Стабилизация программного движения при постоянно действующих возмущениях

Проблема создания автоматических систем управления в той или иной степени возникла еще в начале прошлого столетия. В самом начале развития автоматики создавались различные регуляторы, основанные на чисто инженерной интуиции изобретателей. Позже стала развиватся теория, изучающая проблему реализации установившихся состояний системы.

Развитие идеи вариационного исчисления увенчалось появлением методов принципа максимума JLG. Понтрягина и динамического программирования Р. Беллмана. Благодаря вышеупомянутым методам, стало возможным решение неклассических, сложных практических задач [1, 2, 8, 14, 42, 66, 70, 72, 83, 84, 92, 111, 113, 118, 119], теории управления и теории стабилизации движения [3, 18, 28, 29, 46, 51, 52, 58, 69, 74, 87, 93, 94, 104, 115]. Появление этих методов дало толчок широкому развитию различных других методов решения важных и нужных задач об устойчивости решений дифференциальных уравнений [4, 9, 11−13, 16, 19, 33, 34, 43, 54, 61, 67, 68, 85, 86, 98, 108, 116, 117 ] и задач оптимального управления [6, 7, 22−25, 30, 45, 47, 59, 74, 89, 90, 96, 97, 102, 109, 110] .

Впервые задача об устойчивости в строгом математическом изложении была сформулирована А. М. Ляпуновым в его знаменитой диссертационной работе «Общая задача об устойчивости движения» [63]. Там же он указал два метода решения этой задачи, в последствии названными: первым и вторым методом А. М. Ляпунова. Эти методы получили дальнейшее развитие в работах [ 5,10,20,37— 39,49,50,95,107!

А.М.Ляпунов поставил следующую задачу [62]. Пусть имеется система дифференциальных уравнений вида х8 — xs ($iг) (& = 1,.,"), (о.ол) определенных в некоторой области S значений переменных а?,| < Н (a = l,., n), t > «о, (0.0.2) где ioi Н — некоторые постоянные, причем Н > 0.

Предположим, что функция Xs обладает свойством.

Х,(0>.,(М) = 0 ($ = 1,., п) (0.0.3) и является голоморфной в некоторой октестности начала координат х* = 0,.,< = 0. (0.0.4).

В силу допущения (0.0.3) равенства (0.0.4) определяют очевидное решение уравнений (0.0.1), которое Ляпунов назвал невозмущенным движением.

Решение (0.0.4) отвечает начальным значениям переменных ®10 =. = хпо = О и предполагается единственным. Всякое другое решение уравнений (О.ОЛ), отличное от очевидного и отвечающее каким-либо другим начальным значениям Яю, хпо переме-ных, среди которых, по крайней мере, одно отлично от нуля, Ляпунов назвал возмущенным движением, а сами значения ж10, хп0 — возмущенными.

Желая выяснить известные топологические свойства окрестности (0.0.2) невозмущенного движения (0.0.4), Ляпунов поставил нижеприведенную задачу, дав при этом следующее определение.

Если при всяком, произвольно задаваемом числе А, как бы мало оно ни было, может быть выбрано число, А так, что при всяких возмущениях ж10, хпо, удовлетворяющих условию ^ А, г и при всяком? > ¿-о выполнялось неравенство.

1С< то невозмущенное движение устойчивов противном случае оно неустойчиво.

Пользуясь этим определением, Ляпунов поставил задачу об устойчивости невозмущенного движения (0.0.4), т. е. задачу об отыскании тех условий, выполнение которых гарантирует устойчивость невозмущенного движения (0.0.4) в указанном выше смысле.

Эта задача имеет всеобщее научное значение и находит применение всюду, где явления описываются дифференциальными уравнениями вида (0.0.1) — в теории автоматического управления задача об устойчивости является первой основной задачей. Здесь интересуются совокупностью всех значений параметров управления, при которых оно поддерживает процесс управления, описываемый решением (0.0.4).

В пространстве параметров управления эта совокупность образует некоторую область С, которую называют областью устойчивости.

Решение задачи об устойчивости преследует в конечном счете цель изучить динамику работы управляемых систем, получить эффективные средства влияния на нее с целью добится улучшения режимов работы и течения регулируемых процессов. Кроме того, решение проблемы устойчивости лежит в основе решения двух других важнейших проблем теории автоматического управления — проблемы качества и проблемы синтеза управления. Этим объясняется тот огромный интерес, который проявляется к задаче об устойчивости в науке вообще и в теории управления в частности.

Задаче об устойчивости посвящены четыре известные оригинальные монографии [36, 49, 64, 106].

Ляпунову принадлежат основные теоремы, разрешающие задачу об устойчивости в тех или иных случаях. Так, им доказала одна группа теорем, составляющих содержание того, что теперь принято называть прямым методом Ляпунова. Наряду с этим, он доказал другую группу теорем, составивших содержание первого метода Ляпунова. Оба метода имеют для теории автоматического управления фундаментальное значение.

Несомненный интерес вызывают таюке существенно важные для различных приложений вопросы устойчивости по первому приближению и сохранения свойства устойчивости при разного рода П.Д.В.

Ответы на некоторые из этих вопросов и составляют основную часть данной диссертационной работы. Необходимые дополнительные сведения были использованны при этом из работ [ 15,17, 21,26,27,31,32,35,40,41,48,53,55,56,60,65,71,73,75,88,91,99- 101, 103,105,112,114].

Перейдём к непосредственному изложению содержания диссертационной работы,.

В первой главе рассматриваются вопросы, посвященные разработке способов решения сформулированной ниже (в § 1.2) задачи и вопросы отыскания этих решений.

Так, в § 1.1 дается постановка задачи об оптимальной стабилизации и некоторые особенности ее решения с различными условиями, наложенными на управляющий функции. Приводятся некоторые результаты различных авторов, которые были использованы в дальнейшем при написании настоящей работы.

В § 1.2 раскрыто понятие «постоянно действующие возмущения», даны их виды и способы задания. Поставлена задача стабилизации крена морского корабля.

В § 1.3 изложен способ решения задачи Румянцева В. В. для линейной неоднородной системы. Приведен пример.

§ 1.4. данной главы полностью посвящен решению вопроса построения наилучшего стабилизируещего управления, для случая, когда возмущения р{1) действуют только в некотором га-мерном подпространстве Ет п-мерного евклидова пространства Еп, и управление действует в том же подпространстве.

В § 1.5 построено стабилизирующее управление для сложных систем, где оптимизация проводится на двух уровнях: локальным управлением — на уровне подсистемглобальном — на уровне всей системы.

Во второй главе рассмотренны вопросы построения кусочно-постоянного управления и условия его существования.

В § 2.1 исследуются случаи, когда функция Ляпунова определяется в виде непрерывной функции и когда, при этом, можно гарантировать существование указанного управления.

В § 2.2 дается решение задачи стабилизации при ограничениях на управляющие воздействия.

Заключительный § 2.3 посвящен задаче о существовании управления при постоянно действующих возмущениях. Здесь указаны условия разрешимости данной задачи.

В третьей главе результаты глав 1 и 2 применяются для решения задач, имеющих прикладной характер.

В § 3.1 изложен способ решения задачи оптимальной стабилизации при неисчезающих П.Д.В., явно не заданных. При этом неизвестные П.Д.В. с помощью сплайнов приближенно представлены в виде явной функции.

В § 3.2 дано решение задачи оптимальной стабилизации крена морского корабля. Для этого был применен способ из § 3.1. Проведен численный эксперимент. Для решения задачи данного параграфа была разработана программа (см. Приложение).

Библиографический список данной диссертационной работы содержит 119 наименований.

В приложении предлагается программа на языке Turbo Pascal, составленная для решения поставленной в § 3.2 задачи и позволяющая определять неизвестные постоянно действующие возмущения из некоторого класса с наилучшей точностью явными функциями времени.

Так как П.Д.В. p (t) не всегда являются заданными, но есть возможность измерить их в отдельные моменты времени, а, следовательно, и аппроксимировать приближенной, но уже известной функцией, то в компьютер заносятся (и сохраняются в банке данных) значения p (t) в некоторых точках заданного интервала (количество точек неограничено, это сказывается лишь на точности и на быстродействии получения конечного результата).

В результате выполнения данной программы выдается сообщение о наилучшем совпадении заданных точек с одной из функций p (t) из некоторого заданного класса. При необходимости в предлагаемой программе можно легко изменить все параметры и зафиксировать «выскакивающие» значения p (t).

Основные результаты данного диссертационного исследования следующие:

1. Указан новый способ решения задачи В. В. Румянцева, когда подинтегральная функция представима в виде суммы двух слагаемых и первое слагаемое этой функции имеет тот же вид, что и для управляемой системы общего вида. Лано решение оптимизационной задачи сложной системы при постоянно действующих возмущениях.

2. С помощью аппарата дифференциальных включений, рассмотренны вопросы существования кусочно-непрерывного управления для случая, когда размерности векторов управления и постоянно действующих возмущений не совпадают.

3. Исследована область непрерывности для функции Ляпунова в вопросах существования кусочно-непрерывного управления. Доказаны соответствующие теоремы для случаев, когда функция Ляпунова определена в виде непрерывной функции и в каком случае можно гарантировать существование указанного управления.

4. Указаны способы «представления» неизвестных постоянно дейсвующих возмущений приближенно известными функциями времени. Более детально рассмотрены вопросы приближенного представления П.Д.В. некоторого класса и примерные способы их разрешения.

5. Проведен анализ и указан способ решения задачи оптимальной стабилизации при неисчезающих постоянно действующих возмущениях. На основании полученных результатов, решена задача стабилизации крена морского корабля.

Основные результаты данной диссертационной работы отражены в публикациях [76−82].

Полученные результаты могут быть применены к исследованию вопросов стабилизации программного движения при постоянно действующих возмущениях, затрагивающих реальные практические процессы.

Основные результаты диссертации докладывались на I и III.

1. Алексеев В. М. Об асимптотическом поведении решений слабо нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений //Докл. АН СССР. — 1960. — Т.134, № 2. — С. 247−250.

2. Алексеев В. М. Об одной оценке возмущений решений обыкновенных дифференциальных уравнений, I //Вестн. Моск. ун-та. Сер. мат. и мех. 1961. — № 2. — С. 28−36.

3. Альбрехт Э. Г., Шелементьев Г. С. Лекции по теории стабилизации. Свердловск, 1972. — 273 с.

4. Андреев A.C. Об устойчивости неустановившегося движения // Учен. зап. Ульян, гос. ун-та. Фундам. проб. мат. и мех. -Ульяновск, 1996. № 1, 4.1. — С. 15−23.

5. Андреев A.C., Хусанов Д. Х. К методу функционалов Ляпунова в задаче об асимптотической устойчивости и неустойчивости //Диф. уравнения. 1998. — Т.34, № 7, — С. 876−885.

6. Андреев В. А., Казаринов Ю. Ф., Якубович В. А. Синтез оптимальных управлений для линейных неоднородных систем в задачах минимизации квадратичных функционалов //Докл. АН СССР. 1971. — Т. 199, № 2. — С. 258−261.

7. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными объектами. -М.: Наука, 1976. 424 с.

8. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. — 568 с.

9. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. — 304 с.

10. Барбашин Е. А.

Введение

в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. — 223 с.

11. Барбашин Е. А., Красовский H.H. Об устойчивости движения в целом// Докл. АН СССР. 1952. — Т. 86, № 3. — С. 453 456.

12. Барбашин Е. А., Красовский H.H. О существовании функций Ляпунова в случае асимптотической устойчивости в целом// ПММ. 1954. — Т. 18, вып. 3. — С. 345−350.

13. Барбашин Е. А., Табуева В. А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969. -299 с.

14. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ., 1954. — 216 с.

15. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк., 1991. — 303 с.

16. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Изд-во АН СССР, 1963. — 410 с.

17. Брудный Ю. А. Сплайн-аппроксимация и функции ограниченной вариации// Докл. АН СССР. 1974. — Т. 215, № 3. — С. 511−513.

18. Бруновски П. О стабилизации линейных систем при определенном классе постоянно действующих возмущений //Диф. уравнения. 1966. — Т.2, № 6, — С. 769−777.

19. Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966. — 576 с.

20. Валеев К. Г., Финин Г. С. Построение функций Ляпунова. -Киев: Наук, думка, 1981. 412 с.

21. Воронов A.A.

Введение

в динамику сложных управляемых систеьф. М.: Наука, 1985. — 352 с.

22. Воротников В. И. Об устойчивости и стабилизации движения относительно части переменных // ПММ. 1982. Т. 46, вып. 6." С. 914−923.

23. Воротников В. И. Об устойчивости движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях // ПММ. 1983. Т. 47, вып. 2. — С. 291−301.

24. Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991. — 286 с.

25. Воротников В. И., Прокопьев В. П. Об устойчивости движения относительно части переменных для линейных систем / / ПММ. 1978. Т. 42, вып. 2. С. 268−271.

26. Вукобратович М., Стокич Д. Управление манипуляционны-ми роботами. М.: Наука, 1985. — 384 с.

27. Вукобратович М., Стокич Д., Кирчански Н. Неадаптивное и адаптивное управление манипуляционными роботами. М.: Мир, 1989. — 376 с.

28. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. — 507 с.

29. Габасов Р., Кириллова Ф. М. и др. Конструктивные методы оптимизации (в 3-х частях). Минск.: Изд-во «Университетское», 1984. — 645 с.

30. Габасов Р., Кириллова Ф. М., Прищепова C.B. Оптимальный регулятор с прогнозированием возмущений // Изв. АН: Теория и системы управления 1996. № 3. — С. 55−60.

31. Галиуллин A.C. Методы решения обратных задач динамики. М.: Наука, 1986. — 224 с.

32. Галиуллин A.C., Мухаметзянов И. А., Мухарлямов Р. Г., Фу-расов В. Д. Построение систем программного движения. -М.: Наука, 1971. 325 с.

33. Гермаидзе В. Е., Красовский H.H. Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях // ПММ. 1957. Т. 21, вып. 6. С. 769−774.

34. Лемидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. — 472 с.

35. Лемидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1960. — 660 с.

36. Зубов В. И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1957. — 241 с.

37. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судпромгиз, 1959. — 289 с.

38. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. — 495 с.

39. Зубов В. И. Теория уравнений управляемого движения. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1979. — 288 с.

40. Ильин И. А. Сплайн-разностные схемы и их приложения. -Алма-Ата: Изд-во Казахстан, ун-та, 1977. 67с.

41. Ильин И. А., Лукьянов А. Т. Сплайны и их применение. -Алма-Ата: Изд-во Казахстан, ун-та, 1980. 109с.

42. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. — 400 с.

43. Каримов А. У. Об устойчивости движения по части переменных при постоянно действующих возмущениях // Мат. физика и электродинамика. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1973. — С. 310.

44. Кириллова Ф. М. К задаче аналитического конструирования регуляторов // ПММ. 1961. Т. 25, вып. 3 — С. 433−440.

45. Кирин Н. Е. Методы последовательных оценок в задачах оптимизации управляемых систем JL: Изд-во Ленингр. унта, 1975. — 159 с.

46. Кирин Н. Е., Исраилов И. И. Оценочные системы в задачах теории управления Ташкент: Фан, 1990. — 158 с.

47. Кирин Н. Е., Сеисов Ю. Б. Оптимизация процессов в управляемых системах. Ашхабад: Ылым, 1991. — 264 с.

48. Красовский A.A., Поспелов Г. С. Основы автоматики и технической кибернетики.- М.- Л.: Госэнергоиздат, 1962. 600 с.

49. Красовский H.H. Некоторые задачи устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. — 211 с.

50. Красовский H.H. Обобщение теорем второго метода Ляпунова // Малкин И. Г. Теория устойчивости движенияДополнение 3. М.: Наука, 1966. — С. 463−474.

51. Красовский H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений // Малкин И. Г. Теория устойчивости движенияДополнение 4. М.: Наука, 1966. — С. 475−514.

52. Красовский H.H. Теория управления движением. Линейные системы. М.: Наука, 1968. — 367 с.

53. Коддингтон Е. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ., 1958. — 474 с.

54. Кривошеев Ю. А., Луценко A.B. Об устойчивости движения относительно части переменных для линейных систем с постоянной и почти постоянной матрицей // ПММ. 1980. -Т. 44, вып. 2. — С. 205−210.

55. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ: В 3 т. Т.1. М.: Высш. гик., 1988. — 712 с.

56. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. В 3 т. Т.2. М.: Высш. шк., — 1988. — 576 с.

57. Летов A.M. Динамика полета и управлене. М.: Наука, 1969. — 369 с.

58. Летов A.M. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981. — 256 с.

59. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. М.: Наука, 1966. — 176 с.

60. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, -1975. — 496 с.6'1. Луценко A.B., Стадникова Л. В. О частичной устойчивости по первому приближению // Диф. уравнения. 1973. — Т. 9, № 8. — С. 1530−1533.

61. Ляпунов A.M. Избранные труды/ Под ред. В.И.СмирноваЛ.:Изд-во АН СССР, 1948. 540.

62. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. -Л.- М.: ОНТИ, 1935. 336 с.

63. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.:Наука, 1966. — 530 с.

64. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. -М.:Наука, 1989. 608 с.

65. Массера Х.Л.ДПефер Х. Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. — 456 с.

66. Матросов В. М. Об устойчивости движения// ПММ. 1962.Т. 26, вып. 5, С. 885−895.

67. Матросов В. М. К теории устойчивости движения// IIMM. -1962. Т. 26, вып. 6, — С. 992−1002.

68. Мейлахс A.M. О стабилизации управляемых систем при постоянно действующих возмущениях // Диф. уравнения. -1973. Т. 9, № 12. — С. 2270−2271.

69. Меркин Д. Р.

Введение

в теорию устойчивости движения. -М.: Наука, 1987. 362 с.

70. Миллионщиков В. М. Асимптотика решений линейных систем с малыми возмущениями // Докл. АН СССР. 1965. — Т.162, № 2. — С. 266−268.

71. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981. — 400 с.

72. Мордухович В. Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988. — 360 с.

73. Мухаметзянов И. А. Об оценке максимальных отклонений координат нелинейных возмущаемых систем автоматического управления // Автоматика и телемеханика. 1965. — Т.26, № 12. — С. 350−358.

74. Мухаметзянов И. А. Достаточные условия абсолютной устойчивости и диссипативности нелинейных регулируемых систем при постоянно действующих и параметрических возмущениях // Автоматика и телемеханика. 1968. — № 12. -С. 131−133.

75. Названов М. С. Об одном способе решения задачи оптимальной стабилизации // Тез. докл. I Междун. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения», Саранск, 1994. С. 149.

76. Названов М. С. Об одном способе решения задачи оптимальной стабилизации // Мат. моделирование, РАН 1995. -Т.7, № 5. — С. 73.

77. Названов М. С. Решение задачи оптимальной стабилизации относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях // XXIV Огарёвские чтения: Тез. докл. науч. конф. В 3 ч. Ч. 3. Саранск, 1995. — С. 19−20.

78. Названов М. С., Щенников В. Н. Об оптимальной стабилизации линейной неоднородной системы // Дифференциальные уравнения и методы их решения / Мордов. гос. ун-т. Саранск, 1995. — С. 62−67. — Деп. в ВИНИТИ 05.12.95, № 3224-В95.

79. Названов М. С., Шенников В. Н. Стабилизация управляемой системы и аппроксимация постоянно действующих возмущений // Вестн. Морд, ун-та. 1996. — № 4. — С. 41−45.

80. Названов М. С. Инвариантность решений относительно постоянно действующих возмущений // III Конф. молодых ученых Мордов. гос. ун-та: Тез. докл. В 2 ч. Ч, 1. Саранск, 1998. — С. 220.

81. Названов М. С. Существование управления при одном классе постоянно действующих возмущений // Труды III Междун. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения», Саранск, 1998. С. 221.

82. Немыцкий В. В. Некоторые современные проблемы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1965. — Т.20, вып.4(124). — С. 3−36.

83. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.- Л.: ГИТТЛ, 1947. — 448 с.

84. Озиранер А. С. Об устойчивости движения в критических случаях // ПММ. 1975. Т. 39, вып. 3. — С. 415−421.

85. Озиранер А. С. Об устойчивости движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях / / ПММ. 1981 — Т. 45, вып. 3. — С. 419−427.

86. Петров В. Н. Избранные труды. М.: Наука, 1983. Т.1. Теория автоматического управления. — 432 с.

87. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. — 296 с.

88. Плотников В. И. Необходимые условия оптимальности для управляемых систем общего вида //Докл. АН СССР. 1971. Т.199, № 2. С. 275−278.

89. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов.- М.: Физматгиз, 1961. 391 с.

90. Понтрягин Л. С. Избранные научные труды: В 3 т. Т. 3. Непрерывные группы. М.: Наука, 1988. — 343 с.

91. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974. 320 с.

92. Румянцев B.B. Об оптимальной стабилизации управляемых систем // ПММ. 1970 — Т. 34, вып. 3. — С. 440−456.

93. Румянцев В. В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. — 256 с.

94. Руш Н., Абетс П., Лалуа Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. — 300 с.

95. Салуквадзе М, Е. Задачи векторной оптимизации в теории управления. Тбилиси: Мецниереба, 1975. — 201 с.

96. Салуквадзе М. Е. Задача A.M. Летова о синтезе оптимальных систем автоматического управления. Тбилиси: Мецниереба, 1988. — 288 с.

97. Смирнов Е. Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. — 198 с.

98. Стечкин С. Б. Наилучшее приближение, линейных операторов // Матем. заметки 1967 — Т. 1, № 2. — С. 137−148.

99. Субботин Ю. Н. Экстремальная функциональная интерполяция и приближение сплайнами // Матем. заметки 1974.Т. 16, m 5. — С. 843−854.

100. Стечкин С. В., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. — 248 с.

101. Уланов Г. М. Регулирование по возмущению (Компенсация возмущений и инвариантность). М.- Л.: Госэнергоиздат, 1960. — 110 с.

102. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. — 224 с.

103. Фурасов В. Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука, 1977. — 247 с.

104. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Мир, 1970. 720 с.

105. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990. -176 с.

106. Шестаков А. А., Меренков Ю. Н. Об определении общего решения дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1986. — № 5. — С.802−812.

107. Юдаев Г. С. К вопросу об устойчивости относительно части переменных // Диф. уравнения. 1975. — Т. 11, № 6. — С. 1023−1029.

108. Brunovsky P. On the best stabilizing control under a given class of perturbations// Czech. Math. J. 1965. — Vol. 15 (90). — P. 329−369.

109. Brunovsky P. A condition of the existence of an universai beststabilizing control// Czech. Math. J. 1965. — Vol. 15 (90). — P. 370−377.

110. Colombo G., Krivan V. Robustness of viability controllers under small perturbations// J. Optimiz. Theory and Appl. 1994. — Vol. 83. № 1. — P. 207−215.

111. De Boor C., Fix G.J. Spline approximation by quasinterpolants// J. Approximation Theory 1973. — Vol. 8. № 1. — P. 19−45.

112. Hartman P. On the local linearization of differential equation // Proc. Amer. Math. Soc. 1963. — Vol. 14. № 4. P. 568−573.

113. Jerom J.W. Minimization problem and linear and nonlinear spline functions// I. Existence, SIAM J. Numer. Anal. 1973. — Vol. 10. № 5. — P. 809−819.

114. Minorsky N. Control Problems// J. Franklin Inst. 1961. — Vol. 232, № 5. — P. 519−551.

115. Minorsky N. Self Excited Oscillation in Dynamic Systems Possessing Retarded Action// J. Appl. Mech. 1962. — Vol. 9, X" 2. P. 153−162.

116. Nyquist H. Regeneration Theory// Bell. System Techn. J. 1962. -Vol. 11, Jan. P. 126−127.

117. Onuchic N., Cassago H. Asymptotic behaviour of infinity between the solutions of two systems of ordinary differential equations //J. Math. Anal, and Appl. 1984. — Vol. 102, № 2. — P. 348−362.

118. Rab M. Asymptotic relationships between the solutions of two systems of differential equations // Ann. Polon. Math. 1974. — Vol. 30. — P.119−124.