Весовые неравенства Корна и асимптотическое поведение тонких пластин

0.1 Цель работы. История рассматриваемых вопросов.

Настоящая работа посвящена построению и обоснованию асимптотики решения смешанной краевой задачи линейной теории упругости для тонкой локально периодической композитной пластины произвольной геометрии с произвольной анизотропией упругих свойств. С этой целью доказывается весовое анизотропное неравенство Корна на тонкой локально периодической пластине.

В главе 1 диссертации вводятся основные понятия теории упругости и матричные обозначения, упрощающие запись уравнения. Вводится локально периодическая пластина Пд, толщина которой имеет порядок малого параметра /г > 0. Ставится задача о дефомации тонкой анизотропной пластины Пд с защемленной боковой поверхностью IV.

Анизотропными называются пластинки, у которых сопротивление механическим воздействиям различно для разных направлений. Примерами таких пластин являются фанерные и кварцевые пластинки, а также гофрированные и армированные пластины и т. д.

Теории упругости анизотропных тел посвящены монографии С.Г. Лех-ницкого [118]-[120]. Вывод основных соотношений теории упругости и решения некоторых частных задач, в том числе о чистом изгибе пластинок, можно найти в книге С. П. Тимошенко и Дж. Гудьера [202]. Там же даны приближенные и экспериментальные методы решения задач теории упругости.

В книгах А. И. Лурье [126], [127] приведены основы нелинейной теории упругости и даны библиографические указания, полезные при изучении теории упругости.

В книге Г. Фикеры [208] изложены математические основы теории упругости.

Теории упругости анизотропных пластин посвящена книга С.Г. Лехницко-го [118]. В ней приведены решения плоской задачи для различных областей. В главах, посвященных теории изгиба анизотропных пластинок, рассмотрены изгибы разными видами нагрузок пластинок с опертыми сторонами, а также пластинки, усиленной паралельными ребрами жесткости, пластины, ослабленной круговым отверстием, и т. д. В книге даны основы теории устойчивости пластинок и разобраны различные задачи, посвященные данному вопросу.

При изучении задачи теории упругости часто используются матричные обозначения, введенные С. Г. Лехницким (см. [118]) и переработанные С. А. Назаровым в статьях ([153], [154] и др.). Наиболее подробное определение матричных обозначений и примеры их использования для исследования асимптотики решений задачи теории упругости различных тонких областей можно найти в книге С. А. Назарова [161].

В [161] также приводится обширная библиография по теории пластин и стержней, освещается история их развития.

У истоков теории пластин и стержней стоят работы великих математиков. Изучением деформации стержней занимались Я. Бернулли (1695), JI. Эйлер (1744), Д. Бернулли (1751). Уравнение изгиба пластины было получено С. Жермен (1814), а Г. Кирхгоф (1851) и А. Сен-Венан (1855) окончательно сформулировали идею понижения размерности.

Изучением деформаций анизотропных пластинок, приводящих к искривлению срединной поверхности, занимается теория изгиба, которая берет начало в работах Геринга [248], Буссинеска [225] и Губера [251]-[253]. Изучению уравнений теории изгиба для анизотропных пластинок посвящены работы С. Г. Лехницкого [121], [122]. Случай изотропных пластинок рассматривается в книгах Б. Г. Галеркина [25] и С. П. Тимошенко [203]. В статьях М. М. Фридмана [209]-[213] были получены решения задач об изгибе различных изотропных пластинок, в частности для пластинок с отверстиями и с изотропными включениями из другого материала. В статье А. И. Лурье [128], посвященной изгибу произвольно нагруженной круглой пластинки, впервые было использовано комплексное представление прогиба, которое применялось во многих последующих работах (см. также [129]).

Миогие формулы и уравнения теории изгиба для различных ортотроп-ных пластинок, усиленных ребрами жесткости, гофрированных, слоистых и т. п., были получены при изучении задач, возникающих в прикладных научных исследованиях для авиационной промышленности (см, например, статьи [180], [182] и книгу [101]).

Теории пластин и оболочек посвящены также монографии [2], [3], [32], [130], [165].

В книге Тимошенко и Войноровского-Кригера [201] основное внимание уделяется решению конкретных задач об упругих деформациях пластинок и оболочек. Авторы различают тонкие пластинки, подвергающиеся малым, в сравнении с толщиной пластинки, прогибам, и тонкие пластинки, подвергающиеся большим прогибам. Чтобы вычислить напряжение для любой точки пластинки первого типа необходимо решить дифференциальное уравнение в частных производных, которое вместе с граничными условиями определяет прогиб пластинки, являющийся функцией двух координат в ее плоскости. Для таких пластинок разных геометрических форм рассмотрены изгибы по цилиндрической поверхности, чистый изгиб, симметричный изгиб, поперечные нагрузки, различные условия опирания по краямтакже описывается изгиб анизотропной пластинки.

При изучении пластинок второго типа, когда прогибы не малы, учитывается, что изгиб пластинки сопровождается деформированием срединной плоскости и возникающими в ней (срединной плоскости) напряжениями, которыми нельзя пренебречь. Так возникают нелинейные уравнениия и решение задач затрудняется. В монографии разобраны случаи больших прогибов равномерно напряженных, круглых, свободно опертых и защемленных по контуру пластинок, а также нагруженной в центре круглой пластины, равномерно нагруженной прямоугольной пластины и прямоугольной свободно опертой пластины.

На практике часто встречаются задачи, содержащие малый параметр, например, когда нужно изучить свойства и поведение тел, изготовленных из композиционных материалов, тел с трещинами или перфорацией, тонких тел и прочее. Уравнения, описывающие подобные ситуации, часто громоздки и непосредственно вычислить их решения очень сложно, поэтому возникла необходимость получения приближенных решений таких задач. Так появились различные асимптотические методы решения задач, возникающих в различных областях, в том числе в теории упругости.

Одними из первых работ, посвященных изучению и применению асимпто-тичеких методов в теории упругости являются статьи Фридрихса и Стокера [244], Келлера и Райса [254], Фридрихса и Дресслера [243], А. Л. Гольденвейзера [30], [31], Бромберга [226], Райсснера [275], Файфа [240] и др.

Общие принципы и понятия асимптотичеких методов решения краевых задач приведены в монографиях [14], [108], [164], [167] и статьях [5], [9], [214], [241]. В статье М. И. Вишика и Л. А. Люстерника [16] введен метод изучения асимптотики решения эллиптических краевых задач с малым параметром при старших производных в областях с гладкой границей. Далее этот метод успешно применялся во многих разделах механики.

В основе метода Вишика-Люстерника лежит идея пограничных поправок и идея регулирующего растяжения, т. е. введения местной ситемы координат в окрестности границы, в которой одна координата-быстрая. Этот метод применим в случаях вырождения эллиптического уравнения в эллиптическое, вырождения эллиптического уравнения второго порядка в гиперболическое уравнение, взаимных вырождений однохарактеристических и эллиптических уравнений, краевых задач с большими коэффициентами в подобласти (задач с барьером, краевых задач с бесконечно узкими барьерами, задач с быстро осциллирующими граничными условиями и быстро осциллирующими правыми частями). Разработке метода для этих задач посвящены статьи [17]-[20].

Дальнейшему развитию и применению метода Вишика-Люстерника к эллиптическим уравнениям посвящены статьи O.A. Олейник [168], H.A. Ивановой [85], Экхауза и Егера [239] и др. Гиперболические уравнения изучались Су Юй-ченом [200], М. Г. Джавадовым [39] и др. Случай, когда граничные условия зависят от малого параметра, расматривался в работах Н.М. Леон-тович [124] и А. Л. Гольденвейзера [28], а в работе А. Л. Гольденвейзера [29] рассмотрен случай дифференциальных уравнений с малой правой частью.

В задачах для уравнений с частными производными возможны особые случаи, когда, например, при вырождении некоторой задачи А£ в задачу Ао теряется часть граничных условий, заданных на куске границы, являющемся характеристической поверхностью для вырожденного уравнения. Тогда функции погранслоя определяются уравнениями с частными производными. Так в статьях Г. А. Тирского и В. А. Треногина [204], [205] изучаются задачи, в которых функция погранслоя является решением краевой задачи для параболического уравнения. В работе М. Г. Джавадова [41] при изучении краевой задачи для эллиптических уравнений в тонких областях возникает эллиптический погранслой. Смешанная задача для квазилинейного гиперболического уравнения с гиперболическим погранслоем рассмотрена В. А. Треногиным в [206].

В статье Е. Ф. Мищенко и Л. С. Понтрягина [141] в связи с задачами, описывающими релаксационные колебания, возникает внутренний погранслой. Иногда явление внутреннего погранслоя можно узучать, поместив в точку разрыва решения вырожденной задачи задачу Коши с начальным скачком. Задачи Коши с разрывными начальными условиями рассматривались в работах O.A. Олейник [169]-[171], Н. С. Бахвалова [10], С. Н. Кружкова [111].

Результаты приложения метода Вишика-Люстерника к задаче теории упругости также приведены в статьях Л. С. Срубщика и В. Л. Юдовича [193]-[199], изучавших асимптотическое поведение пластин.

В статье В. А. Треногина [207] метод Вишика-Люстерника применяется для получения результатов для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, содержащих малый параметр при старших производных. Там же приводится обширная библиография, относящаяся к развитию и применению метода Вишика-Люстерника в разных областях механики.

Метод Вишика-Люстерника применим также для краевых задач с локальными особенностями границы области. Так в работах [12], [13] и др. приводятся исследования асимптотики решения задачи Дирихле для оператора sV — к21 в прямоугольнике и параллелепипеде. Дифференциальное уравнение второго порядка на многообразии с n-мерными углами изучено С. А. Назаровым в [144], а в [145] и [146] получена асимптотика решений эллиптических задач с параметром, вырождающихся в эллиптическую задачу меньшего порядка в области с конической точкой.

Эллиптические краевые задачи в областях с коническими точками исследованы в работах [104], [135] и [136]. Исследованию решений задач в конусах с неоднородными дифференциальными операторами посвящены статьи [6], [7] и [146].

В статьях [37], [88], [116], [117] используется метод согласования асимптотических разложений для получения асимптотических представлений решений уравнений с малым параметром при старших производных. Методу согласования асимптотических разложений посвящена книга A.M. Ильина [87]. Сборники статей [42], [137], [178] содержат работы, посвященные применению этого метода. Упомянем здесь также статьи Гадылынина P.P. [21]-[23], Ильина A.M. и Гадылынина P.P. [24].

Рассмотрение пограничных слоев для задач в тонких областях приводит к эллиптическим краевым задачам в цилиндрических областях. Изучению таких задач посвящены статьи С. Агмона, Л. Ниренберга [222] и Л. Дуглиса [221], В. А. Кондратьева [104], В. Г. Мазьи, Б. А. Пламеневского [135], [136] и O.A. Олейник, Г. А. Иосифьяна [99], [100].

Исследования краевых задач в областях с малыми отверстиями и тонкими вырезами проводятся в работах A.M. Ильина [89], [90], [91], H.H. Лебедева, И. П. Скальской [115], Дж.Ф. Джира, Дж.Б. Келлера [246], [247].

Разработка и применение асимптотических методов в теории изгиба тонких пластин и оболочек проводилась в работах А. Л. Гольденвейзера [32] -[36], К. О. Фридрихса, Р. Ф. Дресслера [214], [243], Д. Моргенштерна [266], Б. А. Шойхета [216], [217], С. А. Назарова [154], [156] - [161] и др. Задача деформации стержней изучалась в статьях В. В. Понятовского [177], С. А. Назарова [153], [155], A.C. Слуцкого [162], а также в книгах И. Е. Зино, Э. А. Троппа [83], С. А. Назарова [156], [161]. В работах М. Г. Джавадова [40], [41] построены асимптотики решений задач математической физики в тонких пластинах.

В книге С. А. Назарова [156] подробно изложены приемы построения приближенных решений на примере краевых задач с малым параметром при старших производных и краевых задачах в областях, геометрия которых описывается с помощью малого параметра, таких как тонкий прямоугольник, области с малыми отверстиями и разрезами.

Во многих областях физики, математики и современной техники возникают задачи, которые описываются математическими моделями, содержащими в том или ином виде малый параметр е > 0. Примерами могут послужить задачи теории композиционных и перфорированных материалов, теории фильтрации, теории дисперсных сред. Изучение различных физических характеристик, фигурирующих в этих задачах, привело к появлению методов эффективной среды, среднего поля, а при изучении математических моделей возникли метод усреднений, понятия G-сходимости и Г-сходимости.

Изучению вопросов теории усреднения и G-сходимости эллиптических, параболических, вариационных операторов посвящен целый ряд статей В. В. Жикова, С. М. Козлова, O.A. Олейник, Г. А. Иосифьяна, A.C. Шамаева и др. ([45]-[98]). Систематическому изложению основных вопросов усреднения дифференциальных операторов посвящена книга [74]. В частности, в 12 главе [74] изучаются системы теории упругости. В книге Пятницкого A. JL, Чеч-кина Г. А. и Шамаева A.C. [179] излагаются различные методы усреденния, разбираются некоторые частные случаи, приводятся необходимые для понимания проблематики примеры.

Приведем одни из последних результатов в этой области.

В статье Чечкина Г. А., Жикова В. В., Люккассена Д. и Пятницкого А. Л. [230] изучаются периодические тонкие сетки и сочленения тел разной размерности, характеризуемые двумя малыми параметрами 5 (толщина стержней) и е (размер ячейки периодичности). Возможны два пути асимптотического исследования таких сингулярных структур. Первый путь предусматривает сначала предельный переход при 5 —>¦ 0, а затем усреднение при? —> 0. Второй путь заключается в усреднении при е —" 0 при фиксированном 6 и дальнейшем передельном переходе при 5 —> 0. В [230] показывается, что для определенных сингулярных структур эти два пути дают один и тот же результат.

В статье В. В. Жикова [63] расматриваются спектральные вопросы усреднения в некоторых моделях пористых сред, а также усреднение задачи теории упругости на тонких сетках.

Для пористой среды рассматривается задача Дирихле ue? Hq (Q),.

— div (a?Vu?) + u? = f e L2(Q), где коэффициент проницаемости ае имеет вид ч Г 1 в (жесткая фаза), | е2 в ^ (мягкая фаза), и, Р0£ - два периодических множества в М^, имеющих период .

Рис. 1:

Исследуется спектр самосопряженного оператора Ае = — (Цу{а?Ч) в.

Для периодической тонкой сетки ставится краевая задача для системы теории упругости в вариационной формулировке и?, н € J [Ае (и?^)е ((р) + ифф<1х =.

ПпЛ'1.

1рс1х У</> е с0°°(й)2 где / е С°°(0)2, — тонкая периодическая сеткаР^ = - гомотетиче-ское сжатие Ру = - замыкание множества по норме.

QfiF/' 1 5 рц> + е (ср)е ((р)]с1х е (<�р) = + А = {А1331 — постоянный тензор упругости, А13з1 =.

А8щ = Ацз1, А££ = > О) > 0.

Считается, что толщина стержней И стремится к нулю при е 0, т. е. Я = К{е) —у 0 (см. рисунок 2).

1> 2.

2h (s).

Рис. 2:

Различаются три случая:

1) достаточно толстые сетки: lime^o h (e)e~l = оо;

2) достаточно тонкие сетки: lim?*o /г (£)£-1 = 0;

3) сетки критической толщины: lim^o h (e)e~1 = 9 > 0.

Для достаточно тонких сеток выписывается двухмасштабное, неклассическое, усредненное уравнение и приводится сравнение спектров классического усредненного оператора для достаточно толстых сеток и неклассичекого оператора для достаточно тонких сеток.

Некритические случаи разобраны в [64], [65]. Случай сеток критической толщины рассматривается в работе В. В. Жикова и С. Е. Пастуховой [78].

Опишем некоторые результаты асимптотического исследования тонких пластин и стержней, использованные при подготовке данной диссертации.

В работе В. А. Дудникова и С. А Назарова [43] строятся асимптотически точные уравнения для случая чистого изгиба тонких плит и показывается, что полученные двумерные уравнения совпадают с уравнениями пластин Райсснера [275]. При выводе системы уравнений Райсснера используется классическая система теории упругости, а поведение материала при действии моментов и перерезывающих сил учитывается с помощью дополнительных предположений о распределении напряжений по толщине h трехмерной цилиндрической пластины.

В системе уравнений Коссера моментной теории упругости фигурируют дополнительные константы среды и вводится новый неизвестный вектор поворота, не зависящий явно от смещений, что позволяет учитывать поведение материала при воздействии моментов. В [43] приведены условия совпадения коэффициентов системы уравнений Коссера и системы уравнений Райссне-ра.

Сравнение с теорией Райсснера проводится и в статье С. А. Назарова, И. С. Зорина [84] при изучении пограничного слоя вблизи жестко закрепленного края трехмерной пластины, подверженной действию изгибающих нагрузок.

Асимптотический переход от трехмерной задачи теории упругости для тонких плит к двумерным уравнениям изучались в [32], [4], [243] и др.

В этих работах для тонких плит постоянной толщины получены асимптотические разложения объемного напряженного состояния, первым членом которых явлеются решение классической теории. В статьях Моргенштерна [266]-[268] получена оценка энергетической нормы разности решений объемной задачи и классической теории. Строгому обоснованию теории пластин Кирхгофа посвящена также стаья Б. А. Шойхета [216].

В [216] изучается асимптотическое поведение решения объемной задачи для неоднородной анизотропной плиты кусочно-непрерывной малой толщины. Рассматривается плита.

Vh = {(xhx2}x3)(x1,x2) G Q, -ht2{x 1, ж2) < хз < hti (xi, x2)}, где Q — область в Ш2 с кусочно-гладкой границей Г- ?1(0:1,2:2) и ?2(^1²) -кусочно-гладкие функции, такие что ti (xi, x2) > т > 0, т = Const, г = 1, 2- h > 0 — отношение характерной толщины к характерному размеру срединной плоскости Q. (см. рисунок 3).

Боковая поверхность разбита на две части Si и S2 (Г = ГхIJ Г2), где.

51 = {(х1,х2.хз)(х1,х2) е Гх, -ht2(xux2) < х3 < hti (x1,x2)}.

52 = {{х1,х2.хз)(хъх2) е Г2, -ht2{xi, x2) <хъ< hti (xbx2)}.

На Si плита жестко защемлена, а на S2 задано распределение напряжений.

Ставится задача теории упругости в вариационном виде, которой сопоставляется двумерная задача, и при определенных условиях на нагрузки доказывается близость решений этих двух задач в смысле нормы в Ь2.

В работе С. Н. Леоры, С. А. Назарова и A.B. Проскуры [123] рассматривается краевая задача для сильно эллиптической по Петровскому самосапря.

Рис. 3: женной системы дифференциальных уравнений второго порядка в цилиндре П/1 = Г2х (—где П — подбласть Кп1 с гладкой границей, к — малый параметр (см. рисунок 4).

Рис. 4:

На боковой поверхности €?2 поставлены условия Дирихле, а на основаниях.

— естественные краевые условия. То есть рассматривается краевая задача д д Н и (}ь, х) = 0, X? я = где и, /, д±- - вектор-функции с компонентами щ, fк, д^, к = 1,2,.. ., ТI/ и — матричные операторы с компонентами ы/г'= Е {- Е ^^ + + п <9 ММ), г=1 г г=1 г.

7 г) (?) ак 1а1к 1а1к ~ гладкие вещественные функции переменных /г? [0,1] и? ?

Ох.

В [123] приводится алгоритм построения предельной задачи в сечении Г2 цилиндра решение которой является асимптотическим (при? —¦> 0). Дано описание программы для ЭВМ, реализующей этот алгоритм вывода двумерных моделей пластин.

Ищется асимптотика решения задачи (0.1) вдали от боковой поверхности цилиндра т. е. не исследуется поведение пограничного слоя. Для общих эллиптических краевых задач погранслой рассматривается в [147], а для задач теории упругости такие исследования проводились, например, в [33], [83], [99], [100], [138].

Алгоритм построения погранслойных поправок в теории пластин, пригодный для компьютерной реализации, предлагается в статье С. А. Назарова и О. В. Мотыгина [143]. Авторы статьи рассматривают задачу теории упругости в полуполосе П = {(у^)? К2: у > 0, 2? (—Я, Я+)}, причем допускают разрывы компонент матрицы теории упругости, А в точках Яь ., Ядг-1, таких что —Я = Но < Н <. < Ядгх < Ядг = Я+, т. е. при А^ > 1 рассматривается слоистая пластина (см. рисунок 5).

Вектор смещений и интерпретируется как столбец (их, иу, иг) т, Т — знак транспонированияиу, и2 — смещения в плоскости (т/, г), а их — депланация.

У н+ Г+ его Ны-1 г.

V н2.

Нх.

— НГ.

Рис. 5:

Система уравнений равновесий и краевые условия в напряжениях на боковых сторонах Г±- = {(у, г): у > 0,2 = ±-Я±-} полуполосы П записываются в матричном виде ег) А (±Я±)?(У)т^(у,±Я±) = 0, у > О, где, А — положительно определенная симметричная (6×6) — матрица-функция, кусочно-гладко зависящая от ^ € (—Я, Я+),.

00 аду адг 0 0 д «.

Я (У)= 0 Зу 0 0 адг 0, ду = —, дг = —, V = (ду, дг) 0 0 0 0 аду дг) оу аг, а — -д — нормализующий множитель, ех1ёу и е2 — орты осей х, у и г. В матричном виде солбец двумерных деформаций (&-ХХ1 Е-уу) ^ Е-ху-1 & ^гг*) и столбец напряжений а (щ у, г) = А (2)?(иу, х) переписывается следующим образом ф) = ?>(У)т-и, <�т (и) = АВ (У)ти. Рассматривается два вида краевых условий на торце.

7о = {(!/,.

1) -Б (еУ)А (у)П (/)ти (у^) = д (г), (г/, г) е 7о,.

2) и (у, г) = д (г), {у, г) е 7о с кусочно-гладкой правой частью д. Конструируется результирующая система обыкновенных дифференциальных (по у) уравнений так, как будто Птонкая область, по полиномиальным решениям одномерной системы находятся все полиномиальные решения двумерной задачи, приводятся явные формулы для однородных и слоистых пластин. Некоторые формулы для слоистых пластин не выписаны ввиду их громоздкости, но объясняется как закончить вычисления при помощи компьютерной программы.

В статье В. В. Кучеренко и В. А. Попова [113] рассматривается задача о колебаниях тонкой однородной изотропной пластины П = 5 х [—Д, К С К3, I — сИат 5 > /г,? С со свободным или закрепленным краем. Авторы рассматривают случай изгибных колебаний пластины, когда вектор перемещений и (у, у2, г) = (иъи2,щ)Т удовлетворяет условию — Щ{у, У2, и ?1 — 0(е2), где е = у — малый параметр, р = с^рш2!2, с° = 2(1+^1−2^)' ^ ' м0ДУЛь Юнга, р — коэффициент Пуассона, р — плотность, ш — частота колебаний.

Строится формальное асимптотическое решение задачи теории упругости, доказывается существование функции погранслоя, при которой полученное решение удовлетворяет граничным условиям точно, а уравнению с точностью е5.

Рассмотрена также задача об изгибных колебаниях тонкого клина.

Изучению армированных композиционных пластин посвящена статья М. В. Резцова [181]. Рассматривается параллелепипед высоты е е — малый параметр, Т е кратно ?, Т — 0(1). Предполагается физическая симметрия пластины относительно срединной плоскости, т. е. коэффициенты теории упругости, описывающие физико-механические характеристики материала, удовлетворяют условиям.

О = {(хь х2): 0 < XI < /ь 0 < х2 < ех} С М2, где? — т / - относительная толщина клина. и = {х е Е3: О <�х1,х2<�т, х3 < -}.

После перехода к быстрым координатам? = | выделяется единичный куб переодичности Ц области изменения переменных Волокна различных направлений занимают подобласти Сд. (т^м (1 с бесконечно гладкой границей (М — число различных направлений армирования), такие что м 0 при / ф ] и область = У не пересекает верхнюю и.

1=1 нижнюю грани куба т. е. С П{?з = } = 0. — сквозные цилиндры в Е3, причем направляющие цилиндров 7 г = (71,72,0) ортогональны 0?3. Вводится обозначение = ЯС. Матрицы теории упругости заданы в л /? е^ь I? е где си — большой безразмерный параметр. Считается, что матрицы Аго одно-периодические по (^1,^2).

В области II рассматривается стационарная система уравнений теории упругости.

-¿-(М!) с условием свободной границы при = ±| ди /х ди дь> ^ е/ дх^ и естественными условиями сопряжения на поверхности разрывов коэффициентов [и] = 0, = 0, с бесконечно дифференцируемой в М2 периодической по Х, Х2 трехмерной вектор-функцией.

Х1,Х2) = {(??1{Х1,Х2), Ш/2(Х1:Х2), Ш?2/3(Х1,Х2)) в правой части уравнения. Здесь пт — компоненты вектора нормали к поверхности разрывов коэффициентов. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до 3.

С помощью алгоритма, предложенного в [8], автор статьи строит фундаментальное асимптотическое решение и получает оценку близости точного решения и усеченной суммы асимптотического ряда. Налагается условие ше2 <С 1. В случае изотропных армированных волокон получены явные формулы для эффективных модулей композиционного слоя. Исследован тип усредненных уравнений в зависимости от структуры армирования.

Усреднению задачи теории упругости в неоднородном стержне посвящена статья М. В. Козловой и Г. П. Панасенко [103]. Авторы строят полное асимптотическое разложение решения трехмерной системы уравнений теории упругости, заданной в тонком неоднородном цилиндре (диаметр сечения цилиндра и храктеристический размер неоднородности — малые параметры одного порядка). Рассматривается также задача теории упругости в тонком стержне при дополнительном условии слабой сжимаемости: коэффициент Ламе Л является большим параметром.

К исследованиям по линейной теории стержней относятся работы С. А. Назарова [147], М. В. Козловой и Г. П. Панасенко [102], [103], [274], в которых с учетом явления пограничного слоя для решения трехмерной задачи теории упругости строится полное асимптотическое разложение, т. е. ряд по степеням малого параметра h, отвечающего за толщину конструкции, так что порядок М невязки 0{hM) частичной суммы ряда в рассматриваемых уравнениях и краевых условиях неограниченно возрастает при удлинении этой суммы.

В статье С. А. Назарова [153] на основе общей схемы [123], [147], [150] отыскиваются старшие члены асимптотики решения задачи о деформации стержня.

D{-Vx)AD (Vxyu = f в I4, D{n)AD{Vx)Tu = д на ГЛ = {х? duh: z < 1}, и = 0 на = {х G Qh '¦ z — ±1}? где тонкий стержень fl^ определяется равенством I2h = z < —.

77, Q = h~l (y, z) G Q}, Q — внутренность множества |J S (n), S (n) — сдвиг nez вдоль оси Оz на длину п € Z = {0- ±1,. .} области S, содержащейся в слое {х = (уъ у2, z): (уь у2) € М2, г G (0, 1)}- z) — матрица упругих модулей, положительно определенная, симмметрическая и гладко зависящая от быстрых переменных? ? S и медленной переменной z? [—1,1] (зависимость от С периодическая с единичным периодом), а = 2~з и.

S7 0 0 0 о, А о 0 «А — loo/- a-gocJ- 0 / ахз 0×2 ох i / п — единичный вектор внешней нормали к боковой поверхности Гд- / и двекторы массовых сил и внешних усилий.

Далее в [153] формируется система обыкновенных дефференциальных уравнений, описывающих деформацию стержня в главном, и выводятся асимптотически точные интегральные и равномерные оценки разности ис.

D (VX) тинного и приближенного решений. Точность приближения решения асимптотическим рядом доказывается с помощью весового неравенства Корна, для вывода которого необходимо требовать, чтобы цилиндр содержал тонкий круговой цилиндр (¿-ь — {х: у — /2,77°| < Иг0, < 1}.

Вывод равномерных оценок асимптотических остатков потребовал исследования явления пограничного слоя.

Изучение различных областей с неровными осциллирующими поверхностями с точки зрения асимптотических разложений и усреднения проводилось в ряде работ [172], [224], [227], [238], [245], [256], [273], [279]. В работе Г. А. Чечкина и Д. Чиоранеску [229] рассматривается несимметричная локально периодическая пластина с осциллирующей поверхностью (см. рисунок 6).

Методом формального асимптотического разложения получается усредненная задача. Оправдание асимптотики проводится с помощью весового неравенства Корна [231], [271].

Рис. 6:

Асимптотическому анализу произвольно анизотропной пластины переменной толщины посвящена статья С. А. Назарова [154]. Вводится пластина с искривленными основаниями П®- {х = (у, г): у = (уъу2) € о", -КН^у) <г< КН+(у)}, где ш — область на плоскости К2, ограниченная простым гладким контуром дио Н±- - гладкие в ей функции, причем Н — Н+ 4- > 0- /г > 0 — малый параметр. Определяется с1 — окрестность ^ С К2 контура дш и область С I3 с кусочно гладкой границей ЭПд, удовлетворяющая условию.

Э Э {х е: уеш с > 0.

Изучается задача об изгибе упругой пластины с защемленной поверхностью сЮ/1: у 6 (см. рисунок 7).

Рис. 7:

Уравнения равновесия и краевые условия на свободных основания пластины.

Z± = {xednhrh: е G ?>, г = ±hH±(y)} имеют вид.

D (-7x)AD (Vx)Tu = / в.

D (v±)AD (Vx)Tu = д* на Е±-, (0.2) и = 0 на Г/г, где / и д±- - векторы объемных сил и поверхностных усилий, р±- - единичный вектор внешней нормали к, а положительно определенная симметрическая матрица-функция A (yi, y2, h~lz) описывает произвольную анизотропию и неоднородность пластины. Матрица D (VX) определяется формулой di 0 ad2 ol3z 0 0 D (VX) =[ 0 д2 адг 0 адг 0, 0 0 0 адг осд2 dz J д д di = 7r, г = 1,2, = —, а = 2″ 5. dyi oz.

С помощью алгоритма, предложенного в [123], [147], [150], [265], в явном виде выписывается результирующая задача, обосновывается асимптотическое представление решения задачи (0.2), выводится весовое неравенство Корна для пластин с переменной толщиной. Отдельно рассматриваются слоистые пластины, пологие оболочки, пластины с острым краем (см рисунки 8).

Рис. 8:

Методами асимптотического анализа приходится пользоваться при изучении краевых задач на соединениях вырождающихся областей различных предельных размерностей, т. е. областей у которых несколько протяженно-стей значительно меньше остальных и у разных областей количество таких исчезающих размеров разное.

Так в статье С. А. Назарова [151] исследуются краевые задачи для уравнения Лапласа на соединении трехмерной области и тонких цилиндров (стержней), таком, например, как на рисунке 9.

Рис. 9:

Строятся полные асимптотические разложения, изучаются пограничные слои в зонах соединения, которые характеризуются только степенным убыванием и оказывают прямое влияние на младшие члены асимптотического ряда. Исследование проводится методом сращиваемых асимптотических разложений [87], [89], [90] или с помощью процедуры перераспределения невязок [132]-[134], [156].

Асимптотическому исследованию свойств сред, имеющих мелкую периодическую структуру, а значит, исследованию асимптотического поведения решений уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами посвящены работы Э. Санчес-Паленсии [277], А. Бенсуссана, И.-Л. Лионса и Г. Папа-николау [223], Г. П. Панасенко [222], а также книга Н. С. Бахвалова и Г. П. Панасенко [8].

В главе 2 настоящей диссертации строится формальная асимптотика решения краевой задачи теории упругости в локально периодической пластине Qh. Выбираются асимптотические анзацы для правых частей и для решения задачи, выписывается набор предельных задач. Вводится пространс-во Соболева-Слободецкого, формулируется и доказывается известная лемма (см. [161]) о разрешимости краевых задач в этом пространстве. Рассматривается результирующая задача для определения члена порядка h в асиптоти-ческом разложении. Доказывается лемма о дифференцируемости интеграла по переменной ячейке, с помощью которой выписываются условия разрешимости результирующей задачи. Формулируется соответствующая теорема, доказательство которой можно найти, например, в [161].

Рассуждения, приводимые в работе для получения указанных выше результатов, опираются во многом на понятия теории функциональных пространств Соболева-Слободецкого.

В 30-е годы в связи с исследованием задачи Дирихле для некоторых эллиптических уравнений в работах С. Л. Соболева [185]-[191] возникли понятия обобщенной производной обычной функции, пространств W^, которые теперь называются пространствами Соболева.

Основные понятия теории обобщенных функций и применение ее методов в теории дифференциальных уравнений в частных производных систематично изложены в книге С. Л. Соболева [192] (см. также монографии B.C. Владимирова [15] и O.A. Ладыженской [114]).

Л.Н. Слободецкий [184] построил полную теорию анизотропных пространств Соболева Wlp (En), I — (?i,.,/n), р — 2, с целыми и дробными показателями дифференцируемости функций.

Теоремы вложения для неизотропных пространств Соболева приведены в книге О. В. Бесова, В. П. Ильина, С. М. Никольского [11].

В учебнике В. Г. Мазьи [131] рассматриваются операторы вложения и другие вопросы теории пространств Соболева, в частности, необходимые и достаточные условия выполнения интегральных неравенств, условия разрешимости краевых задач для эллиптических уравнений, теоремы о структуре спектра соответствующих операторов.

Систематическому изложению различных подходов к теории граничных задач для общих эллиптических и эволюционных уравнений, теории интерполяции функциональных пространств Соболева-Слободецкого посвящена книга Ж.-Л. Лионса и Э. Мадженеса [125].

В главе 3 настоящей работы проводится обоснование построенных асимптотических формул. Вводятся предположения о дифференциальных свойствах правых частей задачи, определяется асимптотическое приближение к решению исходной задачи, вычисляются и оцениваются невязкидоказывается теорема об асимптотике. Для доказательства интегральных оценок используется весовое анизотропное неравенство Корна, доказательству которого посвящена глава 4.

Неравенство Корна возникает при изучении краевых задач для системы теории упругости ([261], [255], [242]). Классические неравенства Корна в нормах Ьр были получены в работе [142]. Доказательства неравенств типа Корна для ограниченных областей, основывающиеся на интегральные представления функции и теоремы об оценках сингулярных интегралов можно найти в работах [110], [112], [139], [218]. В монографии [9] получены неравенства, аналогичные неравенствам Корна. Для ограниченных областей в [109] доказываются и используются для исследования гладкости решений системы теории упругости неравенства Корна в весовых пространствах и нормах ?2.

В работах [259], [107] получены неравенства Корна для некоторых классов неограниченных областей и доказаны теоремы единственности основных краевых задач для системы теории упругости.

В статье [105] дано элементарное доказательство неравенства Корна и его обощений для ограниченных и неограниченных областей в нормах Ьр и Среди неограниченных областей, для которых доказано неравенство Корна, области, которые при больших х совпадают с некоторым конусом, в частности, в пространство полупространство, двугранный угол, а также внешние области, т. е. неограниченные области с компактной границей. Весовые неравенства Корна в областях с острым краем исследовались в ([89]), ([260]).

При исследовании асимптотического поведения решений задачи теории упругости в различных тонких областях возникает необходимость в различных весовых неравенствах Корна. Это объясняется тем, что в тонких пластинах и стержнях необходимо различать продольные и поперечные направления. Становится необходимым устанавливать анизотропные неравенства Корна (при разных компонентах поля смещений и их производных расставляются разные степени малого параметра h, описывающего геометрию области). При выводе модифицированных неравенств Корна для пластин и стержней используются два основных приема. Первый из них, растяжение поперечных координат, использовался в [216] для доказательства неравенства с анизотропной нормой на тонкой пластине с кусочно гладкими основаниями, а второй, перенос весового множителя с малого шара на ячейку, можно найти в [153]. Приведем некоторые результаты, полученные таким образом.

В статье [153], следуя общей схеме [123], [147], [150], [265], автор отыскивает старшие члены асимптотики решения задачи о деформации стержня, оценка точности приближения решения доказывается на основе весового неравенства Корна, которое специально для этого выводится. Аналогичное неравенство, но с другим весом, установлено в [149] (см. также предложение 3.1 в [271]). В [149] устанавливается весовое неравенство Корна для цилиндрических пластин. Это же неравенство без весовых множителей было установлено в [216].

Обобщением результатов [106], [149], [216], [237] явилось весовое неравенство Корна для пластин с переменной толщиной, доказанное в [154], при помощи которого проводится обоснование асимптотики решения задачи теории упругости для тонкой пластины с искривленными основаниями.

Подход, предложенный в [149], позволил также установить анизотропные весовые неравенства Корна для пластин с периодическим основанием (см. [231]) и для некоторых перфорированных и гофрированных пластин ([161], п. 3.3).

Упомянем также, что для тонких периодических структур неравенство Корна получено в ([79]).

В настоящей диссертации доказывается весовое анизотропное неравенство Корна на тонкой локально периодической пластине без каких — либо геометрических ограничений. Для этого методом, описанным в [1], строится опорное множество (тонкая сплошная пластина, пронизывающая исходную). Далее вводится восполнение поля смещений на опорном множестве и неравенство Корна с помощью приемов, использованных в [149], [153], [154], переносится на пластину fV.

0.2 Формулировка результатов.

Основными результатами диссертации являются теорема об асимптотике, доказанная в главе 3, и неравенство Корна, выводу которого посвящена глава 4. Приведем здесь их формулировки.

Теорема (*). Пусть выполнены соотношения (2.1), (2.2) и (3.1), (3.3), определяющие в некотором обобщенном смысле гладкость правых частей f и д. Тогда решение и смешанной краевой задачи теории упругости (1.14) — (1.16) и его асимптотическое приближение ii°, определяемое формулой (3.7)i связаны неравенством и — ii°- Qh + HZ^VJH — Z^V.XH0) — L2{Uh) || < di*-V2(N1+y + N71/2), в котором постоянная с не зависит ни от h € (0,1) — ни от составляющих J0,^0,/0 и f, g правых частей задачи. Здесь — локально периодическая пластина, заданная формулой (1.13), с боковой поверхностью о, а | - весовая анизотропная норма в пространстве Г/J3, различающая продольные и поперечные направления в пластине (см. формулу (4−4JМатричный дифференциальный оператор D (VX) определен форулой (1.9).

Символы Ni+7 и обозначают сумму с определенными коэффициентами норм компонент правых частей задачи в пространстве квадратично интегрируемых функций и пространствах Соболева-Слободецкого (см. формулу (3.33)) с показателем гладкости 1 + 7, 7? (0,.

Из теоремы (*) получены важные следствия об асимптотическом поведении деформаций и напряжений, получено неравенство для смещений.

Следствие 1. В условиях теоремы (*) e (u) — h-D{l + y) D (Vy)w, L2{uh) || < ch?'l'y?l+1 + NT½).

Следствие 2. В условиях теоремы (*) верна оценка h\pl2{u3 — h~2w3}- L2(nh)\ +? НрЛ* - - ^ i=1 Уг.

Столбцы деформаций е (и) и напряжений, а (и) заданы формулой (1.7) и (1.10). Оператор суть х). Матрица X составлена из решений задачи (2.17) (см. также (2.31)), матрица У определена формулой (2.33). Столбец си = ((?>1, Ш2, с^з)т является решением результирующей задачи (2.49) и описывает прогиб пластины (компонента <^з) и ее продольные смещения (компоненты О^).

Доказательство теоремы (*) опирается на весовое анизотропное неравенство Корна, вывод которого для локально периодической пластины Г^ сам по себе является нетривиальным и заслуживает отдельного внимания. Неравенству Корна посвящена глава 4 настоящей диссертации. Результат сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема (**). Если — локально периодическая пластина (1.13) и и? о.

Н1^^} Г/г)3, то выполняется неравенство Корна в котором постоянная с не зависит от поля и и параметра к? (0,1], | ¦ | - весовая анизотропная норма (4−4) — а ^(г^П/О — функционал, подобный упругой энергии (4−3).

1 Постановка задачи.

В этой главе ставится задача о деформации тонкой композитной пластины. Ранее в [228], [257], [258] при исследовании цилиндрических композитных пластин предполагалось периодическое изменение свойств материала. Рассматривались случаи, когда толщина пластины меняется случайным образом. Позднее некоторые геометрические ограничения были сняты. Так в [154] рассматриваются анизотропные пластины переменной толщины и пологие оболочки (искривленные пластины). В [181] при изучении армированной пластины допускалась быстрая осцилляция компонент тензора упругости в предположении физической симметрии пластины относительно срединной плоскости. В статьях [86], [148], [157], [163], [270] рассматривались пластины с трещинами. Пластинки с шероховатой поверхностью изучались в работах [215], [229].

В этой же работе мы стремимся рассмотреть как можно более общий случай, поэтому будем предполагать лишь локальную периодичность геометрической формы пластины и упругих свойств материала, из которого она сделана.

В настоящей главе вводятся основные понятия теории упругости, связанные с кинематикой деформируемой среды. Задача о деформации тонкой композитной пластины записывается с помощью матричных обозначений, введеныых С. Г. Лехницким [118].

1. Акимова Е. А., Назаров С. А., Чечкин Г. А. Весовое неравенство Корна для произвольной пластины //ДАН (2001), т. 380, N0 4, с. 439−442.

2. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных оболочек, Физматгиз, 1961.

3. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин, М.: Наука, 1987.

4. Аксентян О.К.Ю Ворович И. И. //ПММ (1963), т. 27, N0 6, с. 1057.

5. Бабич В. М., Булдырев В. С. Искусство асимптотики// Вестник Ленинградского университета (1977), N0 13, с. 5−12.

6. Багиров Л. А., Кондратьев В. А. Об одном классе эллиптических уравнений в I" // в книге: Дифференциальные уравнения с частными производными, N0 2, Новосибирск, 1978, с. 5−16.

7. Багиров Л. А., Фейгин В. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с неограниченной границей// ДАН (1973), т. 211, N0 1, с. 23−26.

8. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах, М.: Наука, 1984.

9. Бранцев Р. Г. Об ассимптологии// Вестник Ленинградского университета (1976), N0 1, с. 69−77.

10. Бахвалов Н. С. Об асимптотике при малых решениях уравнения щ + ир (и)]х — еихх, соответствующего волне разряжения// ЖВМ и МФ 6:3 (1966).

11. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения, М.: Наука, 1975.

12. Бутузов В. Ф. Асимптотика решения уравнения р2Аи — к (х, у)2и = /{х, у) в прямоугольной области// Дифференциальные уравнения (1973), т. 9, N0 9. с. 1954;1960.

13. Бутузов В. Ф. Угловой погранслой в сингулярно возмущенных задачах с частными производными// Дифференциальные уравнения (1979), т. 15, N0 10. с. 1848−1862.

14. Ван Дайк М. Д. Методы возмущения в механике жидкости, М., 1967.

15. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике, М.: Наука, 1979.

16. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром// УМН 12 (1957), вып. 5, с. 3−122.

17. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных уравнений, 1// УМН 15:3 (93), 1960, с. 3−80.

18. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстро меняющимися коэффициентами и граничными условиями// УМН 15:4 (94) (1960), с. 27−95.

19. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений// ДАН 121:5 (1958), с. 778−781.

20. Вишик М. И., Люстерник Л. А. О начальном скачке для нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр// ДАН 132:6 (1960), с. 1242−1245.

21. Гадыльшин Р. Р. Асимптотика решений сингулярно возмущенной задачи Дирихле// Журнал выч. матем. и мат. физики (1996), т. 36, N0 1, с. 92−102.

22. Гадыльшин Р. Р. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной самосопряженной эллептической задачи с малым параметром в граничных условиях// Дифф. уравнения (1986), т. 22, N0 4, с. 640−652.

23. Гадыльшин Р. Р. Об аналогах резонатора Гельмгольца в теории усре-дения// Мат. сборник (2002), т. 193, N0 11, с. 43−70.

24. Гадыльшин Р. Р., Ильин А. М. Асимптотика собственных значений задачи Дирихле в области с узкой щелью// Мат. сборник (1998), т. 189, N0 4, с. 25−48.

25. Галерник Б. Г. Упругие тонкие плиты, Госстройиздат, 1933.

26. Георгиевский Д. В. Некоторые неодномерные задачи вязкопластич-ности: жесткие зоны и устойчивость (обзор)// Изв. РАН. Механика твердого тела (2001), No 1, с. 61−78.

27. Георгиевский Д. В., Победря Б. Е. О понятии устойчивости деформирования в упругой и вязкоупругой моделях// Изв. РАН. Механика твердого тела (2002), No 4, с. 46−56.

28. Гольденвейзер A.JI. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных с краевыми условиями, зависящими от параметра// ПММ 22:5 (1958), 657−672.

29. Гольденвейзер A.JI. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных с малой правой частью// ПММ 23:1 (1958), 33−37.

30. Гольденвейзер A.JI. Влияние условий закрепления краев тонкой оболочки на ее напряженное состояние// Труды МАП 669 (1948).

31. Гольденвейзер A.JI. Построение приближенной теории изгиба пластины методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости// ПММ 26:4 (1962).

32. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек, М.: Наука, 1976.

33. Гольденвейзер A.JI. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости// ПММ 27 (1962), No 6, с. 1057−1074.

34. Гольденвейзер A.JI. Построение приближенной теории оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости// ПММ 73 (1963), No 6, с. 1057−1074.

35. Гольденвейзер А. Л. Алгоритмы асимптотического построения линейной двумерной теории тонких оболочек и принципы Сен-Венана// ПММ 58 (1994), No 6, с. 96−108.

36. Гольденвейзер A.JI., Колос A.B. К построению двумерных уравнений упругих тонких пластин// ПММ 29 (1965), No 1, с. 141−161.

37. Горьков Ю. П., Ильин А. М., Леликова Е. Ф. Асимптотика решения эллиптического уравнения с малым параметром при старшей производной в окрестности особой характеристики предельного уравнения// Труды семинара им. И. Г. Петровского (1975), т. 1, с. 75−133.

38. Григолюк Э. И., Фильштинский Л. А. Перфорированные пластины и оболочки, М.:Наука, 1970.

39. Джавадов М. Г. Задача Коши для гиперболического уравнения с малым параметром при старших производных// Изд. АН АзССР N0 6 (1963), с. 3−9.

40. Джавадов М. Г. Асимптотика решения краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка в областях, у которых одно измерение достаточно мало в сравнении с другими// Докл. АН СССР 160 (1965), N0 3, с. 507−510.

41. Джавадов М. Г. Асимптотика решения краевой задачи для эллиптического уравнения в тонких областях// Дифференциальные уравнения 4 (1968), N0 10, с. 1901;1909.

42. Дифференциальные уравнения с малым параметром, Свердловск, 1980.

43. Дудников В. А., Назаров С. А. Асимптотически точные уравнения тонких пластин на основе теории Коссера// ДАН СССР 262 (1982), N0 2, с. 306−310.

44. Дюво Г., Лионе Ж. Л. Неравенства в механике и физике, М.: Наука, 1980.

45. Жиков В. В. Вопросы сходимости, двойственности и усреднения для одного класса функционалов вариационного исчисления// ДАН СССР (1982), т. 267, N0 3, с. 524−528.

46. Жиков В. В. Вопросы сходимости, двойственности и усреднения для функционалов вариационного исчисления// Изв. АН СССР, сер. ма-тем. (1983), т. 47, N0 5, с. 961−995.

47. Жиков В. В. Асимптотическое поведение и стабилизация решений па-роболического уравнения второго порядка с младшими членами// Тр. ММО (1983), т.46, с. 70−98.

48. Жиков В. В. Усреднение и предельная нагрузка// УМН (1985), т. 40, вып. 5, с. 221.

49. Жиков В. В. Об оценках для следа усредненной матрицы// Мат. заметки (1986), т. 40, N0 2, с. 226−237.

50. Жиков В. В. О постановке краевых задач для интеграла вида // УМН (1986), т. 41, вып. 5, с. 187−188.

51. Жиков В. В. Усреднение функционалов вариационного исчисления и теории упругости// Изв. АН СССР, сер. матем. (1986), т. 50, N0 4, с. 675−771.

52. Жиков В. В. Об оценках для следа усредненного тензора// ДАН СССР (1988), т. 299, N0 4, с. 776−780.

53. Жиков В. В. Методы двойственности в теории устреднения// Механика деформируемого твердого тела, 1 Всесоюзный симп. (1984), М.: Наука, 1984, с. 72−84.

54. Жиков В. В. Замечания к проблеме остаточной диффузии// УМН (1988), т. 44, N0 6, с. 155−156.

55. Жиков В. В. Об эффективной проводимости случайных однородных множеств// Мат. заметки (1989), т. 45, N0 4, с. 34−45.

56. Жиков В. В. Спектральный подход к асимптотическим задачам диффузии// Дифференциальные уравнения (1989), т. 25, N0 1, с. 44−50.

57. Жиков В. В. Вопросы продолжения функций в связи с теорией усреднения// Дифференциальные уравнения (1990), т. 26, N0 1, с. 39−50.

58. Жиков В. В. Асимптотические задачи, связанные с уравнением теплопроводности в перфорированных областях// Мат. сб. (1990), т. 184, N0 10, с. 1283−1305.

59. Жиков В. В. Эффект Лаврентьева и усреднения нелинейных вариационных задач// Дифференциальные уравнения (1991), т. 27, N0 1, с. 42−50.

60. Жиков В. В. Об оценках для усредненной матрицы и усредненного тензора// УМН (1991), т. 46, N0 3, с. 49−109.

61. Жиков B.B. О переходе к пределу в нелинейных вариационных задачах// Мат. сб. (1992), т. 183, No 8, с. 47−84.

62. Жиков В. В. О пороге проводимости для случая кубической структуры// Мат. заметки (1992), No 6.

63. Жиков В. В. Двухмасштабная сходимость и спектральные вопросы усреднения// Труды семинара им. И. Г. Петровского (2002), вып. 22, с. 105−120.

64. Жиков В. В. Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах// ДАН (2001), т. 380, No 6, с. 741−755.

65. Жиков В. В. Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах// Изв. РАН, сер. матем. (2002), т. 66, No 2, с. 1−148.

66. Жиков В. В., Барабанов О. О. К теории предельной нагрузки для упруго-пластичных сред// Механика неоднородных структур, т. 2, Тезисы докладов на 2 Всесоюзной конференции, Львов (1987), с. 127 128.

67. Жиков В. В., Козлов С. М. Усреднение и перколяция// УМН (1988), т. 43, вып. 4, с. 169−170.

68. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник O.A. Усреднение и G-сходимость дифференциальных операторов// УМН (1979), т. 34, No 5, с. 65−133.

69. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник O.A. Усреднение и G-сходимость параболических операторов// УМН (1980), т. 35, No 4, с. 150−151.

70. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник O.A. О G-сходимости параболических операторов// УМН (1981), т. 36, вып. 1, с. 11−58.

71. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник O.A. Теоремы об усреднении параболических операторов// ДАН СССР (1981), т. 260, No 3, с. 521−525.

72. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник O.A. Усреднение параболических операторов// Тр. ММО (1982), т. 45, с. 182−236.

73. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник O.A. Усреднение параболических операторов с почти периодическими коэффициентами// Мат. сб. (1982), т. 117, No 1, с. 69−85.

74. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов, М.: Наука, 1996.

75. Жиков В. В., Кривеико Е. В. Усреднение сингулярно возмущенных эллиптических операторов// Мат. заметки (1983), т. 33, No 4, с. 571−582.

76. Жиков В. В., Назаров O.A. Задача об искуственном диэлектрике// Исследования качественных свойств решений краевых задач, Воронеж, Изд-во ВГУ (1990).

77. Жиков В. В., Олейник O.A. Об усреднении системы теории упругости с почти переодическими коэффициентами// Вестник МГУ, Математика. Механика (1989), No 6, с. 62−70.

78. Жиков В. В., Пастухова С. Б. Усреденние задач теории упругости на периодических сетках критической толщины// ДАН (2002), т. 385, No 5, с. 590−595.

79. Жиков В. В., Пастухова С. Е. О неравенствых Корна на тонких периодических структурах// ДАН (2003), т. 388, No 5, с. 588−592.

80. Жиков В. В., Сиражудинов М. М. Усреднение недивергентных эллиптических и параболических операторов второго порядка и стабилизация решений задач Коши// Мат. сб. (1981), т. 116, No 2, с. 166−186.

81. Жиков В. В., Сиражудинов М. М. О G-компактности одного класса недивергентных эллиптических операторов второго порядка// Известия АН СССР, сер. матем. (1981), т. 45, с. 718−733.

82. Жиков В. В., Сиражудинов М. М. Усреднение систем уравнений Бель-трами// Дифференциальные уравнения (1987), т. 24, No 1, с. 64−73.

83. Зино И. Е., Троппи Э. А. Асимптотичекие методы в задачах теории теплопроводности и термоупругости, Л.: Ленингр. ун-т., 1978.

84. Зорин И. С., Назаров С. А. Краевой эффект при изгибе тонкой трехмерной пластины// ПММ 53 (1969), No 4, с. 642−650.

85. Иванов H.A. Фундаментальные решения линейных эллиптических уравнений с малым параметром// Мат. зам 4:4 (1968).

86. Изотова О. В., Назаров С. А. Тонкая трехмерная пластина с трещиной вдоль зоны защемления на ее боковой поверхности// Проблемы мат. анализа 21 (2000), с. 138−192.

87. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений краевых задач, М.: Наука, 1989.

88. Ильин А. М., Леликова Е. Ф. Метод сращивания асимптотических представлений для уравнения г Аи — а{х, у) иу = F (x, y) в прямоугольнике// Мат. сборник (1975), т. 96, No 4, с. 568−583.

89. Ильин А. М. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в обсласти со щелью, 1, Двумерный случай// Мат. сборник (1976), т. 99, No 4, с. 514−537.

90. Ильин А. М. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в обсласти со щелью, 2, Область с малым отверстием// Мат. сборник (1977), т. 103, No 2, с. 265−284.

91. Ильин А. М. Об одной задаче с малым параметром// УМН (1977), т. 32, вып. 3, с. 161−162.

92. Иосифьян Г. А., Олейник O.A., Шамаев A.C. Усреднение собственных значений краевой задачи теории упругости с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами// Сиб. мат. журнал (1983), т. 24, No 5, с. 50−58.

93. Иосифьян Г. А., Олейник O.A., Шамаев A.C. Об асимптотическом разложении решений задач Дирихле дл «эллиптических уравнений и систем теории упругости в перфорированной области// ДАН СССР1985), т. 284, No 5, с. 1062−1066.

94. Иосифьян Г. А., Олейник O.A., Шамаев A.C. Об усреднении эллиптических уравнений, описывающих процессы в слоистых средах// УМН1986), т. 41, No 3, с. 185−186.

95. Иосифьян Г. А., Олейник O.A., Шамаев A.C. Асимптотическое разложение собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с быстро осциллирующими коэффициентами// Вестник МГУ, Математика. Механика (1985), No 6, с. 37−46.

96. Иосифьян Г. А., Олейник O.A., Шамаев A.C. О собственных значениях краевых задач для теории упругости с быстро осциллирующими коэффициентами в перфорированных областях// Мат. сб. (1987), т. 32, No 4, с. 517−531.

97. Иосифьян Г. А., Олейник O.A., Шамаев A.C. Усреднение собственных значений и собственных функций краевой задачи теории упругости в перфорированной области// Вестник МГУ, Математика. Механика (1983), No 4, с. 53−63.

98. Иосифьян Г. А., Олейник O.A., Шамаев A.C. О задачах усреднения для слоистых сред// Асимптотические методы математической физики, Киев: Наукова думка (1988), с. 73−83.

99. Иосифьян Г. А., Олейник O.A. О поведении на бесконечности решений уравнений второго порядка в области некомпактной границы// Мат. сборник (1980), т. 112, No 4, с. 588−610.

100. Иосифьян Г. А., Олейник O.A. Об условиях затухания и предельном поведении на бесконечности решений системы уравнений иеории упругости// ДАН (1981), т. 258, No 3, с. 550−553.

101. Кани С. М., Свердлов И. А. Расчет самолета на прочность, М.: Обо-ронгиз, 1940.

102. Козлова М. В. Осреднение трехмерной задачи теории упругости для тонкого неоднородного бруса// Вестник МГУ, сер. Математика. Механика (1989), No 5, с. 6−10.

103. Козлова М. В., Панасенко Г. П. Осреднение трехмерной задачи теории упругости в неоднородном стержне// Журнал вычислительной математики и математической физики (1991), т. 31, No 10, с. 1592−1596.

104. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками// Труды Моск. мат. общества 16 (1967), с. 209−292.

105. Кондратьев В. А., Олейник O.A. Краевые задачи для системы теории упругости в неоднородных областях. Неравенство Корна//УМН 43 (1988), No 5, с. 55−98.

106. Кондратьев В. А., Олейник O.A. О зависимости констант в неравенстве Корна от параметров, характеризующих геометрию области// УМН (1989), т. 44, No 6, с. 157−158.

107. Кондратьев В. А., Олейник O.A. О неравенствах Корна и единственности решений классических краевых задач в неограниченных областях для системы теории упругости// Современные проблемы математической физики, т. 2, Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, с. 15−44.

108. Коул Дж.Д. Методы возмущений в прикладной математике, М.: 1972.

109. Кошелев А. И. Регулярность решений эллиптических уравнений и систем, М.: Наука, 1986.

110. Крылов А. Л. Обоснование принципа Дирихле для первой краевой задачи нелинейной теории упругости// ДАН СССР (1962), т. 146, No 1, с. 54−57.

111. Кружков С. Н. К методам построения обобщенных решений задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка// УМН 20:6 (126) (1965), с. 112−118.

112. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики.- т. 2, М.: Гостехиздат, 1945.

113. Кучеренко В. В., Попов В. А. Асимптотика решений задач теории упругости в тонких областях// ДАН СССР 274 (1984), No 1, с. 58−61.

114. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики, М.: Наука, 1973.

115. Лебедев H.H., Скальская И. П. Применение парных интегральных уравнений к электростатическим задачам для полого проводящего цилиндра конечной длины// Журнал техн. физики (1973), т. 43, No 1, с. 44−51.

116. Леликова Е. Ф. Об асимптотике решения эллиптического уравнения второго порядка с малым параметром при старших производных// Дифференциальные уравнения (1976), т. 12, No 10, с. 1852−1865.

117. Леликова Е. Ф. Метод сращивания асимптотических разложений для уравнения е/и — аих = f в параллелепипеде// Дифференциальные уравнения (1978), т. 14, No 9, с. 1638−1648.

118. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластины, М.: Физматгиз, 1957.

119. Лехницкий С. Г. Кручение анизотропных неоднородных стержней, М.: Наука, 1971.

120. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела, М.: Наука, 1977.

121. Лехницкий С. Г. О некоторых вопросах, связанных с теорией изгиба тонких плит// Прикл. математика и механика, новая серия (1938), т. 2, вып. 2.

122. Лехницкий С. Г. Изгиб неоднородных анизотропных тонких плит симметричного строения// Прикл. математика и механика (1941), т. 5, вып. 1.

123. Леора С. Н., Назаров С. А., Проскура A.B. Вывод предельных уравнений для эллиптических задач в тонких областях при помощи ЭВМ// Журнал вычислительной математики и математической физики (1986), т. 26, No 7, с. 1032−1048.

124. Леонтович Н. М. Асимптотическое разложение решений краевых задач для уравнений в частных производных// ДАН 131 (1960).

125. Лионе Ж.-Л., Мандженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения, М.: Мир, 1971.

126. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости, М.: Наука, 1980.

127. Лурье А. И. Теория упругости, М.: Наука, 1970.

128. Лурье А. И. К задаче о равновесии пластины с опертыми краями// Изв. Ленинградского политехнического института (1928), т. 31, с. 305 320.

129. Лурье А. И. Некоторые задачи об изгибе круглой пластинки// Прикладная математика и механика (1940), т. 4, вып. 1.

130. Лурье А. И. Статика упругих оболочек, Гостехиздат, 1947.

131. Мазья В. Г. Пространсва С.Л. Соболева, Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

132. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области, Тбилиси, 1981.

133. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Об асимптотике решений эллиптических краевых задач при негулярном возмущении области// Проблемы мат. анализа, Л.:Изд-во Ленинградского университета (1981), вып. 8, с. 72−153.

134. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотическое разложение собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями// Изд. АН СССР, сер. матем. (1984), т. 48, No 2, с.347−371.

135. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в областях с коническими точками// Math. Nachr. (1977), Bd. 76, p. 29−60.

136. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи конических точек// ДАН (1974), т. 219, No 2, с. 286−289.

137. Метод согласования асимптотических разложений в задачах с сингулярными возмущениями, Уфа: 1980.

138. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных, М.: Наука, 1976.

139. Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала, М.: Гостехиздат, 1952.

140. Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. Интегральные уравнения в теории упругости, Петрозаводск: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 1994.

141. Мищенко Е. Ф., Понтрягин Л. С. Вывод некоторых асимптотических оценок для решений дифференциальных уравнений с малым параметром при производных// Изв. АН, сер. матем. 23:5 (1959), с. 643 660.

142. Мосолов П. П., Мясников В. П. Доказательство неравенства Корна// ДАН СССР (1971), т. 201, No 1, с. 36−39.

143. Мотыгин О. В., Назаров С. А. Пригодная для компьютерной реализации процедура построения пограничных слоев в теории тонких пластин// Журнал вычислительной математики и математической физики (2000), т. 40, No 2, с. 274−285.

144. Назаров С. А. Асимптотика по малому параметру решения дифференциального уравнения второго порядка на многообразии с углами// Изв. вузов, математика (1980), No 9, с. 18−24.

145. Назаров С. А. Асимптотика по малому параметру решения элиптиче-ской краевой задачи в области с конической точкой// ДАН (1978), т. 238, No 4, с.827−830.

146. Назаров С. А. Метод Вишика-Люстерника для эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. 1. Задача в кону-се//Сиб. мат. журнал 22 (1981), No 4, с. 142−163.

147. Назаров С. А. Структура решений эллиптических краевых задач в тонких областях// Вестн. ЛГУ (1982), No 7, с. 65−68.

148. Назаров С. А. Нелинейные эффекты деформирования композитов с регулярной системой мелких трещин// Механика композитных материалов (1988), No 6, с. 1052−1059.

149. Назаров С. А. Неравенства Корна, асимптотически точные для тонких областей// Вестник СПбГУ (1992), No 8, с. 19−24.

150. Назаров С. А. Общая схема усреднения самосопряжённых эллиптических систем в многомерных областях, в том числе тонких// Алгебра и анализ 7 (1995), No 5, с. 1−92.

151. Назаров С. А. Соединения сингулярно вырождающихся областей различных предельных размерностей. I,// Труды семинара им. И. Г. Петровского (1995), вып. 18, с. 3−78.

152. Назаров С. А. Самосапряженные эллиптические краевые задачи. Полиномиальное свойство и формально положительные операторы// Проблемы мат. анализа 16(1997), с. 167−192.

153. Назаров С. А. Обоснование асимптотической теории тонких стержней. Интегральные и точечные оценки// Проблемы мат. анализа 17 (1997), с. 101−152.

154. Назаров С. А. Асимптотический анализ произвольно анизотропной пластины переменной толщины (пологой оболочки)// Мат. сборник (2000), No 7, с. 129−159.

155. Назаров С. А. Минимальные требования гладкости данных, сохраняющие точность одномерной модели стержня// Проблемы мат. анализа 19 (1999), с. 164−181.

156. Назаров С. А.

Введение

в асимптотические методы теории упругости, JL: Изд-во ЛГУ, 1983.

157. Назаров С. А. Об эффекте трехмерности вблизи вершины трещины в тонкой пластине// Прикл. мат. механика 55 (1991), No 3, с. 500−510.

158. Назаров С. А. Проявление пространственной структуры поля напряжений в окрестности угловой точки тонкой пластины// ПММ 55 (1991), No 4, с. 653−661.

159. Назаров С. А. Об асимптотике спектра задачи теории упругости тонкой пластины// Сиб. мат. журнал 41 (2000), No 4, с. 895−912.

160. Назаров С. А. Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов// УМН 54 (1999), вып. 5, с. 77−142.

161. Назаров С. А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Том 1. Понижение размерности и интегральные оценки, Новосибирск: Научная книга, 2002.

162. Назаров С. А., Слуцкий A.C. Одномерные уравнения деформации тонких слабоискривленных стержней// Изв. РАН, сер. матем. 64 (2000), No 3, с. 97−131.

163. Назаров С. А., Шойхет Б. А. Коэрцитивные оценки в весовых пространствах решений задач теории упругости и ползучести в областях с двумерной трещиной// Изв. АН Арм. ССР, сер. механика (1983), No 4, с. 12−25.

164. Найфэ А. Х. Методы возмущений, М.: 1976.

165. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек, Л.: Судпромгиз, 1962.

166. Новожилов В. В. Теория упругости, Л.: Судпромгиз, 1958.

167. Олвер Ф.

Введение

в асимптотические методы и специальные функции, М.: 1978.

168. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического типа с малым параметром при старших производных// Мат. сборник 31:1 (1952), с. 104−117.

169. Резцов М. В. Композиционные пластины, армированные высокомодульными волокнами// Журнал вычислительной математики и математической физики 30 (1990), N0 9, с. 1394−1404.

170. Фридман M.M. О некоторых задачах теории изгиба тонких плит// ПММ (1941), т. 5, вып. 1.

171. Фридман М. М. Изгиб тонкой изотропной плиты с криволинейным отверстием// ПММ (1945), т. 9, вып. 4.

172. Фридман М. М. Изгиб тонкой изотропной плиты с впаяной круглой изотропной шайбой из другого материала// ПММ (1950), т. 9, вып. 4.

173. Фридман М. М. Изгиб круглой плиты сосредоточенными силами// ПММ (1951), т. 15, вып. 2.

174. Фридман М. М. Решение общей задачи об изгибе тонкой изотропной упругой плиты, опертой вдоль края// ПММ (1952), т. 16, вып. 4.

175. Фридрихе К. О. Асимптотические явления в математической физике// Математика (1957), т. 1, No 2, с. 79−84.

176. Чечкин Г. А. Об усреднении краевой задачи для системы теории упругости в тонкой пластине с быстро осциллирующей поверхностью// УМН 53 (1998), вып. 3, с. 150.

177. Шойхет Б. А. Об асимптотически точных уравнениях тонких плит сложной структуры// ПММ (1973), т. 43, No 5, с. 914−924.

178. Шойхет Б. А. Одно энергетическое тождество в физически нелинейной теории упругости и оценка погрешности уравнений плит// ПММ (1976), т. 40, No 2, с. 317−326.

179. Эйдус Д. М. О смешанной задаче теории упругости// ДАН СССР (1951), т. 76, No 2, с. 181−184.

180. Aganovic I., Jurak M., Marusic-Paloka E., Tutek Z. Moderately Wrinkled Plate// Asymptotic Analysis (1998), v. 16, p. 273−297.

181. Aganovic I., Marusic-Paloka E., Tutek Z. Slightly Wrinkled Plate// Asymptotic Analysis (1996), v. 13, p. 1−29.

182. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic differential equations satisfying boundary conditions. 1, 2// Comm. Pure Appl. Math. 12 (1959), No 4, p. 623−723- 17 (1964), No 1, p. 35−92.

183. Agmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach space// Comm. Pure Appl. Math. 16 (1963), p. 121 239.

184. Bensoussan A., Lions J.-L., Pananicolaou G. Asymptotic methods in periodic structures, Amsterdam: North Holland, 1978.

185. Bouchitte G., Lidouh A., Suquet P. Homogenesation de frontiere pour la modelization du contact entre un corps deformable non lineaire et un corps rigide// C. R. Acad. Sci. Paris, ser. 1, 313 (1991), p. 967−972.

186. Boussinesque M.J. Complements a une etude sur la theorie de l’equilibre et du mouvement des solids elastiques// Journal de Math. Pures et Appl. (1879), ser. 3, t. 5.

187. Bromberg E. Non-lineriare bending of a circulare plate under normal pressure// Comm. Pure Appl. Math. 9:4 (1956).

188. Butazzo G., Kohn R. Reinforcement by a thin layer with oscillating thickness// Appl. Math, and Optimiz. 16:3 (1987), p. 247−261.

189. Caillerie D. Thin elastic and periodic plates// Math. Mech. Appl. Sci. 2 (1984), p. 251−270.

190. Chechkin G.A., Jikov V.V., Lukkassen D., Piatnitski A.L. On homogenization of networks and junctions// Asymptotic Analysis 30 (2002), No 1, p. 61−80.

191. Chechkin G.A., Pichugina E.A. Weighted Korn’s inequality for a thin plate with a rough surface// Russian Journal of Mathematical Physics 7 (2000), No 3, p. 375−383.

192. Ciarlet P.G. Plates and Junctions in Elastic Multi-Structures: An Asymptotic Analysis, Paris: Masson, 1990.

193. Geer J.F., Keller J.B. Uniform asymptotic solutions for the two dimensional potential flow around a thin airfoil and electrostatic potential about a thin conductor// STAM J. Appl. Math. (1968), v. 16, Nol, p. 75−100.

194. Gehring F. De aequationibus differentialibus quibus aequilibrium et motus laminae crystallinae definitur, Berlin, 1860.

195. Jikov V.V., Kozlov C.M., Oleinik O.A. Sur l’homogeneisation d’operateur differentiels paraboliques a coefficients presque periodiques// C. R. Ac. Sc. Paris, Ser 1 (1981), v. 293, p. 245−248.

196. Jikov V.V., Oleinik O.A. On the homogenization of elleptic operators with almost periodic coefficients// Rendiconti del seminario matemarco e fisico di Milano (1982), v. 52, p. 149−166.

197. Huber M.T. Teorja plyt, Lwow, 1921.

198. Huber M.T. Einige Anwendungen der Biegungstheorie orthotroper Platten// Zeitschr. f. Angew. MAth. und Mech. (1926), b. 6, h. 3.

199. Huber M.T. Probleme der Statik technisch wichtiger orthotroper Platten, Warszawa, 1929.

200. Keller H.B., Reiss Non-lineare bending and bucking of a circulare plates// U.S. Proc. 3 Nat. Cong. Appl. Mech. Prov. R.J. (june 1958).

201. Knops R.J., Payne L.E. Uniqueness theorems in linear elasticity, Berlin: Springer Verlag.-1971.

202. Kohler W., Papanicolaou G., Varadhan S. Boundary and interface problems in regions with very rough boundaries// in Multiple scattering and waves in random media, Chow P.L., Kohler W., Papanicolaou G. eds, Amsterdam, North-Holland (1981), p. 165−197.

203. Kohn R., Vogelius M. A New Model for Thin Plates with Rapidly Varying Thickness// J. Solid Structures 20 (1984), No 4, p. 333−350.

204. Kohn R., Vogelius M. A New Model for Thin Plates with Rapidly Varying Thickness. II. A convergence proof// Quart, of Appl. Math. 43 (1985), p. 1−22.

205. Kondratiev V.A., Oleinik O.A. Asymptotic properties of solutions of the elasticity system// Applications of multiple scaling in mechanics. Proceeding international conference, Paris: Masson.- 1987 p. 188−205.

206. Kondratiev V.A., Oleinik O.A. Korn’s type inequalities for a class of unbounded domains and applications to boundary-value problems in elasticity// Elasticity Math, methods and application, The Ian N. Sheddon 70th Birthday vol. (1990), p. 211−233.

207. Korn A. Uber einige Ungeleichungen, welche in der Teorie der elastischen and elektrischen Schwingungen eine Rolle Spielen.// Bull. Intern. Cracov Ac ad. Umiejet (Classe Sc. Math. Rat) — 1909.

208. Lewiiiski T. Effective Models of Composite Periodic Plates. I. Asymptotic Solution// Internat. J. Solids Structures 27 (1991), p. 1155−1172.

209. Lewinski T. Effective Models of Composite Periodic Plates. II. Simplifications due to simmetries// Internat. J. Solids Structures 27 (1991), p. 1173−1184.

210. Lewinski T. and Telega J.J. Plates, Laminates and Shells, Asymptotic Analysis and Homogenization, Singapore New Jersey — London — Hong Kong: World Scientific, 2000.

211. Morgenstern D. Herleitung der Plattentheorie aus der dreidimensionalen Elastizitats theorie// Arch. Math. Mech Anal. 4 (1959), No 2, p. 145−152.

212. Morgenstern D. Mathematische Begriidung der Schibentheorie// Arch. Math. Mech Anal. 3 (1959), No 1.

213. Morgenstern D. Bernoullishe Hypothesen bei Balken und Platten Theorie// Z. Angew. Math. Mech. 39 (1959), No 9−11.

214. Sanchez-Palencia E., Suquet P. Friction and homogenization of a boundary// in Free Boundary Problems: Theory and applications, Fasan A. and Primicerio M. eds., London, Pitman (1983), p. 561−571.