Пространственно-временная фильтрация состояния распределенных систем

Задачи оптимальной фильтрации (оценки) состояния распределенных в пространстве систем возникаю! всякий раз, когда требуется управлять такими системами. Отсюда видно, что теория фильтрации и теория управления развиваются не только синхронно во времени, но и взаимно влияют друг на друга, используя достижения в сопряженных областях.

В предлагаемой книге рассмотрены некоторые проблемы управления, вначале для конечномерных систем (сосредоточенных), а затем и для распределенных в пространстве, которые послужили базой для создания алгоритмов фильтрации.

Одновременно развивается и строго классический подход к фильтрации, основанный на представлении процессов и полей случайными конструкциями марковского тина.

Теория пространственно-временной фильтрации еще находится в начальной фазе своего становления. Это и понятно, поскольку она стала разрабатываться уже после того, как были получены основные результаты в теории фильтрации для сосредоточенных систем, созданные трудами Колмогорова, Винера, Каймана, Стратоновича и др.

В основу книги легли материалы работ автора и его учеников, лежащие в русле направления, сформированного A.A. Красовским, синтеза оптимального управления по так называемому полуопределенному функционалу. Фильтрация параметров систем здесь строится на основе определения таких воздействий на модель системы, что реакция модели на сформированное управление и наблюдаемое движение системы были бы близки в смысле заданного функционала качества, каковым может быть, например, среднеквадратическая ошибка.

Движения модели, которые доставляют экстремум функционала качества, принимаются за оценку реального состояния рассматриваемой системы.

С другой стороны, следует отметить влияиие работ Фейнмана, Дынки-на, Ито, Монина, Яглома и других на результаты, полученные ¿-втором в направлении развития теории полуфупп на пространственно-распределенные системы.

Здесь уместно проследить качественные изменения понятий при переходе к бесконечным параметрам некоторой абстрактной системы уравнений.

Начнем с обыкновенных алгебраических уравнений. Если устремлять количество неизвестных в системе алгебраических уравнений к бесконечности, то при определенных условиях (которые не играют важной роли для пояснения мысли, но существенны для теоретического построения) эта система переходит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь вошло в рассмотрение время, а вслед за ним и движение. Посмотрим, что же происходит при этом с функцией качества, заданной на этих алгебраических уравнениях. Для определения экстремального значения параметров системы алгебраических уравнений, как известно, необходимо было продифференцировать функцию качества по независимым переменным и приравнять ее к нулю. Получилась опять конечная система алгебраических уравнений. При переходе к бесконечному количеству переменных эта система (в подходящих случаях) перетекает в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, а функция качества превращается в функционал. Систему обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных при экстремальном значении функционала, называют уравнениями Эйлера-Лагранжа.

Здесь мы рассмотрели только идею, опустив все теоретические подробности предельных переходов.

Перейдем теперь ко второму этапу анализа качественных изменений.

Выберем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, устремим их количество к бесконечности и вновь перейдем к некоторой конструкции под названием «дифференциальные уравнения в частных производных». А здесь вошло в рассмотрение не только время, но и пространство.

Функционал качества также изменится, теперь он станет зависимым не только от функций, аргументом которых является время, но и от функций, аргументом которых являются время и пространственные координаты. В общем случае от конечного их количества.

Условия, при которых функционал качества достигает экстремума, также изменяются. Теперь они выльются в систему дифференциальных уравнений в частных производных.

Наконец, сделаем еще один шаг. Рассмотрим систему уравнений в частных производных и устремим их количество в бесконечность. При определенных условиях это приведет к системе уравнений в функциональных производных. При этом функционал качества, заданный на системе дифференциальных уравнений с частными производными, также перейдет в новый ранг. Аргументом его станут не функции, а функционалы. Аналогично изменяются и уравнения, описывающие экстремум функционала качества. Теперь они станут уравнениями в функциональных производных.

Рассуждения подобного типа можно продолжить и далее, но из этих абстрактных построений мы остановимся на тех конструкциях, которые отвечают потребностям практики.

Уравнения в функциональных производных являются относительно новым классом уравнений. У истоков этих понятий стояли Фейиман, повидимому первый, кто систематически рассматривал континуальный интеграл (иначе интеграл по траекториям), лежащий в основе функционала плотности вероятностной мерыХопф, впервые получивший (1952 г.) уравнения в вариационных производных для функционала плотности вероятностиТатарский, Новиков, Монин, Яглом и др.

В направлении изучения и решения уравнений в функциональных производных сделаны только первые шаги.

Пространственно-распределенные системы, находящиеся под воздействием случайных полей, описываются уравнениями в частных производных и, следовательно, для описания их поведения необходимо привлекать вероятностные характеристики.

Наиболее полной характеристикой случайного поля является функционал вероятпостной меры. Если быть последовательным сторонником теории случайных процессов броуновского типа, а более широко — марковских процессов, то для плотности вероятностной меры неизбежно приходим: для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, к уравнениям в частных производных параболического типадля систем, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными, к уравнениям в функциональных производных, также параболического типа.

При этих переходах возникает одно замечательное обстоятельство. Если на исходную нелинейную систему действуют процессы и поля броуновского типа, то несмотря на нелинейность исходной системы, уравнения для плотности вероятностной меры являются линейными. Это позволяет использовать богатый арсенал линейной теории дня исследования поведения сугубо нелинейных систем.

Книга адресована в первую очередь аспирантам, адъюнктам и другим исследователям, которые встали на нелегкий путь добычи новых знаний.

С другой стороны, обилие примеров синтеза конкретных систем позволяет надеяться, что книга может быть полезной для преподавателей, являющихся руководителями дипломных проектов, и курсантов, как при изучении ими дисциплин радиотехнического профиля, так и при работе над курсовыми и дипломными проектами.

Выражаю искреннюю благодарность своему учителю Расщепляеву Юрию Семеновичу за конструктивную критику, благодаря которой были получены многие интересные результатыдрузьям, в особенности Хутор-цеву Валерию Владимировичу и Соколову Сергею Викторовичу, за поддержку и плодотворную дискуссиюученикам, Костоглотову Андрею Александровичу, Детистову Владимиру Анатольевичу и Трофименко Владимиру Николаевичу, за разработку и доведение до логически завершенных результатов высказанных идейЮхнову Василию Ивановичу и Сергеевой Елене Владимировне за оформительский труд.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

1.1. Множества.

Само по себе понятие множество достаточно простое, однако потребовалось значительно времени и усилий для его осознания. Теория множеств как математическая дисциплина — плод трудов многих математиков. Особую роль в ее организации играл Г. Кантор (1845−1918 г.) [1.1,1.2]. Согласно Кантору, множество есть собрание определенных и различимых между собой объектов [1.3−1.8]. Это понятие является базовым, или первичным, и потому сведение его понятия к другим является невозможным. Наоборот, многое другое будем определять через понятие множества.

Множества обычно обозначаются прописными буквами (А, В,.,), а их элементы — малыми (а, в). Принадлежность элемента к множеству будем обозначать, а е А, а запись, а .

На множестве вводят операцию объединения (1.3,1.4,1.6].

С = АИВ,.

П.П, А В которая означает, что множество С состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств, А или В (рис. 1.1). и операцию пересечения.

С=АПВ. 1.2).

1.2).

С= А1/В где множество С состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат как А. так и В (рис. 1.2).

С*АПВ.

Определим для множеств операцию вычитания. Разностью С =А В множеств, А и В называется совокупность тех элементов из А, которые не содержатся в В (рис. 1.3).

Теория множеств позволяет с самых общих позиций рассматривать такие математические понятия, как функция, функционал, оператор, представляя их как отображение одного множества на другое.

Под отображением / понимают операцию соответствия элементов одного множества, А элементам другого множества В. Для отображения используют запись.

А->-В, (1.3) что означает.

Ъ = /(а), где, а а, А и ЬеВ, при этом множество, А называют областью определения, а В — областью значений отображения.

В дальнейшем будем часто пользоваться множествами, число элементов которых бесконечно. Для таких множеств интуитивное понятие количества элементов теряет смысл. Кантор предложил ввести понятия мощности множеств следующим образом: «Если два вполне определенных многообразия' М и N можно поэлементно поставить в соответствие друг о другом однозначно и полностью (что, когда это возможно одним способом, всегда также может быть сделано и многими другими), то да позволено будет в дальнейшем употреблять выражение, что эти многообразия имеют равную мощность, или что они эквивалентны'' [1.2].

Простейшим среди бесконечных множеств является множество натуральных чисел, которое в определенном смысле является «эталоном» мощности счетных множеств. Под счетными множествами понимается всякое бесконечное множество, элементам которого можно взаимно однозначно сопоставить элементы множества из натуральных чисел. В ?1.4} показывается, что множество всех целых и рациональных чисел счетно.

Может показаться, что все бесконечные множества являются счетными, однако это не так. Кантором доказана теорема, утверждающая, что множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно. Это множество имеет мощность «большую», чем мощность множества натуральных чисел. Про множества, эквивалентные множеству действительных чисел из отрезка [0−1 ], говорят, что они имеют мощность континуума 11.4). Поскольку всегда можно из некоторого множества, А сконструировать некое множество В, куда будет входить множество, А и различные его подмножества Сс. А, то из [1.4] следует, что мощность полученного таким образом множества В больше, чем исходного А. Таким образом, шкала мощностей множеств не ограничена сверху.

Множество .Ж называется кольцом, если любые подмножества, А и В этого множества удовлетворяет условиям.

Л11ЯеК, ЛП-ВеК, А&Х, В&Х. (1.4).

Здесь Кантор еще не использует понятие множества, а вслед ¿-а Риманом использует термин многообразие, что говорит о чрезвычайно трудном пути формирования теории множеств.

Выражения (1.4) означают, что множество, составляющее кольцо, замкнуто относительно конечных объединений и пересечений подмножеств из X п п.

С= 0 П АЬ, АЪ еСеX, О вХ. (1.5) к= к=I.

Если в кольце найдется такое подмножество Ее X, что любое подмножество, А из X удовлетворяет условию.

АГЕ = АГ (1.6) то Е называется единицей, а кольцо X алгеброй.

В теории случайных процессов и полей часто приходится рассмагривагь не только конечные, но и счетные объединения и пересечения множеств. В этом случае кольцо множеств называют сткольцом. Иными словами акольцо содержит не только множества А, Аг,—, А",., но и их сумму.

Л^иЛ, — (1−7) п.

Аналогично определяется б — кольцо.

0 = ГЛ. (1.8) н П.

Как окольцо, так и 8 — кольцо с единицей Е называется соответственно сг — и 8 — алгеброй.

Каждая с — алгебра является 8 — алгеброй и наоборот, поскольку соотношение двойственности.

1Ы"=Ь'П (А'Л.), ПЛ. =Еи (НЛ") п — пг, п п «• позволяет сопоставить не только элементы алгебр друг друг>', но и операции над ними.

1.2. Пространства.

С некоторой общей точки зрения математика имеет дело только с множествами и операциями (или связями) над элементами этого множества. Эти связи формулируются абстрактным образом с помощью аксиом. Так дело обстоит и с понятием пространства.

Метрическим пространством называется пара (ар), состоящая из некоторого множества ЗС (пространства) элементов (точек) и расстояния между двумя любыми точками этого пространства.

Расстояние р должно удовлетворять некоторым требованиям. Во-первых, р должно быть неотрицательной, однозначной, действительной функцией двух аргументов х и у. Во-вторых, удовлетворять очевидным аксиомам:

1) р (.х, у) = 0, тогда и только тогда, когда х = у, х е X, у е Xаксиома тождества;

2) р (х, у) = р (у, х), аксиома симметрии;

3) р (х, г) < р (х, у} + р (у, г), аксиома треугольника.

Введение

на множестве ЗС расстояния р позволяет с единых позиций рассматривать процессы предельного перехода и близости некоторых точек друг к другу.

Множество действительных чисел на прямой с расстоянием.

Р (х>У) = х-А <1−9) образует метрическое пространство, которое обозначают' Я1.

Множество упорядоченных групп из п действительных чисел с расстоянием.

1.10) называется евклидовым пространством К" .

Множество всех непрерывных действительных функций, определенных на интервале [ a, b ], с расстоянием max J -/(-')! (1.11) a.

То же множество, но с другой метрикой.

Ь? pif, g) = i (gin-f (t))~dt (1.12) Va J называют пространством непрерывных функций с квадратичной метрикой С’з [а, й]. Примеры других пространств можно найти в [1.4, 1.5, 1.6, 1.8, 1.9, 1.10,1.11]..

Введение

на множестве? X метрики р позволяет рассматривать в пространстве зг такие понятия, как предельная точка, точка прикосновения, открытые и замкнутые множества, плотные и полные пространства. Однако эти понятия можно изначально постулировать с помощью аксиом о системе подмножеств ЭС, не привлекая понятия расстояния. В этом случае пространство называется топологическим..

Пусть Ж — некоторое множество, его иногда называют пространством-носителем. Топологией в Ж называется любая система т его подмножеств G, удовлетворяющая двум аксиомам:.

1) само множество ж и пустое множество 0 принадлежат т..

2) объединение [J (т^ любого (конечного или счетного) и пересечение любого конечного числа множеств из т принадлежат т..

Подмножества Ост называют открытыми. Таким образом, задав счетную систему открытых множеств, называемую базой, можно рассматривать процесс сходимости и, следовательно, точки прикосновения, замыкания и.

Топологические пространства дают большую свободу в исследованиях фундаментальных свойств процессов сходимости..

Наделив множество Ж аксиомами алгебраического характера, получим векторное пространство или иначе линейное пространство. Итак, множество SC, замкнутое относительно операций «+» и удовлетворяющее аксиомамх+у = у + х (коммутативность),.

2) х + (у + г) = (х + у) + z (ассоциативность),.

3) х I- 0 = х (существование нулевого элемента),.

4) х + (-х) = 0 (существование противоположного элемента), называется векторньш пространством..

В векторном пространстве обычно вводят еще одну систему аксиом, установившую порядок операций умножения векторов на число:.

1) a (? х) = (сфК* ейГ, а, Э eR.

2) (а + ?)xах+ß-x, x еХ, а,? е/?',.

3) а (х + у) — ах + ау, у, х eof. a ei?'..

В векторном пространстве также возникает потребность рассматривать вопросы сходимости. В этом случае векторные пространства наделяют некоторой топологией. Наиболее простой путь введения топологии в векторные пространства состоит в задании в нем функционала R[, называемого нормой, удовлетворяющего следующим аксиомам:.

1) Р (х) > О, причем Р (х) = 0 тогда и только тогда, когда х = О,.

2) Pix + v) < Р (х) + Р (у), х, у еХ-.

3t Р (а. х) = аР (х)лх е. Ги ei?'. ' 4 ' 1 ' +' где /?' - множество положительных действительных чисел. +.

Обычно для функционала Р (нормы) вводят специальное обозначение j|-j|..

Всякое нормированное пространство обладает свойствами метрического пространства потому, что норма по существу определяет расстояние от нулевого элемента векторного пространства до некоторого х, поэтому можно ввести метрику с помощью нормы следующим образом р (х, у)=х->. (1.13).

Полное нормированное пространство называют банаховым. Напомним, что полным называется метрическое пространство, если всякая фундаментальная последовательность в нем сходится к пределу..

Пространство Ж называется измеримым, если в нем выбрана некоторая ст-алгебра множеств. Понятие меры /4А) множества, А является обобщением таких понятий как масса, объем, длина, площадь и т. д. Далее это понятие Колмогоровым было обобщено на вероятность..

Введем на измеримом пространстве 9С неотрицательную функцию и, называемую мерой и удовлетворяющую следующим аксиомам:.

1) Пусть и является салгеброй, тогда для любого, А е и, ц (А)>0 (аксиома положительности) —.

2) Пусть имеется счетная система попарно непересекающихся множеств.

А, ПА"=0.А, сД^си, к 'к. ¦ тогда для ¿-4А), где, А = 1 М, справедливо представление к «и (А) = Е/и (А,.). кК.

Эта аксиома называется счетной аддитивностью меры. Если для единицы из су — алгебры положить меру равной и (Ь) = 1, Не и, то такую меру принято называть вероятностной..

Понятие меры позволяет более последовательно рассматривать вопросы интегрирования..

Пусть (йГ, U, д) — произвольное пространство с конечной полной мерой па о-алгебре множеств U. Функция у = <�р (х) на пространстве if со значениями в некотором пространстве называется интегрируемой (относительно меры и), если сходится соответствующий ряд лЫ^цд к—1'- я ' где А{, Аг, .сЛЗ попарно непересекающиеся множества..

Таким образом, интеграл простой интегрируемой функции определяется выражением p (x)M{dx) = YyktAAkr (1−14).

А' /с 11 к.

Теория вероятности, теория случайных процессов и полей основаны на вероятностном пространстве. Дадим определите вероятностного пространства {1.14,1.15]. Во-первых, имеем непустое множество П и во многих случаях можно рассматривать элемент coefi как параметр, индексирующий реализацию изучаемого случайного явления (атомы или элементарные события). Во-вторых, имеем семейство ГШ подмножеств множества Q, удовлетворяющее следующим трем условиям:.

1) ПсЩ.

2) если Ап с Ш, п = 1, 2 ,., то у Ап с 11:.

3)если, А аШ, то и АссЯ/, где Ас = il, А дополнительное множество к Л. Другими словами, W образует ст — алгебру (или а-поле) подмножеств О. В-третьих, имеем определенную на счетно-аддитивную функцию множеств Р (меру), удовлетворяющую следующим условиям:.

1) 0 < Р (В) < 1, для каждого В erte-.

2) если Вп с U ," = 1,2,., таковы, то ВЛ В ¦ = 0 при i * j то.

3) l'(il) — !..

Тройка (C1,P, 4/.) называется вероятностным пространством.

1.1. СТРОИК Д. Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1978..

2. Хрестоматия, но истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей. Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Просвещение, 1977..

3. СТИЛЛ РОБЕРТ Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968..

4. КОЛМОГОРОВ А.Н., ФОМИН Р. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981..

5. ИОСИДАК. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967..

6. СОБОЛЕВ В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. М.: Наука, 1968..

7. КОСТРИКИН А.И.

Введение

в алгебру. М.: Наука, 1977..

8. ШИЛОВ Г. Е. Математический анализ (функции одного переменно-го).Части 1−2. М.: Наука, 1969..

9. ЭДВАРДС Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969.1. 10. ТРЕШГИН В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.1Л1.КАНТОРОВИЧ Л.В., АКИЛОВ Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

10. БАЛАКРИШНАН A.B. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980..

11. ХИДАТ. Броуновское движение. М.: Наука, 1987..

12. ШИРЯЕВ A.M. Вероятность. М.: Наука, 1980..

13. ВЕНЦЕЛБ А. Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975..

14. ФЕЙМАНР. Статистическая механика. Курс лекций. М.: Мир, 1975..

15. ГЕЛБФАНД И.М., ЯГЛОМ A.M. Интегрирование в функциональном пространстве и его применение в квантовой механике.// Успехи математических наук. 1956 г., т. XI, вып1(67), с. 77−114..

16. ПУГАЧЕВ B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Г’НФМЛ, 1960.

ЛИТЕРАТУРА

к главе 2.

17. ЙОСИДА Л. Функциональный анализ. Пер. с англ. М.: Мир, 1967..

18. БАЛАКРИШНАН A.B. Прикладной функциональный анализ. Пер. с англ. М.: Наука, 1980..

19. МАСЛОВ В. П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988..

20. ГИХМАН И.И., СКОРОХОД A.B.

Введение

в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977..

21. ДЫНКИН Е. Б. Марковские процессы. М.: Г ИФМЛ, 1963..

22. КОЛМОГОРОВ А.Н., ФОМИН C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976..

23. АДАМС Дж. Лекции по группам Ли. М.: Наука, 1979..

24. ЛИПЦЕР Р.Щ., ШИРЯЕВ А. Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974. ЛИТЕРА ТУРА к главе 3.

25. BAR-SHALOM Y., FORTMAM Т.Е. Tracking and data association. Boston. Academic Press, 1988..

26. TOBIN DAVID M., MAYBECK PETER S. Proc. IEEE Conf. n Decision and Control, 1988. v.3. pp 2002;2011..

27. BAR-SHALOM Y" CHANG K.C., BLOM H.A.P. IEEE Trans. 1989, v. AES-25, #2, pp 296−299..

28. Roy s., Iltis R.A. Proc. EURASIP'88 Laconme 3.L. et all (ed). Elsevier Science Publ., North-Holland. 1988, pp 783−786..

29. BANETI R.S. IEEE Trans., 1986, v. AES-22,#l, pp 8−14..

30. BLOMH.A.P., BAR-SHALOM Y. IEEE Trans., 1988. v. AC-33, pp 780 783..

31. SONG T.L., Ahn J.Y., Pare C. IEEE Trans., 1988, v. AE S-24, #1, pp 2839..

32. GAV1SH MOTTI. In: Proc. Conf. Elec. and Electron. Eng., 1978, p.155..

33. MOGHADDAMJOO A., KIRLIN R.L. IEEE Trans., 1989, v. ASSP-37, #8, pp 1166−1175..

34. BOGLER P.L. IEEE Trans., 1987, v. AES-23, #3, pp 298−310..

35. I. COHEN S.A., Proc. IEEE, 1986, v.133, Pt.F.,#3, pp 177−280..

36. ROECHER JAMES A., Mc Gillem Clare D.- In: Proc. IEEE Nat. Radar Conf., 1988, pp 68−72..

37. MAHALANABIS A.K., ZHOU B., Bose N.K. IEEE Trans., 1990, v. AES-26, #., pp 113−121..

38. MAGARAJAN V., SHARMAR.N., CHIDAMBAR M.R. IEEE Trans., 1984, v. AES-20, #5, pp 560−572..

39. HOULES A., BAr-SHALOM Y. IEEE Trans., 1989, v. AES-25, //2, pp 176−188..

40. TRUNK G.V., WILSON J.D. IEEE Trans., 1987, v. AES-23, #4, pp 43 847?.,.

41. KENEFIC RJ. IEEE Trans., 1981, v. AC-26, #3, pp 750−753..

42. WALTON A.M. Proc IEEE, 1990, v. ?37, Pt. F, #3, pp 183−186..

43. REID D.B. IEEE Trans., 1979, v. AC-24, pp 843−854..

44. CHEN ChEng-WU, WALKER R.A., FENG C! iIN-i!lJ. In: Pioc. IEEE. American Control Conf., 1988..

45. U. SENGUPTA D., ILTIS R.A. IEEE Trans., 1989, v. AES-25, #1, pp 96 108..

46. WILSON G. V, PAWLEY O.S. Biological Cybernetics, 1988, v.58, pp 63−70..

47. MAHALANABIC A. K, XHOU BIN. In: Proc. IEEE American Control Conf, 1988, pp 430−435..

48. NAGARAJAN V, CHIDAMBARA M.R., SfiARMA R.N. Proc. IEEE, 1987, v. 134, RF" #1, pp 89−112..

49. NAGARAJAN V., CHIDAMBARA M.R., SHARMA R.N. Proc. IEEE, 1987, v. l 34, Pt.F.,#l, pp 113−118..

50. DEMIRBAS KER1M. Proc. IEEE, 1989, v. l36, Pt.F., ~3, pp 262−268..

51. WALF J.K., VITERBI A.M., DIXON G.S. IEEE, 1989.32.8.HOULES A., BAr-SHALOM Y. Proc. IEEE Nat. Acrosp. and Electron Conf. (NAECON), Dayton, Ohio, May, 18−22. 1987, v.2, New York, pp 398−406. i.

52. RAMACHANDRA K.V. IEEE Proc, 1988, F135, #1, pp 82−84..

53. ТИХОНОВ В.И., ТЕПЛИНСКИЙ И. С. Квазиоптимальное слежение за маневрирующими объектами //Радиотехника и электроника, 1989. № 4. С.792−798..

54. АЛЕКСЕЕВ В. М, ТИХОМИРОВ В.М., ФОМИН C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979..

55. КРАСОВСКИЙ A.A. Обобщение задачи аналитического конструирования регуляторов при заданной работе управлений и управляющих сигналов//Автоматика и телемеханика, !969. № 7. С.7−17..

56. КРАСОВСКИИ A.A. Аналитическое конструирование систем автоматического регулирования по критерию обобщенной работы// Автоматика и телемеханика, 1970. № 3..

57. КРАСОВСКИЙ A.A., БУКОВ В Н., ШЕНДРИК B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. М.: Наука, 1977..

58. ЛУРЬЕ К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975..

59. ДЕТИСТОВ В.А., ТАРАН В. Н. Синтез оптимального управления градиентным методом на основе прогнозирующей модели // Автоматика и телемеханика, 1990. № 10. С.46−56..

60. КАНТОРОВИЧ Л.В., АКИЛОВ Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977..

61. КУЛИКОВСКИЙ Р. Оптимальные и адаптивные процессы в системах автоматического регулирования. М.: Наука, 1967..

62. ТАРАН В. Н. Максимально правдоподобная оценка состояния оптимально управляемой системы // Автоматика и телемеханика, 1991. № 8. С.101−108.

ЛИТЕРАТУРА

к главе 4.

63. ФИАЛКО Е. И. Радиолокационные методы наблюдения метеоритов М.: Сов. радио, 1961..

64. ФИАЛКО Е. И. Радиолокация метеоритов М.: Сов. радио, 1967..

65. БРОНШТЭН В. А. Физика метеорных явлений. М.: Наука, 1981..

66. БРОНШТЭН В. А. Метеоры, метеориты, метеороиды. М.: Наука, 1987..

67. БАБАДЖАНОВ П. Б. Метеоры и их наблюдение. М.: Наука, 1987..

68. Пространственно-временная обработка сигналов /У И. Я. Кремер, А. И. Кремер, В. М. Петров и др.- Под ред. И. Я. Кремера М: Радио и связь, 1984..

69. БУЛЫЧЕВ Ю.Г., ТАРАН В.Н., ХУТОРЦЕВ В. В. Применение стохастических полугрупп операторов для решения задач пространственновременной фильтрации // Радиотехника и электроника. 1987.Т.32.№ 6. С.1251−1255..

70. МАРЬИН Н. П. Об эффективной отражающей поверхности ионизированной области, имеющей форму шара // Радиотехника и электроника. 1965. Т.10. № 2. С.235−244..

71. МАРКОВ Г. Т., ЧАПЛИН А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.: Радио и связь, 1983..

72. ТАТАРСКИИ В. И. Распространение волн в турбулентной, а тмосфере. М.: Наука, 1967.411 .ОВСЯННИКОВ Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978..

73. ОВСЯННИКОВ Л. В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск, СОАН СССР, 1962..

74. БАЖОВ В.А., ГАЗИКОВ Р.К., ИБРАГИМОВ Н. Х. Приближенные симметрии // Математический сборник. 1988. Т. 134. Вып.4. С.435−450..

75. ЯКОВЕНКО Г. Н. Групповой подход к управляемости динамических систем // Кибернетика и вычислительная техника. Киев: Наукова думка, 1978. Вып.39. С.26−39..

76. ПАВЛОВСКИЙ Ю.Н., ЯКОВЕНКО Г. Н. Группы, допускаемые динамическими системами // Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск: Наука, 1982. С.155−189..

77. ХУТОРЦЕВ В. В. Групповой анализ определения систематических ошибок радиолокационных измерений // Радиотехника и электроника. 1988. Т.ЗЗ. № 5. с.974−979..

78. ЯРЛЫКОВ М. С. Применение марковской теории нелинейной фильтрации в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1980..

79. КРАВЦОВ Ю.А., ФЕЙЗУЛИН В.И., ВИНОГРАДОВ А. Г.// Прохождение радиоволн через атмосферу Земли. М.: Радио и связь, 1983..

80. АППАЗАРОВ Р.Ф., СЫТИН О.Г. // Методы проектирования траекторий носителей и спутников Земли. М.- Наука, 1987.4 20. БЕЛОГЛАЗОВ И. Н., ТАРАСЕНКО В. П. Корреляционноэкстремальные системы. М.: Сов, радио, 1974..

81. ТИХОНОВ В. И., КУЛЬМАН Н. К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. М.: Сов, радио, 1975..

82. ДЫНКИН Е. Д. Теория вероятностей и ее применения. 1956. Т. 1. № 1. С. 38..

83. ГИХМАН И. И., СКОРОХОД Л. В.

Введение

в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977..

84. ТАР АН В.Н., КУЗНЕЦОВ С. И., ПАВЛОВ В. М. и др. Оптическое устройство для фильтрации сигналов: А. с. 1 141 428 СССР .'/' Б. И. 1985. № 7. С. 165..

85. БУЛЫЧЕВ Ю. Г., ТАРАН В. Н&bdquoХУТОРЦЕВ В. В. Оптическое вычислительное устройство: A.C. 1 144 127 СССР -'Б.й. 1985. № 9. С. 182..

86. ТАР АН В. Н&bdquoХУТОРЦЕВ В.В.// Проблемы передачи информации. 1984. Т. 20. .№ 4. С. 41..

87. ЯРЛЫКОВ М. С., МИРОНОВ М. А. Радиотехника и электроника. 1982. Т. 27. № 10. С. 1949..

88. ФАЛЬКОВИЧ С. Е., ХОМЯКОВ Э. Н. Статистическая теория измерительных радиосистем. М.: Радио и связь, 198!

ЛИТЕРАТУРА

к главе 5.

89. ДЫНКИНЕ.Б. Марковские процессы. М: ГИФМЛ, 1963..

90. МАСЛОВ В. П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988..

91. ТАРАН ВН. Функциональное уравнение электромагнитного поля в стохастической неоднородной среде. // В кн.: Рассеяние электромагнитных волн. Таганрог, ТРТИ. 1991.Вып.8. С.53−55..

92. РЫТОВ С.М., КРИВЦОВ Ю.А., ТАТАРСКИЙ В.И.

Введение

в статистическую радиофизику. 4.2. Случайные поля. М.: Наука. 1978..

93. ИОСИДАК. Функциональный анализ. М.: Мир. 1967..

94. БУЛЫЧЕВ Ю.Г., ТАРАН В.Н., ХУТОРЦЕВ В. В. Применение стохастических полугрупп операторов для решения задач пространственно-временной фильтрации. // Радиотехника и электроника. 1987. Т.32, № 6. С.1251−1255..

95. КОСТОГЛОТОВ A.A., ТАРАН В. Н. Метод динамического усвоения данных наблюдения метеорологических величин. // Метеорология и гидрология. 1993.№ 7. С.52−57..

96. ВЕНТЦЕЛЬ А. Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975..

97. ГИХМАН И.И., СКОРОХОД A.B.

Введение

в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977..

98. Ю. КОСТОГЛОТОВ A.A., ТАРАН В. Н. Применение метода прогнозирующей модели для решения обратных задач газовой динамики.// Прикладная математика и механика. 1994. Т.58. № 5. С. 103−109..

99. ТАТАРСКИМ В. И. Распространение воли в турбулентной атмосфере. М.: Наука, 1967..

100. АМИАНТОВ И. Н. Избранные вопросы статической теории связи. М.: Сов. радио, 1971..

101. МОНИН A.C., ЯГЛОМ A.M. Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности. М.: Наука, 1967..

102. ВОЛЬМАН В.И., ПИМЕНОВ Ю. В. Техническая электродинамика. М.: Связь, 1971..

103. ЛИТВИНЕНКО О.Н., СОШНИКОВ В. И. Теория неоднородных линий и их применение в радиотехнике. М.: Сов, радио, 1964..

104. ВАИНШТЕЙН Л. А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988..

105. ТАРАН В.Н., ПАВЛОВ В.М., ХУТОРЦЕВ В. В. Теория радиотехнических цепей и сигналов. Курс лекций. МО СССР, 1987..

106. СКОТ Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Сов. радио, 1977..

107. ТИХОНОВ, А Н., САМАРСКИЙ A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977..

108. БАРУЧА-РИД А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука. 1969..

109. ДУБ ДЖ.П. Вероятностные процессы. М.: Изд-во иностр. лит., 1956..

110. ЛЕВИН Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. I, М.: Сов. радио, 1974..

111. ИТО К. Вероятностные процессы. М.: Изд-во иностр. лит. 1960..

112. КОЛМОГОРОВ А.Н., ФОМИН C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989..

113. ЮШЦКИН В. И. Метод погружения в теории распространения волн. М.: Наука. 1986..

114. ТАР АН В. Н. Функциональное уравнение длинной линии. Радиотехника и электроника. 1991. Т.36. № 8. С. 1497−1505.

ЛИТЕРАТУРА

к главе 6.

115. ЛАНДАУ Л Д., ЛИВШИ! 1, Е. М. Механика сплошной среды. М.: Гос. изд. техн. теор. лит-ры. 1953..

116. ЛОЙ1ДАНСКИЙ Л. Г. Механика жидкости и газа. М: Наука, 1987..

117. СТАНЮКОВИЧ К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М: Гос. изд. техн. лит-ры, 1955..

118. РОЖДЕСТВЕНСКИЙ Б. Л, ЯНЕНЪКО H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М: Наука, 1968..

119. ЧЕРНЫЙ Г Г. Газовая динамика. М: Наука, 1988 г..

120. ПЕНЕНКО В. В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. J1.: Гидрометеоиздат, 1981..

121. ОВСЯННИКОВ Л. В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981..

122. СЕДОВ Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1987..

123. КЛИМАНТОВИЧ Ю. Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982..

124. ЛЕОНТОВИЧ М.А.

Введение

в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука, 1983..

125. ТЕРЛЕЦКИЙ Я. П. Статистическая физика. М.: Высшая школа, 1966..

126. РЕЙФ Ф. Статистическая физика. Том V. М.: Наука, 1986.6. З. ВАСИЛЬЕВ Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М&bdquoНаука, 1981..

127. ДЕТИСТОВ В. А., ТАРАН В. Н. Синтез оптимального управления градиентным методом на основе прогнозирующей модели. // Автоматика и телемеханика. 1990. № 10. 6. 5. КРАСОВСКИЙ А. А. Справочник по теории автомагическог о управления. М.: Наука, 1987..

128. КУРБАТКИН Г. Л., ЗУЛУНОВ С. М., ФРОЛОВ А. В., ПОКУДОВ А. В. Нелинейное согласование полей ветра и давления при численном прогнозе погоды по полным уравнениям. // Метеорология и гидрология.1988. № 12..

129. КУРБАТКИН Г. П., ЗУЛУНОВ С. М. Согласование нолей метеоэл-ментов с помощью нормальных мод для спектральной бароклинноймодели атмосферы. Препринт № 595. Новосибирск. ВЦ СО АН СССР. 1985..

130. МЛШКОВЙЧ С. А. Многоэлементный трехмерный объективный анализ метеорологических величин. // Метеорология и гидрология, 1988. Ms 12..

131. СОНЕЧКИН Д. М. Спектральный объективный анализ метеорологических полей.// Метеорология и гидрология. 1992. № 9..

132. ТИХОНОВ А. Н., АРСЕНИН В. Л. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.621 .ТИХОНОВ А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации.// Доклады АН СССР. 1963. Т. 151. № 3..

133. LEITH С. Е. Nonlinear norma! mode initialization and quasi-geastrophic theory. -J. Atm. Sci., 1980, voi. 37, no. 5..

134. LORENZ A. C. A global three-dimensional multivariate statistical interpolation scheme. -Mon. Wea. Rev., 1981, vol. 109..

135. SASAKI Y. An objective analysis baled on the variational method. J. Met. Soc. Japan, 1958. vol. 3..

136. ЩЕНДРИК В .С. Синтез оптимальных управлений методом прогнозирующей модели// Докл. АН СССР. 1975. Т. 224. № 3. С. 561−562..

137. КРАСОВСКИЙ А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973..

138. ЛИОНС Ж. Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972..

139. ЛУРЬЕ К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975,.

140. КЕСТЕНБОЙМ X. С., РОСЛЯКОВ Г. С., ЧУДОВ Л. А. Точечный взрыв. Методы расчета. Таблицы. М.: Наука. 1974. ЛИТЕРА П’РА к главе 7.

141. АМБАРЦУМЯН В .А. Об одномерном случае задачи о рассеивающей и поглощающей среде конечной оптической толщины.//Изв. АН Арм. ССР. 1944. № 1−2..

142. АМБАРЦУМЯИ В.А. К вопросу о диффузном отражении света мутной средой. // ДАН СССР. 1943. Т.38. № 8..

143. КЛЯЦКИН В. И. Метод погружения в теорию распространения волн. М.: Наука, 1986..

144. БАХВАЛОВ Н.С., ЖИДКОВ H.H., КОБЕЛЬКОВ Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987..

145. КРАСОВСКИЙ A.A., БУКОВ В.Н., ШЕНДРИК B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. М.: Наука, 1977..

146. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. Красов-ского A.A. М.: Наука, 1987..

147. ЭНДРЮ П. СЕЙДЖ, ДЖЕЙМС Л.МЕЛСА. Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974..

148. ЭЙКХОФФ П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975..

149. ВАН ТРИС Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Том 2. Теория нелинейной модуляции. М.: Сов. радио, 1975..

150. Ю. ЯРЛЫКОВ М. С. Применение марковской теории нелинейной фильтрации в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1980..

151. БЕЛЛМАН Р., КАЛАБА Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968.7.!2.РЕПИН В., ТАРКОВСКИЙ Г. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. М.: Сов. радио, 1977..

152. ТИХОНОВ В. И. Оптимальный прием сигналов. М.: Радио и связь, 1983..

153. КРАСОВСКИЙ A.A. Адаптивный алгоритм субоптимаиьиого оценивания // ДАН СССР, т.230. № 3, 1976. с.538−540..

154. ГУЛЫСО Ф.Б., НОВОСЕЛЬЦЕВА Ж. А. Связь оптимизации по критерию обобщенной работы и метода квазилинеаризации Беллмана // А и Т. 1990. № 10. с.186−187..

155. ДЕТИСТОВ В.А., ТАРАН В. Н. Синтез оптимального управления градиентным методом на основе прогнозирующей модели // А и Т. 1990. № 10.с.46−56..

156. КОСТОГЛОТОВ A.A., ТАРАН В. Н. Метод динамического усвоения данных наблюдения метеорологических величин // МиГ. 1993. № 7. С.52−57..

157. КОСТОГЛ ОТОВ A.A., ТАРАН В. Н. Применение метода прогнозирующей модели для решения обратных задач газовой динамики// ПММ. Т.58. № 5. 1994. с. 103−109..

158. ТЕОДОРЕСКУ П., КЕЧ В.

Введение

в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978..

159. ВЛАДИМИРОВ B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971..

160. ВОЛБТЕРРА В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982..

161. ЛУРЬЕ К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975..

162. ЛИОНС Ж. Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.241.