loss and resonant coherent excitation of fast highly charged ions on a Pt (110) surface. // Nucl. Instr. Methods B. 1998. — v. 135. — p. 307.
- Kimura K., Ooki S., Ida H., Mannami M. Resonant coherent excitation of surface planar channeled B4+ ions. // Nucl. Instr. Methods B. 1998. — v. 135. — p. 419.
- Hecht Т., Winter H. Resonant coherent excitation and ionization of fast hydrogen atoms in front of a Li (001) surface. // Phys. Lett. A. 1998. — v. 243. — p. 306.
- Salin A., Arnau A., Echenique P. M. Resonance, antiresonance, and decoherence in the excitation of channeled ions in crystals. // Phys. Rev. A. 1998. — v. 57. — p. 2772.
- Kimura K., Mannami M. Resonant coherent excitation of surface channeled ions. // Phys. Rev. A. 1998. — v. 57. — p. 1121.
- Auth C., Mertens A., Winter H., Borisov A. G., Garsia de Abajo F. J. Resonant coherent excitation of fast hydrogen atoms in front of a LiF (OOl) surface. // Phys. Rev. Lett. 1997. — v. 79. — p. 4477.
- Hatke N., Dirska M., Grether M., Luderer E., Robin A., Narmann A., Heiland W. Surface channeling experiments at 20 MeV and resonant coherent excitation of N6+ ions. // Phys. Rev. Lett. 1997. — v. 79. — p. 3395.
- Pivovarov Yu. L., Geissel H., Filimonov Yu. M., Krivosheev О. E., Scheidenberger C. On the resonant coherent excitation of relativistic heavy ions. // Nucl. Instr. Methods B. -1996. v. 119. — p. 283.
- Степанов А. В. Кулоновское резонансное возбуждение атомных ядер пролетающих через кристалл в режиме каналирования. // ЖЭТФ. 1996. — т. 109, № 5. — с. 1489.
- Kimura К., Ida Н., Fritz М., Mannami М. Resonant coherent excitation of surface channeled ions. // Phys. Rev. Lett. 1996.- v. 76. — p. 3850.
- Филимонов Ю. М., Пивоваров Ю. JL Кулоновское возбуждение ядер в кристаллах. Компьютерный эксперимент. // Изв. АН сер. физ. 1994. — т. 58, № 1. — с. 98.
- Широков А. А., Пивоваров Ю. JI. Когерентные эффекты в кулоновском возбуждении ядер, пролетающих через кристалл. // Изв. АН сер. физ. 1993. — т. 57, № 1. — с. 148.
- Nakai Y., Nakano Y., Azuma Т., Hatakeyama A., Kondo C., Komaki K., Yamazaki Y., Takada E., Murakami T. // Dressed atoms in flight through a periodic crystal field: X-VUV double resonance. Phys. Rev. Lett. 2008. — v. 101. — p. 113 201.
- Kondo C., Masugi S., Nakano Y., Hatakeyama A., Azuma Т., Komaki K., Yamazaki Y., Murakami Т., Takada E. Three-dimensional resonant coherent excitation of nonchanneling ions in a crystal. // Phys. Rev. Lett. 2006. — v. 97. — p. 135 503.
- Nakano Y., Kondo C., Hatakeyama A., Nakai Y., Azuma Т., Komaki K., Yamazaki Y., Takada E., Murakami T. // Polarization control in three-dimensional resonant coherent excitation. // Phys. Rev. Lett. 2009. — v. 102. — p. 85 502.
- Гейссель Г., Кривошеев О. Э., Пивоваров Ю. JL, Филимонов Ю. М., Шейденбергср К. Атомное и ядерное резонансное когерентное возбуждение тяжелых ионов при релятивистских энергиях. // Изв. АН сер. физ. 1995. — т. 59, № 11. — с. 185.
- Komaki К., Azuma Т., Ito Т., Takabayashi Y., Yamazaki Y., Sano M., Torikoshi M., Kitagawa A., Takada E., Murakami T. Resonant coherent excitation of 390 MeV/u Ar ions planar channeled in Si crystals. // Nucl. Instr. Methods B. 1998. — v. 146. — p. 19.
- Azuma Т., Ito Т., Yamazaki Y., Komaki K., Sano M., Torikoshi M., Kitagawa A., Takada E., Murakami T. Resonant coherent excitation of relativistic Ar17+ ions channeled in a Si crystal. // Nucl. Instr. Methods B. 1998. — v. 135. — p. 61.
- Ito Т., Takabayashi Y., Komaki K., Azuma Т., Yamazaki Y., Datz S., Takada E., Murakami T. De-excitation X-rays from resonant coherently excited 390 MeV/u hydrogen-like Ar ions. // Nucl. Instr. Methods B. 2000. — v. 164−165. — p. 68.
- Azuma Т., Ito Т., Takabayashi Y., Komaki K., Yamazaki Y., Takada E., Murakami T. Resonant coherent excitation of hydrogen-like Ar ions to the n=3 states. // Physica Scripta.- 2001. v. 92. — p. 61.
- Nakano Y., Masugi S., Muranaka Т., Azuma Т., Kondo C., Hatakeyama A., Komaki K., Yamazaki Y., Takada E., Murakami T. Doubly-resonant coherent excitation of HCI planar channeled in a Si crystal. // J. Phys.: Conference Series. 2007. — v. 58. — p. 359.
- Azuma Т., Tanuma H., Shiromaru H. Present and future projects of TMU atomic physics group. // J. Phys.: Conference Series. 2004. — v. 2. — p. 143.
- Pivovarov Yu. L. Coherent excitation of hydrogen-like relativistic heavy ions in a crystal: Structure of electronic levels of an ion and resonance width. // Nucl. Instr. Methods B. -1998. v. 145. — p. 96.
- Бабаев А. Зависимость спектра связанных состояний поперечной энергии канали-рованного электрона от его спина. // Поверхность. Рентеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2007. — № 11. — с. 95.
- Babaev A. Spin Dependence for Transverse Energy of Channeled Electrons. // Proc. of SPIE. 2007. — v.6634. — p. 66340A.
- Babaev A., Bogdanov О. V., Efremov V. I., Korotchenko К. В., Kunashenko Yu. P., Pivovarov Yu. L., Dabagov S. B. On crystal-assisted processes by means of 20−800 MeV e~/e+ LNF beams: Preprint LNF-08/22(IR). LNF INFN, 2008. — 42 p.
- Багров В. Г., Гитман Д. М., Тернов И. М., Халилов В. Р., Шаповалов В. К. Точные решения релятивистских волновых уравнений. Новосиб: Наука, 1982. — 134 с.
- Тернов И. М. Введение в физику спина релятивистских частиц. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1997. — 240 с.
- Lasukov V. V., Pivovarov Yu. L., Kostareva О. G. Spontaneous radiation of relativistic electrons under planar channeling and band structure of transverse energy. // Phys. Stat. Sol (b). 1982. — v.109. — p.761.
- Делоне H. Б., Крайнов В. П. Атом в сильном световом поле. 2-е изд. перераб. М.: Энергоатомиздат, 1984. — 224 с.
- Бабаев А. А., Пивоваров Ю. JI. Резонансное когерентное возбуждение ионов Аг17+ в кристалле кремния: компьютерный эксперимент. // Известия ВУЗ-ов. Физика. 2007. — т. 50., № 10/2. — с. 103.
- Бабаев А. А., Пивоваров Ю. JI. Резонансное когерентное возбуждение ионов Аг17+ с учетом тонкой структуры энергетических уровней. // Поверхность. Рентеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2008. — N°3. — с. 87.
- Babaev A. A., Pivovarov Yu. L. Theory of resonant coherent excitation of relativistic hydrogen-like heavy ions under planar channeling in a Si crystal. //J. Phys. B. 2008. -v. 41. — p. 195 001.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т., т. IV / Берестецкий В., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 720 с.
- Багров В. Г., Гитман Д. М., Шаповалов А. В., Шаповалов В. Н. Новые точные решения уравнения Дирака. X. // Изв. вузов. Физика. 1977. — № 6. — с. 10.
- Флюгге 3. Задачи по квантовой механике, т.1. М.: Мир. — 1974. — 340 с.
- Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1963. 1100 с.
- Араманович И. Г., Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа: учебник для вузов. СПб.: Лань, 2006. — 736 с.
- Nakai Yoichi, Ikeda Т., Kanai Y., Kainbara Т., Fukunishi N., Komaki K., Kondo C., Azuma Т., Yamazaki Y. Resonant coherent excitation of 2s electron of Li-like Fe ions to the n = 3 states. // Nucl. Instr. Methods B. 2005. — v.205. — p.784.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория (Серия: «Теоретическая физика», том III). М.: Наука, Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1974. — 752 с.
- Рязанов М. И. Введение в электродинамику конденсированного вещества. М.: Изд-во Физ.-мат. лит., 2002. — 320 с.
- Neutfeld J., Ritchie R. H. Passage of charge particles through plasma // Phys. Rev. -1955. v.98. — p.1632.
- Lotz W. Electron-ion impact ionization cross-sections and ionisation rate coefficients for atoms up to Z=108. // Z. Phys. 1970. — v. 232. — p.101.
- Вайсбурд Д. И., Евдокимов К. Е. // Известия ВУЗов. Физика. 2003. — № 11. — с.81.
- Ольховский И. И., Садыков Н. М. Об усредненном потенциале в статистической теории ориентационных эффектов в кристаллах. // Известия ВУЗов. Физика. 1978.- № 2. с. 25.
- Филимонов Ю. М. Когерентные и ориентационные явления при аксиальном каналировании релятивистских ядер и ионов: Дис.. канд. физ.-мат. наук. Томск. 1996. -117 с.
- Александров Е. В., Хворостенко Г. И., Чайка М. П. Интерференция атомных состояний. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. — 256 с.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т II. Теория поля. 7-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 512 с.
- Pivovarov Yu. L., Geissel H., Scheidenberger С. Resonant coherent excitation of relativistic nuclei in aligned crystals: New experimental perspectives at FAIR. // Nucl. Instr. Methods B. 2007. — v.256. — p.109.
- А Кристаллографическая решетка типа алмаза
- Положение плоскости в решетке задается индексами Миллера. Они определяются следующим способом: найдем координаты тех точек, в которых данная плоскость пересекает
- Так как при моделировании резонансного когерентного возбуждения ионов в главе 4 используются (220) плоскости, приведем также схему расположения (220) плоскостей (рис.28) и схему расположения атомов на (220) плоскости (рис.29).
- На рис. 29 ау = l//2a, az = а — периоды решетки плоскости, где, а — постоянная решетки кристалла (длина ребра куба). Вектор р = {l/2ay, l/Aaz) — базис плоскости.0,1,1), (0,1,0), (½, 1/2,0), (¾,¼,¾), (¼,¾, 3/4)
- Рис. 28: (220) плоскости алмаза. Координаты атомов приведены в долях ребра куба (начало координат — в левом нижнем углу). Белые и светло-серые атомы атомы в углах куба и центрах граней. Темно-серые атомы — атомы вложенной гранецентрированной решетки.
- Рис. 29: Расположение атомов на (220) плоскости алмаза
- Расположение атомов на (220) плоскости можно представить в виде двух плоскостей с прямоугольной решеткой, сдвинутых относительно друг друга на вектор р.
- Рис. 30: Прямоугольная элементарная ячейка плоскости
- В Кристаллический потенциал структуры типа алмаза
- Пусть известен потенциал плоскости, элементарная ячейка которой является прямоугольником (рис. 30). Назовем такую плоскость простой.
- Потенциал простой плоскости представляется в виде (3.3). Обозначим непрерывный
- Потенциал в точке, А равен сумме потенциалов указанных плоскостей. v£{x) = V$(z) + V$(x)1. В.1) — непрерывный потенциал плоскости, 1. В.2)
- Рис. 31: Элементарная ячейка плоскости с базисом. Атомы сдвинутых относительно друг друга на вектор р ячеек обозначены светло-серым и темно-серым цветами.
- W$kyM)(x) (1 + е-1(куРу+кгр,)^ ei (kyy+kzz)фурье-компонеита потенциала плоскости. Здесь учтено, что х = х'.
- Пусть заданы две параллельные плоскости, элементарная ячейка которых имеет базис, состоящий из двух атомов (пункт 2). Узлы второй плоскости сдвинуты относительно узлов первой плоскости на вектор гpi = (ax, ypi, zpi) (Рис. 32).
- Потенциал в точке, А равен сумме потенциалов указанных плоскостей. Непрерывный потенциал системы двух плоскостей (В.1):
- W = V$(x) + V$(x') = 2 (V$(x) + V$(x а,)) (В.З)
- Фурье-компонента потенциала системы двух плоскостей (В.2):
- W{ky, kz)(x, у, z) = W$kyjkz)(x, у, z) + W^kz)(x', у', z') =(1 + + W^^x JW* (В.4)
- Так как реальный потенциал плоскости — действительная величина, необходимо ГарМОНИКууэ ^z УЧИТЫВАТЬ IIcLp? LBH6 С Гс1рМОНИКОИ ky^ То есть, необходимо перейти к действительному потенциалу в (В.2) и (В.4).
- В (В.5,B.6) fb = exp (~{kypy + kzpz)), fpl = exp (-i (kyypi + kzzpi)).
- Рис. 32: Две параллельные сложные плоскости. Атомы сдвинутых относительно друг друга на вектор гpi плоскостей обозначены светло-серым и темно-серым цветами.
- Сравнивая (В.7) и (3.8), заключаем, что:
- ВД = 2 ((1 + + d) + (Щ/р1) + 4fPifb)))W$ky!kz)(x d))
- F2(x) = -2 (4fb)W$ky!kz)(x + d) + (3(/pl) + 4fPifb)))W^kz)(x d))
- Определим потенциал в точке А. Непрерывный потенциал (В.З):2 (х) + V$ (х-ах)) (В.8)
- В (В.6) /ь — ехр (—(½куау + l/4kza, z)), fpt = cxp (—i (l/4kyay + l/2kzaz)). Или, в силу (3.1), fb = ехр (—1(^77,^ + 1/27™^)), fpi = ехр (—i (l/27тпу+ттпг)). Фурье-компонента периодического потенциала (В.4):1. Щку, к,){х>У>г)= (в-9)(l + (w^Jx) + W^kz)(x
- Для первой гармоники пу = nz = 1 в (В.9). Следовательно:
- W{ktM{x, y, z) = (1 + i) (w^yjkz)(x)+iW$^ (В.Ю)
- Если поперечная координата х отсчитывается от середины межплоскостного расстояния, то выражения (В.8,В.10) следует переписать в виде:
- ВД = 2 (v$(x + d) + V$(x d))
- Wiky, kz)(x: у, ,) = (! + i) (W$kyjkz)(x + d) + W$ky>kz)(x d)) ei (-kyV+kzZ
- Вид функций (x) и зависит от используемой аппроксимации потенциалапростой плоскости.
- ЩкуMM) (X, У, г) = 2 (х + d) W$ky>kz) (х — d)) cos (куУ + kzz)~2 wPiL^x sin^+w1281. Плоскость 1лоскость 2x^yphZpl
- Рис. 33: Две параллельные (220) плоскости. Атомы соседних плоскостей обозначены светло-серым и темно-серым цветами.
- То есть, в (3.8) для описываемой ситуации получим (рис.6а), б)):ад = 2 +d)~ w$kyM (x d)),
- F2(x) = -2 (и**, A)(s + d) + W$kv>kJx d)). Аналогично, для ny = 1, nz = 2 в (В.9) и на рис.6в), г):ад = 4 w^kz.(x+d),
- F2{x) = m%ytkz){x~d). и для Пу = 1, = 3 в (В.9) и на рис.6д), е):ад = 2 +d) + «о),
- ВД = 2 {w^kz)(x + d)~ W^kz)(x d)) .