Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Хаотическая динамика и структурообразование в дискретных моделях распределенных сред

Диссертация: Хаотическая динамика и структурообразование в дискретных моделях распределенных сред
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Другой этап в развитии понимания хаотичности и ее зарождения в детерминированных системах возник после работ А. Н. Колмогорова и Я. Г. Синая, где впервые для динамических систем было введено понятие энтропии. Эти работы положили начало созданию теории стохастических динамических систем. Большую роль в развитии теории детерминированного хаоса также сыграли различные абстрактные математические… Читать ещё >

Содержание

  • Введение
  • 2. Элементы теории динамических систем
    • 2. 1. Бифуркации и развитие хаоса в динамических системах
      • 2. 1. 1. Общие положения
      • 2. 1. 2. Удвоение периода
      • 2. 1. 3. Перемежаемость
      • 2. 1. 4. Разрушение тора
      • 2. 1. 5. Гомоклинические структуры
    • 2. 2. Характерные свойства хаотических динамических систем
      • 2. 2. 1. Показатели Ляпунова
      • 2. 2. 2. Характеристики хаотичности
      • 2. 2. 3. Хаотические аттракторы
      • 2. 2. 4. Одномерные отображения
    • 2. 3. Методы стабилизации хаотической динамики
      • 2. 3. 1. Системы с внешними возмущениями
      • 2. 3. 2. Силовое и параметрическое воздействия
      • 2. 3. 3. Метод резонансных возбуждений
      • 2. 3. 4. Метод Гребоджи-Отта-Йорка
      • 2. 3. 5. Параметрическое возбуждение и подавление хаоса
      • 2. 3. 6. Методы резонансной и высокочастотной стабилизации
    • 2. 4. Динамика диффузионно сцепленных систем
    • 2. 5. Современное состояние исследования хаотических систем
  • 3. Особенности динамики агрегатов взаимодействующих отображений
    • 3. 1. Подавление хаоса в одномерных унимодальных отображениях
      • 3. 1. 1. Формулировка подхода
      • 3. 1. 2. Аналитический подход
      • 3. 1. 3. Численный анализ
    • 3. 2. Задача о возможности подавления хаоса при неоднородном внешнем воздействии
      • 3. 2. 1. Понятие циклических каскадов отображений
      • 3. 2. 2. Численные исследования
    • 3. 3. Агрегаты каскадов с дефектами
      • 3. 3. 1. Результаты численного моделирования
  • 4. Динамика диффузионно сцепленных подсистем
    • 4. 1. Пространственно однородная цепочка
    • 4. 2. Пространственно неоднородные цепочки
      • 4. 2. 1. Кольцевая цепочка с периодической пространственной неоднородностью
      • 4. 2. 2. Кольцевая цепочка с единственным дефектом

Хаотическая динамика и структурообразование в дискретных моделях распределенных сред (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Обсуждая такое всеобъемлющее явление как хаос, в настоящее время имеют ввиду не только фундаментальные вопросы статистической физики, но и разнообразные приложения к конкретным задачам механики, астрофизики, физики плазмы, медицины, биологии и др. Проявление хаотического поведения в той или иной системе не связано с действием каких-либо случайных по своей природе сил. Сущность хаотического поведения полностью детерминированных систем заключается в свойстве приобретать экспоненциально сильную неустойчивость траекторий при определенных значениях параметров. Принципиальное значение исследований в этой области состоит в том, что они вскрывают природу случайного, развивая гипотезу динамической стохастич-ности в дополнение к гипотезе молекулярного хаоса.

Впервые на связь между статистикой и неустойчивостью указал А. Пуанкаре [1]. В тот же период времени статистический подход к описанию систем со многими степенями свободы был предложен Л. Больцманом [2]. Он высказал предположение, что движение частиц в разреженном газе следует рассматривать как случайное, и каждой частице доступна вся энергетически разрешенная область фазового пространства. Такое представление о системах многих частиц известно как эргодическая гипотеза [2,3], которая стала основой классической статистической механики. Однако ее строгое обоснование долгое время не находило подтверждения. Некоторое продвижение в этом направлении было достигнуто благодаря исследованиям П. Эренфеста [4], которые позволяли в том числе установить рамки применимости законов статистической механики. Однако известная работа Э. Ферми, Дж. Паста и С. Улама [5], где впервые была предпринята попытка проверки эргодической гипотезы, вновь выдвинула проблему обоснования статистической физики на первый план.

Отчасти, разрешение этой проблемы можно получить, опираясь на работы А. Пуанкаре (см. [6]), в которых он показал, что в окрестности неустойчивых неподвижных точек движение имеет чрезвычайно сложный характер. Это явилось первым указанием на то, что нелинейные динамические системы могут проявлять хаотические свойства. Впоследствии Д. Биркгоф [7] показал, что при рациональном отношении частот (резонанс) всегда существуют устойчивые и неустойчивые неподвижные точки. Резонансы более высокого порядка последовательно изменяют топологию фазовых траекторий и приводят к образованию цепи островов в фазовом пространстве. Теория возмущений, как оказалось, не описывает такие резонансы, поскольку регулярные решения вблизи них сильно возмущены, а это влечет появление малых знаменателей и расходимость рядов.

Н. С. Крылов провел первое глубокое исследование природы статистических законов [8]. Он показал, что в основе её лежит свойство перемешивания и связанная с ним локальная неустойчивость почти всех траекторий соответствующих динамических систем. Именно в этой связи М. Борн [9] высказывал предположение о непредсказуемости поведения систем классической механики. Позднее динамика систем, вызванная такого рода неустойчивостью, стала называться динамической стохастичностью или детерминированным (динамическим) хаосом.

Другой этап в развитии понимания хаотичности и ее зарождения в детерминированных системах возник после работ А. Н. Колмогорова и Я. Г. Синая [10,11], где впервые для динамических систем было введено понятие энтропии. Эти работы положили начало созданию теории стохастических динамических систем. Большую роль в развитии теории детерминированного хаоса также сыграли различные абстрактные математические конструкции. Например, чтобы опровергнуть гипотезу о плотности систем типа Морса-Смейла в пространстве Сг-диффеоморфизмов, С. Смейл построил пример («подкова Смей-ла») [12,13], показывающий, что если д — диффеоморфизм плоскости, обладающий трансверсальной гомоклинической траекторией, то он должен иметь инвариантное множество типа подковы. В свою очередь, из существования подковы вытекает, что отображение д должно иметь бесконечное число как периодических точек различного периода, так и несчетное число апериодических траекторий. Почти в одно время с «подковой Смейла» появились у-системы Аносова [14], которые характеризуются наиболее выраженными свойствами перемешивания. Последовавшее обобщение таких систем — введение «аксиомы А» Смейла [13] и гиперболических множеств, — породило важный класс динамических систем, обладающих свойством экспоненциальной неустойчивости траекторий.

Примерно в то же время стали появляться математические работы, где на базе изучения систем типа «бильярд» были предприняты попытки обоснования статистической механики (см., например [15]). Бильярды впервые появились как упрощенные модели, на которых можно изучать ряд задач статистической физики [7] (см. также ссылки в [16,17]). Используя такие системы, впервые была решена задача Н. С. Крылова о перемешивании в системе упругих шаров [8]. Более того, было показано, что системы, отвечающие бильярдам с рассеивающими границами, имеют много общего с геодезическими потоками в пространствах отрицательной кривизны, т. е. потоками Аносова. Позже класс бильярдных систем, которые способны проявлять хаотические свойства, был значительно расширен (см. [17,18] а также цитируемую там литературу). Опираясь на обобщение таких систем — модификацию двумерного газа Лоренца — было доказано, что и в чисто детерминированных системах движение может быть подобно броуновскому [16,17]. Этот результат явился первым строгим подтверждением проявления хаотичности динамическими (т.е. без какого-либо случайного механизма) системами.

Развитие теории динамических систем и многочисленные исследования нелинейных процессов показал^, насколько типичным и всеобщим явлением оказывается хаотическое поведение в системах с небольшим числом степеней свободы. Стало очевидным, что хаотические свойства могут проявлять самые разнообразные нелинейные системы, и если хаос не обнаруживается, то возможно, лишь потому, что-либо он возникает в очень малых областях параметрического пространства, либо при нефизических значениях параметров. Проблема предсказуемости, первоначально появившись в достаточно сложных системах (таких как гидродинамические или системы статистической механики), стала общей для многих направлений современной науки. Наряду с этим выяснилось, что хаотические динамические системы легко управляемы при помощи внешних воздействий, что можно использовать для создания условий контроля над хаотическими системами и подавления в них хаоса, если его развитие нежелательно. Таким образом, появилось новое направление в теории хаотических динамических систем, связанное со стабилизацией и регулированием их неустойчивого поведения посредством внешних воздействий. Позже стало ясно, что посредством слабых возмущений можно найти неожиданные подходы к решению давно известных проблем, таких как инженерия динамических систем, дефибрилляция, обработка информации, явление само-организациии и др. (см., например, [19−22]).

Сейчас имеется большое число работ, посвященных исследованию систем с внешними воздействиями (см., например, [23−35] и цитируемую литературу в [26,27]). Однако построить теорию регулирования хаотических систем в общем виде пока не представляется возможным. Тем не менее, для достаточно типичных семейств динамических систем эта задача вполне разрешима.

В настоящее время существуют два качественно различных подхода к этой проблеме. Первый основан на использовании обратной связи, т. е. учете текущего состояния системы. В другом (и наиболее приемлемом для большинства приложений) подходе не учитывается обратная связь, и стабилизация хаотических колебаний осуществляется при помощи прямых воздействий. В литературе первый метод обычно называется контролированием хаоса, а второй — подавлением хаоса без обратной связи. Оба подхода могут быть реализованы как при помощи параметрических, так и силовых способов воздействия.

Введение

обратной связи является определенным преимуществом, поскольку в большинстве случаев такой способ управления приводит к требуемому результату: выбранный заранее седловой предельный цикл стабилизируется и, таким образом, исследуемая система выводится на требуемый режим движения. Однако этот метод эффективен, если только изображающая точка находится вблизи выбранного цикла. В противном случае необходимо использовать дополнительные способы воздействия [37,38]. В то же время методы стабилизации без обратной связи не требуют введения постоянного компьютерного слежения за состоянием системы и менее подвержены воздействиям шумов, что существенно упрощает их использование в приложениях [39].

В представленной диссертационной работе в главе 2 дан краткий обзор теории динамических систем: описаны основные их свойства, перечислены способы развития хаоса и методы стабилизации хаотической динамики. Кроме того, представлены основы теории диффузионно сцепленных систем.

В главе 3.1 на примере одномерных отображений (квадратичного и экспоненциального) решена задача об управлении их динамикой. Чтобы получить более полное представление относительно структуры множества в пространстве параметров, на котором имеет место подавление хаоса, были проведены численные исследования. Для возмущенного логистического и экспоненциаьного отображений найдены области с устойчивым поведением и рассчитаны периоды соответствующих устойчивых циклов. Кроме того, были оценены размеры окрестностей значений параметров, при которых возникают такие циклы.

В главе 3.2 решена задача построения каскадов отображений с предписанными свойствами. Дан ответ на вопрос, при каких условиях поведение циклического каскада отображений является регулярным (сходящимся), если сами компоненты каскада обладают хаотической динамикой. Аналитический метод, описанный в главе 3.1, перенесен на каскады, состоящие из произвольного числа компонент. На основе аналитических результатов численно рассмотрены циклические каскады с дефектами, которые могут быть получены из циклических каскадов, если в некоторые регулярные моменты времени отображения, составляющие такие циклические каскады, меняются местами.

Глава 4 диссертационной работы посвящена аналитическому исследованию пространственно неоднородных одномерных сетей (т. е. цепочек) диффузионно связанных кусочно-линейных отображений. При этом неоднородности представляются как отображения с различными параметрами. Сам вид отображений выбран таким образом, что цепочки представляют собой одномерный дискретный аналог однокомпонентной активной среды. На основе расчета показателей Ляпунова исследованы различные режимы поведения периодически неоднородной цепочки и цепочки с одним дефектом и описана структура их фазового пространства.

Глава 5 данной работы содержит анализ задачи об определении фрактальной размерности кластера, который хаотическим образом растет в среде вокруг вращающегося зародыша. Разработана теоретически оптимизированная математическая модель роста кластера в этих условиях. Проведены численные исследования размерности кластеров для различных угловых скоростей вращения зародыша.

Глава 2.

Элементы теории динамических систем.

Установление в динамической системе хаотического поведения в результате той или иной последовательности бифуркаций принято называть картиной или сценарием развития хаоса. Рассмотрим кратко наиболее типичные из таких сценариев.

Основные результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Доказан в виде теоремы существования эффект подавления хаоса при внешнем параметрическом воздействии на одномерные унимодальные отображения.

2. Доказано, что эффект подавления хаоса в отображениях имеет положительную меру, то есть это явение существует с физической точки зрения и может быть обнаружено экспериментально.

3. В ходе численного исследования определены конечные области в пространстве параметров, соответствующие устойчивой динамике сцепленных квадратичных одномерных отображений.

4. Исследованы системы типа каскад автоматов с «дефектами». Выяснены возможные типы зависимости динамики каскада автоматов от присутствия в нем неоднородного элемента (дефекта).

5. Рассмотрена схема возникновения сложных одномерных структур (динамических систем) из наперед заданного набора элементов (т.е. относительно простых отображений). Численно исследована вероятность возникновения сложных структур с заданным типом динамики.

6. Исследована система диффузионно связанных хаотичесих одномерных отображений с пространственной неоднородностью. Рассмотрено влияние таких неоднородностей на динамику системы в целом.

7. Создана и исследована радиально-кольцевая модель роста фрактального кластера. Модель позволила добиться хорошего соответствия полученных значений размерности численному эксперименту.

5.5 Заключение.

Основным полученным результатом является зависимость фрактальной размерности от угловой скорости для двумерных DLA-кластеров при вращении. Эта зависимость может быть получена как при помощи разработанной кольцевой статистической модели фрактального роста, так и посредством прямого компьютерного моделирования. Фрактальная размерность уменьшается с ростом скорости вращения.

Обнаружено явное наличие перехода между фрактальным (при малых скоростях вращения) и нефрактальным (при больших скоростях вращения) режимами. DLA-кластер при вращении демонстрирует различные фрактальные размерности при исследовании в различных линейных масштабах.

Рис. 5.6: БЬА-кластер с вращением ю = 0.1 * 10 3, М = 50 000.

Рис. 5.8: Зависимость массы от радиуса для вращающегося ВЬА-кластера при ш = 0.5 *КГ3,М = 50 000.

Рис. 5.9: БЬА-кластер с вращением ги = 0.5 * Ю-3, М = 5000.

Рис. 5.10: Зависимость массы от радиуса для вращающегося БЬА-кластера при и) = 4.5 * 10~3.

2,0;

1,8- Г ¦ I ге§ доп.

1,6- • • П ге^оп.

1,4- • • • + Ш ге^оп.

1,2- *ф • ф • ' •. • • •.

1,00,8- + + + + + + + +.

1 1 1 0 1 1 I 2 1 1 1 3 оо-Ю3 1 4 1 1 5.

Рис. 5.11: Зависимость фрактальной размерности от скорости вращения.

Глава 6 Заключение.

Развитие теории динамических систем внесло много нового в понимание происхождения хаотичности. В частности, было обнаружено, что хаос встречается в подавляющем большинстве нелинейных систем. Поэтому в ряде случаев его развитие может быть нежелательным. В связи с этим в последнее время интенсивно разрабатывается новое направление в теории детерминированного хаоса, связанное с возможностью подавления хаотического поведения. Если достаточно слабо (аддитивно или мультипликативно) возмущать хаотическую систему, (иными словами, производить обмен энергией между системой и окружающей средой), то хаос может выродиться в регулярное движение. Развитие этого направления привело к появлению новых замечательных приложений и позволило рассмотреть многие проблемы нелинейной динамики под новым углом зрения.

Так, подход к решению одной из старых проблем — описание явления самоорганизации, т. е. образования и развития сложных упорядоченных структур, — в рамках теории детерминированного хаоса получил новое развитие. Большинство распределенных сред можно аппраоксимировать совокупностью дискретных элементов, локально взаимодействующих друг с другом. Через каждый из таких элементов может проходить поток энергии, поступающий от внешнего источника. По-видимому, даже когда отдельные элементы системы обладают сложной структурой, вся их внутренняя сложность не проявляется во взаимодействиях между ними и, с точки зрения макросистемы, они функционируют как достаточно простые объекты с малым числом эффективных степеней свободы.

Используя обобщение теории сетей функционально взаимодействующих автоматов, в данной работе проводится параллель между явлением самоорганизации и подавлением хаоса. Показано, что только определенное сцепление первоначально хаотических автоматов может привести к появлению сложного каскада с необходимыми динамичечскими свойствами. Основным критерием такого образования является предписанная регулярная динамика образованного каскада взаимодействующих автоматов.

По-видимому, обобщение данной задачи позволяит обнаружить ряд закономерностей в соотношении между порядком и хаосом в пространственно-временных системах. Более того, дальнейшее развитие этого направления может дать ключ к созданию достаточно сложных структур с заданными свойствами.

Показать весь текст

Список литературы

  1. A.Poincare. Calcul des Probabilities. — //Paris, Gauthier-Villars, 1912.
  2. L.Boltzman. Uber die mechanischen Analogien des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik. //Journ. f. Mathem., 1887, bd.100, s.201−212.
  3. L.Boltzmann. Vorlesungen uber Gastheorie.— //Leipzig, 1896.
  4. P.Ehrenfest, T.Ehrenfest. Enzyklopaedie d. Math. Wiss., //Bd.IV, T1.32. Leipzig, 1911.
  5. E.Fermi, J. Pasta and S.Ulam. Studies of Nonlinear Problems. — //Los Alamos Scientific Report, LA-1940, 1955.
  6. А.Пуанкаре. Избранные труды. Том 1. — //М., Наука, 1973. 293с.
  7. G.D.Birkhoff. Dynamical Systems. — //American Mathematical Society, N.Y., 1927.
  8. Н.С.Крылов. Работы no обоснованию статистической физики. — //М.-JL, Изд-во АН СССР, 1950.
  9. М.Борн. Возможно ли предсказание в классической механике? — J ¡-Успехи физ. наук, 1959, т.69, вып.2, с.173−187.
  10. А.Н.Колмогоров. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов. — f/ДАН СССР, 1959, т.124, No4, с.754−755.
  11. Я.Г.Синай. О понятии энтропии динамической системы. — //ДАН СССР, 1959, т.124, No4, с.768−771.
  12. Я.Г.Синай. К обоснованию эргодической гипотезы для одной динамической системы статистической механики. — /¡-Докл. АН СССР, 1963, т.153, No6, с.1261−1264.
  13. L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Statistical properties of Lorentz gas with periodic configuration of scatters. — //Commun. Math. Phys., 1981, v.78, No4, p.479−497.
  14. Динамические системы. Том 2. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.» — //ВИНИТИ, 1985.
  15. A.Tabachnikov. Billiards. — //France Mathematical Soc. Press, 1995.
  16. A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko. Processing information encoded in chaotic sets of dynamical systems. — //SPIE, 1993, v.2038, p.263−272.
  17. S.Hayes, C. Grebogi, E.Ott. Communicating with chaos. — //Phys. Rev. Lett., 1993, v.70, No20, p.3031−3034.
  18. Physica D, 1995, v.84, Nol-2.
  19. А.Ю.Лоскутов. Нелинейная динамика и сердечная аритмия. — //Прикладная нелинейная динамика, 1994, т.2, No3−4, с.14−25.
  20. J.Singer, Y-Z.Wang, H.H.Bau. Controlling a chaotic system. — //Phys.Rev. Lett., 1991, v.66, p.1123−1125.
  21. L.Fronzoni, M. Geocondo, M.Pettini. Experimental evidence of suppression of chaos by resonant parametric perturbations.— //Phys. Rev. A, 1991, v.43, p. 6483−6487.
  22. R.Chacon. Suppression of chaos by selective resonant parametric perturbations. //Phys. Rev. E, 1995, v.51, Nol, p.761−764.
  23. T.Shinbrot. Chaos: Unpredictable Yet Controllable? — //Nonlinear Sci. Today, 1993, v.3, No2, p. 1−8.
  24. T.Shinbrot, C. Grebogi, E. Ott, J.A.Jorke. Using small perturbations to control chaos. — ?/Nature, 1993, v.363, p.411−417.
  25. В.В.Алексеев, А. Ю. Лоскутов. Дестохастизация системы со странным аттрактором посредством параметрического воздействия. — //Вестник Моск. ун-та, сер. Физ.-астр., 1985, т.26, No3, с.40−44.
  26. A.Yu.Loskutov, A.I.Shishmarev. Control of dynamical systems behavior by parametric perturbations: an analytic approach. — //Chaos, 1994, v.4, No2, p.351−355.
  27. Yu.S.Kivshar, B. Rodelsperger, H.Benner. Suppression of chaos by nonreso-nant parametric perturbations. — //Phys. Rev. E, 1994, v.49, p.319−324.
  28. A.B.Corbet. Suppression of chaos in ID maps. — //Phys. Lett. A, 1988, v.130, No4−5, p.267−270.
  29. G.I.Dykman, P. S.Landa, Yu.I.Neimark. Synchronization the chaotic oscillations by external force. — //Chaos, Solitons & Fractals, v. l, No4, p.339−353.
  30. E.Ott, C. Grebogi, J.A.Yorke. Controlling chaos. //Phys. Rev. Lett., 1990, v.64, p.1196−1199.
  31. Е.Н.Дудник, Ю. И. Кузнецов, И. И. Минакова, Ю. М. Романовский. Синхронизация в системах со странным аттрактором. — //Вестн. МГУ, сер. Физ.-Астр., 1983, т.38, No4, с.84−87.
  32. T.Shinbrot, E. Ott, C. Grebogi, J.A.Jorke. Using chaos to direct trajectories to targets. — //Phys. Rev. Lett., 1990, v.65, p.3215−3218.
  33. E.Kostelich, C. Grebogi, E. Ott, J.A.Jorke. Higher dimensional targetting. — //Phys. Rev. E, 1993, v.47, p.305−310.
  34. R.Meucci, W. Gadomski, M. Ciofini, F.T.Arecchi. Experimental control of chaos by weak parametric perturbations. — //Phys. Rev. E, 1994, v.49, No4, p.2528−2531.
  35. В.И.Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, л.П.Шильников. Теория бифуркаций. — // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 5. М., ВИНИТИ, 1986, с.5−218.
  36. Дж.Марсден, М. Мак-Кракен. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — //М., Мир, 1980.
  37. В.И.Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — //М., Наука, 1978.
  38. M.J.Feigenbaum. Universal metric properties of nonlinear transformations.- //J. Stat. Phys., 1979, v.21, p.669−706.
  39. Я.Г.Синай. Современные проблемы эргодической теории. — //М., Наука, 1995.
  40. Е.Б.Вул, Я. Г. Синай, К. М. Ханин. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм. — /¡-Успехи матам, наук, 1984, т.39, вып. З (237), с.3−37.
  41. Ф.Мун. Хаотические колебания. — //М., Мир, 1990.
  42. E.A.Jackson. Perspectives of Nonlinear Dynamics. Vol.1, II. — //Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989, 1990.
  43. Chaos II, ed. Hao Bai-Lin.- //Worls Sci., 1990.
  44. Y.Pomeau, P.Manneville. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems. — /fCommun. Math. Phys., 1980, v.74, No7, p.189−197.
  45. П.Берже, И. Помо, К.Видаль. Порядок в хаосе. — //М., Мир, 1991.
  46. В.С.Афраймович, Л. П. Шильников. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижной точки типа седло-узел.- //Докл. АН СССР, 1974, т.219, No3, с. 1281−1285.
  47. A.Yu.Loskutov, A.S.Mikhailov. Complex Patterns. — //Springer, Berlin, 1991.
  48. В.С.Афраймович, Л. П. Шильников. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность. — //В кн.: Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1983, с.3−26.
  49. K.Kaneko. Collapse of Tori and, Genesis of Chaos in Dissipative Systems. — //World Sci., Singapore, 1986.
  50. А.Н.Шарковский. О проблеме изоморфизма динамических систем. — //В кн.: Труды V Междунар. конф. по нелинейным колебаниям. Киев, Наук, думка, 1970, т.2, с.541−545.
  51. L.Block. Homoclinic points of mappings of the interval. — //Proc. Amer. Math. Soc., 1978, v.72, p.576−580.
  52. А.Н.Шарковский, Ю. Л. Майстренко, Е. Ю. Романенко. Разностные уравнения и их приложения. — //Киев, Наукова думка, 1986.
  53. J.Palis, F.Takens. Hyperbolicity and Sensitive-Chaotic Dynamics at Homoclinic Bifurcations. — //Cambridge Univ. Press., Cambridge, 1993.
  54. L.Mora, M.Viana. Abundance of strange attractors.— j / Acta Math., v.171, p. 1−71.
  55. S.E.Newhouse. Lectures on dynamical systems. — //In: Progress in Mathematics, No8. Birkhauser, Boston, 1978, p. 1−114.
  56. S.Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. — //Springer, Berlin, 1990.
  57. В.К.Мельников. Устойчивость центра при периодических по времени возмущениях. — j ¡-Тр. Моск. матем. об-ва, 1963, т.12, с.3−52.
  58. J.A.Yorke, K.A.Alligood. Cascades of period doubling bifurcations: a prerequisite for horseshoes. — //Bull. AMS, 1983, v.9, p.319−322.
  59. M.Viana. Chaotic dynamical behaviour. — //Proc. of Xlth Int. Congress of Math. Phys. (Paris, 1994). Internat. Press, Cambridge, MA, 1995, p.1142−1154.
  60. C.Robinson. Bifurcation to infinitely many sinks. — // Commun. Math. Phys., 1983, v.90, p.433−459.
  61. Б.Ф.Вылов, Р. Э. Виноград, Д. М. Гробман, В. В. Немыцкий. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости.-— //М., Наука, 1966.
  62. J.-P.Eckmann, D.Ruelle. Ergodic theory of chaos and strange attractors. — //Rev. Mod. Phys., 1985, v.57, No3, Part 1, p.617−656.
  63. Н.Мартин, Дж.Ингленд. Математическая теория энтропии. — //М., Мир, 1988.
  64. И.П.Корнфельд, Я. Г. Синай, С. В. Фомин. Эргодическая теория. — //М., Наука, 1980.
  65. Д.Орнстейн. Эргодическая теория, случайность и динамические системы. — //М., Мир, 1978.
  66. Г. М.Заславский Стохастичность динамических систем. — //М-, Наука, 1984.
  67. Я.Б.Песин. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория. — //Успехи матем. наук, 1977, т.32, вып.4, с.55−111.
  68. L.-S.Young. Dimension, entropy and Lyapunov exponents. — //Ergod. Theory and Dyn. Syst., 1982, v.2, Nol, p.109−124.
  69. Я.Г.Синай. Стохастичность гладких динамических систем. Элементы теории КАМ.— //В сб. Динамические системы. Т.2. М., ВИНИТИ, 1985, с.115−122.
  70. Е.А.Сатаев. Инвариантные меры для гиперболических отображений с особенностями. — //Успехи матем. наук, 1992, т.47, вып.1, с.147−202.
  71. Ы.Мапё. Ergodic Theory and Differentiable Dynamics. — //Springer, Berlin, 1987.
  72. M.JI.Бланк. Малые возмущения хаотических динамических систем. — // Успехи матем. наук, 1989, т.44, вып.6, с.3−28.
  73. Странные аттракторы. Сб. статей. — //М., Мир, 1981.
  74. M.Misiurewicz. Strange attractors for the Lozi mappings. — //In: Nonlinear Dynamics. Ed. R.G.Helleman. New York, New York Acad. Sci., 1980, v.357, p. 348−358.
  75. P.Collet, Y.Levi. Ergodic properties of the Lozi mappings. — //Commun. Math. Phys., 1984, v.93, No4, p.461−482.
  76. Р.В.Плыкин. Источники и стоки Л-диффеоморфизмов поверхностей. — //Матем. сб., 1974, т.94, No6, с.243−264.
  77. В.П.Белых. Модели дискретных систем фазовой синхронизации. — //В сб. Системы фазовой синхронизации. Ред. В. В. Шахгильдян, Л.Н.Белюс-тина — М., Радио и связь, 1982, с.161−176.
  78. Л.А.Бунимович. Системы гиперболического типа с особенностями. — //В сб. Динамические системы. Т.2.— М., ВИНИТИ, 1985, с.173−204.
  79. V.S.Afraimovich, L.P.Shilnikov. On strange attractors and quasiattractors. — //In: Nonlinear Dynamics and Turbulence. Ed. G.I.Barenblatt, G. Iooss, D.D.Joseph. New York, Pitman, 1983, p.1−34.
  80. D. Singer. Stable orbits and bifurcations of maps of the interval. — J J SI AM J. Appl. Math., 1978, v.35, No2, p.260−267.
  81. А.И.Огнев. Метрические свойства некоторого класса отображений отрезка в себя. — I¡-Матем. заметки, 1981, т. ЗО, No5, с.723−736.
  82. M.Misiurewicz. Absolutely continuous measures for certain maps of an interval. //Publ. Math. I.H.E.S., 1981, v.53, p.17−51.
  83. W.de Melo, S. van Strien. One-Dimensional Dynamics. — //Springer, Berlin, 1993.
  84. M.Benedicks, L.Carleson. On iterations of 1 — ax2 on (-1,1). — //Annals of Math., 1985, v. 122, p. 1−25.
  85. M.V.Jakobson. Absolutely continuous invariant measures for one-parameter families of one-dimensional maps. — //Commun. Math. Phys., 1981, v.81, Nol, p.39−88.
  86. G.Swi^tek. Hyperbolicity is dense in the real quadratic family. — //Preprint Stony Brook, 1992.
  87. Ю.И.Неймарк. Динамические системы и управляемые процессы. — //М., Наука, 1978.
  88. М.Розо. Нелинейные колебания и теория устойчивости. — //М., Наука. 1971.
  89. Ю.И.Кузнецов, В. В. Милюлин, И. И. Минакова, Б. А. Сильнов. Синхронизация хаотических автоколебаний. — /¡-Докл. АН СССР, 1984, т.275, No4−6, с.1388−1391.
  90. В.В.Алексеев, А. Ю. Лоскутов. О возможности управления системой со странным аттрактором. — //В сб. Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Том VIII. — Ленинград, Гидрометеоиз-дат, 1985, с.175−189.
  91. E.Ott, M.L.Spano. Controlling chaos. — //Physics Today, 1995, v.48, No5, p.34−40.
  92. R.L.Devaney. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. — //New York, Amsterdam, Addison-Wesley Publ. Co., 1993 (Second Edition).
  93. G.Reiser, A. Hubler, E.Luscher. Algorithm for the determination of the resonances of anharmonic damped oscillators. — //Z. Naturforsch A, 1987, v.42, p.803−807.
  94. E.A.Jackson. Control of dynamics flows with attractors. — //Phys. Rev. A, 1991, v.44, p.4839−4853.
  95. T.Shinbrot, E. Ott, C. Grebogi, J.A.Yorke. Using chaos to direct orbits to targets in systems describable by a one-dimensional map. — //Phys. Rev. A, 1992, v.45, No6, p.4165−4168.
  96. I.M.Starobinets, A.S.Pikovsky. Multistep controlling chaos. — //Phys. Lett. A, v.181, p.149−152.
  97. S.J.Schiff, K. Jerger, D.H.Duong, T. Chang, M.L.Spano, W.L.Ditto. Controlling chaos in the brain. — //Nature, 1994, v.370, p.615−620.
  98. Y.Liu, N. Kikuchi, J.Ohtsubo. Controlling dynamical behavior of a semiconductor laser with external optical feedback. — //Phys. Rev. E, 1995, v.51, No4, p.2697−2700.
  99. V.Petrov, M.J.Crowley, K.Showalter. Tracking unstable periodic orbits in the Belousov-Zhabotinsky reaction. — //Phys. Rev. Lett., 1994, v.72, Nol8, p.2955−2958.
  100. V.In, W.L.Ditto, M.L.Spano. Adaptive control and tracking of chaos in a magnetoelastic ribbon. — //Phys. Rev. E, 1995, v.51, N04, p.2689−2692.
  101. Н.Л.Комарова, А. Ю. Лоскутов. Стабилизация хаотического поведения колебательной химической реакции. — //Матем. моделирование, 1995, т.7, NolO, с.133−143.
  102. A.Yu.Loskutov, S.D.Rybalko, U. Feudel, J.Kurths. Suppression of chaos by cyclic parametric excitation in two-dimensional maps. — //J. Phys. A, 1996, v.29, Nol8, p.5759−5773.
  103. А.Н.Дерюгин, А. Ю. Лоскутов, В. М. Терешко. К вопросу о рождении устойчивого периодического поведения параметрически возбуждаемых динамических систем. — // ТМФ, 1995, т. 104, No3, с.507−512.
  104. Z.Galias. New method for stabilization of unstable periodic orbits in chaotic systems. — //Int. J. Bif. and Chaos, 1995, v.5, Nol, p.281−295.
  105. G.Duffing. Erzwungene Schwingungen bei Veranderlicher Eigenfrequenz. — //F. Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1918.
  106. K.Shiraiva. Bibliography of Dynamical Systems. — //Nagoya Univ., Preprint Nol, 1985.
  107. Z.Shu-yu.Bibliography on Chaos. — //World Sei., 1991.
  108. R.H.Helleman. Nonlinear dinamics. — //N.Y.: Am. N. Y. Acad. Sei., 1980, v.357
  109. A.Katok, B.Hasselblatt. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. — //Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.
  110. B.C., Некоркин В. И., Осипов Г. В., Шалфеев В. Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. Ред. A.B. Гапонов-Грехов, М. И. Рабинович. — //Изд-во ИПФ АН, Горький, 1989.
  111. V.S.L'vov, A.A.Predtechensky, A.I.Chernykh. Bifurcations and chaos in the system of Taylor vortices — laboratory and numerical experiment. — //In: Nonlinear Dynamics and Turbulence, eds. G.I.Barenblatt et al., Plenum 1983, p.238−280.
  112. A.V.Gaponov-Grekhov, M.I.Rabinovich, I.M.Starobinets. Arising of Multidimensional Chaos in the Active Lattices. — //Sovet. Phys. Dokl., vol.292, 1984, p.64−67.
  113. K.Kaneko. Overview of coupled map lattices. — //In: Chaos Focus Issue on Coupled Map Lattices, ed. K. Kaneko, Chaos, vol.2, 1992, p.279−282.
  114. A.V.Holden, J.V.Tucker, H. Zhang, M.J.Poole. Coupled map lattices as computational systems. — //In: Chaos Focus Issue on Coupled Map Lattices, ed. K. Kaneko, Chaos, vol.2, 1992, p.367−376.
  115. L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Statistical mechanics of coupled map lattices. — //In: Theory and Application of Coupled Map Lattices, ed. K. Kaneko, Wiley, 1993, p.169−189.
  116. L.A.Bunimovich, Ya.G.Sinai. Space-time chaos in coupled map lattices. — //Nonlinearity, vol.1, 1988, p.491−504.
  117. Ya.B.Pesin, Ya.G.Sinai. Space-time chaos in chains of weakly-coupled hyperbolic maps. — //In: Advances in Soviet Mathematics, vol.3, Harwood Academic, Switzeland, 1991.
  118. H.Keller, M.Kiinzle. Transfer operators for coupled map lattices. — //Ergod. Theory Dynam. Syst., vol.12, 1992, p.297−318.
  119. M.L.Blank. Small Prturbations of Chaotic Dynamical Systems. — /fRuss. Math. Surv., vol.44, 1989, p.3−28.
  120. V.S.Afraimovich, S.-N.Chow. Existence of Evolution Operators Group for Infinite Lattice of Coupled Ordinary Differential Equatios. — /?Dynam. Syst. Appl, vol.3, 1994, p.155−174.
  121. P.Coulet, P. Huerre, eds. New Trends in Nonlinear Dynamics and Pattern-Forming Phenomena. The Geometry of Nonequilibrium. — //Plenum, New York, 1990.
  122. J.-P.Eckmann, I.Procaccia. Spatio-temporal chaos. — //In: Chaos, Order and Patterns, eds. R. Artuso, P. Cvitanovic, G.Casati. Plenum, London, 1991, p. 135−172.
  123. M.I.Rabinovich, A.L.Fabricant, L.Sh.Tsimring. Finite Dimensional Spatial Disorder. — //Preprint, 1992.
  124. V.S.Afraimovich, L.A.Bunimovich. Density of defects and spatial entropy in extended systems. — //Physica D, vol.80, 1995, p.277−288.
  125. В.А.Васильев, Ю. М. Романовский, В. Г. Яхно. Автоволновые процессы. Ред. Д. С. Чернавский. — //М., Наука, 1987.
  126. Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — //М., Мир, 1989. 315 с.
  127. А.Ю.Лоскутов, С. Д. Рыбалко, Д. Н. Удин, К. А. Васильев. Модель пространственно неоднородной одномерной активной среды. — //Теор. и ма-тем. физика, 2000, т. 124, No3, с.506−519.
  128. А.Н. и др. Динамика одномерных отображений. — //Киев, Наукова думка. 1989. 211 с.
  129. М. «Эргодическая теория одномерных отображений.» В сборнике «Современные проблемы математики. Динамические системы 2." — //ВИНИТИ. 1985.
  130. J. & Matias М.А. «Control of chaos in unidimensional maps,» — //Phys. Lett. A, 181, p.29−32. 1993
  131. Hirsch M.V. «Convergent activation dynamics in continuous time networks,»
  132. Neural Networks, 2, p.331−349. 1989
  133. E.A. & Hubler A. «Entrainment and migration controls of two-dimensional maps,» — //Physica D, 54, p.253−265. 1992
  134. A. & Mackey M.C. «Chaos, Fractals, and Noise. Stochastic Aspects of Dynamics», Springer, Berlin. 1994.
  135. A.Yu. & Rybalko S.D. «Parametric perturbation and suppression of chaos in n-dimensional maps.» — //ICTP Preprint No IC/94/347. Trieste, Italy, November 1994.
  136. A.Yu.Loskutov, V.M.Tereshko, K.A.Vasiliev. Stabilization of chaotic dynamics of one-dimensional maps.— Int.J.Bif. and Chaos, 1996, v.6, No4, p. 725−735.
  137. A.Yu., Tereshko V.M. & Vasiliev K.A. «Predicted Dynamics for Cyclic Cascades of Chaotic Deterministic Automata.» — //International Journal of Neural Systems, 1995, 6, p.216−224.
  138. К.А.Васильев, А. Ю. Лоскутов. К проблеме самоорганизации: особенности динамики некоторых агрегатов сцепленных отображений. — //В сб. Синергетика-2. Москва, МГУ, 1999, с.78−85.
  139. М. 1990] «Chaos in maps with continious and discontinious maxima,» — //Computers in Physics, p.481−493.
  140. O.E., Kiwi M., Hess В., Markus M. 1989] «Modulated Nonlinear Processes and a Novel Mechanism to Induce Chaos,» — //Phys. Rev. A, 39, 5954.
  141. Sanju & Varma V.S. 1993] «Quadratic map modulated by additive periodic forcing,» //Phys. Rev. E, 48, p. 1670−1675.
  142. H.L. 1991] «Convergent and oscillatory activation dynamics for cascades of neural nets with nearest neighbor competitive or cooperative interactions,» — //Neural Networks, 4, p.41−46.
  143. A.Loskutov, D. Andrievsky, V. Ivanov, K. Vasiliev, A.Ryabov. Fractal growth of rotating DLA-clusters. — //Macromol Symp., 2000, v. 160, p.239−248.
  144. P. Meakin, — // In: Phase Transitions and Critical Phenomena, vol.12, C. Domb and J.L. Lebowitz (Eds.), Academic Press, 1988, p.335.
  145. J.-F. Gouyet, Physics and Fractal Structures, — //Springer-Verlag Berlin, Masson, Paris, 1996.
  146. N.Lemke, M.G.Malcum, R.M.C.de Almeida, P.M.Mors, and J.R.Iglesias, — //Phys.Rev.E 47, 3218 (1993)
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?