Динамика несбалансированного гидроскопа с неконтактным подвесом

Повышение точности гироскопических приборов в системах управления движущимися объектами является актуальной задачей. Наряду с дальнейшим развитием и совершенствованием гироскопов реализующихся в традиционных схемах (карданов подвес, поплавковая камера и др.) в настоящее время большое внимание уделяется созданию гироскопов с неконтактными подвесами. К их числу относятся неконтактные гироскопы с электростатическим, электромагнитным подвесами, криогенные гироскопы. В таких подвесах ротор взвешивается силами электрического или магнитного полей, создаваемых и регулируемых специальными устройствами. Гироскоп состоит из ротора, который располагается внутри керамического кожуха, несущего необходимые для создания поддерживающей силы элементы, системы для разгона ротора, датчика слежения за угловым положением оси вращения ротора. Одна из возможных схем неконтактного гироскопа, осуществляемая, например, в электростатическом подвесе, следующая. На внутренней поверхности сферического кожуха диаметрально противоположно размещены пары электродов, при помощи которых создается электростатическое поле. Электроды вместе с устройствами управления образуют следящую систему подвеса, которая изменяет силовое поле в зависимости от положения ротора в кожухе и осуществляет устойчивое взвешивание ротора. Путем вакуумирования внутренней полости кожуха удается свести моменты трения о среду до весьма незначительного уровня. Это открывает принципиальную возможность существенного повышения точности чувствительных элементов современных навигационных систем. Гироскоп, обычно, представляет тело сферической формы (простота изготовления, высокая точность обработки). Этот выбор обусловлен также тем, что в неконтактных подвесах силовое поле действует по нормали к поверхности ротора, поэтому, момент равнодействующей силового поля относительно его центра масс всегда будет равен нулю. Создание гироскопа, обладающего высокой точностью, связано с рядом технологических трудностей. Реальный прибор, естественно, отличается от идеального, ротор которого не меняет направление оси вращения относительно инерциального пространства. Важнейшей задачей теории неконтактного гироскопа является определение скорости его ухода. Существует много причин, по которым поле подвеса приводит к прецессии вектора кинетического момента. Наиболее существенным источником погрешности шаровых гироскопов является отклонение формы ротора от сферы, в частности, несовпадение центра масс ротора с центром шаровой поверхности. При этом, равнодействующая поддерживающих сил и сила тяжести образуют пару, которая может вызвать прецессию вектора кинетического момента гироскопа.

Динамика несбалансированного гироскопа в неконтактном подвесе рассмотрена в работах jfl — 3, 5−7]. В [i] получены уравнения, позволяющие оценить характер движения гироскопа в предположении, что равнодействующая силового поля подвеса линейно зависит от смещения геометрического центра ротора относительно некоторой неподвижной точки пространства (геометрический центр кожуха), называемой центром неконтактного подвеса. Показано, что уход вектора кинетического момента от влияния подвеса на ротор в первом приближении по малому параметру равен нулю. При этом возникает прецессия вектора кинетического момента гироскопа от силы тяготения, аналогичная прецессии эквивалентного гиромаятника, т. е. гиромаятника, у которого кинетический момент и плечо равны соответствующим величинам ротора. В работе получены условия устойчивости угловых колебаний оси вращения ротора относительно направления вектора кинетического момента. Это рассмотрение относится к случаю, так называемого «равножесткого» подвеса. При этом, каналы следящей системы, обеспечивающие подвес ротора по каждой из осей, индентичны. Вместе с тем, может иметь место случай, когда оси, по которым осуществляется подвес ротора не обладают свойствами индентичности (это связано с погрешностью изготовления фильтров следящей системы подвеса, с неточной выставкой «опорных» напряжений на электродах, с разбросом характеристик высоковольтных регуляторов, изменяющих напряжения на электродах). В этом случае подвес является «неравно-жестким». «Неравножесткость» приводит к прецессии вектора кинеч. тического момента гироскопа. Исследование этого вопроса для динамически симметричного твердого тела проведено в [7^.

В работе [z] находится зависимость времени выбега электростатического гироскопа от дебаланса ротора. Угловое движение неконтактного гироскопа с произвольным эллипсоидом инерции, а также эллипсоидом инерции близким к сферическому, рассмотрено в [5]. При этом предполагалось, что подвес оказывает пренебрежимо малое влияние на его угловое движение и, поэтому, рассмотрение было сведено к задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки под действием силы тяготения. В работе получены приближенные уравнения, позволяющие оценить точность гироскопа.

В [i, 2, б, ?] исследована динамика несбалансированного гироскопа с неконтактным подвесом для непрерывных законов управления положением ротора. Задачи, связанные с движением электростатического гироскопа в подвесе с импульсной следящей системой рассмотрены в [8, э].

Вопросы теории неконтактного гироскопа затронуты также в работах [б, 10 — 12].

В [б] получены выражения возмущающих моментов, действующих на гироскоп в зависимости от характера движения основания подвеса и наличия сферических гармоник разложения уравнения поверхности ротора по полиномам Лежандра.

В [ю] анализируются прецессионные уравнения в предположении, что разложение поверхности ротора близкой к сфере содержит 4-ю гармонику. Найден первый интеграл и построены траектории вектора кинетического момента гироскопа.

В [и] рассматривается задача об угловом движении тела, которое не является абсолютно твердым, а аппроксимируется некоторой упруго-вязкой моделью. Найдены траектории вектора кинетического момента.

В работе [l2] показано, что взаимодействие электростатического поля с шаровым ротором имеет нелинейный характер, поэтому, равнодействующая силового поля более точно описывается нелинейной функцией от смещения ротора в подвесе. Влияние такого поля на динамику гироскопа с неконтактным подвесом в литературе не рассматривалось.

Большой интерес представляет исследование движения неконтактного гироскопа на подвижном основании. Важность и необходимость рассмотрения поведения гироскопа при вибрациях основания вытекает из того, что гироскопические приборы применяются, чаще всего, на движущихся объектах и, следовательно, подвергаются различного рода колебаниям. Исследованию динамики неконтактного гироскопа на вибрирующем основании посвящен ряд работ [l3 — 1б|. В этих работах законы движения основания в пространстве считаются известными функциями времени (колебания вдоль неподвижной прямой, угловая и круговая вибрации). Получены решения некоторых резонансных задач теории неконтактного гироскопа. Вместе с тем представляет определенный интерес исследование движения гироскопа с учетом особенностей сил и моментов, действующих на приборы в реальных условиях. Эти силы и моменты, как правило, являются случайными. Исследованию движения традиционного гироскопа в условиях случайных возмущений посвящен ряд работ [l8 — 29].

Движение неконтактного гироскопа при случайных вибрациях основания затронуто в работе jl7]. Используя прецессионные уравнения движения находятся выражения для математических ожиданий углов, задающих положение оси гироскопа относительно неподвижного пространства. Вопросы поведения гироскопа с неконтактным подвесом при случайных вибрациях основания вместе с другими вопросами динамики неконтактного гироскопа освещен в литературе недостаточно.

Целью настоящей работы является исследование динамики несбалансированного неконтактного гироскопа с учетом взаимосвязи движения центра масс и углового движения ротора. Изучается случай, когда равнодействующая силового поля нелинейно зависит от смещения ротора. Рассматривается поведение гироскопа при случайных вибрациях основания. Работа состоит из четырех глав.

В первой главе получено дифференциальное уравнение эволюции вектора кинетического момента несбалансированного гироскопа для случая нелинейной зависимости равнодействующей силового поля подвеса от смещения ротора. Найдены первые интегралы задачи в «консервативном» случае, условие интегрируемости" неконсерва-тивной" задачи. Построены траектории вектора кинетического момента на единичной сфере.

Вторая глава диссертации посвящена рассмотрению задачи динамики несбалансированного абсолютно твердого тела в «неравно-жестком» неконтактном подвесе. Принимается, что равнодействующая силового поля линейно зависит от смещения тела в подвесе. Наличие дебаланса (несовпадение геометрического центра телаточки приложения равнодействующей силового поля с центром масс) может приводить как к разгону, так и к торможению тела при одновременном изменении амплитуды угловых колебаний оси вращения относительно направления вектора кинетического момента. С помощью метода усреднения получены эволюционные уравнения, позволяющие оценить характер движения тела в подвесе. Выведены условия устойчивости колебаний оси вращения вокруг наибольшей и наименьшей осей главного центрального эллипсоида инерции тела относительно направления вектора кинетического момента. Получены формулы скорости ухода вектора кинетического момента тела от «неравножесткости» подвеса и силы тяготения, а также уравнения стационарных вращений.

В третьей главе найдено достаточное условие устойчивости одного движения несбалансированного гироскопа в чисто «упругом» неконтактном подвесе. Этот режим соответствует орбитальному движению центра масс вокруг центра неконтактного подвеса, при котором угловая скорость движения центра масс равна угловой скорости вращения гироскопа вокруг центра масс, а вектор дебаланса находится на прямой, проходящей через центр неконтактного подвеса.

В четвертой главе исследуется влияние случайных поступательных вибраций основания на угловое движение несбалансированного гироскопа. Выведены уравнения для математических ожиданий фазовых координат, задающих угловое движение ротора. Изучено поведение этих величин в зависимости от свойств случайных возмущений и параметров гироскопа. Приведены формулы для оценки вторых моментов фазовых координат.

Материалы диссертации были доложены (в 1984 г.) на семинаре кафедры прикладной механики, отдела теоретической и прикладной механики в Институте механики МГУ под руководством академика А. Ю. Ишлинского, на семинаре профессора И. В. Новожилова на кафедре теоретической механики МЭИ (1983 и 1984 г.), на Всесоюзной конференции, посвященной Дню советской науки на ВДНХ СССР (Москва, 1984 г.) и опубликованы в работах [4,48,49].

Выражаю глубокую благодарность за помощь и внимание к работе научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Ю. Г. Мартыненко.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Приведем основные результаты работы.

1. Исследована задача об уходах несбалансированного гироскопа с неконтактным подвесом для случая, когда равнодействующая силового поля нелинейно зависит от смещения ротора в подвесе, а движение центра масс взаимосвязано с угловым движением ротора. Найдены первые интегралы «консервативной» задачи, получено условие интегрируемости «неконсервативной» задачи. Выявлена структура особых точек и построены траектории вектора кинетического момента на единичной сфере.

2. Изучено движение твердого тела в «неравножестком» неконтактном подвесе. Найдены условия устойчивости вращений вокруг наименьшей и наибольшей осей главного центрального эллипсоида инерции.

3. Получено достаточное условие устойчивости пространственного движения несбалансированного гироскопа в упругом неконтактном подвесе.

Рассмотрено влияние случайных вибраций основания на угловое движение несбалансированного гироскопа. Выявлен характер поведения математических ожиданий фазовых координат, задающих угловое движение ротора в зависимости от свойств случайных возмущений и параметров гироскопа. Изучено поведение вторых моментов фазовых координат.