Неядерные возмущения дискретных операторов и формулы следов

Настоящая работа посвящена исследованию регуляризованных следов абстрактных дискретных операторов, а также исследованиям спектра и формул следов возмущений некоторых операторов в частных производных математической физики: оператора Лапласа-Бельтрами и двумерного гармонического осциллятора.

Теория следов линейных операторов берет свое начало с одного из фундаментальных фактов конечномерной теории: инвариантности матричного следа линейного оператора L и совпадения его со спектральным следом: л" n n к=1 к=1 к=1 где {А&-} - собственные числа оператора L, a {fk}k=n {dk}k=v ~ Лва произвольных базиса пространства.

Далее этот результат был перенесен на случай бесконечномерных операторов со следом, иначе называемых ядерными, а именно доказано (см. [34]), если L ядерный оператор, то для любой пары {fk}kLi, {gk}kLi, ортонормированных базисов справедливо оо сю к=1 к=1 и также верно равенство.

00 оо.

Lgk, Як) = X].

А-1 к=1 где {^к} ~ собственные числа оператора L. известное как теорема В. Б. Лидского ([18], [36]). Таким образом, этими результатами классическая теория была завершена, так как они охватывают весь класс операторов, имеющих след.

Дальнейшее, развитие теории следов привело к рассмотрению понятия инвариантности следа па операторы, не имеющие следа, которое начато в цикле работ И. М. Лифшица, завершенном работой [39], мотивировано некоторыми вопросами квантовой статистики и теории кристаллов.

Так как для неядерных операторов L ряд из матричных элементов расходится, из теории расходящихся рядов естественно следует следующая постановка: указать класс операторов и соответствующую пару базисов ЫГ=1' таких, что будет справедлив аналог равенства (0.2) — соотношение.

Для дискретных операторов выбор одного базиса естественно предопределяется спектральной постановкой (0.3), то есть выбирается базис из собственных векторов {gk}kLi оператора L, конечно, в предположении его существования. Для подбора второго базиса оператор L представляется в виде суммы L = Lq—V, причем оператор V в каком-то смысле подчинен оператору Loвторой базис строится из собственных векторов {fk}tLi оператора Lq. Тогда формула (0.4) приобретает.

0.4) следующий вид оо оо к А/*, л) — ^ 9k)] = Y1 + /*) — (№&> ы] = к=1 Jfc=l оо [*fc + (yfk: fk) — = 0, (0.5) k=1 где Afc — собственные числа оператора Lq, ци ~ собственные числа оператора L. Отсюда видно, что степень подчиненности оператора V оператору Lq фактически является мерой близости базисов {fk}kL и.

Отметим, что в общем случае если оператор lq имеет кратное собственное число, то при возмущении оно расщепляется на группу собственных чисел оператора L, близких в смысле возмущения V, поэтому суммирование в (0.5) (соответственно, в (0.4)) нужно понимать в смысле суммирования со скобками: Е к=1.

0, (0.6).

— №) + Sp (Р, 10.

L 7 = 1 где Vk ~ кратность собственного числа А&оператора Lq, Рк — оператор проектирования на собственное подпространство, соответствующее собственному числу, А а-, г — 1, 2,., щ — группа собственных чисел, на которую распадается собственное число А*. при возмущении V, Sp — след ядерного оператора.

Начало теории регуляризованных следов было положено в 1952 -1953 г. в работах И. М. Лившица [39], М. Г. Крейна [34] и И.М. Гель-фанда, Б. М. Левитана [16]. М. Г. Крейном в работе [34] для достаточно широкого класса функций ip и самосопряженного ядерного возмущения V оператора Lq была доказана формула.

Sp (.

I ?(0df = SpV, оо которое означает справедливость формулы (0.7) для Lp (t) = t. Откуда, в случае дискретности оператора Lq, следует, что справедлива формула сю pik — Л,) = SP V, (0.8) к=—оо которая совпадает с (0.5) для ядерных V. Аналогичный результат дл51 диссипативных ядерных операторов был получен в работе [1]. Обзор развития формул регуляризованных следов, связанных с функцией спектрального сдвига, которая позволяет рассматривать операторы со спектром произвольной природы, от М. Г. Крейном до современного состояния можно найти в работе [10]. Лишь отметим, что результаты этой теории в применении к дискретным операторам всегда уступали результатам прямых исследований.

И. М. Гельфанд и Б. М. Левитан [16] для оператора Штурма-Лиувилля задачи Дирихле с потенциалом q{x) получили формулу, названную впоследствии формулой Гельфат id а-Левитана: ос y^ivk — к2 ~ с0).

7 Г где с0 — - f q (x)dx. И почти сразу Л. А. Дикий в работе [21] показал, ж о что формула Гельфанда-Левитана эквивалентна тождеству т. е. равенству вида (0.5). Оказалось, что в работе И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана член (Vfk, fk) в формуле (0.5), который есть для оператора Штурма-Лиувилля, самим методом — разложение характеристического определителя и следа резольвенты оператора по степеням, а затем сравнивания коэффициентов при одинаковых степенях — был разбит на две части, и главный член, образующий расходящийся ряд, оставлен в левой части формулы (0.5), а сходящаяся часть просуммирована и сумма записана в правую часть.

Такой подход, при котором член (Vfk, fk) разбивается на расходящуюся и сходящуюся части, первая из них выражается в терминах собственных чисел и параметров оператора Lo, а вторая, сходящаяся, часть суммируется и выносится в правую часть, долгое время оставался центральным в многочисленных исследованиях. На этом пути о открывается связь теории следов с теорией дзета — функций операторов.

И. М. Гельфанд [15] предложил использовать метод, основанный на исследовании асимптотического разложения следа револьвенты по параметру и впервые для оператора Штурма-Лиувилля получил формулы регуляризованных следов высших порядков:

00 п=1 где Ak (n) — расходящаяся часть разложения по степеням собственных чисел Ап, В (к) — сумма сходящейся части разложения /i^, которая в конечном виде выражается через q (x) и ее производные.

Л.А.Дикий [22], [20] существенно развил идею И. М. Гельфанда и, впервые используя дзета-функцию оператора, также получил формулы следов высших порядков для оператора Штурма-Лиувилля. Отметим важное обстоятельство: в работе [20] Л. А. Дикий выдвинул гипотезу, что если самосопряженный оператор L отличается от оператора lq «малым» оператором sV:

L = L0 + eV, е — малый параметр и /ип, п = 1, 2,., ~ собственные числа оператора L, fn, п = 1, 2,., — ортонормированные собственные функции оператора L0, соответствующие собственным числам Хп, тогда при достаточно большом к будет оо (,"" - А&bdquo- ¦ ¦ eA——-е*А<�") = О п =1 где А?> - (У/&bdquo-,/&bdquo-), aL2) = Е l (VMf)|J" ¦ • • ~ п0″ Равки теории возму.

4 ' '—7 'чп т^п щений (см. [35, гл. 6, § 38, с. 169]). JI.A. Дикий доказал справедливость этой гипотезы для оператора Штурма — Л иу вилл я и его квадрата.

В начале 60-х годов ряд интересных результатов в виде (0.5) был получен в работах Ч. Хальберга, Р. Гильберта и В. Крамера [101], [96]. В этих работах авторы, предполагая, что для ограниченного возмущения V дискретного самосопряженного оператора Lq с ядерной резольвентой ряды оо.

1—1 к—1 сходятся, доказали равенство.

00 оо к=1 к=1 В качестве примера впервые рассмотрены обыкновенные дифференциальные операторы второго порядка на конечном отрезке с нераспадающимися краевыми условиями, обобщающие формулу ГельфандаЛевитана. А в работе Гильберта и Крамера [97] для самосопряженных операторов lq и V, удовлетворяющих условиям lq1, vlq1? 51 (S1 — класс ядерных операторов) получены регуляризовапные следы с несколькими поправками теории возмущений, в подтверждение выше упомянутой гипотезы Л. А. Дикого. Далее в работах М. Г. Гасы-мова и Б. М. Левитана [13], [14] впервые рассматривались сингулярные дискретные операторы Штурма-Лиувилля, то есть операторы на некомпактном многообразии. Следует отдельно отметить работу М. Г.

Гасымова [13], где доказана теорема :

Пусть Lq — самосопряженный дискретный оператор, V — самосопря-'лсениыи оператор такой, что L = Lq + V — дискретный самосопряженный оператор a cyuifcmeyem т т lim y^(VfnJn)= lim У^(Удп, дп). jm—^nn < * m—Уrv> ' «.

Тогда lim V]{fin — An) = lim /"), m-too A—' m —>oo *—4 n=1 71=1 где {fin} и {Xn} собственные числа, a {gn} и {fn} ~ базисы из собственных функций операторов L и Lq, соответственно.

В качестве приложения для оператора Штурма-Лиувилля на оси с финитным потенциалом q (x) с нулевым средним доказана формула т lim У2(/1п — К) = О, т.—Vrvi ' * т—>оо ' ш->оо.

11=1 11=1 т т тп—"сх> п=1 а на полуоси с дополнительным условием дифференцируемое&tradeq (x) в окрестности нуля получена формула limf>"-A") = -?M т—"оо ' * 4 п=1.

Для сингулярных дискретных обыкновенных дифференциальных операторов крупное продвижение в теории регуляризованных следов было сделано А. Г. Костюченко в его докторской диссертации [33]. Для положительного дифференциального оператора в ^(М), порожденного дифференциальным выражением.

1у = (-1 Гу (2т) + Р2т-2Ш2т~2) + • • • + Ро (х)У, возмущенного оператором умножения функцию q (x) Е Ь с финитным носителем и с нулевым средним, доказано, что п=1.

А для оператора четвертого порядка на полуоси с граничными условиями: с дополнительным требованием, что функция q (x) имеет ограниченную вариацию в некоторой окрестности нуля, получена формула.

В связи с завершением исследований регулярных дифференциальных операторов второго порядка с середины 60-х годов основным па-правлением исследований многих математиков стало распространение теории следов на обыкновенные дифференциальные операторы выше второго порядка. Наиболее сильные результаты в этом направлении получены В. А. Садовничим [56], [57]. [58], [59]- особо следует подчеркнуть результат для обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка, полученный методом тета-функции. Исключительным продвижением в теории следов стало применение методов теории функции в исследовании дзета-функции оператора в работах В. Б. Лидского и В. А. Садовничего [37], [38]. В этих работах был разработан метод вычисления регуляризованных сумм корней специального класса функций /С, включающего в себя характерис тические.

00 у (0) — г/Ч0) = О,.

71=1 определители многих спектральных задан, в том числе почти все задачи для регулярных обыкновенных дифференциальных операторов. В частности, этот метод дал возможность решать целый ряд важных задач в других областях математики. Развитие этого направления теории следов, в основном, было завершено в работах В. А. Садовничего, В. А. Любишкпна и Ю. Беллабассп [68], [73], в которых функции класса /С расширены до функций класса типа синуса, включающего все характеристические определители регулярных обыкновенных дифференциальных операторов.

С конца 70-х годов на пеозьтй план выдвигается изучение следов операторов в частных производных, однако даже первую поправку теории возмущений (Vfkfk) из-за сложной структуры спектра операторов в частных производных не всегда удается эффективно исследовать, не говоря о последующих поправках теории возмущений. В связи с этим возобновились активные исследования формул следов вида (0.5) и близких к ней (с вычитанием нескольких поправок теории возмущений). Пионерскими работами в этом направлении стали работы В. А. Садовничего и В. В. Дубровского [63], [64]. Абстрактная теорема работы [63] позволила получить формулу следов для степени 3 + е, о > 0, оператора Лапласа задачи Дирихле на прямоугольнике, возмущенного оператором умножения на функцию р (х, у) — при некоторых условиях на потенциал эта формула следов приобретает вид, весьма сходный с формулой Гельфанда — Левитана для оператора Штурма.

Лиувилля:

— Лп) — — .

Работа В. А. Садовничего и В. А. Любишкина [72] сыграла определяющую роль на дальнейшее развитие теориив ней рассмотрено возмущение самосопряженного дискретного оператора lq конечномерным оператором специального класса: г.

Vu = fk) gk, к=1.

1ки9к~ некоторые векторы. Отметим, что так как векторы вообще говоря, не принадлежат области определения оператора Lq. то оператор V не обязательно ограничен. В этой работе для оператора Lq. функция распределения спектра которого имеет асимптотику iV (A) = с + 0(р),, с > 0, ре (0−1), доказана формула к v lim — Хк) = n—too ' * ' ' к=1 j=1 где 0 < qj < 2 — некоторые числа, fj? V (LqQ'): gj? V (L2^.

Далее, отметим работы В. А. Садовничего и В. А. Любишкина [69], [70], [71], В. А. Садовничего, В. А. Любишкина, В. В. Дубровского [74], В. В. Дубровского [23], [24], [25], В. А. Любишкина и Г. В. Козлова [28],[29]. В. Е. Подольского [50], [51]. Во всех работах, посвященных исследованию абстрактных операторов методом контурного интегрирования резольвентного уравнения, формула (0.5) (или более общая, с регуляризацией несколькими поправками теории возмущений) была доказана для различных классов операторов, на которые, помимо других условий, обязательно накладывались условия: оператор lq — самосопряженный, его собственные числа удовлетворяют условию.

А&bdquo-| > сп1+6 с некоторым <5 > 0 (различным в разных результатах), а возмущающий оператор V ограничен. Наиболее сильный результат из вышеперечисленных был получен в работах В. В. Дубровского [24], [25]. В работе [24] справедливость формулы (0.5) была установлена для самосопряженного оператора Lq с N{А) = 0(ХР). р < ½, возмущенного произвольным ограниченным оператором V, а для возмущения V из класса Гильберта-Шмидта формула доказана при р < 1. В [25] для ограниченного Г при р < 1 получены формулы следов для п-й степени собственных чисел возмущенного оператора, регуляризовав их с (I — 1)-й поправкой теории возмущений, где I >

Ряд интересных результатов получил М. Достанич [93] для самосопряженного возмущения оператора lq с регулярным поведением спектрапоследнее позволяет использовать для оценок поправок теории возмущений несколько иную технику, чем метод контурного интегрирования. Для ограниченного самосопряженного возмущения формула следов (0.5) была доказана М. Дос/ганичем в случае, когда An+i — Ап ci — «^й/Г — С2' 0 < р < а при более слабом условии н.

-, 1 — А")" 1 = о (1) к=1 та же формула была доказана для случая N (А) ~ сЛр, 0 < р < 2/3. Отмегим, что в этой работе рассмотрен и случай неограниченных возмущений при особой регулярности спектра невозмущенного оператора. А именно, получена формула (0.5), если.

-^71+1 «Ап, п (1р)/р < С2, О <Р< ½, и.

VfW <с0||^/||, 0 < (3 < ½ — р.

Принципиальный прорыв в теории следов был сделан в серии статей В. А. Садовничего и В. Е. Подольского [76], [75] и В.А. Садовни-чего. С. В. Конягина и В. Е. Подольского [77]. Особо отметим одну из центральных в данной тематике работу [75]. В ней впервые в общем виде исследован случай неограниченных возмущений: формула следов с вычитанием I поправок теории возмущений доказана при условии, что оператор VLqA, 0 < 5 < 1, ограничен, а оператор ядерный, uj? [0- 1), ш + <5 < 1, ш > 5/1. В частности, отсюда вытекает, что для ограниченного V формула (0.5) имеет место, если резольвента оператора lq — ядерный оператор, что существенно улучшает вышеупомянутые результаты В. В. Дубровского и М. Достапича.

В этой же работе для компактных возмущений V таких, ч то VLq ~ ограниченный, а Ь0 — ядерный операторы, установлена справедливость формулы (0.5) — эти условия позволяют рассматривать случаи, когда у невозмущенного оператора lq наибольшее расстояние между собственными числами стремится к пулю.

JI.C. Коплиенко [31] и М. Достанич [92] изучали обобщения формулы (0.7) для возмущений из класса Гильберта-Шмидта. В работе [92] доказано, что для каждой функции из класса сю оо.

M2 = {ip: J eij*g (t)dt, J |f" 0(f)|d*.

Sp (v (Lo + V)~.

Отметим также, что A.M. Савчуком и А. А. Шкаликовым [54], [55] исследовались асимптотика собственных значений и формула следов для оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом.

Одной из важнейших задач теории следов является задача, поставленная в 60-е годы И. М. Гельфаидом — изучить асимптотику спектра и получить формулы следов для оператора Лапласа-Бельтрами на сфере. Долгое время для дифференциальных операторов на компактных многообразиях с периодическим бихарактеристическим потоком не удавалось сколь-л ибо содержательно исследовать спектр, и, лишь после создания теории интегральных операторов Фурье, И.С. Шаза-реном [91], Ж. Ж. Дюстермаатом и В. Гийеминым [95], А. Вейстейном [106] (более подробно см. [7]) получены общие результаты, которые показывают, что спектр возмущения таких операторов хорошо локализуется вокруг спектра иевозмущенного оператора.

Физически наиболее интересным, как основная модель, является в этой теории оператор Лапласа-Бельтрами на сфере §" ', возмущенный оператором умножения на функцию q{x). В работах В. Гийемина [99] и Н. Видома [107] детально изучен спектр оператора —Д + q в пространстве L2(Bn), здесь потенциал q — вещественная функция из класса C°°(Sn). В частности, для нечетного потенциала q (т.е. удовлетворяющего условию q (rs) = -q (s), 6- G где г — антиподное отображение) получена оценка т~ hi = 0(k~2), г = 1, 2,., Nkl.

Щ — кратность собственного числа Аы оператора — Д. Эта оценка не улучшаема в том смысле, что 0{к~2) можно заменить на о{к~2) тогда и только тогда, когда q = 0.

Далее, В. Гийемин и А. Урибе [98], [100] показали, что для гладкого, необязательно вещественного потенциала q на компактных симметрических пространствах М ранга 1 верно асимптотическое разложение nk оо f (Xki — fH-i) ~ Y1 * оо, (0.10) г=1 /=0 для любой функции /(-), аналитической в некоторой области, содержащей последовательность.

Vki — 0, i=I'.

Причем.

Ш)= I s*m.

— где S*M — расслоение единичных косфер на М,.

T — наименьший общий период геодезической многообразия М. Вычисление коэффициентов в (0.10) составляет отдельную важную и весьма трудную задачу, продвижений в которой не так многов работе В. Гийемипа [98] приведена формула для /^(Z) в случае нечетного потенциала на сфере.

Исследование формулы следов — вторая часть задачи, поставленной И. М. Гельфандом, для возмущения оператора Лапласа-Бельтрами — до начала 90-х годов оставалось открытым из-за сложности изучения второй поправки теории возмущений, связанной с отсутствием равномерных асимптотических формул для сферических функцийсобственных функций оператора —А на S2. Первые результаты в этом направлении были получены в работах В. А. Садовничего и В. В. Дубровского [65], [66]. В работе [65] для нечетного бесконечно гладкого потенциала q на S2 получена следующая формула: оо / 2/1 1 /* С о+Е + + ~ 247 Г У п=1 г=0 / g2.

0.11) где 7 — постоянная Эйлера, с — некоторая констанста, явно выражаемая через q. Позже формула (0.11) была уточнена В. Е. Подольским [49], а в его же работе [103] были получены аналогичные формулы для оператора Лапласа-Бельтрами на компактных симметрических пространствах ранга 1, и в работе [11] А. Н. Боборовым — на поверхности Цолля, для произвольного бесконечно дифференцируемого потенциала q. Отметим, что для получения формулы следов в работах [65], [49], [11] применяется метод суммирования Абеля с использованием хорошо известного асимптотического поведения тэта-функций операторов —Д и — А + q. причем гладкость потенциала q в этом методе существенна.

В ряде областей физики, особенно в квантовой теории, фундаментальную роль играет задача о гармоническом осцилляторе. Спектральные свойства степенных возмущений одномерного гармонического осциллятора активно исследовались в работах В. П. Маслова (см., например, монографию [42]), Л. А. Сахновича [82], Н. М. Костеико [32], В. П. Белогрудя и А. Г. Костюченко [5]. Х. Х. Муртазина и Т.Г. Аман-гильдина [43], В. А. Любишкина [40].

Формулы следов для финитного возмущения одномерного гармонического осциллятора изучались в работах [13], [14]. [33], [40], [4], [29],.

Для нефинитного возмущения формула регуляризованного следа для одномерного гармонического осциллятора получена в работах [3], [2].

Впервые возмущение двумерного гармонического осциллятора исследовал В. А. Любишкин в работе [41], однако там им рассматривалось финитное возмущение, зависящее только от радиальной переменнойтакже носитель возмущения не должен был содержать окрестность нуля. Для таких возмущений В. А. Любишкин доказал равенство нулю регуляризованного следа с вычитанием одной поправки теории возмущений. Такой результат показывает, что этот случай (когда возмущение зависит только от радиальной переменной г) мало отличается от одномерного случая.

Перейдем к обзору содержания диссертации.

Первая глава целиком посвящена доказательству формул регуля-ризованных следов со скобками для широкого класса неядерных возмущений дискретных операторов в гильбертовом пространстве Во всей главе невозмущенный оператор Lq предполагается самосопряженным положительным, оператор возмущения V — симметрическим и 1/о-компактнымчерез {Afc}^ и {да-}ь=1 обозначены, соответственно, собственные числа операторов Lq и Lq + V, пронумерованные в порядке возрастания с учетом их кратпостей, {fk}kLi ~ оргопормиро-ванный базис из собственных функций оператора Lq, соответствующий собственным числам Хк.

В отличие от сплошной нумерации спектра оператора Lo, через обозначена поточечная нумерация его спектра так, что.

О < Ai < • • • < Хк < Хк+1 < .

Обозначим также через Рк — ортогональный проектор на собственное подпространство оператора Lo, соответствующее собственному числу Хк, G (X) = (Lo — A/)-1, R (А) = (L — А/)-1 — резольвенты операторов Lo и L, и для, А > 0 положим.

К0(А) — G (-X)VG (-X)VG{~X), К (А) = G (-)VR (-X)VG (-).

Параграф 1.1 посвящсн изучению интегрального представления резольвентного уравнения, при, А —оо оператора L. в нем доказаны три теоремы о возмущениях.

Теорема 1.1 Пусть оператор Kq (X) — ядерный. Тогда при, А 1 справедливо тождество со о где p (t) =? (Afc + (Vfk, fk) ~ fik) > Ол k.

Ценность этой теоремы заключается в том, что, не предполагая ядерности резольвенты оператора Lq, из резольвентного уравнения.

R (-А) — G{-А) + G (-X)VG{-X) = G{-)VR{-)VG (-) при Л 1 следует равенство (0.12). Формула такого вида получена впервые.

Далее, с целью представления правой части равенства (0.12) через параметры невозмущенного оператора Lq доказана следующая теорема.

Теорема 1.2 Пусть оператор А’о (Л) — ядерный, а V — симметрический Lo-ограпиченный оператор с относительной? рапыо пуль. Тогда ос Ё = SP «,(Л)[1 + 0(||VG (-A)||)]. 0.

Учитывая определение оператора Ао (А), имеем оо оо оо (X1 I/т. л |2.

1Ж «fern = Sp PkVPmVPk, причем amfc = akm > 0.

Далее в этом же параграфе доказана следующая основная теорема о возмущениях.

Теорема 1.3 Пусть V — симметричный Lq-компактный оператор в % и Sp А" о (Л) < оо. Тогда при, А >> 1 ос оо о о где t u (t) = 2 J p (s)ds + ^ v (t) = 2 J r (s)ds + akki .r (t) =.

A k.

CLkm x. л x *^m ~ ^к.

Л kt.

Теоремы 1.1. 1.2 и 1.3 составляют основу новой техники исследования дискретного спектра в случае самосопряженных возмущений, приводящую к существенно более сильным, фундаментальным результатам абстрактного характера в теории следов, которым посвящены последующие параграфы главы 1.

Параграф 1.2 посвящен формулам следов для возмущений Гильберта-Шмидта. Основным результатом этого параграфа является следующая теорема, для формулировки которой введем функцию со.

ДА) = SP Ко (Х) = 3 J (0.13) о.

Теорема 1.4. V — оператор Гильберта-Шмидт, а тогда и только тогда, когда /(А) = 0(А~3) при, А —"• +оо. При этом имеет место формула следов оо со p (t)dt + - А*)2 = SPr2. (0.14).

0 k=1.

Из формулы (0.14) вытекает важное следс твие.

Следствие 1.1 Если V — самосопряженный оператор Гильберта-Шмидта, то существует последовательность натуральных чисел такая, что ilk пк lim V [/& - 2Аm (Vfm, frn) — АУ = lim ]T (F2/™, fm) = SpV2 k^oo z—' k^-oo —' m=1 m— 1 пк lim Anfc p (Xnk + 0) = lim Anjk ]Г[А- + (Vfj: /,) — = 0, (0.15) k—>co A' —>oo ' * lim р (ХПк + 0) = lim ]Г[А- + (Vft, fj) — = 0- (0.16).

00 «-> OO '.

3=1 кроме того, выполнено соотношение: оо.

Х>-А,)2<�оо. (0.17) к=1.

Формула (0.14) получена впервые. В теореме 1.4 и следствии 1.1 никаких ограничений на рост функции распределения спектра N (X) невозмущенного оператора не накладывается, тогда как формула (0.16) из следствия 1.1 для возмущений Гильберта-Шмида в работе [24] доказана при условии, что N (А) — 0(Хр), 0 < р < ½. Утверждение следствия 1.1 сильнее теоремы 4 работы [75] для возмущений Гильберта-Шмидта, так как существует оператор из класса 52, для которого упомянутая теорема 4 не применима (см. замечание 1.2 ниже).

Отметим также, что.

В параграфе 1.3 изучаются формулы следов для относительно компактных возмущений. Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.

Теорема 1.5 Пусть Lq = Lq — дискретный полу ограниченный снизу, а V — симметрический Lo-компактпый операторы в гильбертовом, пространстве И пусть выполнено одно из нижеследующих условий:

L g О^Ый < оок=1.

2. V — компактный оператор и N it) — 0(t), t —ь оо.

3. V — ограниченный оператор и N (t) = o (t), при t —> оо- 4- V е Sp7 2 < р G N, и N (t) = o (tf/Cp-2)) при t оо.

Тогда существует подпоследовательность натуральных чисел {нт}т= такая, что.

11 т.

Нт р (пт + 0) — lim V) (ЛА. + (Vfki fk) — /лк) = 0. (0.18) ill—too Н!—>00 —* fc=1.

Условие 1 теоремы 1.5 является довольно универсальным в том смысле, что из него следует справедливость формулы (0.18) как для неограниченных Lo-компактных возмущений, так и для ограниченных или компактных возмущений:

Следствие 1.2 Пусть симметрический оператор V таков, что V (L0) С Т>(у), и существует число (3,0 < (3 < ½, такое, что оператор vlq^ продолжается до ограниченного, а оператор lq¹ 2^ - ядерный. Тогда имеет место формула (0.18).

Утверждение следствия 1.2 сильнее цитированного выше результата для неограниченных возмущений из работы М. Достанича [93] и совпадает с утверждением теоремы 1 из [75] в смысле справедливости формулы (0.18) для самосопряженных Lo-компактных возмущений.

Следствие 1.3 Пусть существует 5 > 0 такое, что оператор V2Lq продолжается до ограниченного, а оператор ~ ядерный. Тогда справедлива формула (0.18).

Следствие 1.3 сильнее теоремы 4 работы [75] в случае самосопряженных возмущений, в этой теореме для справедливости формулы (0.18) вместо ограниченности оператора v2lq требуется ограниченность оператора VLq.

Формула (0.18) для ограниченных возмущений (не обязательно самосопряженных) в работе [75] (теорема 1) доказана при условии ядер-ности резольвенты оператора Lq. Из пункта 1 нашей теоремы 1.5, в частности для ограниченных возмущений V вытекает достаточность ядерноетп резольвенты lq для справедливости формулы (0.18).

Условия 2, 3 и 4 теоремы 1.5 устанавливают порядок роста функции распределения N (t) невозмущенного оператора Lq в зависимости от конкретных классов возмущеьий, что важно для приложении к дифференциальным операторам. Отдельно отметим утверждение пункта 3 этой теоремы для ограниченных возмущении, которое перекрывает все ранее известные результаты, в том числе результаты работы [75] (теорема 1), так как наше условие слабее условия «резольвента оператора Lq ядерная»: из нашего условия следует, что дос гаточным будет более слабое условие.

Примеры, рассмотренные в параграфе 1.4 позволяют заключить, что условие 3 теоремы 1.5 «iV (t) = o{t) при t —» оо" нельзя ослабить для произвольных ограниченных возмущении V.

Заметим, что следствие 1.3 (как и теорема 4 работы [75]) предполагает определенные ограничения на скорость стремления к нулю последовательности собственных чисел компактного возмущения V в зависимости от Lq (V2Lq продолжается до ограниченного оператора, L0{1+S) — ядерный, 5 > 0), следовательно, существует компактный оператор V, для которого следствие 1.3 неприменимо. Например, fk собственные функции оператора Lq, соответствующие собственным значениям = к.

N (t) = o (t) t —> оо п —У оо.

В отличие от этого замечания в пункте 2 теоремы 1.5 содержатся лишь ограничения на рост собственных чисел оператора Lo в виде оценок снизу, а V — произвольное компактное возмущение. Утверждения такого типа ранее нам не были известны.

Вторая глава диссертации посвящена изучению спектра оператора Лапласа-Бельтрами Lq = —Д на двумерной сфере § 2, возмущенного оператором умножения V на функцию конечной гладкости и доказательству формулы следов для этого случая.

В параграфе 2.1 исследуется кластерная асимптотика собственных чисел возмущенного оператора. Там доказаны две теоремы, в которых впервые для оператора в частных производных детально удается изучить вторую поправку теории возмущений где Pk — проектор на собственное подпространство невозмутценного оператора — Д, соответствующее собственному числу = k (k + 1).

Теорема 2.1 Пусть V (lj) — произвольная комплексное полная функция из С3(§-2). Тогда для второй поправки теории возмущений оператора L — — Д + V справедлива формула ак = 71 + к оо, где.

32−7Г3 1.

V (cu)V (cv о).

V2{to)duo, (0.19).

§ 2 § 2 at, o>o) — скалярное произведение at = (cos Lp sin 9, sin cp sin 9: cos 9), векторов ujq = (cos c/?o sin 9q, sin щ sin 0o5 cos 0q) •.

Далее, на основе теоремы 2.1, впервые для возмущения оператора в частных производных получен второй член кластерной асимтотики собственных чисел. При этом от возмущния требуется лишь конечная гладкость, в отличие от всех вышеупомянутых работ по теме.

Теорема 2.2 Пусть V (tu) — произвольная комплекснозначная функция из класса С3(§-2). Тогда для собственных чисел оператора L справедлива следующая асимптотическая формула, а постоянная С определена формулой (0.19).

Теорема 2.3 Пуст, ь V — оператор умножения, вообще говоря, па комплексную функцию из класса С2(§-2) в пространстве ½(§ 2). Тогда для собственных чисел оператора L справедливо тождество оо к.

J2 Y1 Ьы — к (к + ~ со] = 2сь (0−21) к=0 i=-k постоянные со и с определены в теоремах 2.1 и 2.2, причем ряд в (0.21) сходится абсолютно.

J2 1Чн = (2к + 1) [к (к + 1) + со] + ^ + О (j^J, (0.20) к i=—k где.

Как отмечалось выше, ранее формула следов была получена В. Е. Подольским в [49] только для нечетных вещественных потенциалов V из класса С°°. Формула (9.21) в случае нечетного V совпадает с результатом этой работы.

Третья глава работы посвящена изучению спектральных характеристик (локализации спектра, асимптотики спектральной функции, формулы следов) финитного возмущения двумерного гармонического осциллятора. Отметим, что двумерный гармонический осцилляторвторой оператор в частных производных, когда размерность пространства (многообразия) равна размерности оператора (первый — оператор Лапласа-Бельтрами, изученный нами во второй главе), для которого получена формула следов.

Основная сложность исследования заключается в том, что у невозмущенного оператора Н0 — —Д + х + х в L2(1K.) спектр {Агг} = {2п+2}^0 (каждое собственное значение Х. п = 2/1+2 имеет кратность 71 + 1) отсутствуют растущие лакуны, а собственные функции (р^х), к = 0, 1,., п, соответствующие собственным числам Ап = 2тг + 2, есть произведения ортонормированных собственных функций одномерного гармонического осциллятора — ^ +.

Р{кх) = fk{xi)fn-k (x2), здесь H (t) — многочлены Эрмита. Последнее обстоятельство усложняет исследование асимптотики проектора п я"/= ?(/,*> на собственное подпространство оператора Щ, и спектра возмущенного опера гора Н = Но + V.

В первом параграфе третьей главы исследуется спектр финитного возмущения (V — оператор умножения на финитную ограниченную измеримую вещественную функцию) оператора Hq. А именно, доказана следующая теорема о локализации спектра.

Теорема 3.1 Пусть п 1, тогда собственные значения z оператора Н, лелсащие в окрестности точек 2(?? + 1) удовлетворяют неравенству.

Пусть Rq (z), r (z) ~ резольвенты операторов Hq и Н, соответственно. В параграфе 3.2 для собственных чисел к = 0,., п, оператора Н, лежащих в окрестности собственного числа Ап = 2п + 2 оператора Hq, доказана лемма:

Лемма 3.3 При п 1.

Г!

2(n + I)2 + Sp PnV — = <*" + Д п, к=О г^е Sp — след ядерного оператора, т.

0.22) тфп.

Рп = Sp.

1 г.

2 т f zRo^v) |А&bdquo—*|=1).

0.23).

Для последовательности (Зп имеет место следующее утверждение.

Теорема 3.2 Последовательность абсолютно суммируема и.

00 к=О.

В третьем параграфе изучается асимптотическое поведение (равномерное на компактах К С Ж2 X Ш?) функции Vn (x, у) — ядра проектора Рп на собственное подпространство оператора Hq, соответствующее собственному числу п — 2п + 2.

Теорема 3.4 Пусть (х, у) Е К компакт в R2 х R2. Тогда для 1 и (х, у) е К.

Vn{x, у) = MVb*-v) + + + гЛг< у)> где J0(s) — функции Бесссля i-го рода, а гп (х, у) при каждом, а 6 (0- допускает оценку л-«(яг, 2/)| < + причем с^ > 0 (k = 1- 2) и зависят только от, а и К.

В параграфе 3.4 мы исследуем (равномерную на компактах К С К2 xl2) асимптотику ядра Д?(ж, у) оператора Вп: определенного формулой (0.22). Устновлен весьма интересный факт, что главный член асимптотики ядра Вп (х, у) выражается через функцию Бесселя второго рода.

Теорема 3.7 Пусть К — произвольный компакт е I2 х I2. Тогда при п 1 и (ж, у)? К.

Вп (х, у) = - У) + Qn (x, y). где п = 2п— 2,^o (-s) — функции, Бесселя второго рода, причем.

В пятом параграфе с использованием теорем 3.4 и 3.7 исследуется асимптотика второй поправки теории возмущений ап — PnVBnVPn.

Теорема 3.8 Пусть V G Cq4m2), тогда при п 1 ап = 0(п'х), А > 1, т. е. последовательность ап абсолютно суммируема.

В последнем, шестом, параграфе изучаются формулы следов. Там доказаны три теоремы.

Теорема 3.9 Пусть W — оператор умножения па функцию W (x) из класса Cq4^(R2). Тогда при, п —> оо справедлива асимптотическая формула.

Sp J W (x)dx +J (l-x2)W (x)dx + o (l), к2 K2 где х1 = х + х, Еп = J2 ркк—О.

В последующих двух теоремах получены формулы следов для двумерного гармонического осциллятора.

Теорема ЗЛО Пусть V е ^(М2). Тогда оо Е п=0.

2(n + l)2 + SpP"y-?X п) к=О.

8тг.

V2(x)dx.

Теоремы 3.9, 3.10 составляют основу вывода классической формулы следов Гсльфанда-Левитан, а для двумерного гармонического осциллятора.

Теорема 3.11 Пусть V Е С⁴)(М2). Тогда п=0 к=0 п) i [ v^dx-T+i где Cq = ^ f V (x)dx, х2 = х + ж2, — собственные значения оператора Н, к — 0, п.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [84]. [45], [85]. [86], [78], [87], [79], [88], [80], [89], [46]. В совместных работах [78], [79], [80] В. А. Садовничему принадлежит постановка задачи, полученные результаты полностью принадлежат автору диссертации. В работах [45], [46] Х.Х. Мурта^ину принадлежат результаты, относящиеся к случаю неполуограниченных операторов, остальные результаты принадлежат автору диссертации. В работах [86], [85] Х. Х. Муртазину принадлежат постановка задачи и идея доказательства результата о локализации спектра, остальные результаты этих работ принадлежат автору диссертации. Все результаты данной диссертации принадлежат диссертанту.

1 Неядерные возмущения абстрактных дискретных операторов и формулы следов.

В начале главы приведем определения объектов и понятий, используемых и исследуеемых в этой главе. Все рассматриваемые операторы действуют в сепарабельном гильбертовом пространстве И через V (-) С У. обозначается область определения оператора. Далее, через Lq будем обозначать самосопряженный полуограниченный снизу дискретный оператор, через {А^})^ - его собственные числа, пронумерованные в порядке возрастания и с учетом кратности, {fk}fLi ~ °РТ0~ нормированный базис из собственных функций оператора L0- функция распределения спектра оператора Lq обозначается iY (A) = 1. Через G (А) в этой главе обозначается резольвента оператора Lq. Обозначение V будет везде использоваться для возмущающего оператора, х ~ собственные числа оператора L — Lq + V. занумерованные в порядке роста и с учетом кратностей, (условия на операторы Lq и V всегда таковы, что V{L) плотна в К) — через R{А) обозначаем резольвенту оператора L.

В отличие от сплошной нумерации спектра оператора Lq, через {Afc}^ мы обозначим поточечную:

Ai < А2 < • • • < Аа, < A*+i < ., наконец, через Р^ - ортогональный проектор на собственное подпространство оператора Lq, соответствующее собственному числу.

Приведем некоторые сведения из теории компактных (вполне непрерывных) операторов, подробное изложение которой можно найти в монографии [18].

Определение 1.1 Собственные числа {saJ^Li оператора /W* называются сингулярными числами иличислами компактного оператора V.

Определение 1.2 Компактный оператор V принадлежит классу оо.

SP, если Т, 4 < sk ~~ упорядоченные по убыванию s-числа ь= 1 оператора V.

В частности, оператор V называется ядерным или оператором со следом, если V Е S1- оператор V из класса S2 называется оператором Гильберта-Шмидта.

Для ядерного оператора V и любого ортоиормированиого базиса 00.

Pk}kLi в 7~L ряд ^{VtpkiVk) сходится, его сумма называется матк= 1 ричным следом оператора V и обозначается БрТЛ.

Для ядерного оператора V имеет место равенство (теорема Лид-ского).

00 spv = щ' к- 1 где vк ~~ собственные числа оператора V.

В данной главе изучается вопрос о регуляризовапных следах неядерных возмущений самосопряженного оператора Lq с дискретным спектром в сепарабельном гильбертовом пространстве.

А именно, найти как можно более общее (но форме и содержанию) условие, связывающее операторы Lq и У. в том числе, для определенных классов возмущений V, в виде ограничений на функцию распределения спектра N (X) оператора Lq в зависимости от V, чтобы существовала подпоследовательность натуральных чисел {пт}^=1 такая, что верна формула lim V (А, + (У/, Л) — = О? т-^оо к= 1.

1. Адамян В. М., Павлов Б. С. Формула следов для диссипативных операторов.// Вест. ЛГУ, сер. матем. 1979. № 2. С.5−9.

2. Александрова Е. В. Формула следов для гармонического осциллятора с нефанитным возмуимением.// Депонир. в ВИНИТИ РАН 18.01.97, М29-В97. 16 с.

3. Александрова Е. В., Бочкарева О. В., Подольский В. Е. Суммирование регуляризованнмх следов сингулярного оператора Штурма-JIuyвилля.// Дифф. уравнения .1997. Т. 33. № 3. С. 291 295.

4. Амангильдин Т. Г. Регуляризовапный след оператора Штур. ма-Лиувилля.// Дифф. уравнения. 1989. Т. 25. № 8. С. 1439−1441.

5. Белогрудь В. П., Костючеико А. Г. О плотности спектра оператора Штурма-Лиувилля.// УМН. 1973. Т. 28. № 2. С. 227 228.

6. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов.// Киев. «Hayкова думка». 1965.

7. Боссе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими.// М.: Мир. 1980. 325 с.

8. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Асимптотическое поведение спектра слабо полярных интегральных операторов.// Изв. АН СССР, сер. матем. 1970. Т. 34. Nob.

9. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Оценки сингулярных значений дифференциальных операторов.// УМН. 1977. Т. 193. № 1(193). С. 1784.

10. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. М.:ИЛ. 1949.

11. Гасьтмов М. Г. О сумме разностей собственных значений двух самосопряженных операторов.// ДАН СССР. 1963. Т.150. № 6. С. 1202−1205.

12. Гасымов М. Г., Левитан Б. М. О сул (ме разностей собственных значений двух сингулярных операторов ШтурмаЛиувилля.// ДАН СССР. 1963.Т. 151.№ 5 С.1014−1017.

13. Гельфанд И. М. О тождествах для собственных значений дифференциального оператора второго порядка.// УМН. 1956. Т.Н. Ж С.191−198.

14. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка.// ДАН СССР. 1953. Т. 88. С.593−596.I173.

15. Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций.// М.:ИЛ. 1952.

16. Гохберг И. Ц. Крейн М.Г.

Введение

в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.// М.: Наука. 1965. 448 с.

17. Н. Данфорд, Дж. Шварц. Линейные операторы, часть 2.// М.: Мир. 1966. 1063 с.

18. Дикий Л. А. Формулы следов для дифференциальны, х операторов Штурм, а-Лиувилля.// УМН. 1958. Т. 13. Вып. 3. С. 111−143.

19. Дикий Л. А. Об одной формуле Гельфаида-Левитан а. / / УМН. 1953. Т.8. Вып. 2. С.119−123.

20. Дикий Л. А. Новый способ при, ближ. енного вычисления собственных чисел задачи Штурм, а-Лиувилля./ / ДАН СССР. 1957. Т. 116. т С. 12−14.

21. Дубровский В. В. Регу ля риз о ванный след билапласиана с периодическими краевыми условиями на квадрате.// ДАН БССР. 1980. Т. 14. № 3. С. 210−213.

22. Дубровский В. В. Формулы регуляризованных следов операторов с компактной резольвентой.// Дифф. уравнения. 1990. Т. 26. № 12. С. 2046;2051.

23. Дубровский В. В. Абстрактные формулы регуляризованных следов эллиптических гладких дифференциальных операторов, заданных на компактных многообразиях.// Дифф. уравнения. 1991. Т. 27. № 12. С. 2164 2166.

24. Дубровский В. В.,. Пузанкова Е. А. Оценка разности спектральных функций и формулы регуля. ризованных следов степени, оператора Лапласа, заданного на треугольнике или квадрате в Lp. 1 < Р < 2.// Дифф. уравнения. 1999. Т. 35. № 4. С. 552−555.

25. Т. Като. Теория возмуи^еиий линейных операторов.// М.: Мир. 1972. 740 с.

26. Козлов Г. В., Любишкин В. А. Регуляризованные следы высшего порядка, для гармонического осциллятора.// Дифф. з’равнения. 1993. Т. 29. т. С. 61−63.

27. Козлов Г. В., Любишкин В. А. Регуляризованные следы, сингулярных дифференциальных операторов.// Вестник МГУ, серия матем. мех. 1993. № 4. С. 6−11.

28. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.// М.: Наука. 1981. 542 с.

29. Коплиенко Л. С. О формуле следов для возмущений неядерного типа.// Сиб. матем. ж. 1984. Т. XXV. № 5. С. 62 -71.

30. Костенко Н. М. Асимптотика собственных чисел ангармонического осциллятора.)I Матем. сб. 1970. Т. 81(123). № 2. С. 163−175.

31. Костючепко А. Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов.// Диссд-ра физ.-мат. наук. М. 1966.

32. Крейн М. Г. О формуле следов в теории возмущений.// Матем. сб. 1953. Т. 33(3). С. 597−626.

33. Ландау Л. Д., Лифшиц И. М. Квантовая механика и нерялит, и-вистская теория, Том 3.// М.: Наука. 1989. 768 с.

34. Лидский В. Б. Несамосопряженные операторы, имеюи^ие след.// ДАН СССР. 1959. Т. 125. № 3. С 485−488.

35. Лидский В. Б., Садовничий В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функц. анализ и его приложения. 1967. 1. т. С.52−59.

36. Лидский В. Б., Садовничий В. А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций.// Матем. сб. 1968. Т. 75(117). Ш. С. 558−566.

37. Лифшиц И. М. Об одной задаче теории возмущений, связанной с квантовой статистикой.//УМН. 1952. Т.7. С.173−180.

38. Любишкин В. А. Вычисление регуляризова, иного следа оператора Штурма-Лиу вил ля в случае предельного круга, Вейля.// Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1981. Вып 6. С. 167−194.

39. Любишкин В. А. Регуляризованный след двумерного гармонического осциллятора.// Матем.заметки. 1993. Т.53. № 3. С.156−158.

40. Маслов В. П. Асимптотические методы и теория возмущений.//' М.: Наука. 1988. 310 с.

41. Муртазин Х. Х., Амангильдин Т. Г. Асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля. // Матем. сб. 1979. Т. 110. № 1. С. 135— 149.

42. Муртазин Х. Х., Садовничий В. А. Спектральный анализ многочастичного оператора Шредингера.// М.: изд-во МГУ. 1988.

43. Муртазин Х. Х., Фазуллин З. Ю. О формулах следов для неядерных возмущены!.// ДАН РАН. 1999. Т. 368. № 4. С. 442−444.

44. Муртазин Х. Х., Фазуллин З. Ю. Неядерные возмущения дискретных операторов и формулы следов.// Матем. сб. 2005. Т. 196. № 12. С. 123−156.

45. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики.// М.: Наука. 1984.

46. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции.// М.: Наука. 1990.

47. Подольский В. Е. Формула регуляризованного следа оператора Лапласа-Белътрами с нечетным потенциалом на сфере S2.// Матем. заметки. 1994. Т. 56. Вып. 1. С. 71−77.

48. Подольский В. Е. Регул, я риз о ванные следы матричных ПДО на окружности.!/ М.: Изд-во Московского ун-та. 1988. С. 91−92.

49. Подольский В. Е. Регуляризованиые следы некоторгах дифференциальных операторов на окружности.// Вестник МГУ, серия матем., мех. 1988. № 6. С. 11−13.

50. Подольский В. Е. Регуляризованные. следы дискрет, пых операторов./ / Дисс. на соискание. доктора физико-матем. наук. 2003.

51. М. Рид,. Б. Саймой. Методы современной математической физики. Часть 4.// М.: Мир. 1982. 452 с.

52. Савчук A.M., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами.// Матем. заметки. 1999. Т. 66. Вып. 6. С. 897−912.

53. Савчук A.M., Шкаликов А. А. Формула следа для операторов Штурма-Лиувилля с сгтгулярными потенциалами.// Матем. заметки. 2001. Т. 69. Вып. 3. С. 427−442.

54. Садовничий В. А. О следе разности двух обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков.// Дифф. уравнения. 1966. Т.2. № 12. С. 1611−1624.

55. Садовничий В.А.О следах дифференциальных операторов высших порядков.// Матем. сб. 1967. Т.72. № 2. С.293−317.

56. Садовничий В.А.Формуло1 следов для, обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков.// Матем. заметки. 1967. Т. 1. № 2. С. 179−188.

57. Садовничий В. А. О тождествах для собственных значений системы Дирака и неоторых других систем высшего порядка.// Вестник МГУ, серия 1, Математика и механика. 1967. № 3. С. 3747.

58. Садовничий В. А. О некоторых тождествах для собственных чисел, сингулярных дифференциальных операторов. Соотношения для, нулей функции Бесселя.// Вестник МГУ, серия 1, Математика и механика. 1971. № 3. С. 77−86.

59. Садовничий В. А. Дзета-функция, а собственные числа дифференциальных операторов.// Дифф. уравнения. 1974. Т. 10. № 7. С. 1276−1285.

60. Садовничий В. А. О следах с весом, и об асимптотике спектральной функции.// Дифф. .уравнения. 1974. Т. 10. № 10 С. 1808−1818.

61. Садовничий В. А., Дубровский В. В. Об одной абстрактной теореме теории, возмущений, о формулах регуляризованных следов и о дзета-функции операторов.// Дифф. уравнения. 1977. Т. 13. т. С. 1264 1271.

62. Садовничий В. А., Дубровский В. В. О некоторых соотношениях для собственных чисел дифференциальных операторов. Формулы следов для дифференцнальных операторов в частных производных.// Дифф. уравнение 1977. Т. 13. № 11. С. 2033;2042.

63. Садовничий В. А., Дубровский В. В. Классическая формула регу-ляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере § 2// ДАН СССР. 1991. Т. 319. КП. С. 61−62.

64. Садовничий В. А., Дубровский В. В. О классической формуле первого регуляризовапноро следа опера тора Лапласа с нечетным потенциалом на сфереч f Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1996. Т. 19. С. 37−42.

65. Садовничий В. А. Дубровский В.В. Порецков О. А. Формула первого регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с негладким потенциалом на двумерной сфере.// ДАН РАН. 2002. Т.382. № 1. С.11−14.

66. Садовничий В. А., Любишкин В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа.// ДАН СССР. 1981. Т. 256. № 4. С. 794−798.

67. Садовничий В. А., Любишкин В. А. Регуляризованные следы дискретных операторов.// ДАН СССР. 1981. Т. 261. № 2. С. 290−293.

68. Садовничий В. А., Любишкин В. А. О некоторых вопросах теории возмущений линейных операторов// Дифф. уравнения. 1981. Т. 17. № 10. С. 1911;1914.

69. Садовничий В. А., Любишкин В. А. О некоторых новых результатах теории ре гуляризованных следов дифференциальных операторов// Дифф. уравнения. 1982. Т. 18. № 1. С. 109−116.

70. Садовничий В. А., Любишкин В. А. Конечномерные возмупоения дискретных операторов и фюрмула следов.// Функ. анализ и его прилож. 1986. Т. 20. № 3. С. 55−65.

71. Садовничий В. А. Любишкин В.А., Белаббаси Ю. О нулях целых функций одного класса./, Труды семинара им. И. Г. Пе фовского. 1982. Вып. 8. С. 211.

72. Садовничий В. А., Любишкин В. А. Дубровский В. В. Следы, дискретных операторов./ ' ДАН СССР. 1982. Т. 264. № 4. С. 830−832.

73. Садовничий В. А., Подольский В. Е. Следы операторов с от, по-сительно компактмым возмущением.// Матем. сб. 2002. Т. 193. № 2. С. 129−152.

74. Садовничий В. А., Подольский В. Е. Регуляризованный след ограниченного возмущения оператора с ядерного резольвентой./! Дифф. уравнения. 1999. Т. 34. № 4. С. 556−564.

75. Садовничий В. А. Конягин С.В., Подольский В. Е. Регуляризован-ный след оператора с яО^рнои резольвентой, возмуи^енного ограниченным.// Доклады РАН. 2000. Т. 373. № 1. С. 26−28.

76. Садовничий В. А., Фазуллин З. Ю. Формула первого регуляризо-ванного следа для оператора Лапласа-Бельтрами.// Дифф. уравнения. 2001. Т. 37. .№ 3. С. 402−409.

77. Садовничий В. А., Фазу/глин З. Ю. Кластерная асимптотика собственных чисел возмущения оператора Лапласа на сфере § 2. // ДАН РАН. 2003. Т.391. № 4. С.456−459.

78. Садовничий В. А., Фазуллин З. Ю. Асимптотика собственных чисел и формула следа возмущения оператора Лапласа на сфере S2.// Матем. заметки. 2005. Т. 77. Вып. 3. С. 434−448.

79. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Дробные интегралы и производные и некоторые приложения.//' Минск. 1987.

80. Сахнович Л. А. О спектре ангармонического осциллятора,.// Изв. АН СССР. сер. матем. 1964. Т. 28. С. 1345−1362.

81. Сеге Г. Ортогональные многочлены./ / М.: ГИФМЛ. 1962.

82. Фазуллин З. Ю. Формула регуляризованного следа для возмущения оператора Лапласа-Бельтрами./, Междупар. конф. по компл. анализу и смежным вопросам. Тезисы докладов. Нижний Новгород. 1997. С. 80−81.

83. Фазуллин З. Ю., Муртазин Х. Х. Регуляризоваиный след двумерного гармонического осциллятора.// Матем. сборник. 2001. Т. 192. № 2. С. 109−138.

84. Фазуллин З. Ю. Муртазин Х.Х. Классическая формула регуля-ризованного следа многомерного гармонического осциллятора.// Труды семинара им. И. Г. Петровского. 2001. Вып. 21. С. 298−339.

85. Фазуллин З. Ю. Кластерная асимптотика собственных чисел возмущения оператора Лапласа-Бельтрами. на сфере S2.// Труды математического центра им. H.II. Лобачевского. Казань. 2002. Т. 14. С. 260−274.

86. Фазуллин З. Ю. Фор, мула следов для компактных возмущений дискретных операторов. >/ Тезисы докл. Междунар. конф. &bdquo-Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", гюсв. 103-летию со дня рождения И. Г. Петровского. Москва. 2004. С. 63.

87. Фазуллин З. Ю. Относительно компактные возмущения дискретных операторов.// Тезисы докл. Междунар. конф. «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», поев. 100-летию ак. С. М. Никольского. Москва. 2005. С. 231.

88. Шубин М. А. ПсевдодифгЬеренциалъные операторы и спектральная теория.// М.: Наука. 1978. 279 с.

89. Chazarain J. Formules de Poisson pour les varieties riemanniennes.// Invent Math. 1974. V. 24. P. 65−82.

90. M. Dostanic. Trace formula for nonnuclear perturbations of self adjoint operators.// Publ. de l’lnstitut Mathematique, Nouvelle series. 1993. T. 54(68). P. 71−79.

91. M. Dostanic. Trace formulas of Gelfand-Levitan type./j Publ. de l’lnstitut Mathematique, Nouvelle series. 1994. T. 55(69). P. 51−63.

92. M. Dostanic. Spectral properties of the operator of Riesz potential type.// Proc. of the Amer. Math. Soc. 1998. V. 126. № 8. P. 22 912 297.

93. Duistermaat J.J., Guillemin V. The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacteristics.// Invent. Math. 1975. V. 29. P. 39−79.

94. Gilbert R.C., Kramer V.A. Trace formulas for a perturbed operator.// Duke Math. J. 1963. V. 30. №. P. 275−286.

95. Gilbert R.C., Kramer V.A. Trace formulas for powers of Sturm-Liuouille operator.// Canad. J. Math. 1964. V. 16. № 4. P. 412−422.

96. Guillemin. V. Som. e spectral results for the Laplace operator with potential on the n-sphere.// Adv. in Math. 1978. Vol 27. P. 273−286.

97. Guillemin. V. Band asymptotics in two dimensions.// Adv. in Math. 1981. V. 42. P. 248−282.

98. Guillemin. V., Uribo A. Spectral properties of a certain class of complex potentials.// Trans. Of Amor. Math. Soc. 1983. V. 279. № 2. P. 759−771.

99. Halberg C.J.A., Kramer V.A. A generalization of the trace concept./j Duke Math. J. 1960. V. 27. № 4. P. 607−628.

100. Kac. M. Distribution of eigenvalues of certain integral operators.// Michigan Math. J. 1955;56. P. 141−148.

101. Podolskii V.E. On summability of regularized sums of eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator with potential on symmetric spaces of rank one. // Rus. J. of Math. Phys. 1996. V.3. № 4. P. l-8.

102. Rid J.B. Asymptotic behaviour of eigenvalues of certain integral equations.// Proc. of Edinburgh Math. Soc. 1979. V. 22. P. 137−144.

103. Rosenblatt M. Some results on the asymptotic behaviour of eigenvalues for a class of integral equations with translation kernels.// J. Math. Mech. 1963. №-12. P. 619−628.

104. Weinstein A. Asymptoticз of eigenvalue clusters for the laplasian plus a potential.// Duke Math. J. 1977. V. 44. № 4. P. 883−892.

105. Widom. H. The Laplace operator with potential on the 2-sphere.// Adv. in Math. 1979. Vol. 31. P. 63−66.