Минимальные лагранжевы подмногообразия в проективных комплексных пространствах в терминах функции Бейкера-Ахиезера

Подмногообразие в СР&tradeвещественной размерности п называется лаг-ранжевым, если на нем зануляется симлектическая форма Фубини-Шту-ди. Подмногообазие минимально, если его вектор средней кривизны тождественно равен нулю.

Минимальные лагранжевы подмногообразия интересны как с точки зрения интегрируемых систем, так и с точки зрения их приложений в аналитической механике (см. [1]). Так же такие подмногообразия играют важную роль в теории струн, точнее в их приложениях к зеркальной симметрии. В математическом описании зеркальной симметрии, предложенном в [2], зеркальная симметрия между многообразиями Калаби-Яо Ьг и Ь2 объясняется в терминах двойственных трехмерных минимальных лагранжевых торов и некоторых трехмерных сингулярных лагранжевых подмногообразий.

Для СР2 теория минимальных лагранжевых торов хорошо изучена. Первые явные примеры таких торов получены Кастро и Урбано в [3]. Торы, построенные в [3], обладают свойством, инвариантности относительно действия некоторой однопарамметрической группы изометрий СР2. Это условие для минимального лагранжева подмногообразия позволяет в окрестности каждой точки ввести конформный параметр г = х 4- гу так, что индуцированная метрика д имеет вид д = еи^хЫг (1г. Известно, что функция и должна удовлетворять уравнению Цицейки, но поскольку и зависит от одной переменной, это уравнение переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение ихх + е2и — е~Ли = 0. (1).

Решения уравнения (1) известны, они выражаются в эллиптических функциях. В [3] из этих решений выбираюся двоякопериодические, и по этим решениям строятся торы.

В [4] Хаскинс строит примеры минимальных лагранжевых конусов в С3, инвариантных относительно действия 1/(1). Задача построения таких конусов и минимальных лагранжевых подмногообразий эквивалентны (см. параграф 1.1). Конусы в [4] определяются следующим образом. Для любого компактного связного ориентированного подмногообразия Е в 52п1 определим конус С (Е) С С" :

С (Е) = {Ьх: * 6 К ^ 0, х е ?}•.

Причем С (£) является минимальным лагранжевым конусом тогда и только тогда, когда Е — минимальной лагранжево подмногообразия в б*2″ -1. Основным результатом этой статьи является построение двупараметрического семейства минимальных лежандровых отображений и: К2 —>• 55, и нахождение условий двоякопериодичности таких отображений. То есть построено семейство таких минимальных лагранжевых торов, что их пересечение с в5 являются торами. Ключом к такому построению служит тот факт, что конформное гармоническое отображение является минимальным, а также связь между 5″ 1 — инвариантными гармоническими отображениями и: К2 —>• и полность интегрируемой системой Неймана, описывающей движение на сфере под действием квадратичного потенциала. Действительно, гармоническое отображение и: М2 —> должно удовлетворять следующему уравнению.

А и = -(и, Ди) и. (2).

Из инвариантности и относительно действия З1 следует, что и имеет вид:

3) где, А € зо (6), г: К. —> 55. Для (3) условие (2) переписывается в следующем виде: + |2К (4).

Уравнение (4) описывает движение посфере под действием потенциала Аг2, то есть являются системой Неймана, решения которой известны. Для построения искомых минимальных лежандровых торов остается выбрать такие решения этой системы, чтобы были выполнены условие конформности и лежандровости отображения и:

Ы — Ы = о, (иа, щ) = О, и (и, иа) — и- (г, Аг) = 0, ш (и, щ) — ш (г, = 0.

Такие решения найдены в [4], в том числе и двоякопериодические.

Отметим, что большинство методов построения минимальных лагранжевых подмногообразий в СР2 это наложение дополнительных ограничений на эти подмногообразия, чтобы нелинейные дифференциальные уравнения, их описывающие, сводились к ОДУ.

Как уже отмечалось, конформная метрика (с² = 2еи>йгйг) минимального лагранжева тора в СР2 удовлетворяет уравнению Цицейки: ч, г-г = е~ъ" - еш.

В [5] Шариповым найдены квазипериодические решения этого уравнения и фактически формулы, полученные в этой работе, пригодны для построения всех минимальных лагранжевых торов (см. [6],[7]).

Отметим также работу [8]. В этой работе решения уравнений, описывающих минимальные лагранжевы подмногообразия в СР2, решаются без сведения к ОДУ, методом конечнозонного интегрирования. В этой работе построен конкретный пример минимальной лагранжевой сферы в СР2.

В больших размерностях теория минимальных лагранжевых подмногообразий менее развита. Такие подмногообразия описываются сложной системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и большинство методов построения частных решений — это редукция к ОДУ. В [9] Миронов находит семейство конформно плоских минимальных лагранжевых торов в СР3. Искомые многообразия М ищются как композиция р = Чг: М3 57 СР3, 6 аналогом уравнения Цицейки служит уравнение vzf + e2v^ + ф" 01'" - 2(с? + 4) = О, хде с1, сг, сз — некоторые константы. Это уравнение уравнение интегрируется с помощью абелева интеграла на гиперэллиптической кривой рода 2. Искомое минимальное конформно плоское лагранжево отображение имеет вид r р^ег (а2х+/32У) p^g-i ((ai+a2)a:+(/3i+/32)y) р^)) где cti,"2,/^i,(З2 — некоторые константы, P (z), Pi (z) — некоторые функции от v (z) (см. 9]). Далее, чтобы получить минимальные лагранжевы торы, в [9] найдены условия, при которых данное отображение периодично по x, y, z.

В [10] Джойс строит минимальные лагранжевы конусы в Ст, инвариантные относительно действия группы G = U (l)m~2. Основным инструментом построения таких конусов служат отображения моментов (moment maps). Интерес к таким отображениям вызван тем, что лагранжевы подмногообразия в Сш, инвариантные относительно действия любой подгруппы U (m) х С771, где Ст — группа трансляций, лежат в множествах уровней отображений моментов. В [10] показано, что минимальный лагранжев конус в Ст, инвариантный относительно действия группы U (l)m~2 может быть задан в виде reiai у/alU (t) + 1,., reia™^/amu (t) + 1: г > 0, t е (-6, с) cxj е М, ai Н——-h ат — Q (t), aiai Н——-Н amam = ip (t)}, где и (£), 0(?),-0(?): (—6, б) —> К — дифференцируемые функции, удовлетворяющие ОДУ (см. 10]).

Исключением является работа [11], где по пересечению вещественных квадрик в евклидовом пространстве строятся минимальные и^{-минимальные} лагранжевые подмногообразия в С" и СРП. Погружения строятся для подмногообразий следующего вида.

М1=Мк х Тп~к/Щ~к, где Мк — /с-мерное многообразие, заданное в Мп системой уравнений: -I——-Н еп^а2п — ^ ] = 1,., п — к, ^ € К, е^? Ъ. грп-к ^ мерный тор, группа действует свободно на.

Мк х Тп~к. Если Мк является конусом с вершиной в 0 Е С", то эта эта конструкция дает минимальные и гамильтоново-минимальные подмногообразия в СРП1 для этого нужно взять пересечение образа М с единичной сферой, а затем применить проекцию расслоения Хопфа. Таким способом можно получить погружения и вложения таких подмногообразий как п-мерная бутылка Клейна К", Кп~г х б11, Зп~2×52, 51″ -1×5″ 1 и так далее. Отображение многообразия М имеет следующий вид: где /¿-(х-) — набор вещественных функций, задающих карту на Мк, у Е.

Также в данной работе излагается метод построения криволинейных ортогональных координат в пространствах с постоянной кривизной.

Напомним некоторые результаты из классической задачи об ортогональных криволинейных системах координат в К" (К = 0). Пусть в ортогональной системе координат щ,., ип метрика имеет вид йз2 = Н2(йщ)2 + ¦ ¦ ¦ + Н2{<1ип)2, где //г ('//],., ип) — коэффициенты Ламе. Тогда метрика будет плоской, если и только если выполнено дк/Зц = РхкРкзЛ фзфк, (5) дгРг] + Эфц + ^ РтшРт] = 0, (6) где — коэффициенты вращения =, г фу.

Решение системы (6),(7) с применением методов теории солитонов предложено Захаровым в [12]. Уравнение (6) имеет вид абстрактной задачи п волн. К системе (6) в [12] применена процедура одевания и указана дифференциальная редукция, позволяющая находить решение всей системы (6),(7). Процедура интегрирования методом обратной задачи рассеяния уравнений, описывающих ортогональные системы координат в пространствах диагональной кривизны (пространства постоянной кривизны являются пространствами диагональной кривизны), описана Захаровым в [13].

Метод конечнозонного интегрирования к задаче построения криволинейных ортогональных систем координат в Мп применен Кричевером в [14]. В конструкции Кричевера координатные функции х^щ,., ип), ] = 1,., п выписываются в явном виде как где О, — точки римановой поверхности Г, и ~ф (щ,., ип, г), где г € Г, является п-точечной функцией Бейкера-Ахиезера.

Связь плоских диагональных метрик с интегрируемыми системами гидродинамического типа [15] была открыта Царевым [16] в 1984 году, что возобновило интерес к классической задаче описания ортогональных криволинейных систем координат в плоском пространстве и ее приложениям в математической физике.

С помощью плоских диагональных метрик егоровского типа возможно строить решения уравнений ассоциативности Виттена-Дийкграафа-Верлинде-Верлинде [17], [14], [18].

Нетрудно проверить, что метрике постоянной кривизны К отвечает решение следующей системы дкРу = РшРк},* ФзФ К (7) дфгз + + ^ = -КЩН (8) где, как и ранее, /5^ = ф у. Как видно, уравнения (8) и (6) совпадают.

Укажем, что метрики постоянной кривизны появляются в описании нелокальных гамильтоновых операторов гидродинамического типа (см. [19], где условие постоянства кривизны метрики является необходимым, для того чтобы скобка Пуассона была кососимметрической и удовлетворяла тождеству Якоби). Нелокальные скобки Пуассона гидродинамического типа, порождаемые метриками постоянной кривизны (скобки Мохова-Ферапонтова) играют важную роль в теории систем гидродинамического типа. Задача описания где % — проекция расслоения Хопфа, удовлетворяет следующим уравнениям: <р, 4>х > = < , <-ру > = < V, <Рг > = <�Ч?х, 4>у > = < 4>х, > = < <Ру, Ч>z >= О, индуцированная метрика на М предполагается конформной: (¡-в2 = еу (х'У<�г)(с1×2 + йу2 + ¿-г2). Из минимальности, лагранжевости искомого отображения, а также из конформности метрики следует, что матрица.

R = г1 r2 гз r4.

— vrlx e-V2 ev’i X e-V4 vrl 'у e-v 2 e ' У e У e-vr4v.

— vrl e~Vz2 ev’A z e~vr4z принадлежие группе U (4), deti? = const (см. параграфы 1.1, 1.2). С точностью до умножения на постоянную матрицу можно считать, что deti? = 1, таким образом задача построения минимальных конформно плоских лагранжевых отображений сводится к поиску такого отображения г: М3 —> S7, что R G SU (4). Рассмотрим матрицы X, Y, ZE su (4) :

Rx = XR, Ry — YRt Rz — ZR, причем должны быть выполнены условия нулевой кривизны:

Ху-Ух + [х, у] = 0, х2-гх + [х, я = о, уг-гу + у, г] = о.

В работе [9] рассматривается полностью интегрируемый случай, когда матрицы X, У, Z зависят только от одной переменной г. В этом случае согласованных скобок Мохова-Ферапонтова эквивалентна задаче описания пучков метрик постоянной кривизны. Для этого достаточно классифицировать пары диагональных метрик постоянной кривизны имеющие специальный вид и эта проблема решена методом обратной задачи [20]. При этом ранее Моховым была доказана интегрируемость уравнений, описывающих плоские пучки метрик (согласованные скобки Дубровина-Новикова), и отвечающие важным редукциям уравнений (6),(7).

Отметим также, что в [21] построены пары Лакса со спектральным параметром и для значительно более общих классов ортогональных криволинейных координат в пространствах постоянной кривизны, описываемых более общими интегрируемыми редукциями уравнений (8),(9) и отвечающих паре согласованных скобок Пуассона гидродинамического типа, одна из которых — скобка Мохова-Ферапонтова, а вторая — произвольная нелокальная скобка Пуассона гидродинамического типа. При этом в [22] показано, что сами интегрируемые уравнения (8),(9), являются условием совместности для линейной системы, но без спектрального параметра. Спектральный параметр появляется для важных в теории систем гидродинамического типа интегрируемых редукций системы (8),(9), связанных с согласованными нелокальными скобками Пуассона гидродинамического типа.

В этой работе мы укажем спектральные данные, для которых координатные функции, записанные в терминах функции Бейкера-Ахиезера, будут описывать ортогональные системы координат на пространствах постоянной кривизны К ф 0. Мы также дадим частные решения уравнений (8),(9) в явном виде.

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Каждая глава в свою очередь разбита на несколько параграфов. Нумерация формул состоит из двух чисел-номер главы и порядковый номер формулы в главе. Для предложений и теорем используется сплошная нумерация. Замечания пронумерованы номером главы и порядковым номером в главе.

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики // Наука. 1989.

2. Strominger A., Yau S.-T., Zaslow Е. Mirrow Symetry is T-duality // Nu-cl. Phys. 1996. V. B479. P. 243−259.

3. Castro I., Urbano F. New examples of minimal Lagrangian tori in the complex projective plane // Manuscr. Math. 1994. V. 85, N 3−4. P. 265−281.

4. Haskins M. Special Lagrangian Cones // American Journal of Mathematics. 2004. V. 126, N 4. P. 845−871.

5. Шарипов P.A. Минимальные торы в пятимерной сфере // Теор. и матем. физика. 1991. Т.87, № 1. С. 48−56.

6. Hui Ma, Yujie Ma. Totally Real Minimal Tori in CP2 // Math. Z. 2005. V. 249, N 2. P. 241−267.

7. Carberry E., Mcintosh I. Minimal Lagrangian 2-tori in CP2 come in real families of every dimention //J. London Math. Soc. 2004. V. 69. P. 531−544.

8. Mironov A.E. Finite-gap Minimal Lagrangian Surfaces in CP2 // OCA-MI (Osaka City University Advanced Mathematical Institute) Studies Series. 2010. V. 3. P. 185−196.

9. Миронов A.E. Об одном семействе конформно плоских минимальных лагранжевых торов в CP3 // Матем. заметки. 2007. Т. 81, № 3. С. 374−384.

10. Joyce D. Special Lagrangian m-folds in Cm with symmetries // Duke Math. J. 2002. V. 115, N 1. P. 1−51.

11. Миронов A.E. О новых примерах гамильтоново-минимальных и минимальных лагранжевых подмногообразий в Сп и СРП // Матем. сб. 2004. Т. 195, № 1. С. 89−102.

12. Zakharov V.E. Description of the n-orthogonal curvilinear coordinate systems and Hamiltonian integrable systems of hydrodinamic type, 1: Integration of the Lame equation // Duke Math. J. 1998. V. 94. P. 103−139.

13. Zakharov V.E. Application of the inverse scattering transform to classical problems of differential geometry and general relativity // Contemporary Mathematics 2002. V. 301. P. 15−34.

14. Кричевер И. М. Алгебро-геометрические n-ортогональные криволинейные системы координат и решения уравнений ассоциативности // Функц. Анал. и его прил. 1997. Т. 31, № 1. С. 32−50.

15. Дубровин Б. А., Новиков С. П. Гидродинамика слабо деформированных солитонных решеток. Дифференциальнаягеометрия и гамильтонова теория // Успехи Мат. Наук. 1989. Т. 44, № 6(270). С. 29−98.

16. Царев С. П. Геометрия гамильтоновых систем гидродинамического типа. Обобщенный метод годографа // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54, № 5. С. 1048−1068.

17. Dubrovin В. Geomctry of 2D topological field theorics, Integrable Systems and Quantum Groups. // (Montecatini Terme, 1993), Lect. Notes in Math. Springer, Berlin. 1995. V. 1620. P. 120−348.

18. Миронов A.E., Тайманов И. А. О некоторых алгебраических примерах фробениусовых многообразий // ТМФ. 2007. Т. 151, № 2. С. 195−206.

19. Мохов О. И., Ферапонтов Е. В. О нелокальных гамильтоновых операторах гидродинамического типа, связанных с метриками постоянной кривизны // Успехи Мат. Наук. 1990. Т. 45, № 3(273). С. 191−192.

20. Мохов О. И. Согласованные метрики постоянной римановой кривизны: локальная геометрия, нелинейные уравнения и интегрируемость // Функц. Анал. и его прил. 2002. Т. 36, № 3. С. 36−47.

21. Мохов О. И. Пары Лакса для уравнений, описывающих сограсованные нелокальные скобки Пуассона гидродинамического типа, и интегрируемые редукции уравнений Ламе. // ТМФ. 2004. Т. 138, № 2. С. 283−296.

22. Мохов О. И. Пары Лакса для неособых пучков метрик постоянной римановой кривизны. // Успехи Мат. Наук. 2002. Т. 57, № 3(345). С. 155−156.

23. Wolfson J. Minimal Lagrangian Diffeomorfisms and the Monge-Ampere equation// J Differential Geom. 1997. V. 46. P. 335−373.

24. Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Уравнение Шредингера в магнитном поле и римановы поверхности // ДАН СССР. 1976. Т. 229, № 1. С. 15−18.

25. Миронов А. Е. Спектральные данные для гамильтоново минимальных лагранжевых торов в CP2 // Тр. МИАН. 2008. Т. 263. С. 120−134.

26. Миронов А. Е., Тайманов И. А., Ортогональные криволинейные системы координат, отвечающие сингулярным спектральным кривым. // Тр. МИАН. 2006. Т. 255. С. 180−196.

27. Спрингер Дж., Введение в теория римановых поверхностей. // Издательство иностранной литературы. 1960. Работы автора по теме диссертации.

28. Рыбников И. П. Минимальные лагранжевы помногообразия в СРП с диагональной метрикой. // Сиб. мат. журнал. 2011. Т. 52, № 1. Р. 133−142.

29. Рыбников И. П., Минимальные лагранжевы подмногообразия в СРП в терминах функций Бейкера-Ахиезера спектральных кривых. // Матем. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, № 2. Р. 98−108.

30. Бердинский Д. А., Рыбников И. П. Об ортогональных криволинейных системах координат в пространствах постоянной кривизны. // Сиб. мат. журнал. 2011. Т. 52, № 3. С. 502−511.