Условия алгебраической интегрируемости гамильтоновых систем с однородным потенциалом

Точное интегрирование уравнений движения — одна из наиболее популярных и трудных проблем динамикитолько небольшое число задач удалось точно проинтегрировать. К сожалению, до сих пор нет общего критерия, который позволил бы определить свойство системы быть вполне интегрируемой (обсуждение этих вопросов см. в [1. 2]).

Важным направлением исследований прошлого столетия является изучение интегрируемых систем классической механики, но эта проблема осталась актуальной и в наше время. Под интегрируемыми системами подразумеваются гамильтоновы системы с т степенями свободы, обладающие т независимыми интегралами движения, попарные скобки Пуассона которых равны нулю (см. [3]).

Задача интегрирования гамильтоновых систем (не записанных еще в канонической форме) обсуждалась уже в работах Бернул-ли, Клеро, Даламбера, Эйлера, Лагранжа, связанных с применением идей и принципов Ньютона к различным задачам механики. Интегрируемыми считались лишь те задачи, которые можно было решить с помощью конечного числа алгебраических опереций и квадратур — вычислений интегралов известных функций. Однако наиболее актуальные задачи динамики (например, задача п тел) оказались непроинтегрированными.

Позже Гамильтон и Якоби разработали общий метод интегрирования уравнений динамики, основанный на введении специальных канонических координат. Идея метода Гамильтона-Якоби восходит к работам Пфаффа, Коши по теории характеристик. Согласно этому методу задача интегрирования канонических уравнений Гамильтона сводится к отысканию производящей функции канонического преобразования, удовлетворяющей нелинейному уравнению Гамильтона-Якоби (см. [4]). Наиболее эффективным способом решения уравнения Гамильтона-Якоби является метод разделения переменных (см. [4]). Этод метод неинвариантен по своей сути и требует большой изобретательности при выборе подходящих переменных. Поэтому, применяя этот метод, часто использовали обратный путь, то есть сначала находили какую-либо замечательную подстановку, а затем разыскивали задачи, в которых она могла быть с успехом применена. Например, в качестве такой подстановки Якоби ввел эллиптические координаты. С помощью эллиптических координат (и их вырождений) Якоби и его последователями решен ряд новых задач динамики, среди которых задача о геодезических на квадриках и задача о движении точки по многомерной сфере в силовом поле с квадратичным потенциалом. Впоследствии Лиувилль и Штеккель указали доволно общий вид гамильтонианов, допускающих разделение переменных. Теперь такие системы называют системами Лиувилля и системами Штеккеля (обсуждение этого вопроса см. в [5]).

При решении уравнений вращения свободного твердого тела и уравнений задачи двух неподвижных гравитируюгцих центров Эйлер впервые столкнулся с проблемой обращения эллиптических интегралов. Явное интегрирование уравнений движения в других классических задачах привело к более сложным абелевым функциям. В работах Ковалевской и ее последователя Кеттера техника интегрирования дифференциальных уравнений в абелевых функциях достигла большого совершенства.

Практически во всех проинтегрированных задачах известные первые интегралы оказались либо рациональными функциями, либо полиномами. Поэтому они продолжаются в комплексную область изменения канонических переменных как однозначные голоморфные или мероморфные функции фазовых переменных. Однозначный гамильтониан порождает комплесифицированную гамильтонову систему. При этом решения, как функции комплексного времени, часто оказываются мероморфными. В качестве примеров можно указать задачу Якоби о движении точки по трехосному эллипсоиду, волчок Ковалевской, случай Клебша в задаче о движении твердого тела в идеальной жидкости. В связи с этим возникла задача о соотношении между существованием однозначных голоморфных интегралов и ветвлением решений в комплексной плоскости времениее постановка восходит к Пенлеве. Результаты в этом направлении можно найти в [1, 2, 6].

Таким образом, появляются два разных подхода к вопросу интегрируемости. С одной стороны можно утверждать, что динамическая система вполне интегрируема, когда она допускает достаточное число независимых и однозначных первых интегралов. С другой стороны, под интегрируемыми системами можно понимать такие системы, которые допускают решения вполне конкретного вида, в частности, в виде мероморфных функций комплексного времени. Такие системы часто называют алгебраически интегрируемыми. В некоторых работах (см., например, [7]) под алгебраически интегрируемыми системами понимаются гамильтоновы системы с полиномиальными правыми частями, поверхности уровня инволютивных интегралов которых параметризуются абелевыми торами, а их решения выражаются через мероморфные функции на этих торах.

Такой подход к этой проблеме, восходящий к Ковалевской, связан с изучением поведения решений в плоскости комплексного времени. В классической работе Ковалевской [8] «Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки» исследуется вопрос интегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона. Ковалевская заметила, что в известных интегрируемых случаях (случай Эйлера и случай Ла-гранжа) решения являются мероморфными функциями времени. Она задалась целью найти все возможные условия, при которых решения также являются мероморфными функциями времени. Проводя исследование исходя из этого условия, она получила еще один интегрируемый случай, который в настоящее время носит ее имя. Метод Ковалевской развит в работах Ляпунова [9], Иошиды [10,11] и других авторов. Интересные применения метода Ковалевской к различным задачам динамики можно найти в работах [12, 13]. Как показано в работах Иошиды, метод Ковалевской особенно эффективен для квазиоднородных систем дифференциальных уравнений. Данная работа посвящена исследованию одной из таких систем.

В первой главе дается определение квазиоднородных систем и в качестве примера рассматривается гамильтонова система с однородным потенциалом. Также обсуждается метод Ковалевской и, в частности, его применение к гамильтоновым системам с двумя степенями свободы и однородным потенциалом. В результате исследований выяснилось, что для гамильтоновых систем, потенциальная энергия которых является однородным многочленом первой и второй степеней, задача решается в элементарных однозначных функциях. А для гамильтоновых систем, потенциальная энергия которых является однородным многочленом пятой степени и выше, вопрос алгебраической интегрируемости решается просто: решения таких систем ветвятся в плоскости комплексного времени. Таким образом, реальный интерес представляют гамильтоновы системы с потенциалами третьей и четвертой степеней.

Вторая глава посвящена исследованию гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, потенциальная энергия которых являестя однородным многочленом третьей степени. Такие системы описываются гамильтонианом I.

Н = ~(у + у) + ах + Ъхх2 + йх 2 где а, Ь, и йвещественные коэффициенты. В результате применения метода Ковалевской получены следующие соотношения на эти коэффициенты, при которых возможна алгебраическая интегрируемость: 1) Ь = 0- 2) а = 0, 26 = с?- 3) Ь = 3(1. Затем проведено явное интегрирование в этих трех случаях. Причем первый случай является тривиальным (переменные разделяются), второй — был известен ранее (например, см. [14]), а третий является обобщением также ранее известного случая: а = О, Ь = 3с1 (см. [14]).

В третьей главе проводится исследование гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, потенциальная энергия которых является однородным многочленом четвертой степени. Они задаются гамильтонианом.

Н = + 2/1) + ах I4 + Ьх^х2 + сх г2×22 + с/ж24, где а, Ь, с, и (I — вещественные коэффициенты. Аналогично предыдущей главе с помощью метода Ковалевской получены соотношения на коэффициеныты а, 6, с, и (?, при которых возможна алгебраическая интегрируемость: 1) Ь = 0, с = 0- 2) Ъ = 0, с = 6а, с? = а- 3)6 = 0, с = 2а, <1 = а. Также проведено явное интегрирование в этих случаях.

В заключении проведена систематизация всех полученных результатов.

Таким образом, в результате проведенных исследований получена полная классификация алгебраически интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, потенциальная энергия которых является однородным многочленом обобщенных координат. Более того, среди полученных алгебраически интегрируемых случаев один является новым (Ъ = Зс? и, а — произвольное вещественное число).

Заключение

.

В работе рассмотрена гамильтонова система дН дН х =, у = ду ' дх ' где х — (х, х2) ~ обобщенные координаты, у =(?/1,у2) ~ обобщенные импульсы, с гамильтонианом:

Н=1-у2 + У (х где У (х) — однородный многочлен степени к > 0.

Если к = 1 или к = 2, то ее решения представимы в элементарных функциях, однозначных на плоскости комплексного времени.

Если к > 3, то исходная гамильтонова система является квазиоднородной с показателями квазиоднородности д = 2/(к — 2) (по координатам),? = к/{к — 2) (по импульсам). Гамильтонова система допускает частные решения вида: (г = 1>2)> где постоянные сгудовлетворяют алгебраической системе уравнений г = 1,2).

Однозначность решений возможна при целых значениях д. Следовательно, к может принимать значения 3 и 4. Таким образом, интерес представляют гамильтоновы системы с потенциалами третьей и четвертой степени. Подробное исследование этих двух случаев привело к следующим результатам:

I. При к — 3.

Н = ~{у + у) + ах + Ьхх2 + ¿-х, о,.

Соответствующая гамильтонова система является алгебраически интегрируемой лишь в следующих случаях:

1)6 = 0;

2) а = 0, 26 = - 3) 6 = 3<*.

II. При к = 4.

Д" = + ?/!) + ах1 + Ъхх2 Чсхх2 + 5 а, 6, с, б? € Д. и.

Оказывается, алгебраическая интегрируемость имеется лишь в следующих случаях:

1) 6 = 0, с = 0;

2) 6 = 0, с = 6а, й = а ;

3) 6 = 0, с = 2а, (I = а.