Космологические модели Фридмана в дилатонной и модифицированной гравитации с учетом квантовых эффектов

Космология, как наука, родилась в начале двадцатого века. Обычно дату ее рождения отсчитывают от времени публикации статьи A.A. Фридмана «О кривизне пространства1^ журнале «Zeitschrift fur Physik» B 1922 году (/1/). Работа была посвящена эволюционирующей Вселенной, т. е. расширяющейся и с растущим собственным объемом. Космологическая модель A.A. Фридмана достаточно подтверждена наблюдениями и сейчас является общепринятой. Основываясь на общей теории относительности А. Эйнштейна A.A. Фридман доказал, что Вселенная не остается неизменной, а должна либо расширятся, либо сжиматься (возможно и осциллировать). Спустя несколько лет после этого открытия, сделанного A.A. Фридманом, Э. Хаббл доказал, что наша Вселенная расширяется (/1, 2, 3, 4/). Так, в первой трети XX века исследования и результаты Фридмана и Хаббла объдинились, став фундаментом современных представлений об эволюции Вселенной.

В космологии моделью Вселенной называется теория, в которой описываются один или несколько основных признаков реальной Вселенной. В данном случае фридмановская модель мира описывает эволюцию однородной и изотропной Вселенной, хотя сама Вселенная значительно более сложное образование /5/.

Итак, в 20 — е годы прошлого века российский ученый Александр Александрович Фридман создал теорию однородной и изотропной расширяющейся Вселенной.

Однородность Вселенной следует понимать не как однородность в малых ее частях, а однородность в «размазанной» Вселенной, которая усреднена по «кубам» размерами 108 — 10° световых лет. Они, в свою очередь, объединяют большое число скоплений галактик (галактические кластеры). В результате, однородность подразумевает то, что свойства вещества в разных точках пространства на больших масштабах (приближенно) одинаковы.

Изотропность же Вселенной означает, что свойства вещества Вселенной, наблюдаемые из одной точки в разных направлениях, являются (приближенно) одинаковыми.

В силу того факта, что плотность, давление и температура являются основными характеристиками вещества, именно они распределенны однородно и изотропно. В космологии вычислен масштаб с которого Вселенная становится приблизительно однородной и изотропной, он имеет размер 200Мпк (IM = 10е, а 1пк = 3.263 световых лет).

Рассматривая три различные модели Вселенной, для которых выполняются два фундаментальных предположений A.A. Фридмана, стоит подчеркнуть, что сам он рассматривал только одну модель Вселенной. В такой модели, открытой самим A.A. Фридманом, первого типа, Вселенная расширяется значительно медленнее для того, чтобы в силу гравитационного притяжения между различными галактиками расширение Вселенной замедлялось и, в итоге, совсем прекратилось. В результате такого расширения галактики начинают приближаться друг к другу и Вселенная начинает сжиматься. Между соседними галактиками расстояние возрастает от нуля до некоторого максимума, а затем опять падает до нуля. Для такой модели A.A. Фридмана, в которой Вселенная расширяется и сжимается, пространство искривляется, замыкаясь само на себя, как поверхность Земли, поэтому размеры такого пространства конечны.

Рассматривая модель Вселенной второго типа, можно продемонстрировать, что ее расширение происходит значительно быстрее. В итоге такого рода расширения, гравитационное притяжение хоть и замедляет расширение, но не может его остановить. В такой модели.

Вселенной расстояние между галактиками увеличивается, и, в конце концов, галактики удаляются друг от друга с постоянной скоростью. Для этой модели, в которой Вселенная расширяется бесконечно, пространство представляет собой поверхность седла. Таким образом, в этом случае, пространство бесконечно.

При рассмотрении модели Вселенной третьего типа, скорость расширения такой Вселенной только — только достаточна для того, чтобы избежать сжатия до нуля (коллапса). В этом третьем случае, расстояние между галактиками тоже сначала равно нулю, а потом все время возрастает. Однако, скорость удаления галактик друг от друга становится все меньше и меньше, но никогда не падает до нуля. Для этой модели A.A. Фридмана, с критической скоростью расширения, пространство является плоским и, следовательно, будет бесконечным (см., например, /1, 3, 5/).

Изучая модели Вселенной, мы можем (хотя бы приближенно) построить картину эволюции Вселенной. Но какая же из моделей Фридмана годится для нашей Вселенной? Перестанет ли Вселенная, наконец, расширяться и начнет сжиматься или будет расширяться вечно? Известен факт из математической общей теории относительности А. Эйнштейна, что пространство — время, возможно, возникло в сингулярной точке Большого Взрыва, а свой конец оно, возможно, должно находить в сингулярной точке Большого Хлопка (если коллапсирует вся Вселенная) и (или) в сингулярности черной дыры (если коллапсирует какая — нибудь локальная область типа звезда). Ожидается, что в результате учета квантовых эффектов масса и энергия вещества оставшейся части Вселенной меняются. Теперь возникают новые вопросы. Что происходит на очень ранних и очень поздних стадиях развития Вселенной, когда гравитационные поля достаточно сильные, и нельзя пренебречь квантовыми эффектами? Существуют ли у Вселенной начало и конец? Именно этим вопросам посвящена данная диссертационная работа. Чтобы ответить на эти вопросы, нужно знать нынешнюю скорость расширения Вселенной и ее среднюю плотность. Если плотность меньше некоторого критического значения, зависящего от скорости расширения, то гравитационное притяжение будет слишком мало, чтобы остановить расширение. Если же плотность больше критической, то в какой — то момент в будущем, из — за гравитации, расширение прекратиться и начнется сжатие.

На сегодняшний момент, скорость расширения Вселенной можно определить, измеряя по эффекту Доплера скорости удаления от нас других галактик /3, 4/. Действительно, возможно выполнить такие измерения достаточно точно. Однако, из — за того, что расстояния до других галактик нельзя измерить непосредственно, мы знаем лишь, что Вселенная расширяется за каждую тысячу миллионов лет на 5 — 10 процентов. Но, неопределенности в современном значении средней плотности Вселенной еще больше. При сложении массы всех наблюдаемых звезд в нашей и других галактиках, даже при самой низкой оценке скорости расширения, сумма окажется меньше одной сотой той плотности, которая необходима для того, чтобы расширение Вселенной прекратилось. Заметим, что, по крайней мере, и в нашей и в других галактиках должно быть много темной материи, которую нельзя непосредственно видеть, но о существовании которой мы догадываемся по тому, как ее гравитационное притяжение влияет на орбиты звезд в галактиках. Исходя из того факта, что в основном галактики наблюдаются в виде скоплений, мы можем аналогичным образом сделать вывод о наличии еще большего количества межгалактической темной материи внутри этих скоплений, которое, в свою очередь, влияет на движение галактик. В итоге же, при сложении массы всей темной материи, мы получим лишь одну десятую того количества, которое необходимо для прекращения расширения. Однако, мы не можем исключить возможность существования и какой — то другой формы материи, еще не зарегистрированной, которая могла бы быть распределена равномерно по всей Вселенной и которая сможет довести среднюю плотность Вселенной до критического значения, такого, чтобы остановить расширение. Подводя итог всему выше сказанному, можно сделать вывод о том, что, вероятней всего, наша Вселенная будет расширяться вечно. Однако, в чем можно не сомневаться, так это в том, что если сжатие Вселенной все — таки произойдет, то никак не раньше, чем через десять тысяч миллионов лет.

Все рассматриваемые модели Вселенной Фридмана различны, но у них есть общее то, что в какой — то момент времени в прошлом (десять — двадцать тысяч миллионов лет назад) расстояние между соседними галактиками должно было равняться нулю. Такой момент принято в космологии называть Большим Взрывом, т. е. когда плотность Вселенной и кривизна пространства — времени должны были быть бесконечными.

В настоящее время, такая теория Большого Взрыва является общепринятой /1, 4, 7, 8/, так как она объясняет два наиболее значительных факта космологии: расширяющуюся Вселенную и существование космического фонового излучения. Рассмотрим пример, воспользовшись известными законами физики и просчитаем в обратном направлении все состояния, в которых находилась Вселенная, начиная с 10 — 43 секунд после Большого Взрыва. На первом этапе, в течение первого миллиона лет, вещество и энергия во Вселенной сформировали непрозрачную плазму, которую иногда называют первичным огненным шаром. К концу этого этапа расширение Вселенной заставило температуру опуститься ниже 3000 К, так что это привело к тому, что протоны и электроны смогли объединяться, образуя атомы водорода. На этом этапе Вселенная стала прозрачной для излучения. В итоге, плотность вещества стала выше плотности излучения, хотя раньше ситуация была обратной. Это и определяло скорость расширения Вселенной. В результате, от сильно охлажденного излучения ранней Вселенной осталось только фоновое микроволновое излучение. Только через один или два миллиарда лет из первичных облаков водорода и гелия начали формироваться первые галактики.

Однако, неумение математиков реально обращаться с бесконечно большими величинами привело к тому, что, согласно общей теории относительности (на которой основаны решения A.A. Фридмана), во Вселенной должна быть точка, в которой сама эта теория неприменима. Поскольку, все научные теории основаны на предположении, что пространство — время гладкое и почти плоское, то в результате этого, все эти теории неверны в сингулярной точке Большого Взрыва, ведь именно в ней кривизна пространства — времени бесконечна. Следовательно, даже если бы перед Большим Взрывом происходили какие — нибудь события, то и по ним все-таки нельзя спрогнозировать будущее, так как в точке Большого Взрыва возможности предсказания свелись бы к нулю. Исходя из знания того, что произошло после Большого Взрыва (а мы знаем только это), мы не сможем узнать, что происходило до него. События, которые произошли до Большого Взрыва не могут иметь никаких последствий, касающихся нас, и поэтому не должны фигурировать в научной модели Вселенной. Следовательно, исключив их из модели, мы должны считать началом отсчета времени момент Большого Взрыва.

На основе теории об однородности и изотропности расширяющейся Вселенной возможно записать метрику такой Вселенной в следующем виде /4/: ds2 = dt2 — at) где к = +1 — для замкнутой Вселенной Фридмана, к = О — для плоской Вселенной Фридмана, к — —1 — для открытой Вселенной Фридмана.

Пространство Вселенной для к = +1 представляет собой поверхность сферы радиуса a{t) в четырехмерном евклидовом пространстве, и тогда можно a (t) называть «радиусом Вселенной». В свою очередь, для к = О dr2 1 — кг2 r2(drf + sm2rjd (p2) и к — —1 такое понятие дать нельзя, хотя a (t) также характеризует геометрические размеры пространства, тогда говорят, что a (t) для всех случаев является космическим масштабным фактором.

В космологии a (t) — функция, зависящая от времени и характеризующая изменение расстояний между галактиками со временем. Она показывает как изменяются масштабы Вселенной со временем.

Фридмановская модель Вселенной представляет собой модель, состоящую из частиц, т. е. модель, где галактики заменены пробными частицами, обладающими массой. При анализе такой модели становится очевидным рассматривать непрерывные параметры, а не движение каждой частицы отдельно. Таким образом, вопрос о изучении масштабного фактора очень важен в космологии.

При обсуждении других характеристик нашего мира мы сталкиваемся с параметром плотности Q. Параметр плотности описывает геометрию нашего мира. Для случая, когда О, = 1, то к = 0, геометрия нашего мира совпадает с евклидовой, трехмерное пространство бесконечно. Если П < 1, то к = —1, трехмерное пространство также является бесконечным, но геометрия нашего мира соответствует геометрии Лобачевского. При ?7 > 1, мир замкнут и обладает римановой геометрией, его трехмерный объем конечен. Всегда одной из важных задач космологии была задача измерения глобального параметра i2.

В итоге, расширение Вселенной описывают два уравнения A.A. Фридмана. Он построил два решения уравнений А. Эйнштейна, которые зависят от средней плотности материи во Вселенной. Как уже объяснялось выше, если средняя плотность р меньше некоторой величины рьр или равна ей, то Вселенная может быть пространственно как бесконечной, так и конечной, но расширение ее будет продолжаться всегда. Если же р > pkv (значение средней плотности больше критической), то предпологается замкнутая, но безграничная модель Вселенной. Силы гравитации в этом случае, вероятней всего, должны, в конце концов, остановить расширение.

Вселенной и она, возможно, рано или поздно начнет сжиматься.

Обычно в космологии рассматриваются три основных типа уравнений 2 состояния: радиационно — доминированное уравнение состояния (р = пылеподобное уравнение состояния (р = 0) и вакуумноподобное уравнение состояния или инфляционное уравнение состояния (р = —рс2) /4/.

Известно, что в космологии плотность вещества при расширении уменьшается и обратно пропорциональна масштабному фактору в некоторой степени: р (£) = Ро (^у)п.

В случае радиационно — доминированного уравнения состояния 2 р = среда состоит из релятивистских частиц, которые подобны по своему поведению фотонам. При расширении Вселенной плотность обратно пропорциональна четвертой степени масштабного фактора, рс2 ~ а~4 (т.к. меняется и плотность частиц ~ а-3, и энергия каждой частицы ~ а-1).

При рассмотрении пылеподобного уравнения состояния можно сделать вывод о том, что когда давление равно нулю, то среда, в свою очередь, состоит из невзаимодействующих частиц пыли. При этом, плотность такой среды при расширении обратно пропорциональна кубу масштабного фактора ~ а-3.

В случае отрицательного давления (р = —рс2), плотность среды не зависит от времени и масштабного фактора. В физике известно, что только у вакуума плотность не меняется при расширении, поэтому такое состояние иногда называют состоянием фальшивого (или ложного) вакуума /1/.

Заметим, что в мире с постоянным отрицательным давлением (или в мире с, А — членом) /9/ временное и пространственные направления равноправны.

Определив зависимость плотности от масштабного фактора, подставляем ее в уравнения Фридмана и получаем зависимость самого масштабного фактора от времени, т. е. закон расширения нашей Вселенной. Этот закон зависит как от уравнения состояния, так и от топологии Вселенной, т. е. от величины к. Для случая Вселенной, доминированной пылью (при к = О, т. е. для случая пространственно — плоской, современной.

Вселенной), зависимость масштабного фактора от времени имеет вид: 2 а (£) = ао^з. Как видно из этого выражения, масштабный фактор увеличивается со временем до бесконечности. В результате, на стадии инфляции возникают силы гравитационного отталкивания, они, в свою очередь, и отвечают за движущую силу расширения Вселенной. Такая сила появляется посредством конденсата скалярного поля на инфляционной стадии, который эквивалентен, А — члену в уравнениях А. Эйнштейна. Впервые расширяющуюся Вселенную с, А — членом описал де Ситтер, и сегодня такая космологическая модель называется моделью (или Вселенной) де Ситтера.

Поскольку основным свойством, А — члена является способность вызывать ускорение, а не замедление Вселенной, то интерес к модели де Ситтера не уменьшается, и любое подозрение на существование стационарного участка в истории расширения, или подозрение на наличие следов ускорения вызывает к жизни старые идеи Эйнштейна — де Ситтера.

Так, в конце двадцатого века было показано, что в ранней Вселенной могла эффективно генерироваться космологическая постоянная, эквивалентная силам отталкивания. В свою очередь академиком А. Старобинским, при анализе квантовых поправок к уравнениям А. Эйнштейна, обнаружено решение, которое эквивалентно решению де Ситтера, и разработана теория согласованного решения, в котором квантовые поправки к уравнениям гравитационного поля служили источником, порождающим ненулевую кривизну пространства — времени.

На основании работ Д. Киржница и А. Линде, А. Гус разработал теорию инфляционной Вселенной, введя эффективную космологическую постоянную, названную конденсатом скалярного поля. Так что приливные силы, генерируемые такой космологической постоянной были огромными, они составляли величину 1074с-2. Такие приливные силы возникают в однородной Вселенной, они не зависят от градиента давления или температурынаоборот, они выравнивают всевозможные градиенты, что способствует образованию однородного распределения в веществе. Так, после окончания инфляционной эпохи Вселенная продолжает свое расширение по инерции, что мы и можем наблюдать в настоящее время. Таким образом, предложен ответ на вопрос почему расширяется наша Вселенная.

Хотя изучение будущего Вселенной принципиально отличается от изучения прошлого, но, не смотря на это, прошлое все же оставило свои следы и, обнаруживая их, мы проверяем правильность своих представлений о Вселенной. Картина будущего — это всегда экстраполяция, прямая проверка здесь невозможна. Однако, в настоящее время, фундамент физических и астрофизических знаний достаточно прочен, что позволяет с достаточной уверенностью рассматривать отдаленное будущее Вселенной (/4, 9, 10/).

Следует отметить, что одним из фактов успеха сегодняшнего прогресса космологии является развитие физической теории. Используя в космологии общую теорию относительности А. Эйнштейна, а также достижения квантовой теории и достижения современной физики элементарных частиц, можно с уверенностью сказать, что запросы космологии растут значительно быстрее, чем возможности современного физического эксперимента.

Одним из ярких аспектов современной космологии является изучение распределения темной, невидимой материи. Поистине, грандиозное влияние на физиков оказало открытие факта о том, что наш мир примерно на 30 процентов состоит из вещества непонятной природы. Действительно, в данный момент, сам факт существования темной материи уже не вызывает сомнения. Хотя, природу этой материи еще не узнали. Не известна и форма, в которой это вещество присутствует во Вселенной. Используются различные гипотезы о том, что она может быть в форме, подобной планетам и звездам, т. е. в форме гравитационно связанных тел, а может быть в распределенной форме, как материя, которая состоит из элементарных частиц, распределенных в пространстве. Не исключают и тот факт, что возможно во Вселенной существует несколько видов темной материи, причем каждый из таких видов может существовать в определенной форме, которая отличается от других видов. Такие предположения следуют из наблюдательных исследований гравитационных линз и крупномасштабной структуры Вселенной.

Еще относительно недавно казалось, что основная масса нашей Вселенной состоит из звезд, планет, межгалактического газа, космической пыли, то есть из видимой барионной материи (излучающей или отражающей электромагнитные волны). Небарионная материя, которая (до недавнего времени) включала только электромагнитное (фотонное) и нейтрийнное излучения, не могла (как казалось) давать существенного вклада в общую массу Вселенной, так как фотоны не имеют массы, а массы нейтрино очень малы.

Вопрос о возможном существовании во Вселенной некой скрытой массы впервые начал серьезно обсуждаться в начале 30-х годов прошлого века. Предпосылкой этому послужило открытие в 1929 году Э. Хабблом факта о том, что наша Вселенная расширяется. Он, используя результаты измерения красного смещения спектральных линий галактик, сделал вывод, что галактики и галактические скопления разбегаются друг от друга (красное смещение — это наблюдаемое смещение спектральных линий в сторону длинных волн от удаляющегося космического объекта по сравнению с длиной волны тех же линий, измеренной в земных условиях от неподвижного источника (эффект Доплера) /4/.

Вопрос о количественном и качественном составе темной материи играет важную роль как для выбора наиболее адекватной модели эволюции Вселенной и дальнейшего ее развития, так и для понимания современного строения Вселенной.

Итак, около 1/3 Вселенной приходится на темную материю.

Оставшаяся часть Вселенной состоит, в основном, из темной энергии и только малая часть остается на долю «обычной» видимой материи звезд и планет. В настоящее время некоторые ученые считают, что такой вид энергии (темная энергия) является силой, противоположной гравитации, и способствует расширению Вселенной. Гравитация действует на все формы вещества, а антигравитация темной энергии проявляется только иа дальних расстояниях, заставляя Вселенную расширяться значительно быстрее, чем в том случае, если бы гравитация была доминирующей силой. Ученые все еще не пришли к единому мнению о существовании и природе темной энергии, хотя, безусловно, новые результаты прибавят доверия новой теории.

Космология, как и всякая другая наука, имеет экспериментальные доказательства (и набор наблюдений), которые, в свою очередь, являются критическими для нее. Всякий такой эксперимент был определяющим в становлении современных взглядов на строение и эволюцию нашей Вселенной.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты опубликованы в статьях [17], [28], [29], [30], [31],.

С = г (c)

3.96) где т — положительная константа.

2. При, а = получаем: к2р0.

3.97).

59], [116].

Заключение

.

В настоящей диссертации получены следующие основные результаты.

1. Изучен ряд вопросов квантовой космологии в рамках теории Бранса — Дикке. Именно, применен формализм эффективного действия (основанный на интегрировании конформной аномалии) при построении и решении гравитационных уравнений. Рассмотрена скалярно — тензорная гравитация, в которой имеется кинетический член для дилатона, а также дилатонный потенциал, в качестве классического гравитационного действия на фоне которого развивается квантовая динамика.

2. Дилатонный потенциал обычно может рассматриваться, как зависящая от времени космологическая постоянная. При выборе дилатонного потенциала в виде экспоненты от скаляра и учете квантовых эффектов, которые индуцируются некоторым числом спинорных полей, построено однопетлевое эффективное действие. Построены эффективные уравнения движения и найдены их частные решения, отвечающие дилатонной Вселенной Фридмана специального вида (раздувающаяся открытая Вселенная). Найдены решения для зависящегося от времени дилатона, который в процессе эволюции может уменьшаться, будучи существенным в ранней Вселенной.

3. Исследована роль квантовой материи, взаимодействующей с классическим дилатоном в стабилизации Вселенной анти — де Ситтера. Использована хорошо известная конформная аномалия для конформно — инвариантного скалярного поля.

Исходя из такой конформной аномалии построено эффективное действие, индуцированное аномалией. Выведены соответствующие гравитационные уравнения движения. Найдены условия на параметры модели, обеспечивающие возможность рождения Вселенной анти — де Ситтера. Исследовано влияние взаимодействия квантовой материи с дилатоном на стабилизацию Вселенной анти — де Ситтера. Показано, что в отсутствии дилатона квантовые эффекты ведут к анигиляции Вселенной анти — де Ситтера. Доказано, что с ростом параметра Н2 растет и кривизна, а это означает, что Вселенная анти — де Ситтера становится устойчивой и, следовательно, возникает возможность квантового рождения дилатонной Вселенной анти — де Ситтера.

4. Показано (в том числе численно) как форма дилатонного потенциала влияет на возможность квантового рождения Вселенной антиде Ситтера. Исследованы уравнения движения для различных дилатонных потенциалов с учетом эффективного действия, индуцированного аномалией для скаляра, взаимодействующего с дилатоном.

5. Построены гравитационные уравнения поля в общей теории относительности с учетом слагаемого 1/Я (где И — кривизна), в присутствии фантомного поля и идеальной жидкости. С помощью данных уравнений исследована эволюция Вселенной и построен ряд космологических решений. Показано, что ускоренное расширение Вселенной может быть обусловлено такой модифицированной гравитацией.

6. Исследована модель модифицированной гравитации с учетом слагаемого Яа. Рассмотрено два случая уравнений состояния идеальной жидкости с учетом вязкости. Показано, что в такой модели модифицированной гравитации реализуется фантомная космология и возникает сингулярность.

Благодарность.

В заключении мне хотелось бы выразить благодарность научному руководителю проф., док. физ — мат. наук Одинцову С. Д. за внимательное руководство работой, конструктивную критику, многочисленные ценные советы и обсуждения. Также хочу поблагодарить проф. Бухбиндера И. Л., проф. Лаврова П. М. за ценные обсуждения, и проф. Обухова В. В., проф. Зеличенко В. М., проф. Осетрина К. Е. за поддержку и помощь в работе.

Благодарю профессора Сугамото А. во время стажировки в университете Очаномицу (Токио, Япония) и профессора Бревика И. во время стажировки в норвежском университете науки и технологии (Трондхейм) за полезные обсуждения данной диссертационной работы.

Выражаю благодарность проф. Кирога Д., Шайдо М. А. и Горбуновой О. Г. за помощь и многочисленные советы в подготовке данной диссертационной работы. Также благодарю коллектив кафедры математического анализа и коллектив кафедры математики, теории и методики обучения математике за всестороннюю помощь и поддержку.