Основы двойственной теории регулярного гиперполосного распределения в проектно-метрическом пространстве

Известно, что геометрия распределений m-мерных линейных элементов (неголономная геометрия) тесно связана с проблемой Пфаффа [118], то есть с проблемой описания интегральных многообразий максимальной размерности для системы уравнений Пфаффа ва — 0, а —, п — т, (*) задаваемой набором п-т форм Пфаффа в" в некоторой области U однородного пространства Мп, линейно независимых в каждой точке х е U — с геометрической точки зрения система (*) определяет распределение m-мерных линейных элементов Ах [34], [39]:

Важность проблемы Пфаффа, а следовательно, и актуальность изучения геометрии распределений определяется тем, что систему дифференциальных уравнений в частных производных всегда можно трактовать как пфаффову систему [28], [56], то есть задача об интегрировании любой конечной системы дифференциальных уравнений с частными производными эквивалентна задаче об интегрировании некоторой системы Пфаффа.

Некоторые задачи движения механических систем, подчиненных добавочным линейным неголономным связям, задаваемым, например, неинтег-рируемой системой уравнений Пфаффа, в пространстве конфигураций механической системы приводят к понятию неголономного многообразия (см., например, работы В. В. Вагнера [12], [13], A.B. Гохмана [22], П.К. Ра-шевского [56], С. А. Чаплыгина [104]).

Наряду с этим к понятию неголономного многообразия математики пришли и независимо от задач механики путем обобщения основных положений геометрии подпространств на случай, когда поле m-мерных пучков направлений не задает семейства m-мерных подпространств (см. работы В. В. Вагнера [11], [14], Д. М. Синцова [59], Схоутена [121], монографии Врэнчану [122] и Михэйлеску [117]).

В 70-х годах прошлого века теория распределений m-мерных касательных элементов в пространстве представления некоторой группы Ли, а также обобщенная теория распределений m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности Рп п (в частности, в проективном пространстве Рп) получили дальнейшее развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева, Н. М. Остиану (см. [33], [34], [49], [50]) — в случае распределений гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория получила свое отражение в работах В. И. Близникаса [5], [6]. Ю. Г. Лумисте [39] исследует распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа. А. П. Норден [46], [47] устанавливает связь теории многочленных композиций с теорией распределений.

A.B. Столяров [82] впервые ввёл понятие гиперполосного распределения в n-мерном проективном пространстве Рп как пары распределений первого рода — распределение m-мерных линейных элементов {Л, 7тт} (.т<�п-1) и распределение гиперплоскостных элементов {А, лпх} с полем общего центра, А и отношением инцидентности соответствующих элементов: А & 7iт, а 71пх.

В исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в однородные и обобщенные пространства, важное место занимает теория связ-ностей в различных расслоенных пространствах.

История теории связностей начинается с 1917 года с работы Т. Леви-Чивита [116] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея была обобщена в различных направлениях, например, в общей теории относительности. Для построения единой теории поля в 1918 году Г. Вейль [123] ввёл понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 году Р. Кэниг [115], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.

Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [27] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В 1924 году И. А. Схоутен [119], [120] установил взаимосвязь между концепциями Кэнига и Картана.

В 1950 году В. В. Вагнер [15], [17] и Ш. Эресман [114] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.

А. П. Норден [43], [45] разработал метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Согласно работе А. П. Нордена [45], нормализация пмерного проективного пространства Рп состоит в задании некоторого однозначного, непрерывного и дифференцируемого соответствия «точка А0 — гиперплоскость «, где А0 g. При этом, принимая гиперплоскость за образующий элемент пространства, автор строит проективное пространство Рп, двойственное исходному пространству Рп. Нормализации А0 —> отвечает внутренняя проектив-но-евклидова геометрия (первого рода). Применение принципа двойственности к нормализованному пространству Рп позволило принять гиперплоскость за нормализуемый элемент проективного пространства Рп, а связку гиперплоскостей с центром в точке А0 — за нормализующее многообразие и связать с тем же двойственным соответствием внутреннюю аффинную связность второго рода (без кручения), также принадлежащую к классу проективно-евклидовых пространств. В силу двойственности пространств Рп и Рп индуцируемые аффинные связности первого и второго родов А. П. Норденом также названы двойственными.

А. В. Столяров [84] метод Г. Ф. Лаптева использовал для построения основ двойственной теории оснащенных многообразий, погруженных в пространство проективной связности Рп п. При этом определение двойственных пространств с линейной связностью дано с точки зрения инволю-тивных преобразований форм их связностей. Такое определение позволило А. В. Столярову при изучении двойственной геометрии подмногообразий расширить объемлющее пространство (проективное) до пространства проективной связности, привлечь к изучению геометрии подмногообразия его двойственный образ, рассматривать двойственные вопросы не только при нормализации [45] подмногообразия, но и при различных других его оснащениях, впервые проводить изучение двойственной геометрии неголоном-ных многообразий (распределений). В частности, А. В. Столяров строит [84] инвариантную двойственную теорию нормализованного пространства проективной связности Рпп, регулярного гиперполосного распределения.

Н, а Рпп, а также регулярного распределения гиперплоскостных элементов, погруженного в пространство проективной связности Рп п.

Развивая идеи A.B. Столярова, изучением двойственной геометрии различных распределений занимались Д. А. Абруков [1], С. В. Фисунова [97], [98], П. А. Фисунов [96]. Ю. И. Попов исследует трёхсоставные распределения пространства Рп (см. [52]—[54]).

Используя двойственный характер геометрии проективного пространства Рп, А. П. Норден [45], В. В. Вагнер [16], А. П. Широков [111], A.B. Чакмазян [102], Ю. И. Попов [55], Г. В. Бушманова [10], Г. Н. Тевзадзе [91], М. А. Василян [18] - [20] и другие получили ряд глубоких результатов по изучению некоторых вопросов двойственной геометрии нормализованной гиперповерхности Vnx сРя, гиперполосы Нт cz Рп, нормализованного пространства Рп.

В работе A.B. Столярова [84], используя данное им определение двойственных пространств с линейной связностью с точки зрения инволютив-ных преобразований структурных форм их связностей, значительно расширена двойственная теория оснащенных многообразий, погруженных в пространство проективной связности Рп п.

Согласно А. П. Нордену [45], пространством п измерений с проективной метрикой или пространством Кп называется такое пространство, образом точки которого является точка проективного пространства, а фундаментальной группой — подгруппа проективных преобразований, сохраняющих некоторый поляритет (абсолют). Этот поляритет называется абсолютным поляритетом пространства Кп. В монографии А. П. Нордена изучаются некоторые вопросы геометрии пространства Кп с невырожденным абсолютом Qnx. В случае, когда абсолют Qnx овального типа, поляритет называется гиперболическим.

Гиперболическое пространство Ки представляет собой проективную интерпретацию геометрии Лобачевского. С помощью этой интерпретации Ф. Клейн дал строгое доказательство ее непротиворечивости.

Г. Ф. Лаптев [30] вводит понятие пространства проективно-метрической связности Кп п: пространство Кп п есть пространство проективной связности Рп п, обладающее инвариантным полем локальных гиперл квадрик Qn, (локальных абсолютов). A.B. Столяровым [90] найдено инвариантное аналитическое условие, при выполнении которого пространство Рп п становится пространством Кп п.

Кривые и поверхности в евклидовом и проективном пространствах с вырожденным (невырожденным) абсолютом рассматриваются в работах А. Э. Хатипова [99] - [101], Р. Г. Бухараева [9], А. П. Нордена [44], И. Н. Мигалевой [41].

1. Абруков Д. А. Внутренняя геометрия поверхностей и распределений в проективно-метрическом пространстве: Монография / Д. А. Абруков. — Чебоксары: Чувашский гос. пед. университет им. И. Я. Яковлева, 2003, — 140 с.

2. Акивис М. А. О подмногообразиях евклидова пространства с плоской нормальной связностью / М. А. Акивис, А. Б. Чакмазян // Докл. АН АрмССР. 1976. — Т.62. — № 2. — С. 75−81.

3. Акивис М. А. Дифференциальная геометрия тканей / М.А. Акивис// Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. Т. 15. М., 1983, с. 187−213.

4. Алшибая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве / Э. Д. Алшибая // Труды Геометрического семинара. Ин-т науч. информ. АН ССР М., 1974. — Т.5. — С. 169−193.

5. Близникас В. И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства / В. И. Близникас // Ziet. mat. rinkinys: лит. мат. сб., 1971. Т. 11. -№ 1. — С. 63−74.

6. Близникас В. И. О неголономной поверхности трёхмерного пространства проективной связности / В. И. Близникас // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1971. — Т. 3. — С. 115−124.

7. Бабич В. В. Глобальная теория сетей / В. В. Бабич, В.И. Ведерников// Материалы 4-й Прибалт, геом. конф. Тарту, 1973. — С.11.

8. Базылев В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства / В. Т. Базылев // Известия вузов. Математика. 1966. -№ 2. — С.9−19.

9. Бухараев Р. Г. О поверхности евклидова пространства с невырожденным абсолютом / Р. Г. Бухараев / Уч. зап. Казанского гос. ун-та. -Казань, 1954. Т. 114. — С. 39−52.

10. Бушманова Г. В. О нормалях, принадлежащих каноническому пучку / Г. В. Бушманова // Уч. зап. Казанского ун-та. Казань, 1950. -Т.110.-С. 19−33.

11. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий / В. В. Вагнер // 8-й Международный конкурс на соискание премий им. Лобачевского: сб. ст. Казань, 1940. — С. 195−262.

12. Вагнер В. В. Теория конгруэнций кругов и геометрия неголономного V{ в R3 / В. В. Вагнер // Тр. семин. по векторному и тензорному анализу/МГУ. 1941.-Вып. 5. — С. 271−283.

13. Вагнер В. В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем / В. В. Вагнер // Тр. семин. по векторному и тензорному анализу / МГУ. 1941. — Вып. 5. — С. 301−327.

14. Вагнер B.B. Геометрия (п 1)-мерного неголономного многообразия в пмерном пространстве / В. В. Вагнер // Тр. семин. по векторному и тензорному анализу / МГУ. — 1941. — Вып. 5. — С. 173−225.

15. Вагнер В. В. Обобщение тождества Риччи и Бианки для связности в составном многообразии / В. В. Вагнер // ДАН СССР. 1945, 46. -№ 8.-С. 335−338.

16. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос / В. В. Вагнер // Тр. семин. по векторному и тензорному анализу. 1950. — В. 8. — С. 197 272.

17. Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. 1950. -Вып. 8.-С. 11−72.

18. Василян М. А. Об инвариантном оснащении гиперполосы / М. А. Василян // Докл. АрмССР. 1970. — Т.50. — № 2. — С.65−70.

19. Василян М. А. Проективная теория многомерных гиперполос / М. А. Василян // Изв. АН АрмССР. Матем, — 1971. Т. 6. — № 6. — С. 477 481.

20. Василян М. А. Аффинные связности, индуцируемые оснащением гиперполосы / М. А. Василян // Докл. АН АрмССР. 1973. — Т. 57. — № 4. -С. 200−205.

21. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. М.: Наука, 1967. 576 с.

22. Гохман А. В. Дифференциальная геометрия и классическая динамика систем / А. В. Гохман // Труды Геометр, семинара / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1966.-Т. 1.-С. 111−138.

23. Дубнов A.C. О пространственных аналогах чебышевской сети / Я. С. Дубнов, С. А. Фукс // Докл. АН СССР. М., 1940. — Т.28. — № 2. -С.102−104.

24. Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / JI. Е. Евтушик и др. // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1979. — Т. 9. — 246 с.

25. Ефимов Н. В. Высшая геометрия / Н. В. Ефимов. М.: ГИТТЛ, 1961. 580 с.

26. Ивлев Е. Т. Об оснащении многомерной гиперполосы пространства проективной связности / Е. Т. Ивлев // Дифференциальная геометрия многообразий фигур Калининград: Калининградский ун-т, 1974. — В.5. -С.25−49.

27. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан. Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1962. — 210 с.

28. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения / Э. Картан. М.: МГУ, 1962. — 237 с.

29. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобая-си, К. Номидзу ИЛ. — М.: Наука, 1981. -Т. 1. — 344 с.

30. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / Г. Ф. Лаптев // Труды Моск. матем. о-ва. 1953. — Т.2. — С.275−382.

31. Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. съезда. М., 1958. — Т. 3. — С. 409−418.

32. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства. / Г. Ф. Лаптев // В сб. «Труды 4-го Всес. матем. съезда (1961)». -Ленинград, 1964. Т. 2. — С. 226−238.

33. Лаптев Г. Ф. Распределения ш-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. 1 / Г. Ф. Лаптев, Н. М. Остиану // Труды Геометрического семинара М., 1971. — Т.З. — С.49−94.

34. Лаптев Г. Ф. Распределения касательных элементов / Г. Ф. Лаптев // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1971. -Т. З.-С. 29−48.

35. Либер А. Е. К теории сетей в многомерном пространстве /A.Е Либер // Дифференциальная геометрия. Саратовск. ун-т, 1974. B.17. С. 72−84.

36. Лумисте Ю. Г. Индуцированные связности в проективных и аффинных расслоениях / Ю. Г. Лумисте // Уч. зап. Тартуск. Ун-та. 1965, В. 177.-С. 6−42.

37. Лумисте Ю. Г. Теория связностей в расслоенных пространствах/ Ю. Г. Лумисте // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1969 / ВИНИТИ АН СССР-М., 1971.-С. 123−168.

38. Лумисте Ю. Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий/ Ю. Г. Лумисте // Итоги науки ВИНИТИ АН СССР. Алгебра. Топология. Геометрия. М., 1977. — Т. 13. — С. 273−380.

39. Лумисте Ю. Г. Распределения на однородных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1977. — Т. 8. — С. 5−24.

40. Лумисте Ю. Г. Нормальная связность и подмногообразия с параллельными нормальными полями в пространстве постоянной кривизны / Ю. Г. Лумисте, A.B. Чакмазян // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники / ВИНИТИ АН СССР. М., 1980. — Т. 12. — С. 3−30.

41. Мигалева И. Н. Теория кривых и гиперповерхностей пространства с вырожденным абсолютом / И. Н. Мигалева // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. М., 1963. — Т. 208. — С. 252−264.

42. Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия / К. Но-мидзу. М., ИЛ, 1960. — 128 с.

43. Норден А. П. О внутренних геометриях поверхностей проективного пространства / А. П. Норден // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1948. — Вып. 6. — С. 125−224- Вып. 7. — С. 3164.

44. Норден А. П. О полярной нормализации в пространстве с вырожденным абсолютом / А. П. Норден // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М&bdquo- 1952. — Вып. 9. — С. 198−212.

45. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден, — М.: Наука, 1976. 432 с.

46. Норден А. П. Теория композиций / А. П. Норден // Итоги науки и техн. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1978. — Т. 10. -С. 117−145.

47. Норден А. П. Многочленные композиции и теория распределений / А. П. Норден // Известия вузов. Матем., 1978. № 11. — С. 87−97.

48. Оетиану H. М. О канонизации подвижного репера погружённого многообразия / Н. М. Оетиану // Rev. math, pures et appl (RPR). 1962. -T. 7. № 2. — C. 231−240.

49. Оетиану H. M. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II / H. М. Оетиану // Тр. Геом. семинара/ Ин-т научн. информ. АН СССР.-М., 1971.-Т. З.-С. 95−114.

50. Оетиану H. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / H. М. Оетиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. -М., 1973. Т. 4. — С, 71−120.

51. Оетиану H. М. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева. / H. М. Оетиану, В. В. Рыжков, П. И. Швейкин // Тр. Геом. семинара/ Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1973. — Т. 4. — С. 7−70.

52. Попов Ю. И. Трёхсоставные распределения Н’т проективногопространства / Ю. И. Попов // Калинингр. гос. ун-т. Калининград, 1982. -126 с. -Деп. в ВИНИТИ 16.12.1982, № 6192-В1982Деп.

53. Попов Ю. И. Скомпанованные трёхсоставные распределения проективного пространства / Ю. И. Попов // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научн. тр. Калининград: Калининградский гос. ун-т, 1989 — Вып.20. — С.73−96.

54. Попов Ю. И. Основы теории трёхсоставных распределений проективного пространства / Ю. И. Попов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. -1992.-172 с.

55. Попов Ю. И. О двойственности трёхсоставных распределений / Ю. И. Попов // Калинингр. гос. ун-т. Калининград, 2004. — 17 с. — Деп. в ВИНИТИ 26.01.2004, № 131-В2004Деп.

56. Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными / П. К. Рашевский. М.: Гостехиздат, 1947. — 354 с.

57. Рашевский П. К. Симметрические пространства аффинной связности с кручением. I / П. К. Рашевский // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1950. — Вып. 8. — С. 82−92.

58. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашевский. М.: Наука, 1967. — 664 с.

59. Синцов Д. М. Работы по неголономной геометрии / Д. М Синцов,-Киев: Вища школа, 1972. 294 с.

60. Смирнов Р. В. Преобразования Лапласа р-сопряженных систем / Р. В. Смирнов // ДАН СССР. 1950. — Т.71. — № 3. — С.437−439.

61. Смирнова E.H. Оснащения по А. П. Нор дену взаимно-полярных неголономных гиперполос в проективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // ВИНИТИ РАН. М., 2005. — № 746 — В2005 — 11 с.

62. Смирнова E.H. Тангенциальное проективно-метрическое пространство, индуцируемое взаимной неголономной гиперполосой / E.H. Смирнова // ВИНИТИ РАН. М&bdquo- 2007. — № 1015 — В2007 — 18с.

63. Смирнова E.H. Двойственные поля геометрических объектов на регулярной неголономной гиперполосе в проективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // ВИНИТИ РАН. М., 2008. — № 283 — В2008 -25 с.

64. Смирнова E.H. Квадратичное гиперполосное распределение в проективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // Межвузовский тематический сб. науч. тр. Калининград: Изд-во Российского гос. университета им. И. Канта, 2008. — Вып. 39 — С. 124−129.

65. Смирнова E.H. Внутренняя геометрия квадратичного гиперполосного распределения в проективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // ВИНИТИ РАН. М., 2009. — № 4 — В2009. — 24 с.

66. Смирнова E.H. Нормальные связности на квадратичном гиперполосном распределении / E.H. Смирнова // ВИНИТИ РАН. М., 2009. -№ 333- В2009. — 27 с.

67. Смирнова E.H. Полярные гиперполосы в проективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // ВИНИТИ РАН. М., 2009. -№ 524 — В2009. 14 с.

68. Смирнова E.H. Аффинные связности на полярных гиперполосах в проективно-метрическом пространстве / E.H. Смирнова // ВИНИТИ РАН.- М., 2010. № 299 — В2010. — 27 с.

69. Смирнова E.H. Оснащение полярной гиперполосы в проективно-метрическом пространстве. / E.H. Смирнова // Геометрия в Одессе 2010: Тезисы докладов международной конференции. — Одесса: Фонд «Наука», 2010.-С. 56.

70. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов / А. В. Столяров // Проблемы геометрии / Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. 1975.-Т.7.-С.117−151.

71. Столяров A.B. О двойственной геометрии сетей на регулярной гиперполосе / А. В. Столяров // Известия вузов. Математика. 1977. -№ 8, — С.68−78.

72. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография / А. В. Столяров. Чебоксары: Чувашский гос. пед. институт им. И. Я. Яковлева, 1994. — 290 с.

73. Столяров A.B. Двойственная теория регулярных гиперполос и её приложения. / А. В. Столяров. Чебоксары: Чувашский государственный университет, 1994. — 116 с.

74. Столяров A.B. Двойственные нормальные связности на регулярной неголономной гиперполосе / А. В. Столяров // Изв. НАНИ 4P (физмат. науки). Чебоксары, 1996. — № 6. — С.9−14.

75. Столяров А. В. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности. I / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. 1980. -№ 1. — С. 79−82.

76. Столяров А. В. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности. II / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. 1980. — № 2. — С. 84−87.

77. Столяров А. В. Внутренняя геометрия проективно-метрического пространства / А. В. Столяров // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград: Калининградский университет. — 2001. -Вып. 32.-С. 94−101.

78. Столяров А. В. Пространство проективно-метрической связности / А. В. Столяров // Известия вузов. Математика. 2003. — № 11. — С. 7076.

79. Тевзадзе Г. H. О паре сопряженных аффинных связностей, индуцируемых на поверхности проективного пространства Р3 / Г. Н. Тевзадзе// Сообщения АН ГрССР. 1966, 42. -№ 2. — С. 257−264.

80. Уткин A.A. Дифференциальная геометрия пространства с кубическим абсолютом / A.A. Уткин // ВИНИТИ РАН. 1988. — 4 с. — № 5305-В1988 Деп.

81. Фиников С. П. Проективно-дифференциальная геометрия / С. П. Фиников М, 1937, — 263 с.

82. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников М. — Д.: ГИТТЛ, 1948. — 432 с.

83. Фиников С. П. Теория пар конгруэнций / С. П. Фиников М, 1956, — 444 с.

84. Фисунов П. А. Двойственные нормальные связности на гиперполосах в проективном пространстве: Монография / П. А. Фисунов Чебоксары: Чуваш, гос. пед. университет, 2006. — 129 с.

85. Фисунова C.B. Связности в нормальных расслоениях на распределении гиперплоскостных элементов / C.B. Фисунова // ВИНИТИ РАН. -1998. 15 с. -№ 418-В98 Деп.

86. Фисунова C.B. Двойственные нормальные связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов / C.B. Фисунова // ВИНИТИ РАН. 1998. — 14 с. -№ 1098-В98 Деп.

87. Хатипов А. Э. Теория поверхностей в пространстве с абсолютом, распавшимся на пару комплексно-сопряженных плоскостей / А. Э. Хатипов // Тр. Узбек, ун-та. 1955, 59. — С. 105−132.

88. Хатипов А. Э. Теория поверхностей в пространстве с абсолютом, распавшимся на пару действительных плоскостей / А. Э. Хатипов // Тр. Узбек, ун-та. 1956, 65. — С. 11−15.

89. Хатипов А. Э. Теория поверхностей в пространстве с распадающимся абсолютом / А. Э. Хатипов // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1956.-Вып. 10.-С. 285−308.

90. Чакмазян A.B. Двойственная нормализация / A.B. Чакмазян // Докл. АН АрмССР. 1959. — Т.28. — № 4. — С. 151−157.

91. Чакмазян A.B. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография/ A.B. Чакмазян / Армянск. пед. ин-т. Ереван, 1990. -116с.

92. Чаплыгин С. А. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе. / С. А. Чаплыгин. Л.: Поли. собр. соч., 1933. — Т.1. — С.212−214.

93. Чахтаури А. И. Внутренние геометрии плоских сетей / А. И. Чахтаури // Труды Тбилисского матем. ин-та АН ГрССР. Тбилиси, 1944, 15.-С. 101−148.

94. Чахтаури А. И. Приложение внутренних геометрий плоских сетей в теорию поверхностей. / А. И. Чахтаури // Труды Тбилисского матем. ин-та АН ГрССР. Тбилиси, 1954, 20. — С. 89−130.

95. Чахтаури А. И. Об обобщении конфигурации Лапласа для и-мерных сетей / А. И. Чахтаури // Тез. Докл. 6-й Всес. геом. конф. по совр. Проблемам геометрии. Вильнюс, 1975. — С.251−253.

96. Шапуков Б. Н. Связности на дифференцируемых расслоениях / Б. Н. Шапуков // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. -М., 1983. Т.15. — С. 61−93.

97. Широков А. П. Пространства аффинной связности (некоторые аспекты метода нормализации А. П. Нордена) / А. П. Широков // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1985. -Т. 17 — С. 131−151.

98. Bortolotti Е. Connessioni nelle varieta luogo di spaziapplicazione alla geometria metrica differenziale delle congruenze di rette. / E. Bortolotti // Rend. Semin. Fac. Sei. Univ. Cagliari, 1933. 3. — P. 81−89.

99. Cartan E. Les espaces a connexion projective/ E. Cartan // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу, 1937. Вып. 4. — С. 147−159.

100. Ehresmann С. Les connexions infinitesimals dans un espace fibre differentiable / C. Ehresmann // Collque de Topologie (Bruxelles, 1950). Paris, 1951. -P. 29−55.

101. Konig R. Beitrage zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslhre / R. Konig // Jahresb. D. Deutsch. Math. Ver. 1920, 28. — P. 312−228.

102. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. matem. Palermo, 1917, 42. — P. 173−205.

103. Michailescu T. Geometrie differentiala projectiva / T. Michailescu // Bucure§ ti Acad. RPR, 1958. 394 p.

104. PfaffJ. Berl. Abh. / J. Pfaff — 1814. — S. 76−135.

105. Schouten J. A. Les connexions conformes et projective de E. Cartan et la connexion lineaire de la connexion lineaire generale de M. Konig / J. A. Schouten // C. R. Acad. Sei. 1924, 178. — P. 2044;2046.

106. Schouten J. A. Erlanger Programm und Ubertragunslehre. Neue Gesichtspunkte zur Grundlegung der Geometrie / J. A. Schouten // Rend. circ. matem. Palermo, 1926, 50. — P. 142−169.121 .Schouten J. A. Ricci Calculus / J. A. Schouten. Berlin. 2nd ed. 1954.

107. Vranceanu L. Les espaces non-holonomes / L. Vranceanu // Memorial des Sei Math., fasc. LXXXV. Paris, 1936.

108. Weyl H. Raum, Zeit, Materie / H. Weyl. Berlin, 1918.