Дифференциальные уравнения со сложными нелинейностями

Многие задачи механики, физики, управления, экологии ж др. приводят к необходимоетж расомотреяия ежетем оо олошшмж нелж-жейноотяш той шт иной природа. Иоеледоваше дшашкй Ааких систем требует изученш новых классов эволюционнах уравнений.

Настоящая работа посвщана методш нсследованш двух классов ЭВ0Ш1ЩНННХ уравнений, первый жз которых связан е описанием. данамики систем,' содержащх гиотеревжсныв мелинейноотиА, а второй ~ с описанием дршашки систем запаздыващего тша.

К уравненжш, содержащим нелинейные зависимости гжстерезя-сного типа, приводят многочисленные задачи физики, механики, управления, биологии и др.- здесь достаточно упомянуть магнитный гистерезис, диэлектрический гистерезис, пластический гистерезис и т. д.

Основы общей математической теории систем с гистерезжсны-т нелинейностяш были заложены М. А. Красносельским и его учен.

В этой теории каждая гжстерезжс-най нелинейность трактуетсяА’как независимая система со своим пространством состояний, операторами «вход-выход». Она основана на общей методологии теории систем а^/Д|'аа Адуулу/ 7 ж охватывает основные феноменологические модели гистерезиса: люфты ж упоры, моделаа Нрандтля, Прейсаха, Ипшинского, Бессе-линга.

Разработанная математическая теория систем с гистерезжсом позволяет избавиться от неопределенности, характерной дая обычных феноменологических описаний гжстерезжсных явленжй и дает возможность применять технику функщонаЕьного анализа и дифференциальных уравненй! дая изучения процессов в системах с гистерезисом.

Она позволила реять ряд классических задач о вынужденных колебательных режимах функцжоиировайЕя ужршляемых систем, об автоколебаниях в таких системах, о применимости пршцжпа ус-редаенжя ж др.

Дальнейшее развитие математической теории систем с гистерезисом представляется актуаяьным ж важным, так как многие её разделы остаются недостаточно жлж даже совершенно не изученными. Необходимость изучения этих разделов диктуется как потреб-ноотяш самой теории, так ж практическим интересом. ъ/ЛМ.А.Красносельским ж А. В. Пбкровскш предаожена общая схема для опжсаяжя нелинейных систем с гжстерезжсом, ха-рактериетики которых меняются со временем, ж иоставлеиа проблема выделения классов входов, для которых эта схема (содержащая операцию предельного перехода) реализуется. Примером нестационарной гжстерезисной нелинейности является упрутопласти-ческжй элемент, характеристики которого (пределы текучести, модуль упругости) меняются в результате изменения со временем параметров внешней среды. Существуют шогочжсленные экспериментальные наблюдения, показывающие, что различные материалы изменяют свеж унругопластжческже ж ферромагнитные свойства (ж, следовательно, форму гжетерезжсной петлж) при изменении температуры внешней среды, под влиянием переменного радаацион-ного облучения, электромагнитного поля (см., например, А/УААА 1:5Л.

Исследоваше проблемы Красносельского-Покровского актуально как для указанной вьше схемы описания нестационарных гисте-резисных нелинейаостей, характеристики которых меняются вследствие изшнения параметров внешней среды, так и для преддожен-ной ъ/'^ 6 Л/7У ЛМ.А.Красносельским и В. ВЛерноруцким конструкции, описывающей нестационарные риотерезнсные нелинейности, характеристики которых меняются вследетвже фзшкцнонировшшя самой системы.

Сдаиш из 1Ааиболее важных в теории систем с гистерезисом являются вопросы построения теоретических положений о дифференциальных уравнениях с гистерезисными нел&шейностями. Ряд таких вопросов (существование решений, существование периодических решений, устойчивость решений) рассматривались А.Х.Гели-гом, П. П. Забрейко, В. И. Зубовым, М. А. Красносельским, А.В.Пок-ровсюш, В. А. Якубовичем и др. (ш,[ЗАЛ6 (>А, 10¹³:^^ У У 6 А). Актуальным представляется вопреиз о постановке задачи Коши для дифференциального уравнения с гис-терезисной нелинейностью общего вида (которая может быть и не- ' стационарной) в пространствахА/АА а1ад уАогАА исследование для этой задачи вопроса о существовании и единственности решения.

Хорошо известно, что дафференщальны©уравнения, явлшщи-еоя штематжческшш моделями реальных процессов, могут не удовлетворять стаад. ртным условиям существования и единственности решения задачи Коши. Дяя обыкновенных дифференциальных уравнений хорошо изучено много условий единственности решения задачи Кошж менее ограничительных, чем условия Лишащ.

Таете условия едийстаешоест бшт дазаш, нацржшр, B. f .Осгу-дом, 0. Перроном, М. йагумо, А. Розенблаттом, М. А. Красноселвокйи и 0.Г.1рейном, Т. Роджерсом, Ю. Витте, В. Лакшшкантамом, Т. Щ. Гардом ж ф. ААп,[Ю?р3/РА, иА9³, АЮе, т, щ^)'.

В ряде работ нризяаш еджиственности формулируются в общем виде в терминах сравштельннх фунщи! Камке ж’функщй тша дяну-новскйх (см. с"атьи Е. Камке, СР. БерЕрльд, Р. Д. Драйвер, В .1а.

Значйтелвннй интерес представлшт и работы, в которшг обобщенные условия Лишшщ зашняются некоторыми уеловиями полоштельности и шнотонннос-тж правых частей (см. статьи JA.M.Бoyждcay5A-AУ7л7'и Д.В.В.Ве-н далУлJJAJ). Важными являются формулировки условий типа Каратеодори, обеспечивающие не только существование, но и единственность решения задачи Коши (см., например, статью П. 0. Бондаренко//у/).

Представляется актуальным ж важным разработка указанных методов исследования применительно к задаче Коши дет диффврей-циальных уравнений с гистерезжсныш нелинейностямй.

В последние дасятилетия все возрастающий интерес исследователей вмзьшагот эволюционные уравнения и другой пр1фоды: это дифференциальные уравнения с нелинейностямй, содержащиш запаздывания той или иной природы. ,.

Основы общей теорий дифференщальннх уравнений с запаздывающим аргрзентом или, в более общей форийулировке, фзшкщсона-льно-дифференщальных уравнений запаздашающего типа (ШДУ) были заложены А. Д. Шшкисом, Л. Э. Эльегольцом, Р. Беллмшом, А. Халшаем ж др.)• Ор|вственшй вклад в развитие таких, уравнений внесли работы А.Ю.Мжтроно-льского, Д. И. Мартышока, В. Б. Колмановского, В. Р. Носова, Н.В.Аз-белева, лЛеРша ж др. (см. а/а/а. уАу/А/АА.

Одним из сшлых важных при исследовании нелинейных систем является вопрос о существовании периодических решенийэтому вопросу посвящены многочисленные исследования (см., нал.

Большинство известных методов приводят к достижению значительных результатов при исследовании слабо нелинейных систем с запаздыванием (систем, содержащих так называемый малый параметр). Ддя изучения сильно нелинейных систем применение этих методов не всегда возможноздесь более эффективны топологические методы.

В основе значительной части топологических методов доказательства существования периодических решений у ШЛУ лежит понятие оператора сдвига по траекториям таких уравнений (см., например, АД//АА у/ /а ААуу). При этом приходится предполагать, что для ШШ имеет место существование, единственность и нелокальная продолжшлость решения основной начальной задачи, что требует определеяшх ограниченшй на правые части уравнения (ом. [А9А УЗАуАу) •.

ВААМ, А. Красносельским был предложен в общей форме топологический метод («альтернативный принцип») доказательства теорем существавания периодических решений у ШДу, основанный на переходе к специальным нелинейным интегральным уравненжям, содержащим вспомогательный параметр, и не исподьзующжй рассмотрение оператора сдвига. Им же в б ы л, а поставлена задача о выделении классов ШДу, дая которых возможна реализация л 9 этого метода. В, ВХтржш/УА" Ащеможш способ реализации метода «альтернативного принципа» дш некоторого 1слассаа систем ЗЩУ о сосредоточеннтш запаздываниями. Однако, этот способ нельзя перенести на ЗФДУ с распределешымж запаздываншши. Дредставляет интерес реализация «альтернативного принципа» для общего вида ЗЩУ, включая уравнения с распределенными запаздыванЕямй.

Особенно большое расцространенже ЗФДУ получили при описании различных процессов в экологии, медицине, биологии и др. (ом.улл тЛУ/лл у у л). При исследовании штематическшс моделей этих процессов часто возникает вопрос о существовшши положительных периодических решений. В связи с этим актуальна задача о модификации метода «альтернативного принципа» дяят доказательства существования у систем ШДУ общего вида периодических решений, траектории которых лежат в некотором конусе пространства.

Перейдем к краткому изложению основных результатов работы. Диссертация посвящена анализу и методам исследования дифференциальных уравнений со сложными нелине1Й10стями: гистерезисного типа или содержащими запаздывания. Работа состоит из трех глав ж двенадцати параграфов.

В первой главе (§§ 1−4) изучаются условия, при которых реализуется предаженная, в лу/конструкция дая описания нестационарных систем с гистерезисом, изучаются свойства переменного гистерона — преобразователя, .который возникает при описании нестационарных систем с гистерезжеом, ставится задача Кошж дш дифференциального у|тшенЕЯ общего вида с гистерезисной нелинейностью, да этой задачи дошзывается теореш существования и едйжствешости типа теореш Кош.

В § I приводятся известше сведения о ристерезиснБК нели-нейностях. В основе штештичеоко! теории систем с гистерезисом, разщтой в [АЛ], находится понятие оператора-гжстеро-на. ДЙ описания конкретного гистерона Jz (Иуопредвляют область возможных состояний, представляющрз собой некоторр) область на плоскости скалярных переменных 7АА XJ ' А операторы хШ — wet, K. xJfj, соЕоставлдаще входам Y^J выхода X /AyAJ, когда преобразователь-гистерон ]/]/ находится в начальном состоянии л «Aoj' а-аааа 7а /и X/2J — скалйрные функции. Для кусочно монтоннах входов, А /Авыходы X/iA определштся с помощью некоторой системы кривых, расположенных в обжсти возможных состошм! и шзмваешх определящей системой кривых гистерона а/ • Затем для определения преобразователя-гистерона ]/]/ на жещэернвных входах А//АуАпршленяется предельная консофукцш.

Если все фушАщи, графики которых участите s оаределвшя гистерона, удовлетворяют общему условию Лшшаца, то гистврон / ] / также удовлетворяет условию Липшица.

В качес! твв примера в § I рассмотрены упор ж pipyronmcTH-ческое волокно npanfe. Приводятся также сведения о многомерных гжетеронах: пстеронах о векторными входаш, а внходаА.ш. Даются 01#еД8ления люфта (2) ж упора 7A /2J.

2 — Ш01'0Г|Ш1НЯЕ, то Z (2>) ^^/^fl-j)удовлет-воряют условию 1ишшца..

В § 2 изучаются условия, при которнх предоюженная в '[ллл охвш да описания квстащоиарнш: систем с гистерезисом. реализуется шт. люёото входа, удовлетвордащего уожтт Липшица. Изучаются также свойства шременного гйстерона — преобразователя, возникающего при описании иестацйояарннх систем с гйстврезиоош..

Ъ [А/Л] предложена общая схема для озгределения гйстерона, характеристики которого меняются во времеш. Иредполагается, что задано однопараметричвекое семейство гиотеронов.

В СЛЬ параметра т/ нгхает вреш. При этом если ллл л л ' областей возможннх состоянии J2 [А/лжстеронов / / К л справедливо включение С.

В С**] првдашгается некоторая общая схема — схеш (аналогичная построению мультипликативного интеграла, с помощью которой семейству (0.1), непрерывному входу 7*/т*Уи жачальтщ СОСТОЯНИЕ Ул 7ZJy } ствие некоторая фуЕ! Кпия.

Л Л А.

А, А ится в соответх (7).

И / А л/йу, /, 7 л / у / С 0. 2).

Эту функцию считают выходом переменного гйстерона ] / / при входе 77 /¿-5Л и начальном состоянии /Т-С{ТХ)Л л. Конструкция, при которой определяется выход (0.2), содержит операцию предельного перехода, который, вообще говоря, может не осуществляться для произвольного непрерывного входа 77 •.

Если эта схема осуществима при данном входе 77 и данном начадьном состоянии '{77^ } лл] [7/^) > будем говорить, что схемареализуется для входа Л ж начального состояижя 7477/7^^ ^У' А этом случае будем называть допустимым дая гйстерона | д / ..

В § 2 исследуется проблема: какими свойствами должна обладать функция, А, чтобы схемаА/АА реализовывалась для некоторого класса входов.

Обозначил через некоторое подмножество пространства непрерывных функций.

Теорема 2.1. Пусть ддя любого входа ?^/?^^?/^ существуют такие постояняыеА<�с?А < ааа о<�§ а<-Аа оС<-лС> АА 5.

77^/<-Л, а? 0АС<�аа, что при любых 2аа, а а/77а на отрезке имеет место неравенство.

7 Г и/7У, г} и/77 л схема реализуется для любог©входа 17. ж любого начальжого состояния АТС (СС)Л л / /.

В этой теореме условия реализуемости схемы лрлллдлйл в терминах близости выходов гйстерона И/ при различных В последующих двух теоремах § 2 эти условия формулируюА тся в виде непосредственных ограничений на системы кривых, определяющих гистероны И/л л'.

Сформулируем одну из этих теорем. С этой целью через /У обозначим кяаес функцйй, удовжетворяюцщх на отрезке £СЬЛ г£/ условию Липшица, а через 7л [И, л — некоторую кривую, принадлежащую системе кривых, определшощйх гжстерон ]7/ и проходящую через очку Р =/т А,)(о}е[1(У[/ V..

Теорема 2,3. Пусть все определяющие кривые всех гжстеронов. входящих в семейство, удовлетворяют общему условию Лкпшица о одной и той же постоянной. Пусть найдутся также положительные константы с? А об ж неотрицательные /1 и С, что неравенство /и, А к, М) — Т*'-[ло Ю / А • выполнено при любых. любом Л (11гЫ оС) и любых что 4 а таких,.

Тогда схема аа2. реализуется для. дюбого входа 17лл) л 7/а/(2, -л'^л любого начального состояния в § 2 изучаются также свойства переменного гжстерояа ¡-4Л (см. (0.2)). Показано, что если все определяювде кривых всех гжстероноБ (0.1) удовлетворяют условию Липшица с одной и той же постоянной, то гжстерон / / удовлетворяет условжо Липшица..

В I 3 сформулирована задача Коши дася дифферешиального уршнения с гйстерезжсной нелинейностью общего видадля этой задачи доказана теорема существования ж единственности типа теоремы Кош..

Рассматривается задача.

0.3) где а.

Л/ а и ¿-7/скадярные непрерывные на /.

АЛЛ стве л л.

Оператор Т / Т лллу ллуллри фиксированных однозначен, он действует в каждом простран.

У/ / / (£</</л. Опералорлллл каждой функции %/а/А//2л 2Л/1М> шетеоАрштЖ условию.

А/7Х1,/ А, ставит в соответствие функцию.

7А'А/АТАу АС/аАр дал-ллтворяющую условшоь /л7/2-А'а/71а.

Предполагается, что оператор / у л л ллудовлетворяет условию Липшица.

Ао-А-А, А (0.6) при / V ' л’лл ~ некоторая постоянная, 1 л, (4 /7Х=ААЮ=А.) — произвольны©функции..

Под оператором / л у можо понимать статический шш переменный гистерон..

В предположении, что функция А/А2А АУ удовлетворяет условию Липшжщ по л ж ¿-л, даш задачи (0.3)-(0.5) в § 3 доказана теорема существования и единствен-неоти типа теоремы Коши..

В § 4 приведены доказательства утверждений из § 2..

Во ВТСРСИ главе (§§ 5−7) изучаются условия, обеспечивающие единственность решения задачиКоши (0.3)-(0.5) даш случая, когда функция лтл//} АJ Ау > вообще говоря, не удовлетворяет условш Липшица по л ж л. Рассмотрены также условия единственности решения задачи Коши для ежотемы дифференциальных уравнений о гжстерезионымж н (c)линв13ностяш1..

В § 6 получены критерии единствешости дан задачи (0.3)—(0.9), содержащие обобщения условия Липшида для функщй //т.А ао % л, а ¿-л являющиеся аналогами известных теорем единственности для обыкновенных дифференциальиых уравнении. Доказаны:.

I) Признак единствениоотж типа теоремы Осгуда..

Теорема 5.1. Пусть фААпщ-/-/АА АА и/у, заданная на шожествб.

7: 7у7лТJл, лJiл,/мJ<7.

Л 'Л непрерывна по совокупности аргументов и удовлетворяет неравенству.

Здесь функцж? 7 непрерывна, не убывает при.

УГ < А и, кроме того..

Ух с{ > О — некоторое число). Тогда задача (0.3)-(0.5) имеет не более одного решения..

2) Признак единственности типа теоремы Перрона..

Теорема 5.3. Пусть функция х 1и л % А А^>у непрерывна по совокупности переменных на множестве, а (см. (0.7)) и удовлетворяет условию / У. Л у — / У Ах/- х м.

ЛЛУ//ЛЛЛ-ЛЛ/у/АА-йуЛХ,.

0.8).

Пусть оператор / л / л л удовлетворяет условшо Липшица (0.6) с постояшой /77 А. Тогда задача л*з'0~(%'-5) имеет не более одного решения..

3) Признак единственности типа теоремы М. А. Красносельского и С. Г. Крейна. Положим j/yl, А 7П777'Х/:7А 777} а (0.9) где /" 77 — постоянная в условии (0.6)..

Теорема ЪЛ. Пусть функция л л / л, а 7(7) непрерывна по совокупности переменных на множестве л (см. (О.?)) ж удовлетворяет условиям: if (7, г, у.)-7Х, х™.)777Х)'.

7> <с7 < У. Пусть, А у — Л • ча (0.3)-(0.5) имеет на отрезке/А Ул/ не более одного решения..

4) Признаки единственности типа теорем Ю. Витте и Т. Родаер-са..

Теорема 5.7. Пусть функция, а / а, а а непрерывна по оовокушостж перемешьк на множестве.

И удовлетворяет на условЕям.

У.. — / У ЛУЛ< где ^ ^ н /2/а — некоторые непрерывные соответственно н, а / 2 а, а / 1 / и Lyл0J 7″ / фгА1кщи, при тш1АЦ)>0 (гУллл Т]л и ^ Аопределено равенством (0.9). Тогда задача (0.3)-(0.5) имеет не более одного решения..

Подбирая в теореме 6.7 различны©фзшкции /тАможо получить некоторые более конкретные признаки единственноотЕ для задачи (0.3)-(0.5). Положив А/Т-У~ / / А аС >А ж > О > получаем признак единственности тина теоремы Т.Родасерса..

В § 5 рассмотренЕ также теорема единственностЕ решения задачи (0.3)-(0.5) типа теоремы Венда. В этой теореме обобщенные условия Липшищ дм функции л л л ои), которые имеют место в теореглах 5.1, 5.3, 5.4 и 5.7, заменяются уело-вияма положительности жш монотонности ..

В § 6 рассштривается вопрос о едашственностж решенж задачи Коши для системы дифференциальных уравнений, правая часть которой содержит етстерезисную нелинейность..

Задача (0.3)-(0.5) в § 6 рассштривается в случае, когда * У)* Ш */** да шбош 2* е /лл. Предполагается, что оператор /А /А, А аааа при фиксированных, А у, А у является однозначным, причем действующим в кавдом пространств С//*с л Т***У Л 2Л <2^-^/), непрерывных на У л J — л вектор-функщй со значениями в У> *. Каддой вектор-функда * * С/*0* 7**7* удовлетворяющей условиюА тА// а, а оператор / /ТО, Л*)* ш*/0,шшт-ъ соответствие вектор-фушщшо {кУ /т) л о 2А/А удовлетворяющуж) условию Ш (л л л При 71 > У иод опвратором7/2аа^Уо) можно понимать многомерный гиотерон с характеристикой — выпуклым многогранником, а с • (см. § I)..

Для задачи (0.3)-(0.5) в случае /2а >а получены признаки едйнствешости решения аналогичные некоторнм известным теоремам единственности дш обыкновенных дифференциальных уравнений..

В п. 6.2 получен признак единственности, переходящий в случае ©-быкновеняых джффере ища льных уравнений в теорему С Р. Бернфельда, Р. Д. Драйвера ж В. Л&ктишшвтвмал. Предполагается, что вектор-1унктдия АуА 6сАА определена и непрерывна на множестве.

Пусть функция АуААуАопределена, непрерывна ж неотржца ~ те льна на /7Л / /, причем Р У) У1 О 2Л л 2Л *.

•о •).

Пусть функция непрерывнау (, А) л — 7ЛЛ ааллл функция ЪСАО пусть будет едаственным неотрицательным решением уравнения при > 2А I удовлетворяющим условию.

Теорема 6.1. Пусть сзлцествз?" ет непрерывная функция такая, что, во-шрвнх, равенство вышолнено еслж ж только если л л и С<�УЛ-=<�Л (Л, во.

-вторых, для любых двух решений, а у х —, / / у л Щйх* у — / ХМ.^ задаш (0.3)-Ш.5) справедливо соотношение.

К / / ./ / у / / у л ХАУ4) А" и, наконец, в-третьих, при лхх, V /у, лх/2мХМ 7Л< справедлива односторонняя оценка.

Тогда задача ('0.3)~(0.5) имеет не более одного решения на любом отрезке / УЛЛ (2 л <7Т..

В п. 6.3 получены теоремы типа 0. Перрона и Т. Роджерса для случая 71 X и когда оператор / / ' л л л¿-^ л/л^от-ветствует модели уиругопластического волокна Прандтля..

В § 7 приведены доказательства утверждений из §§ 5 и 6..

В третьей главе (§§ 8−12) рассматриваются дифференщальные уравненш с нелшейностяш, содержащшж сосредоточенные иди распределенные залаздыванин. Глава посвящена исследованию вопросов существования периодических и положтельных периодических решений у функциональяо-дифференпиальных уравнений запаздывающего типа (ШШ).

В носящем вспомогательный характер § 8 приводятся известные сведения об используемых в последуюпрос построениях понятиях..

В § 9 для широкого класса ЗШЖ предлагается реализация топологического метода «альтернативного принципа», предложенного в общем виде М.А.Красносельским/АЛу, доказана теорема о оуществоважш периодических решений у ШЩ, Рассматривается ШШ вида.

0.12).

Здесь сиводом обозначена вектор-функция X > бпределешая щъ-сх: ><АХ, А '?. с о значежиями в и относящаяся к некоторому классу УА, содержащему множество ~ 00 -пврнбдичеекжх и кусочно-непрерывных Цгишрй. Правая часть уравнения (0.12) определяет отображение.

Г Х х ,) Х 7 2) ~ ~ А Х.

Предполагается, что в (0Д2) оператор /-~У ХА) является (у) -периодичным по ..

Обозначим через Г п глП пространство непрерывных на 10у (А7ц вектор-функций со значениями в И с нормой I 1ХХ —ГГМХ //Х0// где //X/ - евклидова норма в л ..

Общая идея «альтернативного принципа» состоит в рассмотрение, наряду с (0.12), также уравнения, а зависящего от скалярного параметра, А таким образом, чтобы при / а х это уравнение совпадало с (0.12), а при л := ?? переходило в некоторое обыкновенное дифференциальное уравнение, при этом оператор гдепериодическое продолжение вектор-пункции.

Xf?) с полуинтервала f?}j У/ на всю ось, был вполне непре" рывен как оператор из топологического произведения^.^'¿-3í-A в cio, COj. в § 9 предлагается следр) щая реализация этой идеи. Пусть У у) 1 AAJAN-" некоторая непрерывная Л по совокупности переменных и й/ тор-функция. Рассмотрим систему.

-периодическая по 2A век.

F[t 4 Н Ш, ] л.

НХ fit X.

4)1 где вектор-функция.

0 4 A Ai Л.

0.14) определяется равенством.

При /) / система (0.14) совпадает с (0.12), а при :1г У — переходит в систему обыкновенных дифференциальных уравнении.

Будем говорить, что существует априорная оценка для ¿-кУпериодических решений системы (0.14), если джя некоторого.

У <�У<�л сх:? каждоепериодическое решение системы (0.14) при любом / / У / а удовлетворяет сцен.

Будем считать, что систею (0.15) нев1фождена на бесконечности, т. е. для нее определен оператор сдвига за период ¿-4Л, вое а/ -периодические решения системы (0.15) равномерно ограничены и на сферах У большого радиуса в. а пространстве, а вращение УЛ /А7JА векторного поля у fXJ — Х~7/Х отлично от нуля..

Реализация метода «альтернативного принципа» ддя уравнения (0.12) заключается в следующем утверждении..

ЗГтверждежй©- 0.1. Пусть ср1ествует априорная олрмка джя апериодических решений системы (0.14). Пусть система (0.15) невырождена на бесконечности. Тогда систеш (0.12) имеет, по крайней мере, одаопериодическое решение..

Для конкретных уравнений вида (0.12) системы (0.14) ж (0.15) легко выписываются..

В § 10 дается понятие квазшвращенжя векторного поля, являющееся модификацией понятия вращения векторного поля для случая, когда соответствующий оператор положителен относительно некоторого конуса / в бадаховом пространстве У На основе этого понятия формулируется теорема о принципе родственности применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Эта теорема важна в последующих построениях..

В § II изучается вопрос о существовании у ШЩ (0.12) положительных сипериодических решений. При этом уравнение (0.12) рассматривается в пространстве / Р, а, полуупорядо-чениом телесным конусом / - решениеи Л’системы (0.12) будем называть неотрицательным, если ХУ) Л / дан всех 2А" - неотрицательное нетривиальное решение будем называть положительным..

Будем говорить, что правые части-систеш—(Л.12-)—удовлетво-ряют условию «втекания в конус У если ддя каздого лшнейн-ого положительного функционала У и любой непрерывной вектор-функции X (АХ), удовлетворяющей соотношениям имеет место неравенство.

ХХ х")] А 7 х, А А, А х.

Условие «втекания в конус «обеспечивает дяя уравнения (0.12) существоваже для начальных функций, а у д овлетворяющих условию, А / {—С>А<7ААА) неотрицательного решения. в § ЦЛиспользуя понятие квазйвращения полейЛконструиру-ется модификация метода «альтернативного принципа» для задачи о неотрицательных периодических решений системы (0.12), На этой основе формулируются достаточные признаки существования положительных периодических решений у системы (0.12). Приведем один из них..

Пусть вектор-функцияу л хл из системы (0.14) удо-вявтворяет условию: для любого линейного положительного функционала ¿-л из условия.

О (0.16) /4Л принадлежит границе конуса /<С) следует неравенство.

Будем предполагать, что дж системы (0.15) на конусе/л определен оператор 2А сдвига за период лло ..

Теорема 11.4, Пусть правые части системы (0.12) удовлет^ воряют условию «втекания в конус «, а вектор-функиия.

X) удовлетворяет условию (0.16) и (0.17), Пусть существуют положительные числа Х-А и такие, что тжж X а) — это положите. яьное 00 — периодическое решение системы (0.14) при некотором л ['лул ' -лл.

11X11лялл. Пусть существует >/) такое, что для любого положительного СО — периодического решения X, /тЛ/сис-темы (0.15) имеет место неравенство НХ ([?)1(лул* Пусть, наконец, оператор ]/[, дая системы (0.15) сжимает или растягш.

— 27 вает конус К • Тогда система (0.12) имеет по кражей мере одно положительное сОпериодическое решение..

В § 12 рассмотрежн приложения и примеры. На основ©теоремы 11.4 доказаны теоремы о существовании нестационарных положительных периодических решений у уравнения Хатчинсона и у системы Важгерскй и Каннижгэма? При этом в этих зфавнежиях коэффициенты предполагаются зависящими от времени 2а, что соответствует обобщению этих моделей ма случай нестационарных сред..

Основные результаты получены автором самостоятельно и опубликованы в статьях.

1. Азбелев Н. В., Максимов В. П. Уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. — 1982. — Т. 18. — 12.-С. 2027;2050..

2. Антоновский М. Я., Болтянский В. Г., Сарымсаков Т. А. К теории полуупорядоченных пространств // Труды IV Всесоюзной топологической конференции. Ташкент, 1967. — С. 10−22..

3. Бабицкий В. М., Крупенин Б. М. Колебания в сильно нелинейныхсистемах. М.: Наука, 1985. — 260с..

4. Бабский В. Г., Мышкис А. Д. Математические модели в биологии, связ-анные с учетом последействия//Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моде лях.-М.: Мир, 1983.-0.383−394..

5. Барабанов Н. Е., Якубович В. А. Абсолютная устойчивость систем регулирования с одной гистерезисной нелинейностью // Автоматика и телемеханика. 1979. — Ш 12. — С.5−12..

6. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. — 548с..

7. Березовский А. А., Нижник Л. П. Математические модели гистерезиса//TA.V Междунар.конф.по нелинейным колебаниям.-Киев, 1970.-Т.4.-С.69−71..

8. Боголюбов H.H., Митропольский ЮА Асимптотические методы нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. — 501с..

9. Возорт Р. Ферромагнетизм. М.: Мзд-во МЛ, 1956. — 784с..

10. Боли В., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.:Каратеодор1//В1сник Ки1вського университету. Оер1я математики та механ1ки. 1972. — № 14. — С.34−42..

11. Борисович Ю. Г. Об одном применении понятия вращения векторного поля // ДоклАН СССР. 1963. — Т. 153. — I. — С. 12−15..

12. Борисович Ю. Г. О методе Пуанкаре Андронова в задаче о периМир, 1964. 517с. 11. Бондаренко П. С. Зауваження до умов 1снування таодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием // Докл. АН СССР. 1963. — Т. 152. — М 4. — С. 779−782..

13. Борисович Ю. Г., Субботин В. Ф. Теоремы существования полуположительных решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргу-ментом//Тр. семинара по функц. анализу. -Воронеж, ВГУ, 1967. -Вып. 9. С. 111−115..

14. Бзфиев Т. И., Шарипов Ш. Р., Эргашев В. Э. Качественное исследование обобщенной модели Лотка-Вольтерра с учетом эффектов насыщения и конкуренции // Качеств, и анал. методы в динам, систем. Самарканд, 1987.-С.14−23..

15. Вайнер Л. А., Разов М. А. Влияние нейтронного облучения на сопротивление деформированию и хрупкому разрушению стаж // Материалы I Всесоюзного совещ. «Радиац. эффекты изм. мех. свойств конструкц. материалов и методы их исслед.'* Киев, 1976. — С.77−84..

16. Валле-Пуссен ШЖ Курс анализа бесконечно малых. Л.-М.% Гостехиздат, 1933.-Т.I. — 464с..

17. Васильев Н. Г., Зверев В. А. Электронное моделироваание гисте-резисных характеристик ферромагнитных материалов // Известия ВУЗов. Электромеханика. 1956. — Л 6. — С. 3−17..

18. Вейнер Дж., Ландау Г. Температурные напряжения в упруго-пластических телах // Пластичность и термопластичность. М., 1962. — С. 70−91..

19. Викторовский Е. Е. Об одном обобщении интегральных кривых для разрывного поля направлений // Математический сборник. -1954. Т. 34. — Л 2. — С- 213−248..

20. Владимиров A.A., Клепцын А. Ф., Козякин B.C., Красносельский M.A., Лифшщ Е. А., Покровский A.B. Векторные гистерезисные нелинейности типа Мизеса-Треска // Докл. АН СССР. I98I. -Т. 257. — JS 3. — С. 506−509..

21. Владимиров A.A., Клепцын А. Ф. О некоторых гистерезисных звеньях // Автоматика и телемеханжа.- 1982. a 7. -С. 165−169..

22. Вонсовский C.B. Магнетизм. М.: Наука, I97I. — 1032с..

23. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления. М.: Энергоиздат, 1980. T.I. — 309с., Т.2. ЗЮсI98I.- Т.З.- 303с..

24. Вужх Б. З.

Введение

в теорию полуупорядоченных пространств. -М.: Физматгиз, I96I. 407с..

25. Гежг А.X., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. — 400 с..

26. Гильман Т. О., Покровский A.B. Вынужденные колебания систем с простейшими гистерезисными нелинейностями // Докл. АН СССР. -1982. Т.263. — 4. — С.790−793..

27. Грачев Н. М. Некоторые свойства нелинейных звеньев с гистерезисом // Тезисы докладов 8-го Всесоюзного совещания по проблемам управления. Таллин, 1980. T.I. — С.40−42..

28. Давиденков H.H. О рассеянии энергии при вибрациях // Журнал теоретич. физики 1938. — Т.8. — a 6. — С.37−38..

29. Давиденков H.H., Лихачев В. А. Необратимое формоизменение металлов при циклическом тепловом воздействии. М.: Машгиз, 1962. — 222с..

30. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с банаховом пространстве.-М.: Наука, 1970.-534с..

31. Дезоер Ч., Заде Л. Теория линейных систем. (Метод пространствасостояний).-М.: Наука, 1970.-690с..

32. Дзядык В. К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. — 511с..

33. Доброславский В. Л. О моделях и математическом описании упругих связей с гистерезисом // Рассеяние энергии при колебаниях систем. Киев, 1968. — С. 155−160..

34. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.:Наука, 1980. 3 83с..

35. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967. — 33 5с..

36. Забрейко П. П., Красносельский М. А., Лифшпц E.i. Осциллятор на упруго-пластическом элементе // ДоклАН СССР. 1970. -Т.190. J* 2. — C.2I7−220..

37. Зубов В. М. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Мзд.2.-Л.-.Машиностроение, 1974. 33 5с..

38. Икюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории.- М.: Наука, 1963. 271с..

39. Иона Ф., Ширине Д. Сегнетоэлектрические кристаллы. М.: Мир, 1965. — 555с..

40. Мшлинский АЮ. Некоторые применения статистики к описанию законов деформирования тел // Изв. АН СССР, ОТН. 1944. — JE 9, — С.580−590..

41. Шплинский АЮОбшая теория пластичности с линейным упрочнением // Украинский математический журнал. -195 ¦4. -Т. е.-Ш. -С.430−441..

42. Кадашевич Ю. И., Новожилов В. В. Об учете мжронапряжений в теории пластичностиУ/Механика твердого тел а.-1968.3.-С.17−32..

43. Калман Р. Об общей теории систем управления // Труды 1-го конгресса МФАК М., I96I.- Т.2. — С. 521−547..

44. Калман Р., Фалб П., Арбиб А. Очерки по математической теории систем. М.: Наука, 1973. — 400с. ,.

45. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. Мзд.З. -М.: Наука, 1984. 752с..

46. Канторович Л. В., Вулих Б. З., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах.-М.-Л.'.Гостехиздат, 1950.-548с..

47. Качанов Л. М. Основы теории пластичности.-М.: Наука, 1969.-420с..

48. Квапиш М. О существовании и единственности решений дифференциальных уравнений с 8апаздывающ|ш аргументом в банаховом пространстве //Труда семинара по теории уравнений с отклоняющимся аргументом. УДН М., 1967.-С.96−110..

49. Киренский Л. В. Магнетизм. Л.-М.: Наука, 1967. — 196с..

50. Киренский Л. В., Дрокин A.M., Лаптей Д. А. Температурный магнитный гистерезис ферромагнетиков и ферритов. Новосибирск: Сибирское отд. АН СССР, 1965. — 159с..

51. Киселевский В. Н. Изменение механических свойств сталей и сплавов при радиационном облучении. Киев: Наук. дужа, 1977.-ЮЗс..

52. Клепцын А. Ф. Свойства преобразователя Мизеса // Исследование операторных уравнений. Куйбышев, 1983.-С.45−52..

53. Клепцын А. Ф., Покровский A.B. Виброкорректность некоторых гистерезисных звеньев // Динамика неоднородных систем. Материалы семинара.-М.:^НИИ системных исследований, 1982.-С.62−69..

54. Коваленко А. Д. Основы термоупругости // Избранные труды.-Киев.: Наук. думка, 1976. С.399−685..

55. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мзд-во МЛ, 1958.-474с..

56. Козякин B.C., Красносельский М. А., Покровский A.B. Виброустойчивые гистероны //Докл. АН СССР. -1972. -Т.206. ~М. -С. 800−803..

57. Колосов Ю. С. Положительные периодические решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Канд. дисс., ВГУ, 1966..

58. Колесов Ю. С, Швитра Д. И. Автоколебания в системах с запаздаванием.- Вильнюс: Москлас, 1979. 147с..

59. Колмановский В. В., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием.-М.: Наука, I981.-448с..

60. Кравченко A.A. О модели Кадашевича-Новожилова гистерезисных нелинейностей //Методы исследования нелинейных систем управления. М., 1982. — С.43−48..

61. Красносельский М. А. Альтернативный принцип существования периодических решений для дифференциальных уравнений с запаздывающцм аргументом //Докл.АН СССР.-1963.-Т.152.-М.-С.801−804..

62. Красносельский М. А. Математическое описание колебаний материальной точки на упруго-пластическом элементе //Дифференциальные уравнения с частными производными.-М., 1970.-С. 146−149..

63. Красносельский М. А. О некоторых новых методах в теории периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной ме-ханике.-М., 1965. Вып.2.-С.81−97..

64. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. — 32 9с..

65. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. -М.: Физматгиз, 1962.-394с..

66. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956.-392с..

67. Красносельский М. А. Уравнения с гистерезисными нелинейностями //VII Internationale Konferenz uber nicht lineare Schwingungen. -Berlin: Akademie Verlag, 19T7.-B.I.-S.437−458..

68. Красносельский М. А., Даринский Б. М., Емелин М. В. Забрейко П.П., Лифшиц Е. А. Покровский A.B. Оператор-гистерант //Докл.АН СССР. 1970. Т. 190.-JE I. — С.34−37..

69. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. — 510с..

70. Красносельский М. А., Крейн С. Г. К теории обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах // Тр. семинара по функц.анализу. Воронеж, ВГУ, 1956. Вып.2.-С.3−23..

71. Красносельский М. А., Крейн С. Г. Нелокальные теоремы существования и теоремы единственности для систем обыкновенных дифферен-щальных уравнений //Докл.АН СССР.-1955.-Т. 102.-Jfel.-С. 13−16..

72. Красносельский М. А., Крейн С. Г. Об одном классе теорем единственности для уравнения у' = f (x, y) // Успехи мат.наук.-1956. T.II. Вып. I.- С.209−213..

73. Красносельский М. А., Лифшиц Е. А. Об одном принципе двойственности // Украинский матем.журнал.-1965.-Т.17.-Л 5.-C.II9-I22..

74. Красносельский М. А., Маергойц М. Д. (США), Покровский A.B., Рачинский Д. М. Переменные состояния континуальных систем реле //ДОКЛ.РАН.-1993.-Т.330. 4. С.427−430..

75. Красносельский М. А., Перов A.M. Об одном принципе существования ограниченнык, периодических и почти-периодических решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений//Докл.АН СССР.- 1958.-Т. 123.-Ji 2.-С.235−238..

76. Красносельский М. А., Покровский A.B. Виброустойчивые дифференциальные уравнения с непрерывной правой частью //Труды Московского матем. об-ва. -М., 1972. -Т .27 .-С .'93−112..

77. Красносельский М. А., Покровский A.B. Виброустойчивость решений дифференциальных уравнений //Докл.Ан СССР.-1970.-Т. 195.-ЖЗ.-С. 544−547..

78. Красносельский М. А., Покровский A.B. Метод блок-схем в математическом моделировании систем со сложными нелинейностями // Труды 8-го конгресса МФАК.-Киото, 1981.-С.88−97..

79. Красносельский М. А., Покровский A.B. Периодические колебания в системах со сложными нелинейностями // IX Международная конф. по нелинейным колебаниям. Киев, 1984.-Т.I.-С.189−193..

80. Красносельский М. А., Покровский A.B. Системы гистеронов // Докл. АН СССР. -I971 .-Т.200.^0.-С.286−289..

81. Красносельский М. А. .Покровский A.B. Системы с гистерезисом. -М.'.Наука, 1983.-271с..

82. Красносельский М. А. .Покровский A.B., Троне ль Ж., Черноруцкий В .В. О динамике систем управления, описываемых уравнениями параболического типа с гистерезисными нелинейностями //Автоматика и телемеханика. -1992.? II.- С.65−72..

83. Красносельский М. А., Стрыгин B.B. О вычислении вращения вполне непрерывных векторных полей, связанных с задачей о периодических решениях дифференциальных уравнений // ДоклАН СССР.-1963. Т. 152.-Je 3. — С.540−543..

84. Красносельский М. А., Стрыгин В. В. О некоторых признаках существования периодических решений у обыкновенных дифференциальных уравнений //Докл.АН СССР.-1964.-Т.156. Ш>.- C. I022-I024..

85. Красносельский М. А., Черноруцкий В. В. Об одном классе гистерези-сных нелинейностей//Докл.АН CCCP.-I989.-T.305.-J5.-C.I065-I068..

86. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движений. -М.: Физматгиз., 1959.-211с..

87. Крейн М. Г., Рутман М. А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в банаховом пространстве // Успехи матем. наук. -1948.-Т.3.-Вып.1..

88. Кудрявцев В. А., Партон В. В. Магнитотермоупругость//Итоги науки и техники. Механика деформ.тела.-М.: BMHMTM, I98I.-T.I4.-C.3−59..

89. Куксин СБ. Применения монотонных полугрупп в теории идеально-упруго-пластичности//Успехи мат .наук. -1982. -Т.37 .-М 5. С. I89−190..

90. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред.-М.:Гостехиздат, 1953. 788с..

91. Латипов Х. Р., Носиров Ф. У. О влиянии запаздывания на нелинейные системы.- Ташкент: «ФАН», 1988.-С. 116..

92. Лере Ж., Шаудер Ю. Топология и функциональные уравнения// Успехи мат. наук. -1946. Т. I. -Вып. 3−4. — С. 7 1−95. 'у.

93. Лифшиц Е. А. О принципах двойственности для задачи Ь периодических решениях дифференциальных уравнений высших цо рядков // ДоклАН СССР.-1965.-Т. 165. JE 2. С277−280. •.

94. Лурье А. И. Теория упругости.-М.: Наука, 1970.-939с..

95. Марченко Н. В. О продолжении оператора и существовании неподвижных точек //Докл.АН СССР.-1962.-Т. 147.-Je 5.-CI026−1028..

96. Мартьшюк Д. М., Коломиец В. Г. Периодические решения сильно нелинейных систем с запаздыванием // Матем. физика.-Киев, 1968.-Вып.4.-С.55−65..

97. Мартынюк Д. М., Самойленко 1.М. О периодических решениях нелинейных систем с запаздыванием // Матем. физика.-Киев, 1967.-Вып.3.-С.128−145..

98. Мартынюк Д. М., Фодчук В. М. Периодические решения дифференциального уравнения п-го порядка с запаздыванием //Матем. физика. -Киев, 1969.-Вып.4. С.90−92.ЮО.Мессарович М., Такахара Я. Общая теория систем.-М.:Мир, 1978.-311с.

99. Митропольский ЮА Метод усреднения в нелинейной механике. -Киев: Наук. думка, I97I.-440с..

100. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. М. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием.-Киев:Мзд-во АН УССР, 1969.-309с..

101. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. М. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием.- Киев: Вища школа, 1979.-247с..

102. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Мартынюк Д. М. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно периодическими коэффициентами.-Киев :Наук. думка, 1984 .-213 с..

103. МШИН В. В. Пластичность при переменных нагружениях.-М.:Мзд-во МГУ, 1968.-263с..

104. Мосолов П. П., Мясников В. П. Вариационные методы в теории течений вязко-пластической среды //Прикладная мат. и мех.-1965. -T.29.-J" 3. С.468−492..

105. Натансон М. П. Теория функций вещественной переменной.Мзд.2.-М.: Гостехиздат.1957.-552с..

106. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории колебаний.М.: Наука, 1972.-471с..

107. Нетушил A.B. Автоколебания в системах с отрицательным гистерезисом // Труды 5-й Международной конференции по нелинейным колебаниям.- Киев, 1970.-Т.4. С.393−407..

108. Нетушил A.B. Нелинейное звено типа упор //Автоматика и теле-механика.-1968.-7. С. 175−179..

109. Новожилов В. В. О сложном Нагружении и перспективах феноменелогйче ского подхода к исследованию микронапряжений //Прикладная мат. и мех.-'1964.-Т.28.-Л 3. Q.393−400..

110. Пальмов В. А. Колебания упругопластических те л.-М.: Наука, 1976. -328с..

111. Пановко Я. Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем.-М.:ФизматгизД960.-193с..

112. Перестюк Н. А., Щ1дыло К.В. О периодических решениях одного класса систем дифференциалБНо-разноетных уравнений //Материалы ИГ Всесоюзн.межвуз.конф.по теории и приложениям диф. уравнений с отклоН.аргументом.-Киев, 1972.-С.154−155..

113. Петрова 1.П., Садовский В. Н. К математической теории электрических цепей с диодными преобразователями тока/Воронежск .гос. ун-т. -Воронеж, 1982. -22с. -Рукопись деп. в ЕМШМ 10.08.82,М403..

114. Петровский М. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.: Наука, 1970.-279с..

115. Шсаренко В. Г. Периодические решения одного класса квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом//Анажтически© и качественные методы теории дифференциальных уравнений.-Киев, 1972.-О.-175−186..

116. Писаренко Г. С. Рассеяние энергии при механических колебаниях. -Киев: Мзд-во АН УССР, 1962.-436С..

117. Писаренко Г. С. Колебания механических систем с учетом несовершенной упругости материала.-Киев:Изд-во АН УССР, Р970.-377с.129.11исаренко Г. СКиселевский В. Н. Прочность и пластичность материалов в радиационных потоках.-Киев: Наук. думка, 1979.-282с..

118. Писаренко Г. С., МожаровскиЙ Н.С., Антипов Е. А. Сопротивление жаропрочных материалов нестационарным температурным воздействиям.- Киев: Наук. думка, 1974.-198с.131 .Плисе В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний.-М.-Л. :Наука, 1964. -368с..

119. Покровский A.B. К теории гистерезисшх нелинейностей//Докл.АН СССР.-1973.-Т.210.6.-С.896−900..

120. Покровский A.B. Нелокальная продолжимость решений виброустойчивых дифференциальных уравнений //Докл.АН СССР.-1973.-Т.208.6.-C.I286-I289..

121. Покровский A.B. Об одном классе разрывных систем //Автоматика и телемеханика.- 1981.-Л7.-С.47−51..

122. Покровский A.B. Системы с сильными нелинейностями //Математическая теория систем.-М.:Наука, 1986.-С.96−112..

123. Потапов В. Н. Мультипликативная структура J-нерастягивающих матриц-функций. -Труды Московок .мат. об-ва. -1955. -Т. 4. -С. 125−236..

124. Прагер В. Неизотермическое пластическое деформирование //Сб. переводов" Механика" .-М., 1959.-5(57).- С. 795−101..

125. Прагер В., Ходж Ф. Г. Теория идеально пластических тел.-М.: Мзд-во МЛ 1956.-398с..

126. Привальский В. В. Задача Коши для систем с простейшими гистерезисными нелинейностями //Качественные и прибжженные методы исследования операторных уравнений.-Ярославль:Изд-во ЯГУ, 1980.-С.112−118.

127. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.:Гостехиздат, 1947.-392с..

128. Рубаник В. П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием.—М.: Наука, 1969.-287с..

129. Рябов ЮА Метод малого параметра в теории периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием //Труды семинара по теории дифф. ур-ний с отклон.аргументом.УДН.-М., 1962.-Вып.1. C. I03-II3..

130. Рябов Ю. А., Хусанов Д. Х. Построение и оценки по тригонометрической норме периодических решений интегро-дифференциальных уравнений в теории вязкоупругости / / Матем.физика.-Киев, 1983.-Вып.34. С. 36−42..

131. Самойленко A.M., Ронто Н. М. Численно-аналитические метода исследования периодаческих решений.-Киев :Вища ж., 1976.-179с..

132. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т.И.-М.: Мзд-во М, 1954. -415с..

133. Седов Л. М. Механика сплошной среда.-М.:Наука, 1976.-Т.I.-535с.- 1976.-Т.2. 573с.147. смит Дж.М. Модели в экологии.-М.: Мир, 1976.-182с..

134. Сорокин Е. С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем.- М.:Госстройиздат, 1960.-131с..

135. Стеценко В. Я. Критерии неразложимости линейных операторов // Успехи матем. наук .-1966.-Т.21 .-Вып.5.-С.265−267..

136. Стрыгин В. В. О зависимости от параметра одного интегрального оператора //Докл.АН СССР.-1964.-Т.-159.-Л I.- С.28−31..

137. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов.-М.: Наука, 1965.-Т. 2.-480с..

138. Филатов А. Н., Шарова Л. В. Мнтегральные неравенства и теория нелинейных колебаний.- М.:Наука, 1976. 152с..

139. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью //Матем.сб.-1968.-Т.51.-JE I.-С.99−108..

140. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнений с разрывной правой частью.-М.: Наука, 1985.-224с..

141. Фодчук B.I. Деяк! теореми 1снування 1 ВДНО для диферен-ц1альних р1внянь 1з зап1знюючим аргументом // Доп. АН УРСР.—1962.-Ш2.-С. I54I-I545..

142. Фодчук В. М. Об интегральных многообразиях для систем с запаз-даванием //Тр. V Междунар.конф.по нелинейным колебаниям. -Киев, 1970.-ТЛ.- С.558−564..

143. Халанай А. О некоторых свойствах периодических и почти периодических систем с запаздаванием //Revue de math. pures et appl., Acad. RPR.-1964. 9,7.-P.667−675..

144. Халанай A. Системы с запаздаванием. Результаты и проблемы //Сб.переводов «Математика» .-М., 1966. 10,5.-0.85−102..

145. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.:Мир, 1970.-7200..

146. Якубович В. А. Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. III. Абсолютная устойчивость систем с гистерезисными нелинейностями // Автоматика и телемеханика. -1965. -JE 5. С753−763..

147. Banas J., HaAnosz А., Wedrychowlcz St. Relations among various criteria of uniqueness for ordinary differential equations // Comment, math. Univ. Carol. 1981. — V. 22. — JE 1. — P. 59−70.

148. Becker R. Elastische Nachwirkung und Plastizitat //Zeitschrift fur Physik. 1925. — В. 33. — H.5. — S. 185−212..

149. Bernfeld S.R., Driver R.D., Lakshmlkantham V. Uniqueness of ordinary differential equations //Math. Systems Theory.-1976.-Y.9.-JE 4.-Р.359Ч36Т..

150. Bouc R. Modele mathematique d’hysteresis application au circuit oscillant a sell sa tupable//Tp. V Междунар.конф.по нелинейным колебаниям. -Киев, 1970.-T.4.-С.100−113..

151. Bownds J.M. A Uniqueness Theorem for y'-f (x, y) Using a CertainFactorization of f//Jorn". of Diff.Equations.-1970.-V.7.-P.227−23 1..

152. Bownds J.M. A Uniqueness Theorem for Non-Llpschitzian Systems of Ordinary Differential Equations // Punkciala:! EkyacloJ.-1970.-V.13.-P.61−65..

153. Caratheodory С. Vorlesungen uber reelle Punktionen eLeipzig, 1927..

154. Chernorutskli V.V., Krasnosel'skli M. A:. Hysteresis systems with variable characteristics //Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Appllcatlons.-1992.-V.t8.-JE 6.-P.543−557..

155. Coleman B.D., Noll W. -'Poundations of linear vlscoelastlcity // Rev. Modern Phys.-r961 .-V.33.-P.239−249..

156. Conti R. Sulla prolungabliitla delie soluzlone dl ш sistema del equasloni dlfferenslall ordlnarle // Boll. Unlone Mat. ital.-1956.-V.11 4.-P.510−514.V.

157. Driver R.D. Existence Theory for a Belay-Dlfferentlal System // GOntrib. toDlff. Eq.-1.963-.-V.1.-JE3.-P.317−336..

158. Dugund-il J. An extension of Tietze’s theorem //Рас. J.Math. -1951.-V. 1.-JE 3.-P .353−367..

159. Gard Т. е. A generalization of the Nagumo uniqueness criterion //Proc.Affler.Math.S0Cv-1978.-V.70w-JE 2.-P.167−172..

160. Grafton R. A periodicity theorem for autonomous functionaldlfierentlal equations // J.DifferentlalEqns.-1969.-V.6.-P. 87−109..

161. S. Groger G. Zur Theorie des quaslstatlsclien Verhultens von elastisch plastischen Korpern // Zelt. ing. Math. Mech. -1978. B.58. H.H. — S.36−41..

162. Haie J.K. Averaging Methods for Differentlal. Equations with Retarded Argmentsmd a Small Parameter // J. Different. Equat.-1966.-V.2. W 1.-P.57−73..

163. Heldel J.W. Uniqueness, continuation, and nonosclllatlon for a second order nonlinear differential equation //Pacific J. Math.- 1970.-V.32.-P, 715−721..

164. Hutchlnson G.E. Circular causal systems In ecology // Ann. N.Y.Acad.Scl.-1948.-Y.50.-P.221−246.187.1wan W.D., Lutes L.D. Response of the bilinear hysteretlc system to stationary random excitation // Joum.Accust.Soc. Amer.- 1968.-V.43.-JE3,-Pv545−553.:.

165. Jones G. The existence of periodic solutions of f'(x)= -af (x-1)1+f (X). // J.Math. Ana. Appl.-1962.-V.5.-P.435−450..

166. Kamke E. Differentlaiglelchungen reeler Punktionen.-Leipzig: Academ. Verlags-gesellschaft, 1930;New York: Chelsea, 1947..

167. Karnopp D., Scharton T.D. Plastic deformation in random vlhrat ion//Journ. Acoust. Soc .Amer.-1966.-V. 39.-JE. 6.-P. 1154−11 A.

168. Kronmuller 1. Nachwirkung In Perromagnetlka. -Bonn: Sprlnger—Verlag, 1968..

169. Lakshmlkantham V. Uniqueness theorems for ordinary and hyperbolic differential equatlons/ZMlchigan Math. J.-1962.-V.9.-P.161−166..

170. Lakshmlkantham V., Leela S:. Dlfferantlal and Integral Inequali-ties.-New York: Academic Press, 1969.-Vol. 1..

171. Lere J. Theorie das points fixes. Indice total et nombre de1. i sehetz// Bull.Soc.Math.Prance.-I959.-V.87.-P.221−233..

172. Lions Y.-L. Inequations varlatlomielles d’evolutlon/ZIntonaa-tlonal Congress of Mathematicians.-Nice, 1970..

173. Lutes L.D. Approximate technique for treating random vibration of hlsteretlc systems//Journ.Acoust.Soc, Amer.-1970.-V.48.-J* 1. -P.299~306..

174. Mayergoyz I.D. Mathematical models of hysteresls.-B. .-SpringerVerlag, 1991..

175. Montel P. Sur l’Integrale superieure et l’Integrale Inferieure d’une equation differentielle// Bull. des Sciences Math.-1926.-V.50. P.205−217.199.loyer R.D. A general uniqueness theorem// Proc. Amer.Math.Soc.-1966.-V.17.-JE 3.-P.602−60T..

176. Nagumo M. Eine hinreichende Bedingung fur die Unltat der Losung von Dlffrentlalglelchungen erster Ordnung//Jap, Journ. of Math.-1926.-V.3.-P.107−112..

177. Perron 0. Eine hinreichende Bedingung fur die Unltat der Losung von Differentialgleichungen erster Ordnung // Math. Zelt sehr. -1928. -B.2&.-S.216−219..

178. Prager W. A new method of analysing Stresses and strains In work-hardening plastic solids//J.Appl.Mech.-1956.-V.23.-JE 4 -P.493−496..

179. Prager W. On Ideal locking matherlals.-Soc.Rheology.-1957.-V.1 .-P.169−175..

180. Rogers T. On Nagumo’s concLltlonZ/CanacL. Matli.Bull.-1972.-V.15.-JE 4.-P.609−611..

181. Rosenblatt A. Ueber die Existenz von Integralen gewohnlicher Differentialgleichungen//Arch, for Matem.Astr.och Pyslk. -1909.-B.5.-JE 2.-S.4..

182. Salnt-Venant M. Sur I’etabllssment des equations des mouvements Intereurs operes dans les corps ductiles au-dela des limites d’elastlslte//C.R.Acad.Scl., Paris. 1870.-V.70.-P.473−480..

183. Saint-Venant M. Sur les equations du mouvement In ter leur du solides ductlles//J.Math.Pures et Appl.-1871 .-V. 16.-P.373−382..

184. Smith H.L. On periodic solutions of delay Integral equations modeling epldemdcs and population growth.-Ph D. Thesis, Univ. of Iowa, May 1976..

185. Tresca H.-C.R.Acad.Scl.Parls.-1864.-V.59.-P.54−112..

186. Vlzlntln A. Mathematical models of hysteresis. Topics In nonsmooth analysis.-B.:Blrkhauser Verlag, 1988..

187. Volterra E. Vibration of elastic systems having hereditary characteristics//J. Appl.Mech.-1950.-V.I 7.-P.363−371..

188. Volterra V. Sulle equazlonl Integro-dlfferenzlall della elasclta nel caso della lsotroplcca//Rend.Acad.Llncel.-1909.-V.5.-JE 18.-P. 577−586..

189. Vol terra V. Sur la theorie mathematique des phehomenas heredl-tlres//J.Math.Pures et Appl.-1928.-V. 1 .-P.249−298..

190. Wangersky P.J., Cunningham W.J. Time lag In preypredator population models//Ecology.-1957.-V. 38.-P. 136−139..

191. Wend D.V.V. Existence and uniqueness of solutions of ordinary differential equatlons//Notlces Amer.Math.Soc.-1968.-V. 15.-JE 89..

192. Wend D.V.V. Existence and uniqueness of solutions of ordinary differential equatlons//ProG.Amer.Math.Soc.-1969.-V.23.-P.27−33..

193. Wend D.V.V. Uniqueness of solutions of ordinary differential equat lons//Amer. Math.: Ion thly. -1967.-V .74. -P. 948−950..

194. Wlntner A, The nonlocal existence problem of ordinary dlffe-rentlal equationsZ/Amer. J.Math.-1946.-V.68.-Jfe 1.-P .277−284..

195. Wlteman I.R. A mathematical model depleting the stress-strain diagram and the hysteresis loopZZJoum.Appl.Mech. (Trans.ASME series E)-1959.-V.26.-JSI.-P.95−100..

196. Wltte J. Eln Elndeutlgk: eltssatz fur die Differentlalgleichung y '=f (x, y) //Math. Zeltschr.-1974.-B.160.-H.3.-S.281−287..

197. Борздыко В. М. Положительные периодические решения дифференциальных уравнений с отклоняющимся apгyмeнтoмZZДoкл. АН ТаджССР. -1966.-Т.9.4.-С.3−5..

198. Борздыко В. М. Положительные периодические решения дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в банаховом прос-тpaнcтвeZZДoкл.AH ТаджССР.-1968.-ТДи 7.-С. 3−6..

199. Борздыко В. М. Об альтернативном принципе существования периодических решений для дифференциальных уравнений с запаздывающим apгyмeнтoмZZДoкл. АН ТаджССР.-1976.-Т. 19.10.-С.6−9..

200. Борздыко В. М. Применение топологических методов в теории положительных периодических решений функционально-дифференциальных ypaBHennftZZ Мзв. АН Тадж.ССР. Отд.физ.-мат. и геол.-хим. наук.-1979.-1 2.-С.22−30. •.

201. Борздыко В. М. Положительные периодические решения функционально-дифференциальных ypaBHeHHEZ/MsB.AH ТаджССР. Отд. физ.-мат. и геол.-хим. наук.- 1979. J 4. C. II-I9..

202. Борздыко В. М. О существовании ненулевых положительных периодических решений у функционально-дифференциальньк уравнений//Мзв. АН ТаджССР.Отд.физ.-мат.и геол.-хим. наук. -1 982. I.-27−3 6″.

203. Борздыко В. М. Об исследовании популяционной модели Хатчинсона //Дифференц. уравнения .-1985 ,-Т .21 2. С. 316−318. V.

204. Борздыко В. М. О некоторых классах теорем единственности для дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями. Докл. М ТаджССР.- 1985. Т.28. а 10. С.547−551..

205. Борздыко В. М. Теоремы единственности для дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями//Дифференц.уравнения.- 1987.-Т.23.-Л 6. 0.937−941..

206. Борздыко В. М. Теорема единственности типа теоремы С.Р.Берн-фельда, Р. Д. Драйвера и В. Лакшмикантама для дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями// Докл. АН ТаджССР.-I987.-T.30.-J" 2. С.74−77..

207. Борздыко В. М. Условия существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями//Докл.АН ТаджССР.- 1987.-Т.30.-1 12. С.766−770..

208. Борздыко В. М. Условия единственности для систем дифференциальных уравнений с гистерезисными членами// Дифференц. уравнения. -1988. Т.24. J" 8. С. 1291—1295. -.

209. Борздыко В. М. Теорема единственности типа теоремы Венда для дифференциальных уравнений с гистерезисными: нелинейностями// МзвАН ТаджССР. Отд. физ—мат. и геол.-хим. наук.- 1988. J" 2. С. 63−65..

210. Борздыко В. М. Об одном топологическом методе доказательства существования положительных, периодических решенийАу нально-дифференциальных уравнений// Дифференц. уравнеш|я.-I990.-T.26.-J" 10. С. 1671−1678. >.

211. Борздыко В. М. Переменный гистерон//Докл.Ш1.-1994.-Т.324.-^ 2.-С.269−272..

212. Борздыко В. М. Признаки единотве1Шобти для дйфе уравнений с гистерезисными нелш1Йнрстями//Докл.РАН.-1992.-Т. 324. }6 I.- 0.56−59..

213. Борздыко В. М. Нелинейные нестационарные системы с гистерезисом// Автоматжа и телемехаш1ка.-1994.-1″ 5. С.20−26..

214. Борздыко В. М. Существование положительных периодических решений у функционально-дифференциальных уравнений//Тезисы докладов Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений.-Душанбе, I987.-4.I.-С.56−57..

215. Борздыко В. М. Теорема единственности для системы дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями//Тезисы докладов Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений. -Душанбе, 1987. -Ч. I. -С. 58−59..

216. Борздыко В. М. Задача Коши дифференциального уравнения с гистерезисной нелинейностью // Украинская конференция «Модеж-рование и исследование устойчивости систем». Тезисы докладов конф. -Киев, 1994. С. 13−14..

217. Борздыко В.й. Об исследовании моделей, Ахищник-жертва" // Конф" «Математическое &-/юдепирование в естественных и гуманитарных науках Тезисы докладов конф. Воронеж, 2000. -с. 34,.