Исследование геометрии Керра и ее обобщений на базе комплексного представления и формализма Керра-Шильда

0.1 Решение Керра и формализм Керра-Шильда 0.1.1 Актуальность темы диссертации.

Современная теоретическая физика охватывает широчайший диапазон процессов от исследования моделей ранней космологии до единой структуры пространства, полей и материи на планковских масштабах с характерными объединительными тенденциями и с глубоким взаимным проникновением различных направлений.

Наиболее перспективное современное теоретическое направлениетеория суперструн (или одиннадцатимерная М-теория), является современным вариантом единой теории фундаментальных взаимодействий основанным на суперсимметрии, универсальном принципе для построения объединённой системы взаимодействующих полей, включая гравитационное. Теория суперструн, объединяя супергравитацию и теорию дуальных моделей, с неизбежностью привела к идеям размерной редукции с нетривиальными схемами компактификации, включая такие новые типы пространств как орбифолды и Риччи-плоские пространства Калаби-Яу.

Одним из наиболее впечатляющих результатов теории суперструн является открытие гетеротической струны.

С начала 1990;х годов чёрные дыры стали рассматриваться как стабильные фундаментальные решения эффективной низкоэнергетической теории суперструн, бозонный сектор которой описывается аксионно-дилатонной гравитацией.

Соответствующие решения для чёрных дыр без вращения были получены Гиббонсом и Май едой, а «в 1992 году Сен получает аксидилатон-ное решение, описывающее фундаментальную гетеротическую струну и фундаментальное решение для вращающейся чёрной дыры — обобщение решения Керра-Ньюмена на аксидилатонную гравитацию. Как показано в диссертации, эти решения оказались взаимосвязанными.

Решение Керра настолько фундаментально, что в настоящее время его обобщения проникают практически во все области современной теоретической физики: от космологических и астрофизических исследований до теории элементарных частиц и теории суперструн. В связи с этим, актуальность исследования вещественной и комплексной структуры геометрии Керра и её обобщений не вызывает сомнения.

0.1.2 Решение Керра в форме Керра-Шильда.

Решения с вращением, обладая повышенной сложностью связанной с твистом главной нулевой конгруэнции, начали исследоваться в Эйнштейновской гравитации в начале 1960;х годов в связи с интересом к гравитационным волнам. Предполагалось, что распространение гравитационных волн в ряде свойств должно быть аналогичным распространению электромагнитных волн, и следовательно, что оно может быть охарактеризовано оптическими параметрами, которые описывают распространение пучка световых лучей — так называемую световую или «нулевую» конгруэнцию лучей. Происхождение слова «нулевая» связано с отсутствием массы фотона и нулевым значением его 4-импульса, к^кр = 0. Такой оптический пучёк лучей может быть описан оптическими скалярами, характеризующими простейшие деформации проектируемого им образа:

— «дилатация» конгруэнции — масштабное увеличение образа при проекции;

— «вращение» или «твист» конгруэнции — поворот изображения при проектировании;

— «сдвиг» конгруэнции — не сохраняющее утлы искажение изображения, например проекция, переводящая проектируемый квадрат в ромб.

Поля, распространяющиеся по конгруэнциям без «сдвига» представляли особый интерес для исследования в связи с тем, что фронт волны подвергается при таком распространении только конформному преобразованию.

Таким образом, появился повышенный интерес к гравитационным полям с «дилатацией» и «твистом», но без «сдвига». На этом пути в 1963 году Керром было получено точное решение, описывающее внешнее гравитационное поле некоторого источника и переходящее на больших расстояниях в известное приближённое рещение Лензе-Тирринга * для гравитационного поля вращающегося источника.

Подобно решению Шварцшильда для чёрной дыры, решение Керра имеет внешний горизонт и получило широкую известность как поле вращающейся чёрной дыры. Решение Керра имеет дополнительный параметр вращения, а = «7/тп, где 3 это угловой момент и тмасса объекта. При, а —> 0 решение Керра переходит в решение Шварцшильда. Заряженная версия решения Керра, решение Керра-Ньюмена, было получено вскоре Ньюменом с сотрудниками посредством некоторого комплексного «трюка», смысл которого в то время был не вполне ясен. 1 Таким образом, решения Швацшильда, Райснера-Нордстрема, Керра и Керра-Ньюмена представляют единое семейство решений для Ф чёрных дыр, поскольку в эйнштейновской гравитации только заряд е, масса т и керровский параметр вращения, а = З/т выживают вне горизонта чёрной дыры согласно теореме Биркгоффа. Заметим, что общие решения с твистом содержат ещё один, так называемый НУТ-параметр, физический смысл которого в настоящее время не совсем ясен 2. Однако, решения с НУТ-параметром не имеют плоской асимптотики, так как содержат сингулярную нить, уходящую от источника на бесконечность.

Решения с вращением имеют весьма громоздкие выражения в угловых координатах, являющихся обобщением сферических координат, используемых при описании решений для чёрных дыр без вращения.

Поразительным контрастом является предельно простое представление этих решений в форме Керра-Шильда. Класс метрик Керра-Шильда [1] имеет вид дци = 17/л/ + 2 ккцку, (0.1) где 7) ц1> метрика вспомогательного пространства Минковского в декартовых координатах Ь, х, у, г 3, Ь-скалярная функция, и № - нулевое векторное поле (кцк^ = 0), касательное к главной нулевой конгруэнции (ГНК). Заметим, что № это касательное направление к световым лучам того самого оптического пучка с «дилатацией» и «твистом», но.

1Как оказалось позднее [2, 3], этот «трюк» тесно связан с комплексным представлением геометрии Керра, хоторое будет детально рассмотрено в данной работе в формализме Керра-Шильда.

2 Он соответствует некоторой мнимой массе и является гравитационным аналогом магнитного ц заряда классической электродинамики.

3Мы используем сигнатуру (—1- ++) без «сдвига», который обсуждался ранее. Решениям Шварцшильда и Райснера-Нордстрема, без вращения, соответствует сферически симметричный пучёк лучей, в то время как для решений с вращением пучёк световых лучей описывает некоторую исходящую от источника вихревую радиацию. Столь простая форма метрики Керра-Шильда связана с тем, что вся сложность геометрии Керра сконцентрирована в вихревой форме нулевой конгруэнции, описываемой векторным полем к*.

Класс метрик Керра-Шильда охватывает практически все решения для черных дыр и многие волновые решения. Предшественниками этого класса являются метрики Эддингтона-Финкелыптейна для черных дыр [4, 5] и класс метрик Переса для системы плоских гравитационных и электромагнитных волн [6], распространяющихся в направлении к.

В представлении Керра-Шильда метрика имеет как бы линейную полевую добавку к плоскому постранству. Хотя система гравитационных уравнений и не становится в этих метриках линейной, в ряде случаев она существенно упрощается.

Поле кр остаётся нулевым также по отношению к опорному пространству Минковского, ktiT) tiI/kv = 0, и контравариантная форма метрики подобна ковариантной др" = тГ ~ 2hWkv, (0.2) и у/—д = 1. Это приводит к переносу важных линейных структур (в частности характеристик, линейных образующих светового конуса) из пространства Минковского без искажения в искривленное пространство и даёт более глубокое понимание геометрической структуры сложат ных решений, и в частности, вещественной и комплексной геометрии Керра.

В решении Керра функция h имеет вид h = m/(r2 + a2 cos2 в), (0.3) где г и в — сплюснутые сфероидальные координаты, которые оказываются адаптированными к вихревой форме керровской конгруэнции.

0.1.3 Формализм Керра-Шильда.

Вывод решения Керра весьма сложен и громоздок, и обычно рассматривается в формализме Ньюмена-Пенроуза [7, 8]. Значительно менее известен формализм Керра-Шильда [1], базирующийся на метрике вида (0.1) и теореме Керра. Хотя по существу и по сложности формализм Керра-Шильда во многом эквивалентен формализму Ньюмена — Пенроуза, наличие опорного пространства Минковского позволяет применить теорему Керра и строго обосновать комплексную геометрическую структуру решения Керра, что формализм Ньюмена-Пенроуза может дать только в линейной аппроксимации.

Суть формализма Керра-Шильда достаточно проста и связана с использованием формы (0.1) в качестве анзаца для подстановки в уравнения Эйнштейна при последующем использовании нулевой тетрады, аппарата внешних форм и решении системы соответствующих дифференциальных уравнений. Однако, как и всякий формализм, формализм Керра-Шильда требует «привыкания» и некоторых навыков работы с ним. Поэтому, в первых двух главах данной работы мы не используем этот формализм и описываем вещественную и комплексную структуры геометрии Керра пользуясь общеизвестными методами анализа. Особенности решения Керра выявляются при анализе простого решения Аппеля (1887), которое является электромагнитным аналогом решения Керра. 4.

При последующем рассмотрении нестационарных обобщений решения Керра мы используем строгий подход связанный с применением теоремы Керра. Дело в том, что для фиксации анзаца Керра-Шильда необходимо задать векторное поле соответствующее геодезической нулевой конгруэнции без сдвига, и эта роль отводится теореме Керра.

Произвольное нулевое векторное поле к^{х) для х G СМ4 может быть представлено в спинорной форме к^ = или эквивалентно комплексной скалярной функцией У (х) = ф1/^0 (проективной спинорной координатой) в виде kpdx1* = du + YdC + YdC — YYdv, (0.4) где использованы нулевые «декартовы» координаты (?,.

2l'2C = ® + iy, 2^2С = x-iy, 2 l/2u = z + t, 2^2v = z-t (0.5).

Теорема Керра позволяет получать необходимые для анзаца функции Y (x), которые соответствуют геодезическим нулевым конгруэнциям.

4По сути оно является точным выражением для электромагнитного потенциала решения Керра-Ньюмена. без сдвига. Согласно теореме Керра функция определяется как решение алгебраического уравнения.

F = 0, (0.6) гдеР (У, А^Аг) является произвольной аналитической функцией трёх комплексных координат.

А1 = С-1Ч А2 = п + УС, У. (0.7).

Эти координаты выглядят достаточно странно, но они имеют ясную геометрическую интерпретацию как проективные твисторные координаты, определяющие световой луч, проходящий через заданную точку.

Данная структура аналитически распространяется для х € СМ4 и определяет в С7М4 световые плоскости, и в частности, плоские образующие световых конусов в СМ4.

В результате анализа нулевой конгруэнции решения Керра обнаруживается простая и изящная геометрическая структура этого решения. Использование этой структуры позволяет в ряде случаев предсказать возможные обобщения решения Керра, и в частности, его нетривиальное суперобобщение.

0.1.4 Комплексная интерпретация решения Керра.

Как мы уже упоминали, прообразом геометрии Керра является простое решение Аппеля [9], которое он получил комплексным сдвигом из ку-лоновского потенциала / = е/г. При этом оказывается, что источник поля может рассматриваться как «частица», распространяющаяся по комплексной мировой линии? д (т) в комплексифицированном пространстве СМ4. Это является исходным пунктом для комплексной интерпретации решения Керра и для построения нестационарных обобщений решения Керра, как поля запаздывающих потенциалов от комплексного источника, распространяющегося по комплексной мировой линии. Как и во всякой конструкции с запаздывающим временем, важная роль отводится при этом световому конусу. Однако, в данном случае ситуация осложняется комплексным характером мировой линии. В результате, запаздывающее время определяется посредством световых плоскостей, которые являются плоскими генераторами светового конуса. При этом, параметры нулевой конгруэнции, и следовательно, анзац Керра-Шильда, зависят от запаздывающего времени и определяются заданной формой комплексной мировой линии [10,11,12].

Данная схема легко обобщается на суперпространство, в котором источником супер-решения Керра является комплексная супер-мировая линия супер-частицы, а запаздывающее время определяется супер-световым конусом [13,14,16]. Заметим, что получаемое при этом нетривиальное супер-обобщение решения Керра-Ньюмена является точным решением уравнений супергравитации, но с нарушенной N = 2 суперсимметрией, в отличие от известных суперсимметричных экстремальных чёрных дыр. В стационарном случае соответствующая бозонная часть решения совпадает с метрикой Керра-Ньюмена, на фоне которой распространяются волновые фермионные возбуждения, ориентированные вдоль главной нулевой конгруэнции.

0.1.5 Сингулярное кольцо и проблема источника решения Керра.

Как видно из выражений (0.1), (0.3) метрика Керра регулярна за исключением области г2 + а2 cos2 0 = 0, что в сплюснутых сфероидальных координатах соответствует сингулярному кольцу г = cos в = 0. В декартовых координатах x, y, z кольцо имеет радиус а. Сфероидальная система координат дважды покрывает декартову, при г > 0 и при г < 0, и решение Керра аналитически продолжается в область г < 0, не совпадая с решением для г > 0. Таким образом, кольцо является линией ветвления пространства, а решение Керра оказывается двулистным. Для значения параметров |а| < т керровское кольцо скрыто под горизонтом чёрной дыры, однако, при |а| > тп горизонты исчезают и возникает необходимость дать некоторую физическую интерпретацию двузначности либо модифицировать решение, отсекая «отрицательный» лист и заменяя его некоторым источником. Эта проблема дискутируется в литературе со времени открытия решения Керра и до сих пор не получила окончательного решения. Простейший выход из положения, рассматриваемый некоторыми авторами — считать случай |а| > тп нефизическим. Однако, для многих астрофизических объектов угловая скорость вращения велика и |а| > |т|, что по меньшей мере указывает на важность этого случая. Кроме того, для параметров элементарных частиц со спином |а| >> тп и это даёт возможность моделировать гравитационное поле элементарных частиц в релятивистских эффектах решением Керра. Более того, в 1968 г. Картер обнаружил [17], что метрика Керра-Ньюмена для вращающегося заряженного объекта имеет двойное гиромагнитное отношение дираковского электрона д = 2, что привело к серии работ по моделированию керров-ской частицы со спином [18, 19, 20, 21], и в частности, по интерпретации сингулярного кольца решения Керра как релятивистской струны [22, 10, 11, 23, 24, 25, 36, 35]. Это направление привлекает к себе всё большее внимание в связи с постоянно возрастающим интересом к решениям для чёрных дыр в теории суперструн. В результате, проблема источника решения Керра остаётся актуальной до настоящего времени. В ряде случаев авторы меняли свою позицию с течением времени, или рассматривали обе версии источника, двулистное пространство с источником в виде кольца (струны), например [22, 27, 19, 20, 35, 36], и источник в виде вращающегося диска (мембраны, пузыря, мешка) при осечённом «отрицательном» листе [18, 62, 64, 21, 25, 33, 94, 95, 68]. Особый интерес проблема источника решений Керра и Керра-Ньюмена приобретает в связи с возможностью моделирования солитоноподобных регулярных решений с вращением, так называемых гравитирующих солитонов [53].

Метрика Керра настолько фундаментальна, что в настоящее время трудно найти область теоретической физики где бы она не рассматривалась. Начиная с девяностых годов чёрные дыры стали рассматриваться как фундаментальные решения теории суперструн [40, 38]. В 1992 было найдено её обобщение на гетеротическую теорию суперструн [37, 52]. Исследования в этом направлении являются наиболее интересными и перспективными. В более общем контексте, наиболее перспективными являются исследования различных обобщений решения Керра для наиболее общих супергравитационных теорий, включающих аксион и дилатон наряду с киральными скалярными полями. Данное направление играет важнейшую роль в физике элементарных частиц и для построения единой теории.

0.1.6 Цель работы.

В теоретическом плане целью данной работы является анализ комплексной структуры геометрии Керра, последовательное и строгое развитие комплексного представления решения Керра на базе формализма Керра-Шильда и разработка метода построения запаздывающих решений, генерируемых комплексным источником. В практическом плане целью данной работы является:

— практическое использование разработанного комплексного метода генерации решений для анализа и построения новых решений для вращающихся источников, подверженных ультрарелятивистскому бус-ту, а также вращающихся нестационарных источников, подверженных произвольному ускорению,.

— распространение этих методов и формализма Керра-Шильда на супергравитацию,.

— использование формализма Керра-Шильда для анализа структуры источников регулярных вращающихся чёрных дыр и гравитирующих солитонов.

0.2 Структура и содержание диссертации.

Содержание диссертации можно схематично разбить на две части.

В первой части диссертации, базируясь на формализме Керра-Шильда и теореме Керра, мы разрабатываем новый комплексный метод генерации точных решений для вращающихся чёрных дыр, соответствующих их произвольному релятивистскому движению и ускорениию.

Мы анализируем вещественную и комплексную геометрию Керра и обнаруживаем там две струнные структуры, указывающие на тесную связь геометрии Керра с фундаментальной физикой микромира.

Во второй части диссертации мы активно используем разработанный в первой части комплексный метод генерации новых решений и формализм Керра-Шильда для получения различных обобщений геометрии Керра. Это позволяет нам решить ряд новых важных задач и получить следующие новые результаты:

— точные решения для вращающихся источников находящихся в произвольном (ультра)релятивистском движении с произвольным направлением углового момента,.

— класс новых решений для произвольно ускоряемых вращающихся источников,.

— новый класс простейших нетривиальных суперобобщений решения Керра на N = 2 супергравитацию с нарушенной суперсимметрией.

— исследовать вращающиеся источники с регулярным тензором энергии импульса и регулярной метрикой, что представляет интерес как для высокоэнергетических процессов при коллапсе в астрофизике, так и при построении частицеподобных моделей с вращением (гравитирую-щих солитонов).5.

— получить решения, моделирующие конфайнмент в моделях регу-ляризованных чёрных дыр (в суперсимметричной модели фазового перехода с хиггсовскими полями, в 5-мерной модели с дилатоном и в полевой модели гравитации, связанной с нелинейной электродинамикой).

В главах 1 и 2 мы даём описание вещественной и комплексной структур геометрии Керра, которое опирается на традиционный математический аппарат, позволяет получить ясное предварительное представление и не требует знания деталей формализма Керра-Шильда. Начиная с третьей главы изложение становится более формальным, что требуется для детальных вычислений.

В главе 1 мы начинаем рассмотрение структуры геометрии Керра с основных особенностей её реальной структуры:

1) сингулряное кольцо радиуса а, которое является полюсом функции h (при г = 0 и cos0 = 0) и линией ветвления пространства,.

2) двулистность простанства (как следствие этого ветвления) — карта с координатами х, у, z покрывается дважды картой с координатами г, 0, ф: при г > 0 и г < 0,.

3) главная нулевая конгруэнция с «твистом» — касательное к ГНК поле № имеет специфическую вихревую форму и распространяется с отрицательного листа метрики (г < 0) на положительный (г > 0).

Двулистность керровского простанства ведет к неоднозначности полей, что поднимает трудную и нерешенную окончательно проблему физической интерпретации источника этой геометрии.

В главе 2 мы показываем, что эти особенности геометрии Керра проявляются как следствие её комплексной структуры и даём предварительное описание комплексного представления геометрии Керра через конструкцию запаздывающего времени.

Глава 3 опирается на формализм фундаментальной работы Дебнея Керра и Шильда [1] и теорему Керра.

Теорема Керра задаёт представление геодезических нулевых кон.

5 В регулзгризованных решениях с вращением обнаруживается структура источника типа сплюснутого вращающегося «мешка» хомптоновсхого размера. Таким образом, геометрия Керра демонстрирует на классическом уровне одно из известных свойств квантовых источников — невозможность локализации источника в зоне меньшей его хомптоновсхих размеров. груэнций (с твистом, но без сдвига) через решение У{х) алгебраического уравненияР (У) = 0, где функция .Р является произвольной аналитической функцией трех комплексных координат у, и + УС).

Важность этой теоремы связана с тем что ГНК определяет форму метрики Керра-Шильда (анзац) при решении уравнений, и очень широкий класс ГНК удовлетвояет условиям этой теоремы (вплоть до решений для черных дыр в низкоэнергетической теории суперструн). Кроме того, обнаруживается тесная связь этой теоремы с твистора-ми [28], т.к. фигурирующие в теореме три комплексные переменные {У, Ах = С — Уу, А 2 = 11 + У£ } оказываются проективными твис-торными координатами [29]. В твисторных обозначениях Z = (¿-И, Фх), где /И = а’Ро^Фх* они принимают вид (А^ А2, У, 1) = (/?°, Ф[)/Ф[-Теорема Керра позволяет определить расположение сингулярностей (которые являются линиями фокусировки конгруэнции) как решение системы уравнений = 0,. 0^ = 0.

В случае, когда ГНК формирует сингулярности, заключённые в системе островного типа (не уходящие на бесконечность), решение может быть получено в явном виде и соответствует произвольно ориентированной Керровской сингулярности б.

В разделе 3.3 мы рассматриваем нестационарное обобщение теоремы Керра и её связь с запаздывающим временем, что было получено автором в сотрудничестве с профессорами Р. Керром и 3. Пересом в 1991;1995 годах, и применяем это в разлеле 3.4 к решениям с произвольным ускорением [32, 34], и в разделе 3.5 к анализу решений, соответствующих релятивистскому и ультрарелятивистскому движению (бусту) источника геометрии Керра, выполненному в сотрудничестве с проф. Дж. Мальи [12].

В главе 4 мы рассматриваем струнные структуры в геометрии Керра. Предположение, что керровское сингулярное кольцо, г = г + гасоБ0 = 0, (0.8) может играть роль замкнутой струны в керровской частице со спином, было высказано впервые в работе [22], и рассматривалось затем в работах [10, 11, 36, 35, 23]. Оно опиралось на предшествующую модель.

6 Это было независимо показало в работе Керра и Вильсона [31] и в совместной работе Иваненко и автора [10]. микрогеона с метрикой Керра [19], где сингулярное кольцо использовалось как волновод для распространения электромагнитного возбуждения, генерируя угловой момент и массу объекта. Струнные возбуждения этого типа получили в суперструнных моделях название «traveling waves». Появление в решении для черных дыр нового параметра длины а, характеризующего размер сингулярного кольца, явилось безусловно революционным переходом от точечных (сингулярных) источников к протяженным. Заметим, что масштаб гравитационного взаимодействия черных дыр в этом случае определяется не массой, а размером кольца а, что на много порядков может превышать оценки, полученные для невращающихся черных дыр. Формально, открытие решения Керра можно сравнить с революционным прорывом от точечных объектов к протяженным в теории (супер)струн. Однако, эта аналогия оказалась не только формальной. В работе [36] было показано, что в решении, обобщающем решение Керра на низкоэнергетическую теорию струн [37, 38], поле в окрестности керровского сингулярного кольца имеет ту же форму, что и поле фундаментальной гетер от ической струны.

Комплексная геометрия Керра также содержит струнную структурукомплексную (или гиперболическую) струну [45, 46, 23, 47]. Дело в том, что комплексная мировая линия xft (г) параметризуется комплексным временем г = tfг<�т, и представляет в действительности мировую поверхность (worldsheet), занимая промежуточное положение между частицей и струной. Эта струна имеет много общего с загадочной комплексной N=2 суперструной [48,119] и проливает свет на её интерпретацию. В свою очередь, граничные условия для керровской комплексной струны приводят к ещё одной типично струнной структуре — орби-фолду, которая тесно связана с двулистностью керровской геометрии [45, 46]. Связь орбифолдов с черными дырами была замечена впервые Виттеном [49]. Возникающий в керровской геометрии орбифолд имеет структуру, которая рассматривалась независимо Хоравой [50].

Начиная с 1991 года, после работы Виттена [49], активный интерес к черным дырам проявляется в теории суперструн. Появляется точка зрения, что некоторые черные дыры, являясь фундаментальными состояниями в теории суперструн, могут рассматриваться как элементарные частицы [40, 92, 136]. А. Сен находит обобщение решения Керра-Ньюмена на низкоэнергетическую теорию суперструн [37, 38]. Несколько позже Гальцов и Кечкин находят соответствующее обобщение для решения Керра-НУТ [52]. Эти решения находятся методами генерации новых решений из известных ранее, и многие характеристики и свойства новых решений остаются при этом неизвестными.

В главе 5 мы анализируем решение Сена, обобщающее решение Керра-Ньюмена на низкоэнергетическую теорию струн, фактически на аксион-дилатонную гравитацию. При этом, исследуется роль струнных полей, аксиона и дилатона. Показано, что дилатон деформирует Керр-Шильдовскую форму метрики. Мы показываем также [36], что ГНК решения Сена совпадает с ГНК метрики Керра и сохраняет её свойства геодезичности и безсдвиговости, однако, в отличие от решения Керра, имеющего тип Б, решение Сена не является алгебраически специальным и имеет по классификации Петрова тип I.

Анализируя поле вблизи сингулярного кольца решения Сена мы получаем вышеупомянутый результат, что предельная форма поля в окрестности кольца совпадает с формой поля в окрестности фундаментальной гетеротической струны.

В главе 6 мы рассматриваем обобщение решения Керра-Ньюмена на простую N=2 супергравитацию.

Простая N=1 теория супергравитации была предложена Дезером и Зумино в работе [54]. В дополнение к метрике (или тетраде) она включает в себя калибровочное поле спина 3/2 и инвариантна при локальных супертрансляциях. Это позволяет путем калибровочных суперпреобразований получать решения в супергравитации из известных решений Эйнштейновской гравитации. Первые решения для «супер» черных дыр были получены именно этими путем [55]. Однако, эти решения могут рассматриваться как тривиальные, т.к. они отличаются от Эйнштейновских лишь суперкалибровкой. По аналогии с известными калибровочными теориями Дезер и Зумино вскоре предложили модель нарушенной N=1 супергравитации, где была использована идея Волкова и Акулова о нарушении суперсимметрии [57], и по аналогии с гольд-стоновским бозоном возникало гольдстоновское фермионное поле спина ½, фиксирующее супер калибровку [56]. Развивая комплексную интерпретацию геометрии Керра, мы показываем тесную связь комплексного сдвига керровской геометрии с калибровочными супер-сдвигами в супергравитации и связь формирования керровского вещественного сечения с фиксацией суперкалибровки [13]. Перенося по аналогии на супергравитацию метод генераций геометрии Керра комплексным сдвигом, мы получаем метод генерации нетривиальных супер-решений, и в частности нетривиальное суперобобщение геометрии Керра [14].

При наличии электромагнитного поля простая N=1 супергравитация должна быть заменена на N=2 Эйнштейно-Максвелловскую супергравитацию, предложенную в работе Феррара и Ниувенхуизена [15]. Мы рассматриваем этот случай в работах [16, 58] и получаем самосогласованное суперобобщение решения Керра-Ньюмена для полевой модели с нарушенной N=2 супергравитацией.

В главе 7 мы рассматриваем регуляризацию решений для чёрных дыр в классе Керра-Шильда. Проблема регуляризации решений для чёрных дыр — избавление от истинной сингулярности их тензорных характеристик — представляет интерес как для астрофизических исследований, так и для их применения в качестве непертурбативных решений при моделировании в физике элементарных частиц. Для решения Керра эта проблема приобретает дополнительное усложнение, связанное с топологической двулистностью пространства. Долгое время рассмотрение регуляризации решений для чёрных дыр в астрофизике и в физике частиц шло почти независимо. Однако, постепенно проясняется, что как методы исследования, так и их результаты имеют много общего, зачастую отличаясь лишь значениями параметров решений, приводя, тем не менее, к существенным качественным различиям.

В астрофизических исследованиях эти работы были связаны с рассмотрением проблемы гравитационого коллапса [70, 71]. Глинер и Сахаров выдвинули предположение, что материя в сверхплотном состоянии должна иметь уравнение состояния р = —в, при котором тензор энергии-импульса приобретает на последней стадии коллапса А-член. Зельдович предположил, что это является следствием гравитационного влияния на процесс поляризации вакуума [72]. Эти рассмотрения естественным образом вели к гипотезе, что бесконечное увеличение кривизны пространства-времени в процессе коллапса должно быть остановлено, с образованием некоторого центрального ядра с постоянной предельной кривизной, определяемой эффектами квантовых флуктуаций. Заметим, что примерно в это же время была выдвинута идея Маркова о возникновении в процессе коллапса полузамкнутого мира, связанного через горловину с внешним пространством, и о возможной связи этой конструкции с элементарными частицами. Интерес к этим идеям был возобновлён после работ Фролова, Маркова и Муханова [65, 66]. Их модель состоит из ядра с метрикой де Ситтера, состыкованной с внешним пространством поля Шварцшильда посредством тонкого переходного слоя. Довольно многочисленные исследования в этом направлении ограничивались ранее лишь случаем невращающихся решений для чёрных дыр [67, 73, 74, 75, 76, 77, 69, 78, 79, 81, 82, 216, 217]. Среди них, в работах [67, 76, 77, 216, 217] отмечается связь этой проблемы с построением частицеподобныхрешений и обсуждаются «гладкие» модели, в которых переходной слой не является бесконечно тонким, а обеспечивает гладкое согласование внешней метрики с метрикой центрального ядра. Отметим также очень раннюю работу Хоффманна и Инфельда [235](1937), где рассматривается регуляризация частицеподобных решений в нелинейной электродинамике, связанной с гравитационным полем, и важное направление, развиваемое Гальцовым и Волковым — гравитирующие солитоны с полем Янга-Миллса, см. обзор [53].

Исследование источника решения Керра-Ньюмена приводило к модели вращающегося, сильно сплюснутого, бесконечно тонкого пузыря [21]. Ввиду сложности этой проблемы, предпринимались только две попытки обобщить этот результат на случай гладкого переходного слоя: в работе Лопеза [84] и в работе Гюрши и Гюрсея [86], причем, результаты этих работ противоречили друг другу. Это послужило нам основанием для независимого исследования гладкой модели источника в рамках Керр-Шильдовского подхода [94, 68] с использованием ДКШ-формализма [1]. Как оказалось, правильное выражение для тензора энергии-импульса источника было дано в работе Гюрши и Гюрсея [86]. Глава 7 написана по результатам этих работ.

Регуляризация керровской сингулярности для метрик класса Керра-Шильда д^ш = ifou/ + 2 hkpkv, (0.9) связана с регуляризацией функции h=m=ft) (0.Ю).

Е г2 + a2 cos2 в 4 } поскольку векторное поле ГНК кц нормализуется, так что временная компонента = 1). Для решения Керра-Ньюмена функция / имеет вид.

М = /jfjv® = тте2/2, и метрика регулярна за исключением сингулярного кольца.

Оставаясь при регуляризации в классе Керра-Шильда, и сохраняя форму и свойства векторного поля касательного к ГНК, мы имеем единственную возможность регуляризации, связанную с выбором функции /(г). Однако, вводя произвольно функцию /(г), мы деформируем метрику и получаем, как следствие уравнений Эйнштейна, некоторый ненулевой тензор энергии-импульса. Вместо (электро)вакуумного внешнего поля чёрной дыры, мы обнаруживаем в области деформации метрики некоторый материальный источник. Поскольку мы регуляри-зуем сингулярность, деформация оказывается сильной вблизи сингулярности, и результирующий источник закрывает или заменяет собой область сингулярности.

Мы вычисляем и приводим в Приложениях к главе 7 соответствующие тетрадные формы и представления для регуляризован-ных метрик класса Керра-Шильда в координатах Керра и Бойера-Линдквиста.

В главе 8 рассматривается проблема полевой модели. Полученная структура тензора энергии-импульса для регулярных решений в классе Керра-Шильда должна быть согласована с некоторой полевой моделью, решения которой приводили бы к данной структуре тензора энергии-импульса. Эта проблема является чрезвычайно сложной и пока не решённой. Поэтому, представляет интерес выяснение требований к полевым моделям регулярных источников, а также анализ различных полевых моделей и исследование их свойств. Данная проблема смыкается с известной проблемой получения регулярных частицеподобных решений или солитонов (в обобщённом смысле этого слова), и в этом направлении предложен целый ряд моделей, таких как скирмионы, С^-болы, пузыри, лампы, модели с полем Янга Миллса. Отметим также старые модели с нелинейной электродинамикой: модель Борна — Ин-фельда и работу Гоффманна-Инфельда [235], в которой, повидимому впервые, эта проблема рассматривалась с участием гравитационного поля как проблема рагулярного решения с внешней метрикой чёрной дыры. Гравитация играет важную регуляризующую роль в формировании частицеподобных решений. В этой связи отметим гравитирую-щие солитоны (см. обзор [53]) и работы [143, 147, 219].

Кроме того, имеется ряд полевых моделей протяжённых объектов, которые могут иметь прямое отношение к этой проблеме. В частности, это регулярные модели мешков, струн и доменных стенок.

Рассматриваемая модель регулярной заряженной чёрной дыры класса Керра-Шильда накладывает целый ряд специфических ограничений на структуру соответствующей полевой модели:

— внешнее электромагнитное поле должно быть дальнодействующим (безмассовым) и иметь на бесконечности асимптотику поля Райснера-Нордстрема или Керра-Ньюмена,.

— электромагнитное поле должно быть регулярным во всём пространстве,.

— в соответствии с исследованными свойствами источника поля Керра-Ньюмена, зона ядра должна обладать сверхпроводящими свойствами, выталкивая внешнее электромагнитное поле,.

— тензор энергии-импульса модели должен иметь асимптотику электровакуумных решений для чёрных дыр,.

— во внутренней области тензор энергии-импульса полевой модели должен обеспечивать регулярное гравитационное поле, что соответствует постоянному значению плотности энергии в зоне ядра дтр = О,.

— полевая модель должна обеспечивать гладкий фазовый переход от области внешнего электровакуума к новому вакуумному состоянию внутри ядра.

Мы показываем, что удовлетворительное соответствие с этими требованиями появляется лишь в полевой модели, предложенной Виленки-ным и Шеллардом [96] и Виттеном [97] для описания сверхпроводящих космических струн. Мы адаптируем эту модель к описанию сверхпроводящего источника (ядра) для метрики регулярной чёрной дыры и рассматриваем суперсимметричную версию этой модели, предложенную Моррисом [100].

В Главе 9 рассматриваются два класса регулярных гравитационных моделей, демонстрирующих явление конфайнмента связанное с дилатоном. Модель первого типа основана на 5-мерном дилатонном А (18-Керр решении в теории Ас18/СРТсоответствия. Модель второго типа связана с нелинейной электродинамикой. Рассматривается случай, когда регулярные решения для чёрных дыр оказываются самосогласованными — это источники, генерируемые нелинейной электродинамикой (НЕД) более общего типа чем теория Борна-Инфельда [216, 217, 218, 219, 220, 222]. Как отмечалось в работе Гоффмана и Инфель-да (1937)[235], нелинейность типа Борна-Инфельда (БИ) не подавляет гравитационную сингулярность (оставляет коническую сингулярность). Интерес к нелинейной электродинамике не ослабевает в настоящее время, поскольку нелинейность типа БИ индуцируется теорией струн [237, 232] и находит применение в современной теории Е)-бран. В недавних работах [216, 217, 218] Айон-Веато и Гарсиа рассмотрели более сильные виды нелинейной зависимости чем БИ, приводящие к точным регулярным решениям для чёрных дыр. Эти решения были проанализированы Бронниковым [219] и было обнаружено существование ветвлений и особого типа сингулярностей в Лагранжиане, используемом в этих решениях. Критически анализируя эти решения, он показал, что ветвь Лагражиана вблизи ядра ведёт себя очень необычно для НЕД, она не стремится к Максвелловскому поведению в пределе слабого поля. Таким образом, вблизи ядра этого решения фактически действует некоторая иная теория или модель. Был предложен класс регулярных, магнитно-заряженных чёрных дыр и рассматривалась «no-go» теорема о несуществовании электрически заряженных регулярных чёрных дыр. Анализируя доказательство теоремы Бронникова, в нашей совместной работе с С. Хильдебрандтом мы показали [208], что теорема Бронникова о несуществовании электрически заряженных регулярных решений для солитонов и чёрных дыр не распространяется на модели с фазовым переходом вблизи ядра. Была предложена некоторая модификацию решения Айон-Веато и Гарсиа [217], позволяющая интерпретировать новое решение как фазовый переход вблизи ядра от обычной электродинамики к дуальной электродинамике Дирака [223], связанной с магнитными зарядами. Мы рассматриваем в Главе 9 это решение и показываем, что модифицированное решение приводит к электрически заряженной частицеподобной модели, в которой электрическое поле ограничено некоторой зоной вне ядра, в то время как вблизи ядра происходит фазовый переход к магнитной фазе, допускающей регуляризацию.

Этот класс решений представляет интерес не только как пример регулярного, электрически заряженного решения для чёрной дыры, но также, как пример частицеподобного решения с очень специфической реализацией идеи о конфайнменте магнитных зарядов, основанном на дуальной электродинамике и дуальной сверхпроводимости.

В заключительной части диссертации приводятся:

— Новые научные результаты, выносимые на защиту.

— Аппробация материалов диссертационной работы.

— Основные публикации по теме диссертации.

— Библиография.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Буринский А. Я. Микрогеон со спином. ЖЭТФ. 1974, т.66, с.406−411.

2. Буринский А. Я. Микрогеон с метрикой Керра. Известия вузов. Физика. 1974, п. 8, с. 21−24.

3. Иваненко Д. Д. и Буринский А. Я. Гравитационные струны в моделях элементарных частиц. Известия вузов. Физика. 1975, п. 5, с.135−138.

4. Буринский А. Я. Новые точные решения системы уравнений ЭйнштейнаМаксвелла. В сб.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. Москва. Атомиздат. 1977, вып.8, с.69−77.

5. Иваненко Д. Д. и Буринский А. Я. Спин-струны в гравитации. Известия вузов. Физика. 1978, п. 7, с.113−119.

6. Буринский А. Я. Решения системы уравнений ЭйнштейнаМаксвелла с волновым электромагнитным полем. В сб.: Гравитация и Теория Относительности. Казанский университет. 1978, вып.14, с.21−27.

7. Буринский А. Я. Струны в метриках Керра-Шильда. В сб.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. Москва. Атомиздат. 1980, вып.11, с. 47−60.

8. Буринский А. Я. К проблеме источника геометрии Керра (Струны, Твисторы, Энергия Казимира). В сб: Проблемы гравитации. Ред. Д. Гальцов. МГУ. 1986, с. 215−232.

9. Буринский А. Я. К проблеме источника геометии Керра. Известия вузов. Физика. 1988, п. 5, с.80−86.

10. Burinskii A. Ya. The Problem of the Source of the Kerr-Newman Metric: the Volume Casimir Effect and Superdense Pseudovacuum State. Phys. Lett. B. 1989, v. 216, p. 123−126.

11. Burinskii A. Ya. Complex String as Source of Kerr Geometry. Espec. Space Explorations. Moscow. Belka. 1955, v.9, C2, p. 60−68.

12. Burinskii A. Ya. The Kerr Geometry, Complex World-Lines and Hyperbolic Strings. Phys.Lett. A. 1994, v.184, p.441−445.

13. Burinskii A. Ya. String-like Structures in Complex Kerr Geometry. In: Relativity Today. Eds. R.P. Kerr, Z. Perjes. Academiai Kiado. Budapest.

1994, p.149−158.

14. Burinskii A. Ya. The Kerr Spinning Particle and Strings. Comm. in Theor. Phys. (India). 1994, v.3, n.2, p.180−187.

15. Burinskii A. Ya. Some Properties of the Kerr Solution to Low-energy String Theory. Phys.Rev. D. 1955, v. 52, p. 5826−5831.

16. Burinskii A. Ya. and G. Magly. Behavior of Singularities of the Kerr-Newman and Kerr-Sen Solutions by Arbitrary Boost. Annals of the Israel Physical Society. 1997, v.13, p. 296−310.

17. Burinskii A. Ya. Kerr Spinning Particle and Superparticle Models. In: Supersymmetry and Quantum Field Theory. (Proceedings of the D. Volkov Memorial Seminar.) Eds. J. Wess and V. Akulov. Lecture Notes in Physics. Springer. 1998, v.509, p.214−219.

18. Burinskii A. Ya. Kerr Spinning Particle, Strings and Superparticle Models. Phys. Rev. D. 1998, v. 57, p.2392−2396.

19. Burinskii A. Ya. Spinning Particle as a Non-trivial Supergeneralization of Kerr’s Black Hole. In: Frontiers of Fundamental Physics. Eds. B.G. Sidharth and A. Ya. Burinskii. Universities Press. Hyderabad. 1998, p.97−106.

20. Burinskii A. Ya. and Magli G. Kerr-Schild approach to the boosted Kerr solution. Phys.Rev. D. 2000, v.61,iss.4, p.44 017 (1−6).

21. Burinskii A. Super-Kerr-Newman Solution to Broken N=2 Supergravity. Class. Quant. Grav. 1999, v.16, n. ll, p.3497−3516.

22. Burinskii A. Ya. Kerr Spinning Particle. Turkish Journal of Physics. 2000, v.24, n.3, p.263−275.

23. Burinskii A. Ya. Dilatonic AdS-Kerr Solution to AdS/CFT correspondence Phys. Rev. D. 2000, v. 61, iss.10, p.107 501 (1−3).

24. Burinskii A. Ya. Structure of Spinning Particle Suggested by Gravity, Supergravity and Low-energy String Theory. (Proc. of the Workshop Spin'99.) Czech. Journ. of Phys. 2000, v.50, Suppl SI, Part 1, p. 201−206.

25. Burinskii A. Ya. Non-trivial Supergeneralization of the Kerr-Newman Solution. Ann. Phys. (Leipzig). 2000, v.9, Spec. Issue, p. 34−37.

26. Burinskii A. Ya. Non-trivial Rotating Super Black Hole to Broken N=2 Supergravity. In: Supersymmetries and Quantum Symmetries. (Proc of JINR Workshop.) Dubna. 2000, p.48−53.

27. Burinskii A. Ya. Rotating Super Black Hole as Spinning Particle. In: «Noncommutative Structures in Mathematics and Physics Eds S. Duplij and J .Wess. Kluwer. Sub-Series II. 2001, v.22, p. 181−193.

28. Burinskii A. Supersymmetric Bag Model as a Development of the.

Witten Superconducting String Model. In: «Proceedings of the IX International Conference on Supersymmetry and Unification of Fundamental Interactions — SUSY'01.» Singapore, World Scientific, 2001, p.412−415.

29. Burinskii A. Ya., Elizalde E., Hildebrandt S. R. and Magli G. Regular Sources for Rotating and Nonrotating Black Hole Solutions of the Kerr-Schild Class. Phys. Rev. D. 2002. v.65, iss.6, p.64 039 (1−15).

30. Burinskii A. Ya. Casimir Energy and Vacua for Superconducting Ball in Supergravity. Intern. J. Mod. Phys. A. 2002, v. 17, n.6,7, p.920−925.

31. Burinskii A. Ya. and Hildebrandt S.R. New Type of Regular Black Holes and Particlelike Solutions from Nonlinear Electrodynamics. Phys. Rev. D. 2002, v.65, iss.10, p.104 017 (1−7).

32. Burinskii A. Ya. Supersyrnmctric Sureconducting Bag and the Core of a Kerr Spinning Parrticle. Grav. Cosmology, 2002, v.8, n.4(32), p.261−271.

33. Burinskii A. Ya. Super Black Hole as Spinning Particle. In: Proceedings of XXIV International Conference on Fundamental Problems in High Energy Physics. IHEP (Protvino). 2001, p.165−176.

34. Burinskii A. Ya. Super Black Hole as Spinning Particle: Supersymmetric Bag Model (Proc. of the SPIN'01 Workshop.) Czech. Journ. of Phys. 2002, v.52, Suppl. C, Part II, p.471−478.