Пересечения на пространстве модулей кривых

Работа посвящена различным задачам геометрии пространства модулей кривых. Пространство модулей кривых интенсивно изучается в последнее время и является очень интересным объектом как в связи с различными задачами, возникающими в современной математической физике, так и само по себе, ввиду нетривиальности его геометрии.

Наиболее яркими результатами в этой области за последнее время являются, по все видимости, теорема Концевича [29], доказывающая гипотезу Виттена [42] о связи теории пересечений на пространстве модулей кривых со струнным решением иерархии Кортвега-де-Фриза (эта теорема была также доказана Окуньковым и Пандхарипанде [35] и, совсем недавно, Мирзахани [33]), и формула Экедаля-Ландо-Шапиро-Вайнштейна [9, 10] (формула ELSV), выражающая числа Гурвица через пересечения на пространстве модулей кривых.

Вскоре после появления первого доказательства своей гипотезы, Виттен [43] придумал ее обобщение, утверждающее, что производящая функция некоторых специальных чисел пересечений на накрытиях пространства модулей кривых удовлетворяет уравнению струны и одной из иерархий Гельфанда-Дикого. С тех пор эта гипотеза многократно уточнялась и переформулировывалась в работах Джарвиса, Кимуры, Вайнтроба и Полищука [27, 37, 36].

Параллельно шла работа над пониманием структуры тавтологического кольца пространства модулей кривых. Тавтологическое кольцо — это минимальное подкольцо в кольце когомологий, включающее в себя все «геометические» классы когомологий. Гипотетическое описание тавтологического кольца дано в работах Хайна-Лойенги [22] и Фабера [11] (см. также обзор Вакиля [41]). В частности, важным шагом к пониманию структуры тавтологического кольца оказался подсчет интегралов Ходжа, см. работы Фабера и Пандхарипанде [12, 13, 14].

Появление формулы ELSV, с одной стороны, позволило свести некоторые задачи теории пересечений к комбинаторике чисел Гурвица, а с другой стороны — использовать накопленные знания про пересечения для получения новых формул и соотношений на числа Гурвица. Существует несколько подходов к получению обобщений формулы ELSV, описанных в работах Казаряна и Ландо [5], Гульдена, Джексона и Вакиля [20], и Шапиро и Вайнштейна [39].

Наши результаты касаются всех затронутых выше тем. Основным результатом является создание и развитие некоторого довольно общего подхода к вычислению различных чисел пересечений на пространстве модулей кривых. Грубо говоря, мы сводим большой класс задач теории пересечений на пространстве модулей кривых к теории пересечений на пространстве мероморфных функций. Отметим, что, в некотором смысле, большая часть вычислений на пространстве модулей кривых так или иначе связана с переходом к пространству мероморфных функций. Например, ту же идею реализует стандартный метод виртуальной локализациию (см., например, [35]). Преимущество нашего, ориентированного на более частные задачи, подхода заключается в его геометрической наглядности. Также наш подход позволяет черевычайно просто вычислять широкий класс пересечений на циклах двухточечных ветвлений, что в последнее время стало довольно актуальным, см. [15].

Основой всех наших вычислений является лемма Ионель [26], которую мы подробно разбираем в главе 4. Сама Ионель применила свою (замечательную, на наш взгляд) лемму лишь для доказательства слабой формы гипотезы Гетцлера о том, что любой моном степени д от стандартных псии каппа-классов на открытом пространстве модулей кривых рода д равен нулю. В некотором смысле, наш способ применения леммы Ионель к различным задачам является более простым универсальным вариантом «рациональной модели» пространства модулей кривых, см., например, [8].

Перейдем теперь к перечислению конкретных результатов, содержащихся в работе, и описанию разбиения работы на главы. Общая схема заключается в следующем. В главах 1, 2 и 3 мы формулируем наши результаты и доказываем те из них, которые не требуют серьезной технической работы, основанной на лемме Ионель. В главе 4, мы приводим лемму Ионель и многократным ее применением доказываем все остальные результаты работы.

В главе 1 мы исследуем интегралы Ходжа. В частности, мы приводим биномиальное выражение для интегралов Ходжа по пространству модулей кривых через интегралы Ходжа по циклам двухточечных ветвлений (теорема 1). Далее, на интегралы по циклам двухточечных ветвлений мы приводим уравнение типа «cut-and-join» (теорема 2). Это уравнение позволяет свести любой рассматриваемый интеграл к некоторым простейшим, значения которых мы тоже вычисляем (теорема 3). Далее, в случае когда мы рассматриваем интегралы с участием старшего класса Ходжа, удается получить формулу для интегралов через сумму по графам (теорема 4), имеющую нетривиальные комбинаторные следствия (следствия.

1 и 2). Отдельно мы разбираем случай рода ноль, где возникает особенно простая комбинаторика (теорема 5).

В главе 2 мы исследуем числа Гурвица. В частности, мы выражаем полиномиальные двойные числа Гурвица через пересечения на циклах двухточечных ветвлений (теорема 6), и, пользуясь формулами из предыдущей главы, приводим новые линейные соотношения на числа Гурвица (следствие 3). Также мы приводим новое доказательство соотношения типа «cut-and-join» для чисел Гурвица (следствие 4). В случае, когда мы рассматриваем числа Гурвица с одним непростым ветвлением, являющемся полиномиальным, мы приводим альтернативное независимое доказательство следствия 3, основаное на формуле ELSV (следствие 5).

В главе 3 мы применям ту же самую технику к вычислению некоторых из пересечений Мамфорда-Мориты-Миллера, составляющих предмет расширенной гипотезы Виттена. Начинаем мы с исследования интегрируемых иерархий (для того, чтобы иметь информацию для сравнения), и находим одно из соотношений бига-мильтоновой рекурсии для иерархии иерархии Буссинеска (утверждение 7). Далее, для чисел пересечений Мамфорда-Мориты-Миллера мы приводим аналоги теорем 1, 2 и 3, позволяющие вычислять их в частных случаях (теоремы 8, 9 и 10). Отметим, что у теорем 8, 9 и 10 имеются обощения из [47], упрощающие, довольно существенно, вычисления, однако опущенные нами в этой работе для облегчения понимания.

В главе 4 мы приводим в полном объеме теорию Ионель, и, основываясь на ней, доказываем все наши основные теоремы.

Автор выражает благодарность доктору физико-математических наук, профессору В. М. Закалюкину и доктору физико-математических наук С. М. Натанзону за многочисленные полезные советы и обсуждения.

1. И. М. Гельфанд, J1. А. Дикий, Асимптотические свойства резольвенты уравнений Штурма-Лиувилля и алгебра уравнений Кортвега-де-Фриза, Успехи матем. наук, т. 30, вып. 5, 65−100 (1975).

2. И. М. Гельфанд, Л. А. Дикий, Резольвента и гамильтоновы системы, Функц. анализ и его прил., т. 11, вып. 2, 11−27 (1977).

3. Д. Звонкин, С. К. Ландо, О кратностях отображения Ляшко-Лойенги на стратах дискриминанта, Функц. анализ и его прил., т. 33, вып. 3, 21−34 (1999).

4. М. Э. Казарян, О комбинаторном вычислении чисел Гурвица (по Д. Звонкину), препринт 2004.

5. М. Э. Казарян, С. К. Ландо, К теории пересечений на пространствах Гурвица, Изв. РАН, сер. матем., т. 68, вып. 5, 82−113 (2004).

6. D. Abramovich, A. Vistoli, Compactifying the space of stable maps, J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), 27−75.

7. P. Deligne, D. Mumford, The irreducibility of the space of curves of given genus, Publ. I.H.E.S. 36 (1969), 75−109.

8. P. Belorousski, R. Pandharipande, A descendent relation in genus 2, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. (4) 29 (2000), no. 1, 171 191.

9. T. Ekedahl, S. Lando, M. Shapiro, A. Vainshtein, On Hurwitz numbers and Hodge integrals, C. R. Acad. Sci. Paris Sdr. I Math. 328 (1999), 1175−1180.

10. T. Ekedahl, S. Lando, M. Shapiro, A. Vainshtein, Hurwitz numbers and intersections on moduli spaces of curves, Invent. Math. 146 (2001), 297−327.

11. C. Faber, A conjectural description of the tautological ring of the moduli space of curves, Moduli of Curves and Abelian Varieties, Aspects. Math., E33, Vieweg, Braunschweig, 1999, pp. 109−129.

12. C. Faber, R. Pandharipande, Hodge integrals and Gromov-Witten theory, Invent. Math. 139 (2000), 173−199.

13. С. Faber, R. Pandharipande, Logarithmic series and Hodge integrals in the tautological ring, Michigan Math. J. 48 (2000), 215 239.

14. C. Faber, R. Pandharipande, Hodge integrals, partition matrices, and the Xg conjecture, Ann. Math. 156 (2002), 97−124.

15. C. Faber, R. Pandharipande, Relative maps and tautological classes, arXiv: math. AG/304 485.

16. E. Getzler, Topological recursion relation in genus 2, Integrable Systems and Algebraic Geometry (Kobe/Kyoto, 1997), World Scientific, River Edge, NJ, 1998, pp. 73−106.

17. I. P. Goulden, D. M. Jackson, The combinatorial relationship between trees, cacti and certain connection coefficients for the symmetric group, Europ. J. Comb. 13 (1992), 357−365.

18. I. P. Goulden, D. M. Jackson, A. Vainshtein, The number of ramified coverings of the sphere by the torus and surfaces of higher genera, Ann. Comb. 4 (2000), no. 1, 27−46.

19. I. P. Goulden, D. M. Jackson, R. Vakil, The Gromov-Witten potential of a point, Hurwitz numbers, and Hodge integrals, Proc. London. Math. Soc. (3) 83 (2001), 563−581.

20. I. P. Goulden, D. M. Jackson, R. Vakil, Towards the geometry of double Hurwitz numbers, arXiv: math. AG/309 440.

21. T. Graber, R. Vakil, Hodge integrals and Hurwitz numbers via virtual localization, Compositio Math. 135 (2003), 25−36.

22. R. Hain, E. Looijenga, Mapping class groups and moduli spaces of curves, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 62, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, pp. 97−142.

23. J. Harris, I. Morrison, Moduli of Curves, Graduate Texts in Mathematics, vol. 187, Springer-Verlag, New York, 1998,.

24. J. Harris, D. Mumford, On the Kodaira dimension of the moduli space of curves, Invent. Math. 67 (1982), 23−86.

25. A. Hurwitz, Uber Riemann’sche Flachen mit gegebenen Verz-weigungspunkten, Math. Ann. 39 (1891), 1−60.

26. E.-N. Ionel, Topological recursive relations in H29(Mg>n), Invent. Math. 148 (2002), 627−658.

27. T. J. Jarvis, T. Kimura, A. Vaintrob, Moduli spaces of higher spin curves and integrable hierarchies, Compositio Math. 126 (2001), 157−212.

28. S. Keel, Intersection theory of moduli space of stable n-pointed curves of genus zero, Trans. Amer. Math. Soc. 330 (1992), 545 574.

29. M. Kontsevich, Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function, Comm. Math. Phys. 147 (1992), 1−23.

30. E. Looijenga, The complement of the bifurcation variety of a simple singularity, Invent. Math. 23 (1974), 105−116.

31. E. Looijenga, Intersection theory on Deligne-Mumford compacti-fications (after Witten and Kontsevich), Seminaire Bourbaki, Vol. 1992/1993, Asterisque 216 (1993), Exp. No. 768, 4, pp. 187−212.

32. Yu. Manin, Frobenius Manifolds, Quantum Cohomology, and Moduli Spaces, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 47, American Mathematical Society, Rhode Island, 1999.

33. M. Mirzakhani, Weil-Peterson volumes and intersection theory on the moduli space of curves, preprint 2004.

34. D. Mumford, Towards an enumerative geometry of the moduli space of curves, Arithmetic and Geometry, Vol. II (M. Artin and J. Tate, eds.), Progr. Math., vol. 36, Birkhauser, Boston, Massachusetts, 1983, pp. 271−328.

35. A. Okounkov, R. Pandharipande, Gromov-Witten theory, Hurwitz numbers, and matrix models, Part I, arXiv: math. AG/101 147.

36. A. Polishchuk, Witten’s top Chern class on the moduli space of higher spin curves, arXiv: math. AG/208 112.

37. A. Polishchuk, A. Vaintrob, Algebraic construction of Witten top Chern class, Advances in Algebraic Geometry Motivated by Physics (E. Previato, ed.), Amer. Math. Soc., Providence, 2001, pp. 229−250.

38. S. V. Shadrin, Combinatorics of binomial decompositions of the simplest Hodge integrals, arXiv: math. AG/310 497.

39. M. Shapiro, A. Vainshtein, Double Hurwitz numbers and the intersection form on the moduli space in genus 0, preprint 2004.

40. R. Vakil, Genus 0 and 1 Hurwitz numbers: recursions, formulas, and graph-theoretic interpretations. Trans. Amer. Math. Soc. 353 (2001), no. 10, 4025−4038.

41. R. Vakil, The moduli space of curves and its tautological ring, Notices Amer. Math. Soc. 50 (2003), no. 6, 647−658.

42. E. Witten, Two-dimensional gravity and intersection theory on moduli space, Surveys in Differential Geometry (Cambridge, Mass, 1990), vol. 1, Lehigh University, Pennsylvania, 1991, pp. 243−269.

43. E. Witten, Algebraic geometry associated with matrix models of two-dimensional gravity, Topological Methods in Modern Mathematics (Stony Brook, NY, 1991), Publish or Perish, Texas, 1993, pp. 235−269.Работы автора по теме диссертации.

44. С. В. Шадрин, Числа Гурвица обобщенных многочленов и циклы двухточечных ветвлений, Успехи матем. наук, т. 58, вып. 1, 197−198 (2003).

45. С. В. Шадрин, Полиномиальные числа Гурвица и пересечения на Мо, к, Функц. анализ и его прил., т. 37, вып. 1, 92−94 (2003).

46. S. V. Shadrin, Geometry of meromorphic functions and intersections on moduli spaces of curves, Int. Math. Res. Not. 2003, 20 512 094.

47. S. V. Shadrin, Intersections in genus 3 and the Boussinesq hierarchy, Lett. Math. Phys. 65 (2003), 125−131.