MG-деформации поверхностей положительной гауссовой кривизны

В современной геометрии важным направлением является теория деформаций поверхностей. Существует большое число разновидностей бесконечно малых и непрерывных деформаций, самыми изученными из них являются деформации, сохраняющие длины дуг на поверхности — изгибания. Именно с бесконечно малых изгибаний берет свое начало теория деформаций. Бесконечно малые изгибания впервые появились в конце XIX века в работах Г. Дарбу и Л. Бианки и получили широкое распространение и развитие в XX веке. Так И. Иванова-Каратопраклиева и И. X. Сабитов насчитали более 600 работ, посвященных изгибаниям или бесконечно малым изгибаниям поверхностей и еще несколько сот работ, имеющих близкое отношение к этой теме, написанных только в период с конца 50-х по конец 80-х годов XX века [18]. Изгибания изучались в работах В. Бляшке, С. Э. Кон-Фоссена, Г. Либмана, Р. Зауера, А. Д. Александрова, А. В. Погорелова, II. В. Ефимова, В. Т. Фоменко, И. X. Сабитова, С. Б. Климентова, П. Е. Маркова и многих других.

Повышенный интерес исследователей к изгибаниям объясняется тем, что теория бесконечно малых изгибаний нашла применение в безмоментной теории оболочек [5], что придало дополнительный импульс к развитию этой темы. Теория изгибаний продолжает развиваться и по сей день, например, в работе В. Т. Фоменко [23].

Одновременно с изгибаниями изучались и другие виды бесконечно малых и непрерывных деформаций [8], которые также имеют самостоятельную научную ценность. Благодаря тому, что изгибания на данный момент хорошо изучены, особый интерес представляет изучение деформаций, отличающихся от изгибаний. Перечислим некоторые из них: ареальные (А-деформации), конформные, геодезические, бесконечно малые деформации с сохранением асимптотической сети линий или сети линий кривизны, эквиареальные деформации, бесконечно малые деформации сохраняющие объект связности, деформации сохраняющие грассманов образ поверхности (О-деформации), АО-деформации, АЯС-деформации [2], [17], [21], [25].

Указанные выше деформации изучались в работах В. Т. Фоменко, И. А. Бикчантаева, М. С. Сишокова, С. Г. Лейко, Л. Л. Бескоровайной, А. В. Забеглова, О. Н. Бабенко, В. В. Сидорякиной и многих других.

Рассмотрим подробнее О-деформации, которые, по определению, сохраняют поточечно грассманов образ поверхности [26]. Этот вид деформаций изучался В. Т. Фоменко, И. А. Бикчантаевым [26], В. А. Горькавым [7], ими получен ряд результатов, описывающих свойства О-деформаций двумерных поверхностей в четырехмерном евклидовом пространстве. Вопросами восстановления поверхности по заданному грассманову образу, тесно примыкающими к О-деформациям занимались также Ю. А. Аминов [1] и А. А. Борисенко [4].

В случае двумерных поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве существует широкое множество О-деформаций, отличных от тривиальных [7]. Для того, чтобы их изучать, приходится накладывать дополнительные условия на О-деформации. Аналитически этот факт обусловлен тем, что для поверхности положительной гауссовой кривизны изучение О-деформаций сводится к исследованию системы двух дифференциальных уравнений с тремя неизвестными функциями, поэтому в решении системы уравнений имеется большой произвол. Один из способов преодоления этой проблемы — введение дополнительного условия. В случае непрерывных О-деформаций условие накладывают на приращение некоторой функции, а в случае бесконечно малых О-деформаций на вариацию такой функции. Этим способом были введены некоторые виды деформаций, например, АО-деформации [17], [25], изучавшиеся в работах В. Т. Фоменко, А. В. Забеглова, О. Н. Бабенко. АО-деформациями называются О-деформации, при которых сохраняется элемент площади поверхности. Эти деформации обладают рядом замечательных свойств, например, векторное поле бесконечно малой AG-деформации является полем вращений бесконечно малого изгибания.

В настоящее время представляет интерес изучение обобщений бесконечно малых AG-деформаций. Одним из примеров таких обобщений, изучающихся в настоящее время, являются ARG-деформации [25].

Сохранение элемента площади поверхности эквивалентно равенству нулю вариации гауссовой кривизны, поэтому для дальнейшего обобщения нами было выбрано условие oK-cj, где 5К — вариация гауссовой кривизны деформируемой поверхности, а — заданная функция класса Dip, p> 2, на деформируемой поверхности. Известная проблема Минковского [22] состоит в решении вопроса о существовании и единственности замкнутой выпуклой поверхности, которая имеет заданное произведение главных радиусов кривизны (величина обратная гауссовой кривизне), поэтому бесконечно малые G-деформации, при условии SKсг, получили название бесконечно малых MG-деформаций.

Исследованию бесконечно малых MG-деформаций посвящена данная диссертация. Эти деформации впервые введены и рассмотрены автором в работах [11],[12] и [15].

Целыо данной работы является исследование бесконечно малых MG-деформаций замкнутой выпуклой поверхности S положительной гауссовой кривизны и элементарной поверхности S положительной гауссовой кривизны с краем при различных условиях геометрического типа, наложенных на край поверхности, а также применение полученных результатов при исследовании других видов деформаций.

Научная новизна диссертации состоит в следующем:

— введено понятие бесконечно малой MG-деформации;

— получена система дифференциальных уравнений, описывающая бесконечно малые Мв-деформации;

— доказаны теоремы существования и единственности бесконечно малой Мв-деформации с точечной связью для элементарной поверхности? положительной гауссовой кривизны с краем, при нескольких условиях геометрического типа, наложенных на край поверхности;

— изучены бесконечно малые Мв-деформации замкнутой выпуклой поверхности положительной гауссовой кривизны;

— введено понятие бесконечно малой в-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн;

— получена система дифференциальных уравнений, описывающая этот вид деформаций;

— доказаны теоремы существования и единственности бесконечно малой в-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн с точечной связью для элементарной поверхности 5 положительной гауссовой кривизны с краем, при нескольких условиях геометрического типа, наложенных на край поверхности;

— при доказательстве теорем существования и единственности бесконечно малой в-деформации с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн использованы результаты полученные при изучении бесконечно малых МО-деформаций.

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы как для дальнейшего изучения бесконечно малых МС-деформаций и бесконечно малых в-деформаций с нулевой линейной комбинацией вариаций гауссовой и средней кривизн, так и в других исследованиях по геометрии.

Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в работах [9] - [16] и [28]. Публикации [9], [10] и [15] осуществлены в журналах, входивших в список ВАК России на момент публикации, работы [12] -[14] опубликованы в материалах международных конференций.

Результаты работы были представлены, на международной научной конференции «Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях» (Харьков, 17−22 апреля 2011 г.), международной научной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» (Ростов-на-Дону, 22−26 апреля 2012 г.), международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований '2011» (Одесса, 15−28 марта 2011 г.) и XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия, Кисловодск, 1−8 мая 2010 г.).

Работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А. П. Чехова» (проект № 1.423.2011), «Реализация метрик положительной кривизны в виде поверхностей с заданной опорой», научный руководительФоменко В. Т.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 28 названий.

1. Аминов Ю. А. Геометрия подмногообразий. Киев: Наукова думка, 2002. 468 с.

2. Безкоровайна Л. Л. Ареальш нескшченно иши деформаци вр1вноважеш стани пружно! оболонки. Одеса: Астропринт, 1999. 168 с.

3. Бляшке В.

Введение

в дифференциальную геометрию. М.: ГИТТЛ, 1957.231 с.

4. Борисенко А. А. Об однозначной определенности многомерных подмногообразий в евклидовом пространстве по грассманову образу // Математические заметки. 1992. Т. 51, вып. 1. С. 8−15.

5. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988.512 с.

6. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1958. 544 с.

7. Горькавый В. А. Деформируемость поверхностей Б2 в Е4 с сохранением грассманова образа // Труды конференции «Геометрия и приложения» (13−16 марта 2000 г.). Новосибирск. С. 34−56.

8. Ефимов Н. В. Качественные вопросы теории деформации поверхностей//УМН. 1948. Т. 3, вып. 2. С. 47−158.

9. Жуков Д. А. Бесконечно малые МО-деформации поверхности положительной гауссовой кривизны при стационарности средней кривизны вдоль края // Научно-технический вестник Поволжья. № 3. 2012. С. 18−25.

10. Жуков Д. А. О жесткости овалоида относительно бесконечно малых МО-деформаций // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. Т. 17, вып. 5. С. 719−720.

11. Иванова-Каратопраклиева П., Сабитов И. X. Изгибание поверхностей. 1. // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геометрии / ВИНИТИ. 1991. № 23. С. 131 184.

12. Красносельский М. А., Перов А. И., Поволоцкий А. И., Забрейко П. П. Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз, 1963. 248 с.

13. Розендорн Э. Р. Теория поверхностей. 2-е изд., перераб. и доп. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 304 с.

14. Синюков Н. С. О развитии современной дифференциальной геометрии в Одесском государственном университете им. И. И. Мечникова за последние годы //Изв. вузов. Математика. 1986. С. 69−74.

15. Фоменко В. Т. О единственности решений проблем Кристоффеля и Минковского для овалоидов // Сборник научных трудов по межвузовской программе «Университеты России фундаментальные исследования». Таганрог: Изд-во ТГПИ, 1998. Проект 1686. С. 73−95.

16. Фоменко В. Т. Об изгибании и однозначной определенности поверхностей положительной кривизны с краем. Таганрог: Изд-во ТГПИ, 2011. 74 с.

17. Фоменко В. Т. Об одном аналоге теоремы Зауера // Математические заметки. 2003. Т. 74, вып. 3. С. 463−470.

18. Фоменко В. Т. Распределение нежестких внешних связей обобщенного скольжения в теории бесконечно малых деформаций поверхности // Труды геометрического семинара. КГУ. Казань. 2003. Вып. 24. С. 169−178.

19. Фоменко В. Т., Бикчантаев И. А. Применение обобщенных аналитических функций на римановых поверхностях к исследованию О-деформаций двумерных поверхностей в Ел II Математический сборник. 1988. Т. 136(178), № 4(8). С.561−573.

20. Шуликовский В. И. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении. М.: Физматгиз, 1963. 540 с.