Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

О возможных переходах от кинетического квазиклассического уравнения Больцмана к диффузионному приближению

Диссертация: О возможных переходах от кинетического квазиклассического уравнения Больцмана к диффузионному приближению
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Отличие нашей задачи от предшествующих связано, во — первых, с изучением квазиклассического (а не классического) кинетического уравнения для функции распределения частиц, подчиняющихся квантовой статистике (фотоны, фононы, электроны), а, во — вторых, в приближении почти упругого рассеяния с получением в координатном (а не в импульсном, как для электронов проводимости в металлах, движущихся вдоль… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТИЦ, ПОДЧИНЯЮЩИХСЯ СТАТИСТИКЕ БОЗЕ -ЭЙНШТЕЙНА
    • 1. 1. Вывод кинетического уравнения для функции распределения фотонов
    • 1. 2. Некоторые частные случаи уравнения и законы сохранения
    • 1. 3. Квазиупругие процессы рассеяния и их характеристики
    • 1. 4. Закон возрастания энтропии Бозе — частиц
    • 1. 5. Постановка задачи
  • Глава 2. ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
    • 2. 1. Квазиупругое рассеяние фотонов на фононах
    • 2. 2. Квазиупругое рассеяние электронов на фононах
    • 2. 3. Квазиупругое рассеяние фотонов на электронах
    • 2. 4. Анализ решений обобщенного уравнения диффузии
  • Глава 3. НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ РЕЛАКСАЦИИ С УЧАСТИЕМ ФОТОНОВ
    • 3. 1. Равновесие и квазиравновесие
    • 3. 2. Иерархия времен релаксации

О возможных переходах от кинетического квазиклассического уравнения Больцмана к диффузионному приближению (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

В большинстве решаемых задач (причем безразлично к какой области естествознания они относятся) необходимо, как правило, принимать во внимание неравновесные свойства исследуемой системы. Это вполне понятно, поскольку равновесных задач меньшинство и мало для кого представляет интерес теоретическое исследование таких равновесных характеристик, как, скажем, теплоемкость (см. [1] - [15]). Хотя объективности ради надо отметить, что при экспериментальном изучении, скажем, теплоемкости стекол в области низких температур была установлена не дебаевская (пропорциональная температуре в третьей степени) зависимость, а линейная. Этот факт некоторое время был не понятен, но впоследствии получил блестящее объяснение Андерсоном и Филлипсом [16], [17] с помощью обоснованного ими термина «двухуровневых систем».

Самая же значительная масса задач (как теоретических, так и экспериментальных) в подавляющем большинстве направлена на изучение неравновесных свойств веществ. Однако довольно часто в определение неравновесной характеристики входят и равновесные параметры. Если, предположим, речь идет об изучении теплопроводности, то ее формальная факторизованная формула включает в себя изобарическую теплоемкость ([18] - [32]), а потому без знания равновесных свойств не обойтись.

Настоящая диссертация в этом плане не исключение и посвящается также исследованию и математическому обоснованию определенного типа физических явлений, связанных с проявлением неравновесности.

Поговорим об одном из них. Пусть имеет место механизм почти упругого рассеяния фотонов на звуковых квантах (для твердого кристаллического тела часто называемых фононами). При сравнительно высоких температурах.

Т"—, где вп — температура Дебая, а квпостоянная Больцмана) кв звуковые колебания будут представлять собой флуктуации плотности с 4 к Т равновесным распределением Nk «-2— (где h — постоянная Планка, а а>к ho) k частота фонона с волновым вектором к), являясь при этом еще и термостатом.

С физической точки зрения подобный процесс можно было бы трактовать как Мандельштам — Бриллюэновское рассеняие света, однако, более общим здесь будет, несомненно, термин электромагнитное рассеяние, которое (как частный случай) подразумевает и оптические частоты.

Именно поэтому везде далее мы будем вести речь только об электромагнитной (сокращенно ЭМ) шкале.

Кроме того, когда речь идет о рассеянии Мандельштам — Бриллюэна, здесь молчаливо подразумевается, что вся эта система (свет + диэлектрик) находятся в термодинамическом равновесии.

Решаемая в диссертации задача об изучении одного из возможных проявлений почти упругого рассеяния ЭМ поля на диэлектрике учитывает еще и неравновесность систем и в этом смысле серьезно отличается от термодинамически равновесного Мандельштам — Бриллюэновского рассеяния, которое, как известно, относится только к оптическому диапазону частот.

Наиболее распространенной физической характеристикой поглощения ЭМ поля веществом служит так называемый коэффициент экстинкции И, который определяет поглощательную способность на единице длины. Если, например, речь идет об изучении рассеяния света наночастицей (или какойто другой также мелкодисперсной частицей) при условии, что длина волны падающего излучения значительно превышает ее линейный размер d, то величина h будет пропорциональна произведению объема этой частицы на волновой вектор q падающего излучения в четвертой степени.

В том случае, если речь идет о газе (на котором рассеивается ЭМ излучение) при условии, что длина волны Л ЭМ поля значительно превышает среднюю длину свободного пробега молекул газа, коэффициент экстинкции будет пропорционален q4, но обратно пропорционален концентрации с молекул газа.

Наш подход, развиваемый во второй главе настоящей диссертации, преследует цель не столько получить явное выражение для коэффициента экстинкции (с чисто теоретической точки зрения), как выяснить некоторые возможные особенности его поведения в пространстве.

Наиболее любопытным с этой точки зрения будет (забегая несколько вперед) совсем не тривиальная, а осциллирующая зависимость концентрации фотонов.

Точку в правоте (или не правоте) этого предсказания может поставить, естественно, только эксперимент. Пока же наш результат является чисто предсказательным, а потому имеет право на жизнь, как конкретный факт решения некоторой поставленной теоретической задачи.

Кроме уже упомянутого квазиупругого процесса рассеяния фотонов на фононах будут исследованы также некоторые тонкие аспекты и квазиупругих электрон — фононного и электрон — фотонного взаимодействий.

Подчеркнем лишний раз, что под термином «квазиупругий» процесс подразумевается такой механизм рассеяния, в котором энергия падающей и рассеянной частицы почти не изменяется.

Известно, что для подобных механизмов можно довольно легко получить (как описательный инструмент решения ряда задач) соответствующее диффузионное уравнение, но в энергетическом представлении [56].

Самый же распространенный класс задач в данной области следует с уверенностью отнести к теории плазмы [29], а также жидкости, где на основе классического уравнения Больцмана, уравнения Власова — Ландау, ЧепменаЭнскога и других, изучаются неравновесные свойства системы электронов, ионов и молекул газа путем сведения интегро — дифференциального классического кинетического уравнения к уравнению диффузии в координатном представлении (при определенных предположениях и допущениях) для концентраций участвующих частиц.

Отличие нашей задачи от предшествующих связано, во — первых, с изучением квазиклассического (а не классического) кинетического уравнения для функции распределения частиц, подчиняющихся квантовой статистике (фотоны, фононы, электроны), а, во — вторых, в приближении почти упругого рассеяния с получением в координатном (а не в импульсном, как для электронов проводимости в металлах, движущихся вдоль поверхности Ферми) представлении обобщенного уравнения диффузии.

Под термином «обобщенное» подразумевается уравнение, которое (забегая вперед, скажем об этом сейчас) содержит оператор Лапласа во второй степени.

АКТУАЛЬНОСТЬ.

Квазиклассическое уравнение Больцмана для функции распределения частиц (или квазичастиц) несмотря на его многочисленное изучение, которому посвящено огромное количество оригинальных работ и монографий [35] - [81], оставляет, тем не менее, весьма широкий спектр не исследованных задач.

Дело в том, что при изучении, например, экстинкции (поглощение электромагнитного излучения единицей длины некоторого вещества), очень важно иметь представление о концентрации фотонов, проникающих в поверхностный слой твердого диэлектрика (о котором в настоящей диссертации и будет идти речь), а точнее, о пространственно — временном распределении концентрации. То же касается и проводимости электронов, в определение которой в виде формального линейного множителя входит их концентрация.

С теоретической точки зрения очень важно разобраться не только в физике явления, но и понять то, как выводится соответствующее дифференциальное уравнение на концентрацию фотонов, что позволит выяснить их пространственно — временное поведение.

В этом смысле с формальной точки зрения речь будет идти о линейных уравнениях математической физики (кстати не эллиптического типа и не параболического или гиперболического [82] - [95]), а о тех, которые содержат оператор Лапласа в более высокой (чем первая) степени.

Подобный класс уравнений с научной точки зрения чрезвычайно важен и своевременен, поскольку не связан с абстрактной постановкой (присущей чисто формальной математике), а обосновывается и выводится благодаря вполне конкретно сформулированной физической задаче, о которой мы только что говорили. НАУЧНАЯ НОВИЗНА.

Квазиупругие процессы рассеяния частиц (или квазичастиц) имеют одну общую и важную черту. Поскольку при почти упругом процессе взаимодействия энергия рассеивающейся частицы изменяется не сильно, подобный акт можно трактовать, как энергетическую диффузию частиц.

Помимо чисто физических аспектов в теоретической физике очень важно понять еще и как получаются соответствующие формулы.

В этой связи было замечено, что для почти упругих процессов рассеяния возникает одна весьма любопытная особенность, которая позволяет преобразовать довольно сложное интегро — дифференциальное нелинейное уравнение Больцмана для фотонной функции распределения в линейное дифференциальное уравнение в частных производных в координатном пространстве (но уже для концентрации частиц).

Выведенное из чисто физических рассуждений уравнение содержит оператор Лапласа во второй степени.

Решение полученного уравнения, содержащего оператор Лапласа во второй степени, позволяет предсказать, в частности, не тривиальное осциллирующее поведение концентрации фотонов в кристаллической матрице и разобраться в его физической причине.

Указанные обстоятельства отмечают новизну исследования. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ.

При экспериментальном изучении процесса воздействия электромагнитного поля на твердый диэлектрик одной из основных характеристик является коэффициент экстинкции h (чуть выше мы говорили об этом). В его определение входит концентрация фотонов, а потому необходимо иметь представление о ее эволюции и координатном распределении.

Проведенный в работе анализ позволяет ответить на этот вопрос, и оценить макроскопическое время диффузии, а также глубину проникания электромагнитного излучения в диэлектрик по критерию исчезновения концентрации фотонов.

В тех же экспериментах, в которых проводятся измерения проводимости металлов, необходимо (также, как и для h) иметь представление о пространственно — временной зависимости концентрации электронов.

Ответить на оба эти вопроса позволяет предложенный в настоящей работе подход, определяющий ее практическую значимость. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Первая глава посвящена выводу кинетического уравнения для функции распределения частиц, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна. Здесь анализируются некоторые его свойства и законы сохранения.

Кроме этого, в четвертом разделе доказывается Ятеорема Больцмана для Бозе — частиц.

Во второй главе изучается диффузионное приближение, которое «работает» для узкого круга квазиупругих процессов рассеяния, и с его помощью выводятся линейные дифференциальные уравнения в частных производных.

Строго доказывается, что для определенных типов рассеяния (почти упругое фотон — фононное, электрон — фононное и электрон — фотонное) для некоторого узкого частотного (и импульсного) диапазона уравнения имеют не тривиальный вид, поскольку содержат оператор Лапласа в более высокой, чем первая, степени.

В четвертом разделе второй главы изучается решение обобщенного уравнения диффузии в сферически симметричном случае, и предсказывается возможность осциллирующего поведения концентрации фотонов. Здесь же вычисляется и функция Грина.

В третьей Главе проводится физический анализ процессов с участием фотонов и строится теория релаксации.

Первый раздел посвящен знакомству с равновесными и квазиравновесными функциями распределения.

Второй раздел включает в себя выяснение иерархии времен релаксации, которая, в свою очередь, позволяет построить теорию релаксации, которой посвящен последний третий раздел. НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ:

1. Методика вывода обобщенного уравнения диффузии только для трех механизмов взаимодействия: а). Фотон — фононногоб). Электрон — фононногов). Электрон — фотонного.

2. Предсказание осциллирующего поведения концентрации фотонов в диэлектрике.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ.

Диссертация состоит из трех Глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 106 стр. АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ.

По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ и сделано 6 докладов на международных и общероссийских конференциях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Заканчивая настоящую диссертацию, следует еще раз обратить внимание на несколько основных моментов и главные результаты проведенного исследования.

1. Были изучены несколько типов почти упругих процессов рассеяния, в которых принимали участие две быстрые частицы (или квазичастицы) и одна сравнительно медленная. В этом специфическом случае оказалось возможным не только провести формальную линеаризацию кинетического уравнения Больцмана на соответствующую функцию распределения, но и понять физику явления, а также вывести обобщенное (как оно было выше названо) уравнение диффузии. Его специфический характер проявился в наличии не просто оператора Лапласа, а оператора Лапласа в некоторой целой степени, в частности, во второй. Подобного типа уравнения диффузии в математической физике практически не изучались, и именно поэтому в настоящей диссертации было проанализировано решение этого уравнения для некоторых специальных граничных задач, и получено осциллирующее решение уравнения в сферической системе координат. Была вычислена также функция Грина этого уравнения.

2. Из анализа времен релаксаций, характерных для фотонов и фононов, при условии, что обе подсистемы выводятся из положения термодинамического равновесия, была построена теория релаксации, и отмечена специфика установления равновесия при учете взаимодействия между ними. Для этого предварительно было проведено вычисление соответствующих времен релаксаций.

Показать весь текст

Список литературы

  1. М. Введение в теоретическую физику. Ч. 5. Теория теплоты / М. Планк. -М.:ОНТИ, 1935.-340 с.
  2. Дж. В. Основные принципы статистической механики / Дж. В. Гиббс. М.: Гостехиздат, 1946. — 380 с.
  3. Я. И. Статистическая физика / Я. И. Френкель. М.: Изд-во АН СССР, 1948.- 482 с.
  4. Дж. Теплота и термодинамика / Дж. Роберте. М.: Гостехиздат, 1950. — 330 с.
  5. А. Термодинамика и статистическая физика / А. Зоммерфельд. М.: ИЛ, 1960. — 520 с.
  6. Ч. Введение в физику твердого тела / Ч. Киттель. М.: Физматгиз, 1963.-440 с.
  7. Ф. Теплофизика / Ф. Морс. М.: Наука, 1968. — 416 с.
  8. Дж. Принципы теории твердого тела / Дж. Займан. М.: Мир, 1974.-472 с.
  9. Л. Л. Статистическая физика. Т. 5 / Л. Л. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: Наука, 1976. — 583 с.
  10. У. Молекулярная диффузия и спектры / У. Коффи, М. Ивенс, П. Григолини. М.: Мир, 1987. — 379 с.
  11. Ф. М. Статистическая физика и термодинамика / Ф. М. Куни. -М.: Наука, 1981.-550 с.
  12. Ю.Л. Статистическая физика / Ю. Л. Климонтович. -М.: Наука, 1982.-608 с.
  13. С. В. Квантовая физика твердого тела / С. В. Вонсовский, М. И. Канцельсон. М.: Наука, 1983. — 336 с.
  14. И. В. Курс общей физики. Кн. 3. Молекулярная физика и термодинамика / И. В. Савельев. М.: Наука, 1998. — 208 с.
  15. С. О. Сборник задач по теоретической и математической физике / С. О. Гладков. М.: Физматлит, 2006. — 456 с.
  16. Anderson P. W. Anomalous Low Temperature Thermal Properties of Glasses and Spin Glasses / P. W. Anderson, В. I. Halperin, С. H. Varma // Phil. Magazine.-1972.-V. 25.-№ l.-P. 1−9.
  17. Phillips W. A. Tunneling States in Amorphous Solids / W. A. Phillips // J. Low Temp. Phys. 1972. — V. 7. — № 3,4. — P. 351−360.
  18. А. В. Теория тепло- и массопереноса / А. В. Лыков, Ю. А. Михайлов. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. — 356 с.
  19. Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. М.: Наука, 1964.-487 с.
  20. А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков. М.: Высшая школа, 1967. — 524 с.
  21. Г. Ф. Методы теории теплообмена. Ч. 1. Теплопроводность / Г. Ф. Мучник, И. Б. Рубашов. М.: Высшая школа, 1970. — 390 с.
  22. С. С. Основы теории теплообмена / С. С. Кутателадзе. -Новосибирск: Наука, 1970. 412 с.
  23. А. В. Тепломассообмен / А. В. Лыков. М.: Энергия, 1971. — 338 с.
  24. Н. И. Исследование нестационарных процессов тепло- и массообмена методом сеток / Н. И. Никитенко. Киев: Наукова думка, 1971.-550 с.
  25. К. Математические методы в кинетической теории газов / К. Черчиньяни. М.: Мир, 1973. — 250 с.
  26. Л. А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности / Л. А. Коздоба. М.: Наука, 1975. — 440 с.
  27. Н. М. Методы нестационарной теплопроводности / Н. М. Беляев, А. А. Рядно. М.: Высшая школа, 1978. — 328 с.
  28. Е. М. Физическая кинетика. Т. 10 / Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. М.: Наука, 1979. — 525 с.
  29. В. М. Кинетическая теория коагуляции / В. М. Волощук. -Ленинград: Гидрометоиздат, 1984.-283 с.
  30. Л. Д. Гидродинамика. Т. 6 / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: Наука, 1988.-733 с.
  31. С. О. Физика композитов: термодинамические и диссипативные свойства / С. О. Гладков. М.: Наука, 1999. — 330 с.
  32. А. И. К теории теплопроводности и поглощения звука в ферродиэлектриках / А. И. Ахиезер, Л. А. Шишкин // ЖЭТФ. 1958. -Т. 34.-Вып. 5.-С. 1267−1271.
  33. Kaplan Т. A. Approximation Theory of Ferromagnetic Spin Waves / Kaplan, T. A. // Phys. Rev. 1958. — V. 109. — № 3. — P. 782−787.
  34. M. И. К феноменологической теории кинетических процессов в ферродиэлектриках / М. И. Каганов, В. М. Цукерник // ЖЭТФ. 1959. — Т. 35. — Вып. 2. — С. 311- 20.
  35. А. И. К теории релаксационных процессов в ферродиэлектриках при низких температурах / А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский // ЖЭТФ. 1959. — Т. 36. — Вып. 1. — С. 216−23.
  36. Ф. Г. Комбинационное рассеяние электромагнитных волн в ферродиэлектриках / Ф. Г. Басс, М. И. Каганов // ЖЭТФ. 1959. — Т. 37.-Вып. 5.-С. 1390−1393.
  37. В .Г. Рассеяние спиновых волн и фононов на примесях в ферродиэлектриках / В. Г. Барьяхтар, Г. И. Урушадзе // ЖЭТФ. 1960. — Т. 39. — Вып. 8.-С. 355−361.
  38. А. И. К теории теплопроводности ферродиэлектриков при низких температурах / А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар // ФТТ. 1960. -Т. 2. — Вып. 10. — С. 2446−2449.
  39. А. И. Спиновые волны в ферро- и антиферромагнетиках / А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар, М. И. Каганов // УФН. 1960. — Т. 71. -Вып. 4.-С. 533−579.
  40. М. А. Влияние спин-спинового и спин-фононного взаимодействия в ферромагнетике на энергетическое распределение рассеянных нейтронов / М. А. Кривоглаз, В. И. Кащеев // ФТТ. 1961. -Т. 3. — Вып. 5.-С. 1541−1552.
  41. Schlomann Е. Ferromagnetic Relaxation Caused by Interaction with Thermally Excited Magnons / E. Schlomann // Phys. Rev. 1961. — V. 121. -№ 5. -P. 1312−1319.
  42. P. H. Высокочастотная магнитная восприимчивость ферродиэлектриков в продольном магнитном поле / Р. Н. Гуржи, В. М. Цукерник // ЖЭТФ. 1962. — Т. 43. — Вып. 9. — С. 977−983.
  43. D. С. Spin Waves in Complex Lattices / D. C. Wallace // Phys. Rev.-1962.-V. 128.- № 4.- P. 1614−1618.
  44. В. И. К теории релаксационных процессов в антиферромагнетиках с винтовыми структурами / В. И. Барьяхтар, М. А. Савченко // ФТТ. 1963. — Т. 5. — Вып. 10. — С. 2747- 755.
  45. JI. Э. Термоэдс ферромагнитных металлов, обусловленная рассеянием электронов на магнонах / JI. Э. Гуревич, Г. М. Недлин // ЖЭТФ. 1963. — Т. 45. — Вып. 9. — С. 567−586.
  46. Haas С. Ferromagnetic Relaxation and Resonance Line Widths / C. Haas, H. Callen // Magnetism. 1963. — V. 1. — P. 449−549.
  47. P. H. О влиянии ангармонизмов высокого порядка на процессы переноса в тверды телах / Р. Н. Гуржи // ЖЭТФ. 1963. — Т. 45. — Вып. 9. — С. 750−754.
  48. Чупис И Е. К теории релаксационных процессов в одноосном антиферромагнетике / И. Е. Чупис // ЖЭТФ. 1964. — Т. 46. — Вып. 1. -С. 307−319.
  49. JI. Э. Теплопроводность ферритов при низких температурах и эффект увлечения фононов и магнонов / Л. Э. Гуревич, Г. А. Роман // ФТТ. 1966. — Т. 8. — Вып. 2. — С. 525−531.
  50. В. П. К теории спин-решеточной релаксации электронов проводимости в металлах / В. П. Калашников // ФММ. 1966. — Т. 22. -Вып. 5.-С. 786−787.
  51. В. Г. Спиновые волны и корреляционные функции в ферромагнетике / В. Г. Вакс, А. И. Ларкин, С. А. Пикин // ЖЭТФ. -1967.-Т. 53.-Вып. 9.-С. 1089−1106.
  52. С. В. К квантовой теории кинетических и релаксационных процессов / С. В. Пелетминский, А. Я. Яценко // ЖЭТФ.-1967.-Т. 53.-Вып. 10.-С. 1327−1339.
  53. А. И. Спиновые волны / А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский. М.: Наука, 1967. — 368 с.
  54. И. Н. Второй звук и гидродинамическая теплопроводность в антиферромагнетиках / И. Н. Олейник // ЖЭТФ. 1970. — Т. 58. — Вып. З.-С. 1119−1127.
  55. И. М. Электронная теория металлов / И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов. М.: Наука, 1971. — 415 с.
  56. И. Н. Нерезонансное поглощение звука в одноосных антиферромагнетиках в сильных магнитных полях / И. Н. Олейник // ФТТ. 1973.-Т. 15.-Вып. 11.-С. 3178−3187.
  57. Ю. А. Полевые методы в теории ферромагнетизма / Ю. А. Изюмов, Ф. А. Кассан Оглы, Ю. Н. Скрябин. — М.: Наука, 1974. — 223 с.
  58. В. Г. О затухании магнонов, обусловленном рассеянием на примесях в АФМ / В. Г. Барьяхтар, В. Л. Соболев // ФТТ. 1977. — Т. 19.-Вып. 10.-С. 2092−2094.
  59. JI. А. Изменение спектра спиновых волн при взаимодействии магнонов / Л. А. Прозорова, А. Н. Смирнов // ЖЭТФ.1978.-Т. 74.-Вып. 4.-С. 1554−1561.
  60. В. П. Неравновесные состояния ферромагнетиков при нерезонансном возбуждении спиновых волн переменным магнитным полем / В. П. Семиноженко, В. Л. Соболев, А. А. Яценко // ЖЭТФ.1979. Т. 77. — Вып. 12. — С. 2324−2330.
  61. Е. М. Статистическая физика. Ч. 2. Т. 9 / Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. М.: Наука, 1978. — 447 с.
  62. В. П. Возбуждение спиновых волн в ферромагнетиках с магнитными неоднородностями при параллельной накачке / В. П. Семиноженко, В. Л. Соболев, А. А. Яценко // ЖЭТФ. 1980. — Т. 78. -Вып. 5.-С. 1879−1888.
  63. В. Л. Кинетика фононных систем / В. Л. Гуревич. М.: Наука, 1980.-400 с.
  64. С. О. К теории релаксации ядерных спинов в антиферромагнетиках при сверхнизких температурах / С. О. Гладков // ФТТ. 1981. — Т. 23. — Вып. 9. — С. 2686−2692.
  65. С. О. Релаксация в ферромагнитных металлах / С. О. Гладков // ЖЭТФ. 1982. — Т. 83. — Вып. 7. — С. 806−809.
  66. В. Г. Феноменологическое описание релаксационных процессов в магнетиках / В. Г. Барьяхтар // ЖЭТФ. 1984. — Т. 87. -Вып. 4.-С. 1501−1508.
  67. С. О. Об одной возможности охлаждения ядерных спинов / С. О. Гладков // ФТТ. 1984. — Т. 26. — Вып. 10. — С. 3192−3194.
  68. В. Г. Функции Грина в теории магнетизма / В. Г. Барьяхтар, В. Н. Криворучко, Д. А. Яблонский. Киев: Наукова Думка, 1985.-408 с.
  69. В. Ф. Рассеяние носителей тока в металлах и полупроводниках / В. Ф. Гантмахер, И. Б. Левинсон. М.: Наука, 1984. -350 с.
  70. С. О. Рассеяние света на флуктуациях магнитных подсистем /С. О. Гладков// ФТТ.-1985.-Т. 27.-Вып. 7.-С. 2192−2194.
  71. С. О. К теории релаксации электронных и ядерных спинов на двухуровневых системах / С. О. Гладков // ФНТ. 1986. — Т. 12. -Вып. 10.-С. 1061−1064.
  72. У. Молекулярная диффузия и спектры / У. Коффи, М. Ивенс, П. Григолини. М.: Мир, 1987. — 379 с.
  73. С. О. К теории магнитной восприимчивости композитов / С. О. Гладков // ФТТ. -1997. Т. 39. — Вып. 9. — С. 1622−1627.
  74. С. О. К теории одномерной и квазиодномерной теплопроводности / С. О. Гладков // ЖТФ. 1997. — Т. 67. — Вып. 7. -С. 8−2.
  75. С. О. К теории внутреннего теплового равновесия в неоднородных структурах / С. О. Гладков // ЖТФ (письма). 1998. — Т. 24.-Вып. 10.-С. 29−36.
  76. С. О. К теории теплопроводности металлов с металлическими добавками в виде кластеров / С. О. Гладков // ФММ. -2002. Т. 94. — Вып. 1. — С. 30−39.
  77. С. О. К вопросу о вычислении о вычислении вероятности упругого рассеяния электромагнитных волн на атомах / С. О. Гладков // ЖТФ (письма). 2002. — Т. 28. — Вып. 15. — С. 69−78.
  78. С. О. К теории теплопроводности кристаллических диэлектриков в условиях связи с термостатом / С. О. Гладков, И. В. Гладышев // ФТТ. 2004. — Т. 46. — Вып. 7. — С. 1194−1202.
  79. С. О. О температурной зависимости числа Лоренца для гетерогенной среды / С. О. Гладков // ФММ. 2006. — Т. 101. — Вып. 3. -С. 56−61.
  80. С. О. О законе Видемана Франца в пористых металлах / С. О. Гладков // ТВТ. — 2006. — Т. 44. — Вып. 5. — С. 693−698.
  81. А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики / А. Зоммерфельд. М.: ИЛ, 1950. — 450 с.
  82. В. И. Дифференциальные уравнения математической физики / В. И. Левин, О. Ю. Гросберг. М.: Гостехиздат, 1951. — 550 с.
  83. В. И. Курс высшей математики Т. 4. / В. И. Смирнов. Л.: ГИТТЛ, 1951.-804 с.
  84. Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики / Н. М. Гютнер. М.: Гостехиздат, 1953.-364 с.
  85. О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения / О. А. Ладыженская. М.: Гостехтеориздат, 1953. — 334 с.
  86. С. Л. Уравнения математической физики / С. Л. Соболев. -М.: Гостехиздат, 1954.-382 с.
  87. Г. Математическая теория распространения электромагнитных волн / Г. Бейтмен. М.: Физматгиз, 1958. — 420 с.
  88. О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская. М.: Физматгиз, 1961. -288 с.
  89. Г. Н. Уравнения математической физики / Г. Н. Положий. -М.: Высшая школа, 1964. 476 с.
  90. М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка / М. М. Смирнов. М.: Наука, 1964. -290 с.
  91. Н. С. Уравнения в частных производных математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. М.: Высшая школа, 1970.-710 с.
  92. А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М.: Наука 1981. — 860 с.
  93. В. Ф. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных / В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. М.: Факториал, 2004.-370 с.
  94. А. А. Введение в теорию нормальных металлов / А. А. Абрикосов. М.: Наука, 1969. — 240 с.
  95. Л. Д. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Т. 3 / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: Наука, 1974. — 750 с.
  96. К. С. Рассеяние света в мутной среде / К. С. Шифрин. М.-Л.гГИТТЛ, 1951.-288 с.
  97. Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3 / Г. М. Фихтенгольц. -М.: Наука, 1966. -656 с.
  98. Г. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. Преобразование Фурье, Лапласа, Меллина / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. -М.: Наука, 1969.-343 с.
  99. S. О. Dielectric properties of porous media / S. O. Gladkov. Springer, 2003.-261 p.
  100. И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И. И. Привалов. М.: Физматгиз, 1960. — 452 с.
  101. . А. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения / Б. А. Фукс, Б. В. Шабат. М.: Наука, 1964. — 346 с.
  102. А. Г. Теория функций комплексной переменной / А. Г. Свешников, А. Н. Тихонов. М.: Наука, 1970. — 304 с.
  103. А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного / А. В. Бицадзе. М.: Наука, 1972. — 560 с.
  104. М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. М.: Наука, 1973. — 736 с.
  105. Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1973. — 831 с.
  106. П. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов / П. Резибуа, М. Де Лернер. М.: Мир, 1980. — 423 с.
  107. Г. Синергетика / Г. Хакен. М.: Мир, 1980. — 404 с.
  108. А. Ю. Введение в синергетику / А. Ю. Лоскутов, А. С. Михайлов. М.: Наука, 1990. — 270 с.
  109. С. О. К теории теплопроводности кристаллических диэлектриков в условиях связи с термостатом / С. О. Гладков, И. В. Гладышев // ФТТ. 2004. — Т. 46. — В. 7. — С. 1194−1202.
  110. С. О. К теории релаксации ядерных спинов в ферромагнетиках при сверхнизких температурах / С. О. Гладков, М. И. Каганов // ЖЭТФ. 1981. — Т. 80. — В. 4. — С. 1577−1585.
  111. С. О. О быстрой релаксации ядерных спинов в легкоосных антиферромагнетиках / С. О. Гладков // ФТТ. 1985. — Т. 27.-Вып. 7.-С. 2223−2225.
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?