Определяющие функционалы задачи микроволнового нагрева в одномерном случае

Работа посвящена изучению определяющих функционалов для задачи микроволнового нагрева. Задача микроволнового нагрева представляет собой начально-краевую задачу для системы дифференциальных уравнений в частных производных. Она состоит из уравнений Максвелла и уравнения теплопроводности. В работе рассматривается эта задача в случае одной пространственной переменной. Это парная система, состоящая из нелинейных уравнений гиперболического и параболического типов. Исследование ведется в предположении присутствия неавтономного воздействия, которое в системе присутствует в граничных условиях уравнений Максвелла.

Микроволновый нагрев имеет большое значение для практики. Области его применения разнообразны — приготовление еды, промышленная обработка материалов, медицина (лечение опухолей). В качестве конкретного примера нами выбран нагрев керамики.

Пусть имеется эволюционное уравнение в некотором функциональном пространстве, имеющее решение. Определяющими функционалами этого уравнения называются линейные функционалы на пространстве решений, однозначно определяющие асимптотику решений уравнения. Это означает, что для любых двух решений уравнения из стремления к нулю разности функционалов от этих решений следует стремление к нулю разности этих решений. Вопрос существования определяющих функционалов для разных уравнений изучался во многих работах. Так, широко известны результаты о существовании конечного числа мод для системы Навье-Стокса ([4], [25]). В [15] строится общая теория определяющих функционалов для эволюционных уравнений гиперболического и параболического типов.

Для изучения свойств автономных уравнений широко используется понятие динамической системы. Теория определяющих функционалов для уравнений тривиально переносится на язык динамических систем. Для неавтономных уравнений вводится обобщение понятия динамической системы — понятие коцикла. Возникает необходимость ввести теорию определяющих функционалов для коциклов, учитывая два возможных вида асимптотики коциклов — вытягивание вперед и назад. Определяющие функционалы изучались и для неавтономных уравнений, но рассматривалось понятие определяющих функционалов при вытягивании вперед. Известна лишь одна работа ([36]), где рассматриваются определяющие функционалы при вытягивании назад. В указанной работе рассматриваются процессы — частный случай коциклов. Стояла задача обобщить эту теорию на коциклы общего вида.

Вопрос существования определяющих функционалов для задачи микроволнового нагрева ранее не изучался даже в автономном случае. Также не изучалось ранее для этой задачи существование аттрактора какого-либо вида, которое требуется для получения свойств определяющих функционалов.

Тем не менее, имеется обширная литература, где изучаются другие математические свойства задачи микроволнового нагрева при разных постановках задачи. Данная задача в постановке, наиболее похожей на нашу, изучались в работах Н.-М. Yin ([48], [41] и др.) В этих работах были получены результаты о существовании слабого решения, сходимости к нулю решения автономной задачи. Мы опираемся на некоторые из данных результатов.

Переходим к краткому изложению содержания работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

В первой главе описан физический механизм микроволнового нагрева произвольного материала. Выводится начально-краевая задача микроволнового нагрева для трехмерного случая. Рассматривается частный случай одной пространственной переменной. Показано, как преобразуется начально-краевая задача в этом случае.

Даются сведения по нагреву керамики. Особенностями микроволнового нагрева керамики являются высокая температура нагрева, однородность материала, возможность перегрева при некоторых условиях (в нашей работе не встречающихся). Приводятся устройства микроволнового нагрева керамики. Показана ситуация при нагреве керамики, для которой хорошо применима одномерная модель — нагрев керамических стержней в камере.

Во второй главе содержатся основные результаты работы. Строится коцикл, соответствующий задаче микроволнового нагрева. Доказывается существование глобального В-аттрактора этого коцикла при вытягивании назад и вперед. Существовование аттрактора какого-либо вида само по себе являтся важным свойством для коциклов, и оно также требуется для существования определяющих функционалов. Строится теория определяющих функционалов для коциклов в общих гильбертовых пространствах. Развивается специальный случай этой теории для коцикла парной структуры на произведении гильбертова и метрического пространств, когда одна часть коцикла устойчива. Используя упомянутые результаты, доказывется существование определяющих функционалов для задачи микроволнового нагрева при вытягивании назад и вперед.

Результаты из теории определяющих функционалов для коциклов и о существовании глобального B-аттрактора для коцикла, порожденного задачей микроволнового нагрева, при вытягивании назад изложены в работах I.V. Ermakov, Yu.N. Kalinin, V. Reitmann [23], I.V. Ermakov, V. Reitmann [22]. Результаты о существовании определяющих функционалов для этого коцикла приведены в работе И. В. Ермакова, Ф. Райтманна [2].

Третья глава посвящена применению частотного метода к доказательству существования определяющих функционалов при вытягивании вперед для эволюционных систем в гильбертовом пространстве. Используется бесконечномерный вариант частотной теоремы, полученный в работах А. Л. Лихтарникова и В. А. Якубовича ([9], [10]). Получены частотные условия существования определяющих функционалов при вытягивании вперед для бесконечномерных эволюционных систем в гильбертовом пространстве. Далее эти общие теоретические результаты применяются к задаче микроволнового нагрева. Получены с помощью частотного метода существование глобального B-аттрактора коцикла данной задачи при вытягивании назад и существование определяющих функционалов при вытягивании вперед. Эти результаты получены при несколько иных предположениях о параметрах задачи, чем во второй главе, и частично включают в себя аналогичные результаты второй главы.

Четвертая глава содержит результаты численных экспериментов с системой микроволнового нагрева, иллюстрирующие теоретические выводы второй и третьей глав. Результаты экспериментов показывают разнообразие видов решения в зависимости от граничных условий и свойства определяющих функционалов при вытягивании вперед.

Заключение

.

В работе изучаются свойства определяющих функционалов для коцикла, порожденного задачей микроволнового нагрева.

Задача микроволнового нагрева представляет собой начально-краевую задачу для системы уравнений в частных производных. Исследование ведется для случая одной пространственной переменной, тогда система состоит из уравнений гиперболического и параболического типов. Учитывается наличие неавтономного воздействия.

Микроволновый нагрев широко применяется в промышлености, быту, медицине.

В работе строится теория определяющих функционалов для коциклов. Доказывается существование определяющих функционалов для коцикла, порожденного задачей микроволнового нагрева. Как промежуточный шаг получено существование глобального В-аттрактора этого коцикла.

Изучены частотные условия существования определяющих функционалов для класса коциклов, порожденных эволюционным уравнениями. Получены условия существования определяющих функционалов для задачи микроволнового нагрева с помощью частотного метода. Частотный метод, однако, имеет серьезные ограничения, требующие дополнительных предположений.

Полученные результаты для задачи микроволнового нагрева могут представлять практическую ценность для изучения свойств процесса микроволнового нагрева, управления этим процессом.

Для дальнейшего исследования представляет интерес изучение задачи при более общих предположениях. Во-первых, сюда относится задача в трехмерном виде. Во-вторых, заслуживает внимания задача с двухфа-зовостью (присутствие в материале жидкой и твердой фазы), для этого случая неизвестен результат о единственности решения. В-третьих, можно предполагать граничные условия другого вида, в частности, условия Стефана-Больцмана для уравнения теплопроводности.