Структуры и статистические особенности калибровочного поля в низкоразмерных системах

Проблемы теории калибровочного поля занимали одно из центральных мест в исследованиях в области теории поля, проведенных в течении последних тридцати лет. Каждое существенное продвижение в понимании динамики калибровочного поля — перенормируемость, асимптотическая свобода, приводило к новому всплеску интереса и стимулировало появление нового потока работ. Наиболее яркий пример этого явления связан с открытием инстантона, которое инициировало обширные исследования классических конфигураций калибровочного поля, продолжающиеся до настоящего времени. Предметом тщательного изучения были, в частности, статические конфигурации поля в различной геометрии и для различных групп внутренней симметрии. При этом основное внимание было обращено на изучение калибровочных полей в пространственно трёхмерном случае.

В последние годы центр тяжести исследований сместился в область изучения явлений, протекающих в системах с пониженной пространственной размерностью. Во многом это было обусловлено открытием высокотемпературной сверхпроводимости. В результате детальных экспериментальных и теоретических исследований высокотемпературных сверхпроводников возникло убеждение, что сверхпроводящее состояние и многие необычные эффекты в так называемом нормальном состоянии — это существенно пространственно двумерные явления. Существование антиферромагнитного диэлектрического состояния в родительских соединениях и его разрушение из-за допинга послужило основанием для использования модели Хаббарда. Ограничение проблемы изучением основного состояния и структуры низкоэнергетических возбуждений привело при теоретическом анализе к? — 3 модели. Формально? — 3 модель может быть получена из модели Хаббарда, как её низкоэнергетический предел, за счёт исключения из пространства состояний дважды оккупированных на узле решётки состояний с различной ориентацией спина.

Наличие связей, исключающих из гильбертова пространства такие состояния, обуславливает, как обычно, существование калибровочного поля. Особенность калибровочных корреляций в пространственно-двумерной системе состоит в разделении спиновых и зарядовых степеней свободы электрона и распределении их между различными возбуждениями, а также оказывается тесно связанной с характерной для этой пространственной размерности промежуточной или дробной статистикой возбуждений.

При развитии калибровочной теории сильных электронных корреляций в пространственно двумерных системах в последнее время использовался опыт, полученный при изучении другого планарно-го явления — квантового эффекта Холла. Учёт в лагранжиане члена Черна-Саймонса в длинноволновом приближении, использование средств, применяемых в точно решаемых решёточных моделях, употребление широкого спектра преобразований симметрии состовляет содержание подходов, использованных при изучении калибровочных корреляций в пространственно двумерных системах. Разработка таких подходов, изложенных в диссертации, представляет собой актуальную задачу как для теоретической физики в целом, так и с точки зрения приложений. Актуальность изучения особенностей калибровочного поля в системах с редуцированной размерностью обусловлена как обнаружением новых фазовых состояний в этих системах, так и общей тенденцией изучать явления в наномасштабной области. В связи с обнаружением квантовой группы в черн-саймоновских системах изучение их представляет собой также актуальную общефизическую задачу. Изложению теоретических результатов, полученных автором в рамках указанной проблематики в течение двадцати пет, посвящена диссертационная работа.

Цепью работы было:

— разработка модели, описывающей сильные спиновые корреляции в двумерных системах с нарушенным антиферромагнитным порядкомисследование микроскопических причин, обеспечивающих справедливость гипотезы о маргинальном поведении электронной жидкости в пространственно-двумерной системе;

— описание иерархии фазовых переходов в решеточной Д/у-модели, учитывающей топологические ограниченияисследование влияния топологических слагаемых в действии на критические показатели корреляционных функций;

— построение точных решений уравнений само дуальности в статическом случае для различных групп внутренней симметрииизучение связи таких решений с конфигурациями калибровочного поля, имеющими полуцелый топологический заряд;

— анализ влияния решений с особенностями калибровочного поля на структуру источников поля и движение фермионов, а также изучение синглетных по цвету дальнодействующих потенциалов;

— изучение функции распределения возбуждений в сильно коррелированных (2 + системахпостановка и точное решение задачи о квантово-групповой диффузии в случае параметра деформации, являющемся корнем из единицы;

— рассмотрение динамики калибровочного поля в модели (2 + 1)1) нелинейного уравнения Шрёдингера и свойств коллапсирующих распределений на пространственно-временной решётке при учёте калибровочных полей Черна-Саймонса.

Опишем распределение по главам диссертации задач и их решений, реализующих указанные цели. В работах, посвящённых изучению калибровочного взаимодействия в пространственно двумерных системах, использовались различные подходы. На первом этапе основное внимание было сосредоточено на способах формулировки проблемы в терминах калибровочно-инвариантных средних величин и на введении в теорию топологических характеристик. Основная трудность большинства задач теории сильных калибровочных корреляций состоит в том, что в них отсутствует малый параметр. Поэтому любое обсуждение носит вынужденно качественный характер. Выйти за эти пределы можно лишь с помощью численного эксперимента или точного решения. В таких условиях большое значение приобретают различные качественные методы, позволяющие получить некоторые результаты, не прибегая к детальному решению задачи, а пользуясь знанием средних характеристик. Изложение такого подхода, составляющего содержание первого раздела первой главы диссертации, представляет собой шаг, необходимый для перехода к более полному описанию. Характерной особенностью пространственно двумерных систем является существование сильных длинноволновых корреляций. Они рассматриваются во втором разделе. Формулировка черн-саймоновского калибровочного механизма, обеспечивающего реализацию промежуточной статистики, приводится в третьем разделе. Здесь же приведено решение задачи о квазиклассических конфигурациях полей, которые описывают распределение спиновых степеней свободы.

Фазовое состояние с развитыми движениями калибровочного поля, которые описывают конфигурации с различной раз ориентацией спина как внутри ячейки, так и на больших расстояниях, называют квантовой спиновой жидкостью. При этом имеют в виду, кроме отсутствия малого параметра, ещё одно обстоятельство. Характерный размер области с нарушенным антиферромагнитным расположением спина порядка расстояния между такими областями. Он определяется концентрацией созданных, благодаря допингу, дефектов спиновой текстуры и составляет величину порядка 10~7 см. Это всего лишь в несколько раз превышает постоянную решётки.

При переходе к длинноволновому описанию при помощи сглаженных на масштабе решётки полей существенно сохранить основную информацию от динамики на малых расстояниях. Такое наследие от малых расстояний в условиях сильного взаимодействия содержит, в частности, информацию топологического характера, что обсуждается в первом разделе второй главы. Она отражается, прежде всего, в значениях критических показателей корреляционных функций. Анализ этой зависимости содержится во втором разделе второй главы. Топологические особенности проявляются также на виде спектра квазичастиц и в поведении функции Грина. В третьем разделе второй главы приводятся аргументы в пользу справедливости гипотезы о маргинальном поведении спиновой жидкости в пространственно двумерных системах. Термин «маргинальная Ферми-жидкость» означает, что одночастичная функция Грина имеет спектральный вес, который как функция энергии обращается в ноль на поверхности Ферми. Необходимые для такого поведения функции Грина зависимости мнимой части зарядовой и спиновой восприимчивости от частоты можно получить, как показано в третьем разделе, если учесть особенности спектра квазичастиц в фазовых состояниях с потоком калибровочного поля.

В проблемах сильных калибровочных корреляций в пространственно двумерных спиновых системах часто используют подходы, разработанные при изучении классических конфигураций калибровочного поля. После открытия инстантона основные усилия в этой области были направлены на детальное исследование (и применение) решений уравнений дуальности. В первом разделе третьей главы приводится пример точного решения уравнений дуальности в статическом случае. Они описывают распределения калибровочного поля с ненулевым значением магнитного и электрического зарядов. Такие конфигурации получили название дионов. Знание особенностей поведения дионных конфигураций оказалось очень полезным для анализа решений уравнений движения калибровочных полей с полуцелым значением топологического заряда, так называемых меронов. Особенности меронных распределений обсуждаются во втором разделе третьей главы. Характерные свойства конфигураций калибровочного поля используются для изучения структуры источников поля и движения фермионов в этих полях, а также для исследования дальнодействую-щих сил между синглетными по цвету зарядами. Изложению этих вопросов посвящен третий и четвёртый раздел третьей главы. Отметим здесь же, что несмотря на то, что большинство подходов и результатов калибровочной теории поля нашло применение в теории сильных спиновых корреляций в двумерных системах, использование некоторых из них, например аналога меронных распределений, только начинается.

Калибровочное взаимодействие в планарных системах наряду с Бом-Аароновской спецификой имеет много общего с взаимодействием в пространственно трёхмерных системах. В частности, в том и в другом случаях оно обеспечивает конфайнмент квантовых чисел, о б су ж давшийся во втором разделе второй главы. С точки зрения других возможных фазовых состояний, особая роль пространственно двумерных систем проявляется в том, что в них реализуется высокотемпературная сверхпроводимость. Помещая изучаемую систему во внешнее попе, мы получаем информацию о свойствах состояний. Различные фазовые состояния проявляют себя различным образом по отношению к внешнему воздействию. Реакция сверхпроводящего состояния например, благодаря жёсткости, весьма специфична в этом отношении. В частности, из-за изменения функции распределения квазичастиц в связи со сдвижкой химпотенциала изменяется и отклик на внешнее поле.

Дальнодействующее калибровочное взаимодействие может быть устранено из гамильтониана с помощью калибровочного преобразования. В результате изменяются трансформационные свойства волновой функции системы частиц отностительно их перестановки. Волновая функция приобретает фазовый множитель, вообще говоря, отличающийся от множителя в Ферми и Бозе случаях. Причина состоит в том, что в пространственно двумерных системах состояния классифицируются в соответствии с неприводимыми представлениями группы кос, а не группы перестановок. Эта альтернатива — взаимодействующие с помощью Бом-Аароновских потенциалов частицы со стандартной статистикой или свободные частицы с промежуточной статистикой, хорошо известна в низкоразмерной теории поля. Однако проблема изучения равновесной статистической функции распределения возбуждений в пространственно-двумерных системах по-прежнему является актуальной задачей. В первом разделе четвёртой главы приводится её решение. Показано, что полученная с использованием виттеновского результата усреднения петлевого оператора Вилсона функция распределения допускает интерпретацию в терминах сдвижки значения химического потенциала. Его значение содержит вклад, происходящий от квантово-групповой деформации статистического веса и, соответственно, энтропии. Появление эффекта деформации размерности неприводимого представления является универсальным свойством низкоразмерных систем с внутренними степенями свободы. Во втором разделе четвёртой главы показано, что такая квантово-групповая структура возникает в результате точного решения уравнений для функции распределения в системах с обобщённым принципом исключения состояний, совпадающих в высокотемпературном пределе с уравнениями термодинамического Бете-анзатца.

В последние годы проблемы теории и приложений квантовых групп привлекают большое внимание. Среди областей, где используется аппарат квантовых групп, укажем точно решаемые модели с учётом граничных эффектов, а также важную задачу о движении частицы на двумерной решётке во внешнем магнитном поле. В третьем разделе четвёртой главы рассматривается постановка проблемы о случайном блуждании по узлам, которые распределены как корни из единицы. Она сводится к построению д-деформированного аналога уравнения диффузии для параметра деформации д, являющимся корнем из единицы. В этом разделе приводятся общее решение задачи, которое содержит, в частности, обобщение гауссова распределения вероятностей для рассматриваемой дискретной модели.

Пятая заключительная глава посвящена рассмотрению структуры калибровочного поля в модели (2+1)Б нелинейного уравнения Шрёдингера и его влиянию на формирование особенностей коллапси-рующих распределений в непрерывном пределе и на пространственно-временной решётке. В первом параграфе поясняется причина включения в рассмотрение Черн-Саймоновских калибровочных полей в «классической» модели (2+1)В нелинейного уравнения Шрёдингера, а также ставится задача о величине топологических эффектов в этой системе. Второй раздел содержит анализ уравнений движения в непрерывном случае и результатов, следующих из его численного интегрирования. В третьем параграфе сформулированы уравнения движения в дискретной (2+1)Б модели. Здесь приведены результаты численного решения проблемы.

Приоритет изложенных в диссертации исследований закреплен ссылками на работы автора в статьях, вышедших в нашей стране и за рубежом. Научные результаты, полученные в работах автора, вошли в ряд обзоров. В диссертации развиты новые направления современной калибровочной теории поля в системах с редуцированной размерностью. Одно из них связано с использованием метода статистического калибровочного взаимодействия Черна-Саймонса. Другое берёт своё происхождение из задачи о квантово-групповом случайном блуждании по корням из единицы. В диссертации найдено её точное решение. Другими двумя примерами являются точные решения для статических уравнений дуальности, а также вид равновесной функции распределения возбуждений в изучаемых системах.

Результаты, представленные в диссертации, а также развитые в ней методы и подходы к решению задач способствовают формированию представлений о характере особенностей калибровочного поля в низкоразмерных системах и являются основой для проведения дальнейших теоретических работ в близких областях. Они находят применение в теории сильных спиновых корреляций для анализа и оценки основных характеристик равновесных состояний.

Перечислим основные положения, выносимые на защиту:

— найдены квазиклассические спиновые конфигурации, отвечающие нейтральным возбуждениям, которые являются анионами. Предложен энионный механизм сильных корреляций как возможная причина перехода в высокотемпературное сверхпроводящее состояние;

— предложена размерная редукция, позволяющая связать топологические слагаемые в действии 3 + 1-размерных систем с действием.

Черна-Саймонса и последнее — с гауссовой теорией в 1+1-размерности Этот механизм молено рассматривать как способ погружения низкоразмерных систем в объемлющее физическое пространство;

— в представлении кулоновского газа электрических и магнитных зарядов? удг-модели, описывающей когерентный круговой обмен с учётом источников топологических возбуждений, в канале с изменением электрического заряда обнаружена зависимость критических показателей корреляционных функций от топологического -^-параметра;

— дано обоснование гипотезы о маргинальном поведении одноча-стичной функции Грина в нормальном состоянии планарных сильно коррелированных систем. Для доказательства предложенной для этих систем зависимости диссипативных частей спиновой и зарядовой восприимчивостей от частоты использованы особенности спектра квазичастиц в фазах с потоком калибровочного поля;

— найдены точные статические решения уравнений дуальности для ви (2)~ и 3) групп внутренней симметрии. Показано, что для полученных конфигураций калибровочного поля электрический и магнитный заряды отличны от нуля;

— исследованы особенности конфигураций калибровочного поля и отвечающие им источники. Изучен спектр фермионов в этих полях в нерелятивистском и релятивистском случаях, а так же найден вид дальнодействующих сил между зарядами в синглетном по цвету состоянии;

— обнаружено, что эффект смещения химического потенциала на величину, зависящую от д-деформированной размерности неприводимого представления квантовой группы с параметром деформации, являющимся корнем из единицы, определяет вид функции распределения возбуждений в системах с дробной статистикой;

— в высокотемпературном приближении найдены точные решения уравнений для статистических весов в системах с халдейновским обобщённым принципом исключения состоянийполученный ответ определяется д-деформированной размерностью неприводимого представления квантовой группы, обеспечивая тем самым универсальное поведение термодинамических функций в высокотемпературном пределе;

— предложена дискретная модель для описания случайного блуждания по состояниям на геометрической решётке, определяемой значениями потоков калибровочного поля. Для параметра деформации д, являющимся корнем из единицы, найдены точные решения д-деформированного уравнения диффузии;

— проведено численное исследование структуры калибровочного поля в модели (2+1)0 нелинейного уравнения Шрёдингера и особенностей переходного режима в явлении самофокусировки в непрерывном пределе и в случае определения полей Черна-Саймонса на (2 + 1)2) решётке. Показано, что компактификация калибровочных полей Черна-Саймонса приводит к устранению трудностей непрерывной модели и предказанию существования переходной области, характеризующейся иерархической последовательностью коллапсов, которые нумеруются коэффициентом Черна-Саймонса. С использованием найденных нулевых мод вычислена зависимость критической мощности N от коэффициента Черна-Саймонса.

Данная диссертация выполнена в Институте прикладной физики РАН. Ее результаты опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21] и докладывались на следующих конференциях, симпозиумах и семинарах: на I, II и III Всесоюзных совещаниях по высокотемпературной сверхпроводимости (Харьков, 1988; Киев, 1989; Харьков 1991), Международных симпозиумах по высокотемпературной сверхпроводимости (Дубна, 1988 и 1990), Международной рабочей группе по теории высокотемпературной сверхпроводимости (Лейпциг, 1989), Рабочем совещании — семинаре «Проблемы высокотемпературной сверхпроводимости» (Киев, 1989), Всесоюзном совещании «Магнитные свойства и радиоспектроскопия ВТСП материалов» (Казань, 1989), Всесоюзном семинаре «Оптическая спектроскопия высокотемпературных сверхпроводников» (Черноголовка, 1989), Международном симпозиуме «Двумерные электронные системы» (Звенигород, 1989), XXVI Всесоюзном совещании по физике низких температур (Донецк, 1990), Международной конференции «Высокотемпературная сверхпроводимость и лока-лизационные явления» (Москва, 1991), III Международной конференции «Материалы и механизмы высокотемпературной сверхпроводимости» (Каназава, 1991), 37-й Международной конференции «Магнетизм и магнитные материалы» (Хьюстон, 1992), Международной рабочей группе «Низкоразмерные модели в статистической физике и двумерная квантовая теория поля» (Вена, 1993; Шладминг, 1995), Всесоюзных семинарах по калибровочной теории поля (Черноголовка, 1978 и 1979), Всесоюзных семинарах по теоретической физике (Одесса, 1976 и 1981), Научных сессиях по физике высоких энергий и элементарных частиц Отделения ядерной физики АН (Москва, 1981 и 1982), Всесоюзной школе-семинаре научного Совета АН по физике низких температур (Бакуриани, 1991; Севастополь, 1993), Школе «Кауровка — 24» «Сильно коррелированные двумерные спиновые системы» (Свердловск, 1992), Международных рабочих группах «Сильные корреляции и квантовые критические явления» (Триест, 1992 и 1994), Международной школе по нелинейным волнам (Нижний Новгород, 1995), Международной конференции ГЮКОГГА «Физика двумерного электронного газа» (Копенгаген, 1995), III конференции «Статистическая теория поля» (Триест, 1998), XI Международной конференции «Проблемы квантовой теории поля» (Дубна, 1998), а также на семинарах ИТФ им. Л. Д. Ландау, 1СТР, ЭК^А, ИФП РАН, ИФТТ РАН, ФТИ им. А. Ф. Иоффе, ЛИЯФ РАН, ФТИНТ, ИРЭ УАН, КазФТИ, ИПФ РАН, НИРФИ, МИФИ, ННГУ и НГТУ.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы, включая список работ автора, в которых изложены основные результаты. Результаты отдельных глав опубликованы в следующих работах: главы 1 — [1, 2, 3], главы 2 -[4, 5, 6, 7, 8], главы 3 — [9, 10, 11, 12, 13], главы 4 — [14, 15, 16, 17, 18], главы 5 — [19, 20, 21]. Содержание диссертации изложено на 200 страницах машинописного текста и дополнено 22 рисунками и 2 таблицами.

Список литературы

включает 275 наименований.

1. Протогенов А. П. Анионная сверхпроводимость в сильно коррелированных спиновых системах // УФН. 1992. Т. 162. No. 7. С. 1−80.

2. Protogenov А. P. Ground State Structure and Excitations in Strongly Correlated Fermi Systems // Physics Letters A. 1990. V. 144. No. 4,5. P. 269−272.

3. Protogenov A. P. Topological Excitations and Phase Transition Hierarchy in High Temperature Superconductors // Physics Letters A. 1989. V. 142. No. 4,5. P. 285−288.

4. Протогенов А. П. От (3+1)D топологической к (1+1)D конформной теории высокотемпературной сверхпроводимости // ФНТ. 1991. V. 17. No. 10. Р. 1249−1253.

5. Protogenov А. P. Anyon Superconductivity as Conformal Field Theory // Physica C. 1991. V. 185−189. P. 1731−1732.

6. Protogenov A. P., Verbus V. A. Dependence of Critical Exponents on Theta-parameter in Anyon Lattice Model // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. No. 24. P. 3776−3779.

7. Protogenov A. P., Ryndyk D. A. Marginal Fermi-liquid in Strongly Correlated Spin Systems // Mod. Phys. Lett. B. 1994. V. 8. No. 14,15. P. 859−869.

8. Protogenov A. P. Marginal Flux Fermi Liquid in High Temperature Superconductors // Physica C. 1994. V. 235. P. 2331−2332.

9. Protogenov A. P. Exact Classical Solutions of Yang-Mills Sourceless Equations // Physics Letters B. 1977. V. 67. No. 1. P. 62−64.

10. Протогенов А. П. Статические глюонные потенциалы в SU (3) калибровочной теории // ДАН. 1978. Т. 238. No. 1. С. 70−72.

11. Protogenov А. P. Bag and Multimeron Solution of the Classical Yang-Mills Equations // Physics Letters B. 1979. V. 87. No. 1,2. P. 80−82.

12. Протогенов А. П. Связанные состояния в поле Янга-Милса, // ЯФ. 1979. Т. 29. Т. 2. С. 534.

13. Protogenov А. P., Potyomin G. V. Yang-Mills Potentials and the Van der Waals Force between Hadrons // Physics Letters B. 1980. V. 90. No. 4. P. 424−426.

14. Protogenov A. P. Distribution Function in Systems with Braid Statistics // Physica B. 1994. V. 194. P. 1285−1286.

15. Protogenov A. P. Quantum Group Statistics of Excitations in High Temperature Superconductors // Physica C. 1994. V. 235. P. 22 812 282.

16. Protogenov A. P., Verbus V. A. Generalized Exclusion Statistics in the Kondo Problem // Mod. Phys. Lett. B. 1997. V. 11. No. 7. P. 283−292.

17. Protogenov A. P., Rostovtsev Yu.V., Verbus V. A. Quantum Group Diffusion in Planar Systems // Physica C. 1994. V. 235. P. 23 012 302- cond-mat/9 407 037.

18. Protogenov A. P. Random Walks over Wilson Loop Space // Lect. Not. Phys. 1996. V. 469. P. 309−314.

19. Abramyan L. A., Protogenov A. P. Dynamics of Fields in Model of Gauged Nonlinear (2+l)D Schrodinger Equation // Письма в ЖЭТФ. 1996. Т. 64. N. 11. С. 807−812.

20. Abramyan L. A., Berezhiani V. I., Protogenov A. P. Chern-Simons Contribution to the Structure of the Zero Mode of the Gauged Nonlinear (2+1)-dimensional Schrodinger Equation // Phys. Rev. E. 1997. V. 56. No. 5. P. 6026−6032- hep-th/9 608 069.

21. Абрамян JI. А., Вербус В. А., Протогенов А. П. Структура нулевых мод в модели дискретного (2+1)D нелинейного уравнения Шредингера // ЖЭТФ. 1998. Т. 114. N. 8. С. 747−762.

22. Hubbard J. // Proc. Roy. Soc. A. 1963. Y. 276. P. 238.

23. Anderson P. W. // Phys. Rev. 1959. V. 115. P. 2.

24. Kotliar G. // Phys. Rev. В. 1988. V. 37. P. 3664.

25. Kivelson S. A., Rokhar D. S., Sethna J. P. // Phys. Rev. В. 1987. V. 35. P. 8865.

26. Marston J. В. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 17. P. 1914.

27. Affleck I., Marston J. В., // Phys. Rev. B. 1988. Y. 37. P. 3774- 1989. V. 39. P. 11 538.

28. Anderson P. W. // Mat. Res. Bull. 1973. V. 8. P. 153- Science. 1987. V. 235. P. 153.

29. Anderson P. W. // Phys. Scripta. T. 1989. V. 27. P. 60.

30. Ebner С., Stroud D. // Phys. Rev. В. 1985. V. 31. P. 165.

31. Morgenstern I., Muller К. A., Bednorz J. G. // Physica В. 1988. V. 152. P. 85.

32. Khveshchenko D. V., Wiegmann P. B. // Mod. Phys. Lett. B. 1990. V. 4. P. 17.

33. Ioffe L. В., Larkin А. I. // Phys. Rev. В. 1989. V. 39. P. 8988.

34. Laidlaw M., De Witt С. // Phys. Rev. D. 1971. V. 3. P. 1375.

35. Leinaas J. M., Myrheim J. // Nuovo Cimento В. 1977. V. 37. P. 1.

36. Goldin G. A., Menikoff R., Sharp D. H. // J. Math. Phys. 1981. V. 22. P. 1664.

37. Wilczek F. // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 1144- V. 49. P. 957.

38. Wu Yong-Shi // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 2103- V. 53. P. 111.

39. Wen X. G., Zee A. // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. P. 461.

40. Laughlin R. B. // Science. 1988. V. 242. P. 525.

41. Kalmeyer V., Laughlin R. B. // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 2095.

42. Kalmeyer V., Laughlin R. B. // Phys. Rev. B. 1989. V. 39. P. 11 879.

43. Laughlin R. B. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 2677.

44. Протогенов А. П. Калибровочный механизм спаривания в высокотемпературных сверхпроводниках //Всесоюзное совещание по высокотемпературной сверхпроводимости. Тезисы доклада. Харьков. 1988. Т. 1. С. 16.

45. Ruckenstein А. Е., Hirschfeld Р. J., Appel J. А. // Phys. Rev. В. 1987. V. 36. P. 857.

46. Canright G. S., Girvin S. M. // Science. 1990. V. 247. P. 1197.

47. Wilczek F., Zee A. // Phys.Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 2111.

48. Deser S., Jackiw R., Templeton S. // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 975.

49. Deser S., Jackiw R., Templeton S. // Ann. Phys. N.Y. 1982. V. 140. P. 372- P. 420- 1988. V. 185. P. 406 (E).

50. Redlich A. N. // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 18- Phys. Rev. D. 1984. V. 29. P. 2366.

51. Белавин А. А., Поляков A. M., // Письма ЖЭТФ. 1975. Т. 22. С. 503 .

52. Khveshchenko D. V., Wiegmann P. B. // Phys. Lett. B. 1989. V. 225. P. 279.

53. Alvarez O. // Comnrnn. Math. Phys. 1985. V. 100. P. 279.

54. Henneaux M., Teitelboim C. // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. P. 689.

55. Pisarski R. D. // Phys. Rev. D. 1986. V. 34. P. 3851.

56. Hosotani Y. // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P. 2785.

57. Квантовый эффект Холла: Пер. с англ. / Под ред. Р. Пренджа, С. Гирвина. — М.: Мир, 1989.

58. Ioffe L. В., Wiegmann Р. В. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 653.

59. March-Russel J., Wilczek F. // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 61. P. 1066.

60. Wen X. G., Zee A. // Phys. Rev. B. 1990. V. 41. P. 240.

61. Wiegmann P. B. // Phys. Scripta T. 1989. V. 27. P. 160.

62. Baskaran G., Anderson P. W. // Phys. Rev. B. 1988. V. 37. P. 580.

63. Voruganti P., Doniach S. // Phys. Rev. B. 1990. V. 41. P. 9358.

64. Baskaran G., Shankar R. // Mod. Phys. Lett. B. 1988. V. 2. P. 1211.

65. Affleck I., Zou Z., Hsu Т., Anderson P. W. // Phys. Rev. B. 1988. V. 38. P. 745.

66. Dagotto E., Fradkin E., Moreo A. // Phys. Rev. B. 1988. V. 38. P. 2926.

67. Zou Z. // Phys. Lett. A. 1988. V. 131. P. 197.

68. Polychronakos A. P. // Phys. Lett. B. 1987. V. 192. P. 385- Nucl. Phys. B. 1987. V. 281. P. 241.

69. Elitzur S., Moore G., Schwimmer A., Seiberg N. //Nucl. Phys. 1989. V. 326. P. 108.

70. Nielsen H. В., Ninomiya L. // Nucl. Phys. B. 1981. V. 185. P. 20- V. 193. P. 173- Phys. Lett. B. 1981. V. 105. P. 219.

71. Дзялошинский И. E. // Письма ЖЭТФ. 1989. V. 50. P. 486.

72. Lauglin R. В., Zou Z. // Phys. Rev. B. 1989. V. 41. P. 664.

73. Libby S. В., Zou Z., Laughlin R. B. // Nucl. Phys. B. 1991. V. 348. P. 693.

74. Polychronakos A. P. // Ann. Phys. N.Y. 1990. V. 203. P. 231.

75. Березин Ф. A. // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1974. Т. 38. С. 1116- 1975. Т. 39. С. 363.

76. Witten Е. // Commun. Math. Phys. 1989. V. 121. P. 351.

77. Drinfeld V. G. // Proc. ICM. Berkeley. 1986. V. 1. P. 798.

78. Danielson U. // Phys. Lett. B. 1989. V. 220. P. 137.

79. Bos M., Nair V. P. // Phys. Lett. B. 1989. V. 223. P. 61- Int. J. Mod. Phys. A. 1990. V. 5. P. 959.

80. Labastida J. M. F., Ramallo A. V. // Phys. Lett. B. 1989. V. 227. P. 92- V. 228. P. 214.

81. Dijkgraaf R., Verlinde E., Verlinde H. // Commun. Math. Phys. 1988. V. 115. P. 649.

82. Alekseev A., Shatashvili S. // Commun. Math. Phys. 1990. V. 128. P. 197.

83. Polyakov A. M. // Mod. Phys. Lett. A. 1987. V. 2. P. 893.

84. Girvin S. M. // Prog. Theor. Phys. Suppl. 1992. V. 107. P. 121.

85. Fetter A. L., Hanna C. B., Laughlin R. B. // Phys. Rev. B. 1989. V. 39. P. 9679.

86. Chen Y.-H., Wilczek F., Witten E., Halperin B. I. // Int. J. Mod. Phys. B. 1989. V. 3. P. 1001.

87. Frolich J., Marchetti P. A. // Lett. Math. Phys. 1988. V. 16. P. 347- Commun. Math. Phys. 1989. V. 121. P. 177.

88. Muller V. F. // Z. Phys. C. 1990. V. 47. P. 301.

89. Lucher M. // Nncl. Phys. B. 1989. V. 326. P. 557.

90. Coste A., Lucher M. // Nucl. Phys. B. 1989. V. 323. P. 631 .

91. Fradkin E. // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. P. 322- Phys. Rev. B. 1990. V. 42 P. 570.

92. Nelson D. R., Seung S. // Phys. Rev. B. 1989. V. 39. P. 9153.

93. Obukhov S. P., Rubinstain M. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 1279.

94. Kivelson S., Kallin C., Arovas D. P., Schriffer J. R. // Phys. Rev. B. 1987. V. 36. P. 1620.

95. Wu Y.-S., Hatsugai Y., Kohmoto M. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 66. P. 659.122. 't Hooft G. // Nucl. Phys. B. 1978. V. 138. P. 1.123. 't Hooft G. // Nucl. Phys. B. 1979. V. 153. P. 141.

96. Cardy J., Rabinovici // Nucl. Phys. B. 1982. V. 205. P. 1.

97. Ruckenstein A. E., Varma C. M. // Physica C. 1991. V. 185. P. 134.

98. Azbel M. Ya. // >K9T3>. 1964. V. 64. P. 929.

99. Hoffstadter D. R. // Phys. Rev. B. 1976. V. 14. P. 2239.

100. Wannier G. H. // Int. J. Quantum Chem. 1979. V. 13. P. 413- Phys. St. Sol. B. 1978. V. 88. P. 757.

101. Wannier G. H., Obermaier G. M., Ray R. // Phys. St. Sol. B. 1979. V. 93. P. 337.

102. Kohmoto M. // Phys. Rev. B. 1989. V. 39. P. 11 943.

103. Hasegava Y., Lederer P., Rice T. M., Wiegmann P. B. // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. P. 1657.

104. Peter D., Cyrot M., Mayon D., Khanna S. N. // Phys. Rev. B. 1989. V. 40. P. 9382.

105. Hasegava Y., Hatsugai Y., Kohmoto M., Montambaux G. // Phys. Rev. B. 1990. V. 41. P. 9174.

106. Wen X. G., Zee A. // Nuci. Phys. B. 1989. V. 316. P. 641.

107. Girvin S. M., MacDonald A. H., Platzman P. M. // Phys. Rev. B. 1986. V. 33. P. 2481.

108. Karrai K., Ying X., Drew H. D., Santos M., Shayegan M., Yang S.-R., MacDonald A. H. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 3428.

109. Chien T. R., Wang Z. Z., Ong N. P. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 2088.153. t’Hooft G. // Nuci. Phys. B. 1974. V. 79. P. 276.

110. Поляков А. М. // Письма в ЖЭТФ. 1974. V. 20. Р. 430.

111. Dirac Р. А. // Proc. Roy. Soc. А. 1931. V. 133. Р. 60- Phys. Rev. 1948. V. 74. P. 817.

112. Julia В., Zee A. // Phys. Rev. D. 1975. V. 11. P. 2227.

113. Prasad M. K., Sommerfield С. M. // Phys. Rev. Lett. 1975. V. 35. P. 760.

114. Belavin A. A., Polyakov A. M., Schwartz A. S., Tyupkin Yu. S. // Phys. Lett. B. 1975. V. 59. P. 85.

115. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. Наука. М. 1973. С. 90.

116. Богомольный Е. // ЯФ. 1976. Т. 24. С. 861.

117. Hsu J. P. // Phys. Rev. Lett. 1976. V. 36. P. 646.

118. Wu Т. Т., Yang C. N. // Phys. Rev. D. 1975. V. 12. P. 3843.

119. Polyakov A. M. // Phys. Lett. B. 1975. V. 59. P. 82.164. t’Hooft G. // Phys. Rev. Lett. 1976. V. 37. P. 8.

120. Witten E. // Phys. Rev. Lett. 1977. V. 38. P. 121.

121. Chakrabarti A. // Ann. Inst. H. Poincare. A. 1975. V. 23. P. 235.

122. Marciano W. J., Pagels H. // Phys. Rev. D. 1975. V. 12. P. 1093.

123. Horvath Z., Palla L. // Phys. Rev. D. 1976. V. 14. P. 1711.

124. Corrigan E., Olive D. I. // Nucl. Phys. B. 1976. V. 106. P. 475.

125. Atiyah M. F., Hitchin N. J., Drinfeld V. G., Manin Yu. I. // Phys. Lett. A. 1978. V. 65. P. 185.

126. Glimm J., Jaffe A. // Phys. Lett. B. 1978. V. 73. P. 167.172. de Alfaro V., Fubini S., Furlan G. // Phys. Lett. В. 1976. V. 65. P. 163- 1977. V. 72. P. 203.

127. Jacobs L., Rebbi C. // Phys. Rev. D. 1978. V. 18. P. 1137.

128. Callan C., Dashen R., Gross D. // Phys. Lett. B. 1977. V. 66. P. 375.

129. Glimm J., Jaffe A. // Phys. Rev. Lett. 1978. V. 40. P. 277.

130. Witten E. Instantons, the quark model, and the 1/N expansion, preprint HUTP-78/A042.

131. Mecklenburg W., O’Brien D. P. // Phys. Rev. D. 1978. V. 18. P. 1327.

132. Wu Т. Т., Yang C. N. in: Properties of matter under unusual conditions. Eds. Mark H., Fernbach S. Interscience. New York. 1969. P. 349.

133. Филиппов А. Т. // ЭЧАЯ. 1980. V. 11. P. 735.

134. Rosen G. // J. Math. Phys. 1972. V. 13. P. 595.

135. Грибов В. И. Препринт ЛИЯФ. 1977.

136. Pageis Н. // Phys. Rev. D. 1977. V. 15. P. 2991.

137. Eichten E., Gottfried K. // Phys. Lett. B. 1977. V. 66. P. 375.

138. Bardeen W. A., Chanowitz M. S., Drell S. D., Weinstein M., Yan T.-M. // Phys. Rev. D. 1975. V. 11. P. 1094.

139. Chodos A., Jaffe R. L., Johnson K., Thorn С. В., Weisskopf V. F. // Phys. Rev. D. 1974. V. 9. P. 3471.

140. Cervero J., Jacobs L., Nohl C. R. // Phys. Lett. B. 1977. V. 69. P. 351.

141. Wu T. T., Yang C. N. // Phys. Rev. D. 1976. V. 13. P. 3233.

142. Lanyi G., Pappas R. // Phys. Lett. B. 1977. V. 68. P. 436.

143. Cheng K.-S. // J. Math. Phys. 1977. Y. 18. P. 746.

144. Wu T. T., Yang C. N. // Nucl. Phys. B. 1976. V. 107. P. 365.

145. Willey R. S. // Phys. Rev. D. 1978. V. 18. P. 270.

146. Fishbane P. M., Grisaru M. T. // Phys. Lett. B. 1978. V. 74. P. 98.

147. Lee C. R., Yu J.-P. // Phys. Lett. A. 1990. V. 150. P. 63.

148. Wu L., Wu Z., Sun J. // Phys. Lett. A. 1992. V. 170. P. 280.

149. Blakemore J. S. Semiconductor Statistics. Pergamon. Oxford. 1962.

150. Awada M. // Commun. Math. Phys. 1989. V. 129. P. 329.

151. Tsvelick A. M. // J. Phys. C. 1985. V. 18. P. 159.

152. Affleck I., Ludwig A. W. W. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 161.

153. Seaman C. L., Maple M. B., Lee B. W. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 2882.

154. Haldane F. D. M. // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 937.

155. Wu Y.-S. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 922.

156. Nayak C., Wilczek F. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 2740.

157. Isakov S. B. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 2150- Int. J. Mod. Phys. A. 1994. V. 9. P. 2563.

158. Pajagopal A. K. // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. P. 1048.

159. Murthy M. V. N., Shankar R. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 3629.

160. Fukui T., Kawakami N., Yang S.-K. // J. Phys. Soc. Jpn. 1996. V. 65. P. 1617- Phys. Rev. B. 1995. V. 51. P. 5239- J. Phys. A. 1995. V. 28. P. 6027.

161. Bernard D., Wu Y.-S. in: New developments of integrable systems and long-ranged interaction models. Eds. Ge M. L., Wu Y.-S. World Scientific. Sibgapore. 1995.

162. Calogero F. // J. Math. Phys. 1962. V. 10. P. 2197.

163. Sutherland B. // J. Math. Phys. 1971. V. 12. P. 246- Phys. Rev. A. 1971. V. 4. P. 2019.

164. Ha Z. N. C. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 1574.

165. Wadati M. // J. Phys. Soc. Jpn. 1995. V. 64. P. 1552.

166. Protogenov A. P. Haldane’s statistical interactions and universal properties of anyon systems. Preprint IC/95/26.

167. Gentile G. // Nuovo Cim. 1940. V. 17. P. 493.

168. Chou C. // Mod. Phys. Lett. A. 1992. V. 7. P. 2685.

169. Angelopoulou P., Baskautas S., De Falco L., Jannussis A., Mignani R., Sotiropoulou A. // J. Phys. A. 1994. V. 27. P. L605.

170. Chaichian M., Gomzales Felipe R., Montonen C. // J. Phys. A. 1993. V. 26. P. 4017.

171. Mitra P. Preprint SISSA-191/94/EPhep-th/9 411 236.

172. Wu Lian-ao, Wu Zhao-yan, Sun Jing // Phys. Lett. A. 1992. V. 170. P. 280.

173. Polychronakos A. P. // Nucl. Phys. B. (Proc. Suppl.) A. 1996. V. 45. P. 81.

174. Guadagnini E., Martellini M., Mintchev M. // Nucl. Phys. B. 1990. V. 336. P. 581.

175. Zamolodchikov Al. В. // Жур. Год. V.. P. .

176. Klassen Т., Melzer E. // Nucl. Phys. B. 1990. V. 338. P. 485.

177. Zamolodchikov Al. В. // Жур. Год. V.. P. .

178. Ravanini F., Valleriani A., Taleo R. // Int. J. Mod. Phys. A. 1993. V. 8. P. 1707.

179. Kedem P., Klassen Т. R., McCoy В. M., Melzer E. // Phys. Lett. B. 1993. V. 307. P. 68.

180. Dasmahapatra S., Kedem P., Klassen Т. R., McCoy В. M., Melzer E. // Int. J. Mod. Phys. B. 1993. V. 7. P. 3617.

181. Nahm W., Recknagel A., Terhoven M. // Mod. Phys. Lett. A. 1993. V. 8. P. 1835.

182. Bercovich A. // Nucl. Phys. B. 1994. V. 431. P. 315.

183. Kuniba A. // Nucl. Phys. B. 1993. V. 389. P. 209.

184. Kuniba A., Nakanishi Т., Suzuki J. // Int. J. Mod. Phys. A. 1994. V. 9. P. 5215- P. 5267.

185. Cardy J. // Nucl. Phys. B. 1989. V. 324. P. 581.

186. Цвелик A. M. // ЖЭТФ. 1987. V. 93. P. 1329.

187. Tsvelik A. M., Wiegmann Р. В. // Adv. Phys. 1983. V. 32. P. 453.

188. Nozieres P., Blandin A. // J. Physique 1980. V. 41. P. 193.

189. Tsvelik A. M., Wiegmann P. B. // J. Phys. A. 1983. V. 17. P. 2321.

190. Pryor C., Zee A. // Phys. Rev. B. 1992. V. 46. P. 3116.

191. Altshuler B. L., Ioffe L. B. // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69. P. 2979.

192. Sugiyama T., Nagaosa N. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 1980.

193. Majid S. // Int. J. Mod. Phys. A. 1993. V. 8. P. 4521.

194. Majid S. Preprint DAMTP-91/16.

195. Wiegmann P. В., Zabrodin A. V. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 1890.

196. Schupp P. Preprint UCB-PTH-93/35.

197. Таланов В. И. // Письма в ЖЭТФ 2(5), 218 (1965).

198. Власов С.H., Петрищев В. А., Таланов В. И. // Изв. вузов. Радиофизика 14(9), 1453 (1971).

199. Litvak A.G., Mironov V.A., Sergeev A.M., // Phys. Scr. T. 1990. V. 30. P. 57.

200. Rasmussen J.J., Rypdal K. // Phys. Scr. 1986. V. 33. P. 481.

201. Захаров В. Е. // ЖЭТФ Т. 1972. 62. С. 1749.

202. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Статистическая физика. 4.2. Наука. Москва. 1978. С. 145.

203. Кузнецов Е. А., Турицин С. К. // ЖЭТФ. 1988. Т. 94(8). С. 119.

204. Jackiw R., Pi S.Y. // Phys. Rev. Lett. 1990 V. 64. P. 2969- // © 1991. V. 66. P. 2682- // Phys Rev. D 1990. V. 42. P. 3500- // Prog. Theor. Phys. Suppl. 1992. V. 107. P. 1.

205. Hong J., Kim Y., Рас P.Y. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. P. 2230.

206. Jackiw R., Weinberg E. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. P. 334- Jackiw R., Lee K., Weinberg E. // Phys. Rev. D 1990. V. 42. P. 3488.

207. Barashenkov I.V., Harin A.O. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 1575- // Phys. Rev. D 1995. V. 52. P. 2471.

208. Berge L., de Bouard A., Saut J.C. // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. P. 3907.

209. Knecht M., Pasquier R., Pasquier J.Y. // J. Math. Phys. 1995 V. 36. P. 4181.

210. Fuertes W.G., Guilarte J.M. // J. Math. Phys. 1996. V. 37. P. 554.

211. Fractional statistics and anyon superconductivity, ed. F. Wilczek, World Scientific, Singapore, 1990.

212. Laedke E.W., Spatschek K.H., Mezentsev V.K., Musher S.L., Ryzhenkova I.V., Turitsyn S.K. // Письма в ЖЭТФ 1995. Т. 62(8). С. 652.

213. Laedke E.W., Spatschek K.H., Turitsyn S.K. // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 1055.

214. Faddeev L.D. How Algebraic Bethe Ansatz works for integrable model, Les-Houches lectures, hep-th/9 605 187.

215. Shapere A., Wilczek F. // J. Fluid Mech. 1989. V. 198. P. 557.

216. Шварцбург А. в сб. Нелинейная электродинамика, под ред. П.Л. Е. Усленфи. Мир. Москва. 1980. С. 107.

217. Moore G., Seiberg N. // Phys. Lett. В. 1988. V. 212 P. 451- 1989. V. 220. P. 422.

218. Polyakov A.M. // Nucl. Phys. B. 1993. V. 396. P. 367.

219. Фрайман Г. М. // ЖЭТФ. 1985. V. 88. P. 390.

220. Петвиашвили В. И. // Физика плазмы. 1976. Т. 2. С. 469.

221. Bazhanov V., Bobenko A., Reshetikhin N. // Commun. Math. Phys. 1996. V. 175. P. 377.

222. Zabusky N.J., Hughes M.H., Roberts K.V. // J. Сотр. Phys. 1979. V. 30. P. 96.

223. Мигдал А. А. в сб. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации, под ред. А.В. Гапонова-Грехова и М. И. Рабиновича. Наука. Москва. 1987.

224. Агинштейн М. Е., Мигдал А. А. в сб. Проблемы кибернетики, под ред. Р. Е. Сагдеева и А. А. Мигдала. Научный Совет по проблемам кибернетики. Москва. 1987. 107. С. 114.

225. Faddev L.D., Volkov A.Yu. // Phys. Lett. В. 1993. V. 315. P. 311.

226. Faddev L.D., Volkov A.Yu. // Lett. Math. Phys. 1994. V. 32. P. 125.

227. Wiegmann P. B. // Int. J. Mod. Phys. B. 1997. V. 11. P. 75.

228. Вер бус В. А., Протогенов А. П. Уравнения движения и сохраняющиеся величины в неабелевых дискретных интегрируемых моделях // ТМФ, 1998 (в печати).