I. Актуальность проблемы. Задача построения случайных процессов с взаимодействием частиц восходит к совместным работам А. НЛСолмогорова и М-А.Леонтовича по физической статистике начала 30-х гг. Такую задачу подробно обсуждает Б. В. Гнеденко в курсе теории вероятностей [18] • М. А. Леонтович [Х9] дал модель стохастической системы с попарно сталкивающимися частицами в виде однородного во времени марковского процесса в фазовом пространстве N П всех VIмерных векторов с целочисленными неотрицательными компонентами. Близкие к такой модели марковские процессы на А/ определяются в ряде работ, посвященных конкретным задачам физической кинетики, химической кинетики, экологии (Н.Бейли [20], К. Баруча-Рид [io], Г. Николис, И. Пригожин [2l], D.A. Мс GUflizwfe] и др.)* Ветвящиеся процессы с взаимодействием частиц определяются как специальный класс марковских.
А, VV процессов на /V, который обобщает все эти модели (Б.А.Севастьянов [2]).
Если рассматривать ветвящийся процесс без взаимодействия частиц, то свойством, определяющим возможность построения математической теории ветвящихся процессов, является свойство отдельных частиц размножаться и эволюционировать независимо друг от друга. Такой ветвящийся процесс можно определить как однородный во времени марковский процесс в фазовом пространстве N-{0,{ 2,. j переходные вероятности которого Р-.М, tе удовлетворяют при t I 0 условиям: Oft), (I).
P.?(t) = 1 +?ptt + 0(П.
OO.
P.*0 (i*i)t pt<0, E рг = 0. F.
С помощью производящих функций (I? I $ 1).
00, 00 / СО 0 irO I свертывая прямую и обратную системы дифференциальных уравнений Колмогорова для марковского процесса (I) со счетным числом состояний получаем уравнения:
— прямое, и свертку обратного уравнения -^ t иЪ у.
97О-^ =. здесь ^ pt ^с.
Из уравнения (3) можно получить, что s) = (F^ft &)) (см., например, Т. Харрис [в]), т. е. переходные вероятности удовлетворяют условию ветвления:
21. Ъ <*)>.%(*) (Б).
Если состояние С интерпретировать как наличие L частиц, то свойство (5) означает, что частицы эволюционируют и размножаются независимо друг от друга.? (t $).
Из (5) следует, что Т (tЬ, — в 2 1 Подставляя последнее выражение в (4), получаем уравнение ветвящегося процесса I (Ft ft- .)), F4 C6).
Ветвящийся процесс ju± с взаимодействием К частиц является непосредственным обобщением процесса (I).
Пусть при t I 0 переходные вероятности '^fyt^ оэ)> удовлетворяют условиям.
PtV (0 = 4 + ta" -i)."(t-K+iHK!VipKt i-o (t).
CO p- >, 0, если, pk < 0 и YL pt- = o.
Из прямой и обратной систем Колмогорова, используя производящие функции (2), получаем уравнения: п>±к.
При Ю2 переходные вероятности не удовлетворяют свойству ветвления (5). Исследование уравнений (8), (9) не сводится к уравнению типа (6), как в случае к = 1. Если состояние ^ интерпретировать как наличие I частиц, то частицы зависят друг от друга, или взаимодействуют.
2. Обзор исследований"в этой области. Необходимость рассмотрения ветвящегося процесса с взаимодействием частиц отмечалась Б. А. Севастьяновым в монографии [i], Т. Е. Харрисом [в]. В докладе [2] Б. А. Севастьянов дал общее определение ветвящегося случайного процесса с взаимодействием частиц и получил прямое уравнение для производящих функций переходных вероятностей процесса, свернув прямую систему дифференциальных уравнений Колмогорова.
В ряде работ решается прямая система дифференциальных уравнений и даются явные выражения для переходных вероятностей процесса через различные специальные функции (D, A. ftcQuwme [9] f Н. Бейли [20], Г. Николис, И. Пригожин [2i]).
3. Цельработы. Основной целью настоящей диесертации являетеисследование предельных вероятностей ветвящихся процессов с взаимодействием частиц. Для трех моделей ветвящегося процесса получены выражения для предельных вероятностей через инфинитезимальные характеристики процессовисследованы асимптотические свойства финальных вероятностей ветвящегося процесса с частицами финального типа.
4. Диссертация состоит из введения и четырех глав, подразделенных на пятнадцать параграфов. Нумерация параграфов отдельная для каждой главы. В каждом параграфе имеется нумерация формул, теорем и т. п. При ссылке внутри одного параграфа указывается только этот номер, при ссылке внутри одной главы добавляется номер соответствующего параграфа, и т. д. Например, в главе III ш ссылаемся на теорещ 2 из § 1 главы II, как на теорему 2.1.2.
1. Севастьянов Б. А., Ветвящиеся процессы, М., изд-во «Наука», 1971.
2. Севастьянов Б. А., Ветвящиеся процессы с взаимодействием частиц. Тезисы докладов на третьей Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике, т.2, Вильнюс, изд-во В1У, 1981.
3. Чжун Кай Лай, Однородные цепи Маркова, М., изд-во «Мир», 1964.
4. Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, М., изд-во «Наука», 1967.
5. Meet S цг ut/L mode sepQiahon. des equations et? a Lay гопуе, des> ъсСеиог*. rWk. fl), 57Ш1).
6. Титмарш E., Теория функций, М., изд-во «Наука», 1980.
7. Евграфов М. А., Аналитические функции, М., изд-во «Наука?1968.
8. Сборник задач по теории аналитических функций. Под ред. Евграфова М. А., М., изд-во «Наука», 1972.Хб. Карлин С., Основы теории случайных процессов, М., изд-во «Мир», 1971.
9. Зюков М. Е., Распределение некоторых функционалов для случайного блуждания с ограниченными снизу скачками, Укр. матем. ж., 31, & 5 (1979), 543−547.
10. Гдеденко Б. В., Курс теории вероятностей, М., изд-во «Наука», 1969.
11. Леонтович М. А., Основные уравнения кинетической теории газов с точки зрения теории случайных процессов, ЖЭТФ, 5, JS 3 (1935), 211−230.
12. Бейли Н., Математика в биологии и медицине, М., изд-во «Мир», 1966.
13. Николис Г., Пригожин., Самоорганизация в неравновесных системах, М., изд-во «Мир», 1979.
14. Шематович В. И., Нестационарное статистическое моделирования столкновительных физико-химических процессов в разреженном газе, кандидатская диссертация, М., ВЦ АН СССР, 1980.
15. Румер Ю. Б., Рыбкин М. Ш., Термодинамика, статистическая физика и кинетика, М., изд-во «Наука», 1977.
16. Филиппов Ю. В., Попович М. П., Физическая химия, М., изд-во МГУ, 1980.
17. Семенов Н. Н., Цепные реакции, М.-Л., изд-во ОНТИ, 1934.
18. Севастьянов Б. А., Калинкин А. В., Ветвящиеся случайные процессы с взаимодействием частиц, ДАН СССР, т. 264, $ 2 (1982), с. 306−308.
19. Калинкин А. В., Вероятность вырождения ветвящегося процесса с взаимодействием частиц, Теория вероятн. и ее примен", ХХУП, I (1982), с. 192−197.
20. Калинкин А. В., Финальные вероятности ветвящегося процесса с взаимодействием частиц комплектами, статья депонирована в ВИНИТИ АН СССР, В 464−82 от 2 февраля 1982 г.
21. Калинкин А. В., Вероятность вырождения одного ветвящегося процесса. В сб.: Тезисы докладов конференции молодых ученых МГУ, изд-во МГУ, 1983.
