7 задач по статистике торговли, ТЭИ. 
Имеются следующие данные о возрасте работников предприятия. 
Построить интервальный вариационный ряд

Задача 1

Имеются следующие данные о возрасте работников предприятия:

52 35 25 32 23 18 27 40 28 40

45 25 46 21 26 30 38 24 34 42

50 33 41 19 35 47 41 29 59 28

23 55 31 39 35 30 29 32 45 29

Построить интервальный вариационный ряд, образовав 3−4 группы с равными интервалами. По полученным данным рассчитать:

1) Среднюю возраст работников;

2) Дисперсию;

3) Среднее квадратическое отклонение;

4) Коэффициент вариации;

5) Моду и медиану.

Решение:

Для построения интервального вариационного ряда, характеризующего распределение работников предприятия по возрасту, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле:

где — наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, kчисло групп интервального ряда.

Определение величины интервала по формуле при заданных k = 4, xmax = 59 лет, xmin = 18 лет:

лет.

При h = 10,25 лет границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид:

Номер группы Нижняя граница, лет. Верхняя граница, лет.

1 18 28,25

2 28,25 38,5

3 38,5 48,75

4 48,75 59

Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число работников, входящих в каждую группу (частоты групп).

Распределение работников предприятия по возрасту Номер группы Группы работников предприятия по возрасту, лет, х Число работников,

f

1 18−28,25 12

2 28,25−38,5 14

3 38,5−48,75 10

4 48,75−59 4

Итого 40

Помимо частот групп в абсолютном выражении в анализе интервальных рядов используются ещё три характеристики ряда: это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты Sj, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

Структура работников по возрасту

№ группы Группы работников предприятия по возрасту, лет, х Число работников, fj Накопленная частота,

Sj Накопленная частоcть, %

в абсолютном выражении в % к итогу

1 2 3 4 5 6

1 18−28,25 12 30 12 30

2 28,25−38,5 14 35 26 65

3 38,5−48,75 10 25 36 90

4 48,75−59 4 10 40 100

Итого 40 100

Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

где хМo — нижняя граница модального интервала,

h -величина модального интервала,

fMo — частота модального интервала,

fMo-1 — частота интервала, предшествующего модальному,

fMo+1 — частота интервала, следующего за модальным.

Согласно таблицы, модальным интервалом построенного ряда является интервал 28,25−38,5 лет, так как его частота максимальна (f2 = 14).

Расчет моды по формуле:

лет.

Для рассматриваемой совокупности работников наиболее распространенный возраст характеризуется средней величиной 31,67 лет.

Медиана Ме — это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

где хМе- нижняя граница медианного интервала,

h — величина медианного интервала,

— сумма всех частот,

fМе — частота медианного интервала,

SMе-1 — кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

В нашем случае медианным интервалом является интервал 28,25−38,5 лет, так как именно в этом интервале накопленная частота Sj = 26 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности (=).

Расчет значения медианы по формуле:

лет.

В рассматриваемой совокупности работников половина имеют в среднем возраст не более 34,11 лет, а другая половина — не менее 34,11 лет.

Для расчета характеристик ряда распределения (средняя), σ (среднее квадратическое отклонение), σ2 (дисперсия), Vσ (коэффициент вариации) построим вспомогательную таблицу (- середина j-го интервала).

Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения Группы работников предприятия по возрасту, лет Середина интервала,

Число работников,

fj

1 2 3 4 5 6

18−28,25 23,125 12 277,5 -11,79 1667,34

28,25−38,5 33,375 14 467,25 -1,54 33,09

38,5−48,75 43,625 10 436,25 8,71 759,08

48,75−59 53,875 4 215,5 18,96 1438,31

Итого 40 1396,5 3897,82

Расчет средней арифметической взвешенной:

лет.

Расчет среднего квадратического отклонения:

лет.

Расчет дисперсии:

σ2 =9,872=97,45

Расчет коэффициента вариации:

Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средний возраст работников составляет 34,91 года, отклонение от среднего возраста в ту или иную сторону составляет в среднем 9,87 лет (или 28,3%).

Значение Vσ = 28,3% не превышает 33%, следовательно, вариация возраста в исследуемой совокупности работников незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна. Расхождение между значениями, Мо и Ме незначительно (=34,91 лет, Мо=31,67 лет, Ме=34,11 лет), что подтверждает вывод об однородности совокупности работников. Таким образом, найденное среднее значение возраста работников (34,91 лет) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности работников.