1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР.
Конформным пространством п измерений Сп называется п — мерное евклидово пространство Еп-> дополненное одной несобственной точкойв этом пространстве определена группа точечных преобразований, переводящих всякую гиперсферу в гиперсферу, причем гиперплоскости пространства Еп считаются гиперсферами, проходящими через несобственную точку. Эта группа сохраняет углы между направлениями и называется группой конформных преобразований пространства Сп.
Конформно-дифференциальная геометрия трехмерного пространства начала развиваться в рамках классической дифференциальной геометрии в конце XIX века в работах Дарбу, Рибокура и других геометров. В начале 20-го столетия появился ряд работ, в которых рассматривался вопрос о том, как преобразуются важнейшие дифференциальные инварианты и инвариантные квадратичные формы при конформных преобразованиях пространства. К работам этого направления относятся исследования Фосса, Роте, Огура, Фубини и других геометров. Обзор работ этого направления содержится в статье Бервальда [75] в математической энциклопедии (1927 г.).
По сравнению с аффинной и проективной дифференциальными геометриями конформная дифференциальная геометрия несколько отстала в своем развитии. Это объясняется тем, что в работах по аффинной и проективной дифференциальным геометриям с самого начала использовались естественные для этих геометрий координаты — аффинные и проективные, а при изучении вопросов конформной дифференциальной геометрии исследования велись в прямоугольной декартовой системе координат.
В 1924 г. появляется работа Томсена [88], в которой для изучения конформно-дифференциальной геометрии поверхностей применяются пентасферические координаты и тензорное исчислениек этому направлению относится также работа Вессио [89]. В вышедшей в 1929 г. книге Бляшке [76], написанной им совместно с Томсеном, дифференциальная геометрия трехмерного конформного пространства рассматривается одновременно с дифференциальной геометрией пространства Лаггера и пространства, фундаментальной группой которого служит группа сферических преобразований С.Ли. Итог более чем десятилетней работы в области дифференциальной геометрии сфер был подведен Такасу в трехтомной монографии, первый том которой, вышедший в 1938 г. [87], посвящен конформной геометрии.
В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связ-ностей в различных расслоенных пространствах, а также ее применение при исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в различные пространства. История теории связностей начинается с 1917 г. с работы Т. Леви-Чивита [84] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. В 1918 г. Г. Вейль [90] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 г. Р. Кэниг [82], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.
Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [27] в 20-х годах, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В работе [27] Э. Картан вводит понятие «-мерного пространства конформной связности, в которой он рассматривает тмерную поверхность в пространстве конформной связности, а также конформные связности, индуцируемые на этой поверхности связностью объемлющего пространства, вопросы конформного отображения и наложимости таких поверхностей. Также в это время теория многомерных пространств конформной связности развивается в работах Т. И. Томаса, И. М. Томаса и ряда других геометров. В работах С. Сасаки [85], [86] в 1939;40 гг. развивается теория кривых и гиперповерхностей в пространстве конформной связности.
Следующий этап в развитии теории связностей начался в 1950 г., когда В. В. Вагнер [18], [19] и Ш. Эресман [80] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Изложение Вагнера является локальным и выполнено классическими методами. Глубокое развитие этих результатов с привлечением методов Э. Картана дал в 1953 г. Г. Ф. Лаптев [28]. Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю. Г. Лумисте [32].
При построении теории многомерных поверхностей в аффинном, проективном и конформном пространствах встречается ряд трудностей. Эти трудности связаны с тем, что на поверхностях в этих пространствах не удается определить инвариантные связности. Первые применения понятия проективной связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве дал Э. Картан [79] в 1937 г. Для изучения геометрии многомерных поверхностей проективного пространства и других однородных пространств, фундаментальная группа которых является подгруппой проективной группы, А. П. Норден разработал метод нормализации [41]-[44]. Метод нормализации позволил в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. В работах [41]-[44], а также в совместной с Г. В. Бушмановой работе [17] А. П. Норденом получены существенные результаты по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий.
Новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью, был развит Г. Ф. Лаптевым [28]. Г. Ф. Лаптев, следуя идеям Э. Картана, дал строгое определение пространства аффинной связности. При этом задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. П. А. Широков и А. П. Широков исследовали локальное строение подмногообразия в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении [70].
Метод Г. Ф. Лаптева был применен М. А. Акивисом [1],[2],[74] к построению основ инвариантной теории гиперповерхностей, т — мерных поверхностей пмерного конформного и псевдоконформного пространств. В его работах в третьей дифференциальной окрестности построено инвариантное полное оснащение т — мерной поверхности и гиперповерхности п-мерного конформного пространства, то есть к каждой точке поверхности внутренним образом присоединены т — мерная касательная сфера S и нормальная (я-т)-сфера Р. С помощью инвариантного оснащения на поверхностях строятся конформная связность и связность Вейля, внутренним образом присоединенные к этой поверхности, а также система конформно-инвариантных тензоров, определяющих поверхность Vm конформного пространства с точностью до конформных преобразований. В своих исследованиях М. А. Акивис изучает также поверхности, несущие сеть линий кривизны.
Связность, определяемую в нормальном расслоении подмногообразия евклидова пространства или пространства постоянной кривизны, ввел Э. Картан в 1926;1927 гг. Подмногообразия с нулевым кручением (то есть с плоской нормальной связностью) исследовали почти одновременно Д. И. Перепелкин [46] и Фабрициус-Бьерре [81], а также Э. Картан в 1936 г. Нормальная связность привлекла внимание в связи с исследованиями подмногообразий с параллельным полем вектора средней кривизны в пространстве постоянной кривизны. Одним из дополнительных условий, которое часто ставили при этом, являлось условие, чтобы нормальная связность была плоская. Получены далеко идущие результаты об изучаемых подмногообразиях. Обзор исследований этого направления дан в [33], [34].
Понятие нормальной связности нормализованного подмногообразия в проективном пространстве ввели в 1976 г. независимо друг от друга А. П. Норден в работе [44] и А. В. Чакмазян [68]. До конца 20-го века была сравнительно мало исследована та часть геометрии нормализованного подмногообразия проективного, аффинного и других пространств, где используются связности в нормальных расслоениях. Большой вклад в развитие теории нормальных связностей внес А. П. Чакмазян [69]- в указанной работе он изучает локальное строение подмногообразия в одном из классических однородных пространств (именно, в проективном, аффинном и проективно-метрическом пространствах) с привлечением связностей в нормальных расслоениях.
Линейные связности на различного рода оснащенных подмногообразиях, погруженных как в однородные 'пространства, так и в пространства с фундаментально-групповой связностью, являются объектом исследования многих отечественных геометров.
Л.Ф.Филоненко в своих работах [62], [63], исходя из геометрии квадратичной гиперполосы в «-мерном проективном пространстве р&bdquo-, рассматривает распределение т — мерных линейных элементов в (п — 1) -мерном конформном пространстве, используя, в основном, его проективную интерпретацию. Значительное внимание уделяется возникающим при этом связностям, как вейлевой связности во всем пространстве, так и разного рода касательным и нормальным связностям распределения. Исследования А. В. Столярова [56], [57] посвящены изучению аффинных и конформных связностей, индуцируемых оснащениями распределений в п — мерном конформном пространстве. П. А. Фисунов [66] изучает нормальные связности на оснащенной регулярной т — мерной гиперполосе п — мерного проективного пространства. Исследования А. М Михайловой [38], [39] посвящены изучению некоторых вопросов линейных связностей на оснащенной гиперполосе конформного пространства.
1. Акивис М. А. Инвариантное построение геометрии гиперповерхности конформного пространства / М. А. Акивис // Матем. сб. — М., 1952. -Т. 31. — № 1. — С.43−75.
2. Акивис М. А. К конформно-дифференциальной геометрии многомерных поверхностей / М. А. Акивис // Матем. сб. — М., 1961. Т. 53. — № 1- С.53−72.
3. Акивис М. А. Конформно дифференциальная геометрия / М. А. Акивис // Итоги науки. Геометрия (1963) / ВИНИТИ АН СССР. — М., 1965. -С. 108−137.
4. Акивис М. А. К теории конформных структур / М. А. Акивис // Геометр. сборник. Томск, 1985. -№ 26. — С. 44−52.
5. Акивис М. А. Индуцированные связности на многообразиях в пространствах с фундаментальными группами / М. А. Акивис, В. В. Гольдберг, А. В. Чакмазян // Изв. вузов. Мат. Казань, 2004. — № 10. -С. 3−19.
6. Андреева Т. Н. Аффинные связности на нормально оснащенной гиперповерхности конформного пространства / Т. Н. Андреева // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2004. — № 1. — С. 3−9.
7. Андреева Т. Н. Конформно дифференциальная геометрия сетей на гиперповерхности / Т. Н. Андреева // ВИНИТИ РАН. — М., 2004. — 18 с.-№ 744 — В2004.
8. Андреева Т. Н. Сети на гиперповерхности конформного пространства / Т. Н. Андреева // Научно информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. — Чебоксары, 2004. — Т.2. — № 1(3). — С.21−29.
9. Андреева Т. Н. Конформные и аффинные связности, индуцируемые полным оснащением гиперповерхности конформного пространства / Т. Н. Андреева //ВИНИТИ РАН. М., 2004. — 18 с. — № 1369 — В2004.
10. Андреева Т. Н. Поле циклид Дарбу, индуцируемое полным оснащением гиперповерхности конформного пространства / Т. Н. Андреева // Вестник Чувашек, гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Чебоксары, 2005. -№ 1. — С. 19−24.
11. Андреева Т. Н. Нормальные связности на гиперповерхности конформного пространства //ВИНИТИ РАН. М., 2005. — 23 с. — № 379 -В2005.
12. Андреева Т. Н. О нормальных связностях, индуцируемых на оснащенной гиперповерхности конформного пространства / Т. Н. Андреева // Научно — информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. — Чебоксары, 2005.-Т. 1.-№ 1(5). С. 3−10.
13. Базылев В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства / В. Т. Базылев // Изв. вузов. Мат. Казань, 1966. — № 2. — С. 9−19.
14. Бушманова Г. В. Элементы конформной геометрии / Г. В. Буш-манова, А. П. Норден. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1972. — 178с.
15. Вагнер В. В. Обобщение тождества Риччи и Бианки для связности в составном многообразии / В. В. Вагнер // ДАН СССР. 1945, 46. — № 8. — С. 335−338.
16. Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. — М: Изд-во МГУ, 1950, 8. -С. 11−72.
17. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. — М: Изд-во МГУ, 1950. Вып. 8. — С. 197−272.
18. Василян М. А. Проективная теория многомерных гиперполос / М. А. Василян // Изв. АН Арм. ССР. Матем. 1971. — Т. 6. — № 6. — С. 477 481.
19. Ведерников В. И. Конформная наложимость поверхностей / В. И. Ведерников // Докл. АН СССР. 1950. — Т.73. — С. 437−440.
20. Ведерников В. И. Метрическая характеристика образов и величин конформной теории поверхностей / В. И. Ведерников, В. А. Тихонов // Воронеж. Труды ун-та. Воронеж, 1954. — Т.ЗЗ. — С. 37−42.
21. Ведерников В. И. Поверхности, огибающие семейство гиперсфер /B.И.Ведерников // Изв. вузов. Мат. Казань, 1957. — № 1. — С. 89−97.
22. Ведерников В. И Конформная наложимость поверхностей в пространстве / В. И. Ведерников // Изв. вузов. Мат.- Казань, 1963. № 1.C. 33−41.
23. Евтушик JI.E. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик и др. // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ.- М., 1979. Т. 9. — 246с.
24. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э.Картан. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1962. — 210 с.
25. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / Г. Ф. Лаптев // Труды Моск. матем. о-ва. М., 1953. — Т. 2. -С. 275−382.
26. Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. Съезда. -М., 1958. Т.З.-С. 409−418.
27. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства / Г. Ф Лаптев // Труды 4-го Всес. матем. съезда (1961). -Ленинград, 1964. Т. 2. — С. 226 — 233.
28. Лукин К. Д. Погружение пространства Вейля в конформное пространство / К. Д. Лукин // Весщ АН БССР. Серю ф1з. мат. н. (Изв. АН БССР. Сер. физ. — мат. н.). — 1971 -№ 1. — С. 28−34.
29. Лумисте Ю. Г. Теория связностей в расслоенных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. — 1969. / ВИНИТИ АН СССР. М., 1971.-С. 123−168.
30. Лумисте Ю. Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ АН СССР. М., 1975. — Т.13. — С. 273−340.
31. Лумисте Ю. Г. Нормальная связность и подмногообразия с параллельными нормальными полями в пространстве постоянной кривизны / Ю. Г. Лумисте, А. В. Чакмазян // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1980. — С. 3−30.
32. Михайлова А. Н. О некоторых внутренних оснащениях конформного пространства / А. Н. Михайлова // Сб. научных трудов докторантов, научных сотрудников и аспирантов. Чебоксары, 2000. — Вып. 8. -С. 10−15.
33. Михайлова А. Н. Поля касательных m-сфер и нормальных (п-т)-сфер гиперполосы / А. Н. Михайлова // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева (физико-математические науки). Чебоксары, 2000. —№ 1(14). — С. 47−54.
34. Михайлова А. Н. Внутренние оснащения гиперполосы в конформном пространстве / А. Н. Михайлова // ВИНИТИ РАН. М., 2000. — № 1497. В2000Деп. 17с.
35. Михайлова А. Н. Линейные связности на частично оснащенной гиперполосе конформного пространства / А. Н. Михайлова //ВИНИТИ РАН. -М., 2001. № 719. — В2001 Деп. — 19с.
36. Михайлова А. Н. Аффинные связности и сети на нормально оснащенной гиперполосе конформного пространства / А. Н. Михайлова // ВИНИТИ РАН. М., 2001. — № 1950. — В2001Деп. — 14с.
37. Норден А. П. Аффинная связность на поверхностях проективного пространства / А. П. Норден // Матем. сб. М., 1947. — Т.20. — № 2. — С. 263 280.
38. Норден А. П. О нормализованных поверхностях пространства Мебиуса / А. П. Норден // ДАН СССР. 1948. — Т.61. — № 2. — С. 207−210.
39. Норден А. П. Конформная интерпретация пространства Вейля / А. П. Норден // Матем. сб. М., 1949. — Т. 24. — № 1. — С. 75−85.
40. Норден А. П. О нормализованных поверхностях конформного пространства / А. П. Норден // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1950. — Т. 14. -№ 2.-С. 105−122.
41. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. -М.: Наука, 1976.-432 с.
42. Остиану Н. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия / Н. М. Остиану // Rev. math, pures et appl (RPR). 1962. — T.7. № 2.-C. 231−240.
43. Перепелкин Д. И. О параллельных подмногообразиях в евклидовом (или римановом) пространстве / Д. И. Перепелкин // ДАН СССР. 1935. -С.593−598.
44. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашевский. М.: Наука, 1967. — 664 с.
45. Розенфельд Б. А. Метрика и аффинная связность в пространствах плоскостей, сфер и квадрик / Б. А. Розенфельд // ДАН СССР. 1947. — Т.57. — № 6. — С. 543−546.
46. Розенфельд Б. А. Дифференциальная геометрия образов симметрии / Б. А. Розенфельд // ДАН СССР. 1948. — Т. 59. — № 6. — С. 1057−1060.
47. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства / Б. А. Розенфельд. — М.: Наука, 1966.-648 с.
48. Рыбников А. К. Проективные и конформные нормали и связности / А. К. Рыбников // Изв. вузов. Мат. Казань, 1986. — № 7. — С. 60−69.
49. Смирнов Р. В. Преобразования Лапласа рсопряженных систем / Р. В. Смирнов // ДАН АН СССР. 1950. — Т. 71. — № 3. — С. 437−439.
50. Столяров А. В. О внутренней геометрии двух классов плоских многомерных сетей в проективном пространстве / А. В. Столяров // Изв. вузов. Мат. Казань, 1969. — № 8. — С. 104−111.
51. Столяров А. В. О двойственной геометрии сетей на регулярной гиперполосе / А. В. Столяров // Изв. вузов. Мат.- Казань, 1977. № 8. -С. 104−111.
52. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография. 2-е изд., доп. / А. В. Столяров. Чебоксары: Изд-во Чувашского госпединститута, 1994. — 290с.
53. Столяров А. В. Линейные связности на распределениях конформного пространства / А. В. Столяров // Изв. вузов. Мат. Казань, 2001. — № 3. — С. 60−72.
54. Столяров А. В. Оснащения и аффинные связности на распределениях конформного пространства / А. В. Столяров // Изв. вузов. Мат. — Казань, 2002. № 5. С. 52−60.
55. Столяров А. В. Внутренняя геометрия нормализованного конформного пространства / А. В. Столяров // Изв. вузов. Мат. Казань, 2002. -№ 11. -С. 61 -70.
56. Столяров А. В. Теоретико — групповой метод дифференциально — геометрических исследований и его приложения / А. В. Столяров. — Чебоксары: Чувашский госпедун-т, 2002. — 204с.
57. Столяров А. В. Конформно дифференциальная геометрия плоских ортогональных сетей / А. В. Столяров // Изв. вузов. Мат. — Казань, 2004.-№ 10.-С. 61−70.
58. Схоутен И. А.
Введение
в новые методы дифференциальной геометрии / И. А. Схоутен, Д.Дж.Стройк. М.: ГИИЛ, 1948. — Т.2. — 348 с.
59. Филоненко Л. Ф. Квадратичная гиперполоса и нормальные связности подмногообразия конформного пространства: Ученые записки Тарт. унта/ Л. Ф. Филоненко. 1988. -№ 803. -С. 115−131.
60. Филоненко Л. Ф. Распределение т — мерных линейных элементов в конформном пространстве и присоединенные к нему связности / Л. Ф. Филоненко // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. — 1995.-№ 26.-С. 89−102.
61. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. М.- Л.: ГИТТЛ, 1948. — 432 с.
62. Фиников С. П. Теория пар конгруэнций / С. П. Фиников. М., 1956. -446 с.
63. Фисунов П. А. О нормальных связностях, индуцируемых на оснащенной регулярной гиперполосе / П. А. Фисунов // ВИНИТИ РАН. М., 1998. — 20 с. — № 3394 — В98Деп.
64. Чакмазян А. В. Двойственная нормализация / А. В. Чакаязян // ДАН Арм. ССР. 1959.-Т. 28. -№ 4.-С. 151 — 157.
65. Чакмазян А. В. Подмногообразия проективного пространства с параллельным подрасслоением нормального расслоения / А. В. Чакмазян / Казанское мат. об-во. 150 лет неевклидовой геометрии // Материалы Всес. геометр, конференции. Казань. — 1976. — С. 209.
66. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография / А. В. Чакмазян. Ереван: Армянск. пед. ин-т, 1990. -116с.
67. Широков П. А. Аффинная дифференциальная геометрия / П. А. Широков, А. П. Широков. М.: ГИФ-МЛ, 1959. — 320 с.
68. Шуликовский В. И. Проективная теория сетей / В. И. Шуликовский. Казань: Изд-во Казанск. Ун-та, 1964. — 78 с.
69. Юнусметов Р. Линейчато — геометрическая интерпретация гиперповерхности конформного пространства / Р. Юнусметов // Вюник Киевськ. ун-та. Сер. матем. та механ. 1968. — № 10. — С. 95−104 (укр.).
70. Юнусметов Р. Подгруппы проективной и конформной групп / Р. Юнусметов // Дифференциальная геометрия многообразий. Ташкент, 1980.-C.3−13.
71. Akivis М.А. Goldberg V.V. Conformal differential geometry and its generalizations / M.A. Akivis, V.V. Goldberg. USA, 1996. — 384 p.
72. Bervald L. Differential invarianten in der Geometrie. Enzuclopadie der Mathematischen Wissenschaften / L. Bervald // 1927. — Bd. III. — Heft 7. S. 73 121.
73. Blaschke W. Vorlesungen uber Differentialgeometrie. Ill / W. Blaschke // Differential-geometrie der Kriese und Kugeln. Berlin. — 1929.
74. Bortolotti E. Connessioni nelle varieta luogo di spaziapplicazione alia geometria metrica differenziale delle congruanze di rette / E. Bortolotti // Rond. Semin. Fac. Sci Univ. Cagliari. 1933. — T.3. — P. 81−89.
75. Cartan E. Les espaces a connexion conforme / E. Cartan //Ann. Soc. Polon. math. 1923. — 2. — P. 171−211.
76. Cartan E. Les espaces a connexion projective / E. Cartan // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. МГУ. — 1937. — Вып. 4. -С. 147−159.
77. Ehresmann С. Les connections infinitesimales dans un espace fibre differentiable / C. Ehresmann // Collque de Topologie. Bruxelles, 1950. P. 2955.
78. Fabricius-Bierre F. Sur varietes a torsion nulle / F. Fabricius-Bierre // Acta math. 1936. — S.49−77.
79. Konig R Beitrage zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehr / R. Konig // Jahresb. D. Deutsch. Math. Ver., 1920, 28, 28, 213−228.
80. Lester June A. Conformal space / A. Lester June // J. Geom. 1980. -14, № 2.-P. 108−117.
81. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita //. Rend. circ. Matem. Palermo. — 1917. P. 173−205.
82. Sasaki S. On the theory of curves in a curved conformal space / S. Sasaki // Sci. Repts. Tohoku Univ. 1939. — 27. — P. 392−409.
83. Sasaki S. On the theory of surfaces in a curved conformal space / S. Sasaki // Sci. Repts. Tohoku Univ. 1940. — 28. — P. 261−285.
84. Takasu Т. Differentialgeometrien in der Kugelraumen. I. / T. Takasu // Konforme Differentialgeometrie von Lioville und Mobius. Tokyo. — 1938.rr.
85. Thomsen G. Uber konforme Geometrie I. Grundlagen der konformen Flachentheorie / G. Thomsen //Abhandl math. Semin. Univ.: Humburg, 1924. 3. P. 31−56.
86. Vessiot E. Contribution a la geometrie conforme. Theorie des surfaces / E. Vessiot // Buii. Soc. Math. France. 1926. — 54. — P. 139−179- - 1927. — 55. P. 39−79.
87. Weyl H. Raum. Zeit, Materie. Berlin: Springer, 1923.
