Виртуальные многогранники
Диссертация
Виртуальный многогранник — элемент группы Гротендика полугруппы выпуклых многогранников (групповая операция — сложение по Минковскому (g>) в евклидовом пространстве, т. е. формальное выражение вида К ® М~1, где К и М — выпуклые многогранники,. Среди трехмерных виртуальных многогранников автором впервые выделен особый класс гиперболических многогранников. Наиболее важные задачи решены именно… Читать ещё >
Содержание
- 1. Виртуальные многогранники. Базовые понятия
- 1. 1. Введение
- 1. 2. Виртуальные многогранники и хериссоны: основные определения
- 1. 3. Примеры виртуальных многогранников
- 1. 4. Объем и смешанный объем виртуальных многогранников
- 1. 5. Сети виртуальных многогранников
- 1. 6. Изгибаемые многогранники с несвязными сетями
- 1. 7. Жесткость виртуальных многогранников
- 1. 8. Изгибаемые виртуальные многогранники со связными веерами. Октаэдры Брикара
- 1. 9. Теорема Минковского и виртуальные многогранники
- 2. Структура группы виртуальных многогранников относительно подгрупп цилиндров
- 2. 1. Введение
- 2. 2. Операции над многогранниками и многогранными функциями
- 2. 3. Оператор о
- 2. 4. Операторы и Выделение первого прямого слагаемого в группе V
- 2. 5. Операторы 8к и Выделение последующих слагаемых
- 2. 6. Алгоритм разложения
- 3. Гиперболические многогранники и задача А.Д. Александрова
- 3. 1. Введение
- 3. 2. Гладкие хериссоны и Гипотеза
- 3. 3. Гиперболические многогранники и гиперболические хериссоны
- 3. 4. Сферический график опорной функции
- 3. 5. Пример гиперболического виртуального многогранника с N рогами (N четно)
- 3. 6. Гиперболическое сглаживание
- 4. Гиперболические многогранники и гиперболические веера
- 4. 1. Введение
- 4. 2. Гиперболические веера. Раскраска
- 4. 3. Операции над веерами
- 4. 4. Новые примеры: гиперболические многогранники с четным и нечетным числом рогов
- 4. 5. Сглаживание
- 4. 6. Аналог теоремы Мебиуса для двумерных замкнутых седло-вых поверхностей
- 5. Теорема единственности А. Д. Александрова для выпуклых многогранников и ее уточнения
- 5. 1. Введение
- 5. 2. Теорема А. Д. Александрова с точки зрения гиперболических многогранников
- 5. 3. Основной пример. (Уточнение сверху.)
- 5. 4. Уточнение снизу и три открытых вопроса
Список литературы
- Александров А.Д. Теорема единственности для замкнутых поверхностей. ДАН СССР, Т. 19(1937), с. 227−229.
- Александров А.Д. О теоремах единственности для замкнутых поверхностей. ДАН СССР, Т. 22 (1939), No. 3, с. 99−102.
- Александров А.Д. Выпуклые многогранники. ГИТЛ, М.-Л., 1950.
- Александров В., Коптева Н., Кутателадзе С. Суммирование Бляшке и выпуклые многогранники. Тр. сем. Векторн. Тензорн. Анал. 2, (2005), 8−30.
- Бураго Ю.Д. Геометрия поверхностей в евклидовых пространствах. Москва, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. ВИНИТИ, 1989.
- Вернер А.Л. О внешней геометрии полных поверхностей неположительной кривизны. Мат. Сб. Т. 2(1967) No. 3, с. 205 224- Мат. Сб. Т. 1 (1968) No. 4, с. 99−123.
- Данилов В. Геометрия торических многообразий. УМН, 33 (1978), No. 2, с. 85−134.
- Панина Г. Ю. Смешанные объемы для невыпуклых тел. Изв. Нац. АН Армении. Мат., Т. 28 (1993), No. 1, с, 72−81.
- ЩПапина Г. Ю. Смешанные объемы многогранных функций. Алгебра и Анализ, т.6 (1996), No. 6, с. 1209−1217.
- Панина Г. Ю. Комбинаторика преобразования Радона по эйлеровой характеристике. Изв.Нац.Акад. Наук Армении. Мат., Т. 34(1999), с. 84−90.
- Панина Г. Ю. Структура группы виртуальных многогранников относительно подгрупп цилиндров. Алгебра и Анализ, Т.13(2001), No. 3, с. 179−197.
- Панина Г. Ю. Виртуальные многогранники и классические вопросы геометрии. Алгебра и Анализ, Т.14(2002),, No. 5, с. 152−170.
- Пухликов А., Хованский А. Конечно-аддитивные меры виртуальных многогранников. Алгебра и Анализ, Т. 4 (1992), 1. No. 2, с. 161−185.
- Погорелое А.В. Решение проблемы А.Д. Александрова. ДАН, Т. 360 (1998), No. 3, с. 317−319.
- Погорелое А.В. О теоремах единственности для замкнутых поверхностей. ДАН, Т.366 (1999), No. 5, с. 602−604.
- Розендорн Э. Р. Поверхности отрицательной кривизны.- Москва, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. ВИНИТИ, 1989.
- Сабитов И. Локальная теория изгибания поверхностей.- Москва, Итоги пауки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. ВИНИТИ, 1989.
- Тиморин В. Аналог соотношений Ходжа-Римана для простых выпуклых многогранников. Усп. мат. наук., т. 54(1999), pp. 113−162.
- Alexandrov V. Minkowski-type and Alexandrov-type theorems for polyhedral herissons. Geometriae Dedicata., Vol. 107(2004), pp. 169−186.
- Connelly R., Sabitov I., Walz A. The bellows conjecture. Beitrage Alg. Geom. 38(1997), pp. 1−10.
- Connelly R., Demaine E., Rote G. Straightening polygonal arcs and convexifying polygonal cycles. Discrete Comput. Geom., 30 (2003), pp. 205−239.
- Crapo H., Whiteley W. Spaces of stresses, projections, and parallel drawings for spherical polyhedra. Beitrage zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry), 35 (1994), pp. 259−281.
- Fulton W., Sturmfels B. Intersection theory on toric varieties. Topology, Vol. 36 (1997), No.2, pp. 335−353.
- Haas R., Orden D., Rote G., Santos F., Servatius В., Ser-vatius H., Souvaine D., Streinu IWhiteley W. Planar minimally rigid graphs and pseudo-triangulations. Comput. Geom., 31(2005), No.1−2, pp. 31−61.
- Graver J., Servatius В., Servatius H. Combinatorial Rigidity. Graduate Studies in Mathematics, vol. 2, Amer. Math. Soc., 1993.
- Jessen В. Thorup A. The algebra of poly topes in affine spaces, Math.Scand., Vol. 43(1978), pp. 211−240.
- Koutroufiotis D. On a conjectured characterization of the sphere. Math. Ann., Vol. 205(1993), pp. 211−217.
- Koutroufiotis D. A characterization of parallel ovaloids. Proc. Am. Math. Soc., Vol. 46 (1974, No. 7, pp. 86−93.
- Koutroufiotis D. Two characteristic properties of the sphere. Proc. Am. Math. Soc., Vol. 44(1974), pp. 176−178.
- Laman G. On graphs and rigidity of plane skeletal structures. J. Eng. Math. 4 (1970).
- Langevin R. Levitt G. Rosenberg H. Herissons et multiherissons (enveloppes parametrees par leur application de Gauss). Singularities, Warsaw, Banach Center Publ., Vol. 20(1985), pp. 245−253.
- Martinez-Maure Y. De nouvelles inegalites geometriques pour les hdrissons, Arch. Math., Vol. 72 (1999), No.6, pp. 444−453.
- Martinez-Maure Y. Contre-exemple a une caracterisation conjecturee de la sphere. C.R. Acad. Sci. Paris, Vol. 332 (2001), No. 1, pp. 41−44.
- Martinez-Maure Y. Theorie des herissons et polytopes. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. l 336(2003), pp. 41−44.
- McMullen P. The polytope algebra. Adv.Math., Vol. 78 (1989), No. l, pp. 76−130.
- McMullen P. On simple polytopes. Invent. Math., Vol. 113 (1993), No. 2, pp. 19−111.
- McMullen P. Applications of the polytope algebra. Circolo Matem6tico di Palermo, Suppl., Vol. 35 (1994), No. 2, pp. 203−216.
- McMullen P. Separation in the polytope algebra. Beitr. Algebra Geom., Vol.34 (1993), No. 1, pp. 15−30.
- Miinzner H.F. Uber eine spezielle Klasse von Nabelpunk-ten und analoge Singularitaten in der zentroaffinen Flachentheorie. Comment. Math. Helv., Vol. 41(1966−67), pp. 88−104.
- Miinzner H.F. Uber Flachen mit einer Weingarenschen Un-gleichung. Math. Zeitschr. Vol. 97(1967), pp. 123−139.
- Oda T. Convex bodies and algebraic geometry. An introduction to the theory of toric varieties. Berlin: Springer-Verlag,
- Orden D., Rote G., F. Santos, B. Servatius, H. Servatius, Whiteley W. Non-crossing frameworks with non-crossing reciprocals. Discrete Comput. Geom. 32 No.4(2004), pp. 567−600 .
- Panina G. On Minkowski decompositions of polytopes. Proc. ADG-2000 (Automated deduction in geometry), 2000, pp. 228−233.
- Panina G. Rigidity and flexibility of virtual polytopes. Central European J. of Math., Vol. 2(2003), pp.157−168.
- Panina G. New counterexamples to A.D. Alexandrov’s uniqueness hypothesis. Advances in Geometry, Vol.5 (2005), pp. 301−317.
- Panina G. On hyperbolic virtual polytopes and hyperbolic fans. Central European J. of Math., Vol. 4 (2006), No. 2, 270−293.
- M. Pocchiola, G. Vegter. Topologically sweeping visibility complexes via pseudo-triangulations, Discrete Comput. Geom. 16 (1996), pp. 419−453.
- Radstrom H. An embedding theorem for spaces of convex sets. Proc. AMS., Vol. 3(1952), No. l, pp. 165−169.
- Rodriguez L., Rosenberg H. Rigidity of certain polyhedra in R3.Comment. Math. Helv., Vol. 75 (2000), No. 3, pp. 478−503.
- Sabitov I. The Bellows conjecture. Beitr. Algebra Geom., Vol. 38, No. 1(1997), pp. 1−10.
- Schneider R. Remark on a conjectured characterization of the sphere. Ann. Polon. Math. Vol. 31 No.2 (1975), pp. 187−190.
- Schneider R. Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. Cambridge: Cambridge University Press, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 44, 1993.
- I. Streinu. Acute triangulations of polygons. Discrete Corn-put. Geom. 34 (2005), no.4, 587−635.
- Viro O. Ya. Some integral calculus based on Euler characteristic. Topology and Geometry Rokhlin Seminar, Lecture Notes in Math, Vol. 1346(1988), pp. 127−138.
- Viro O. Ya., Viro (Drobotukhina) Yu.V. Configurations of skew lines, Len. Math. J., Vol. 1 (1990), No. 4, pp. 1027−1050.
- Ziegler G. Lectures on polytopes. Berlin, Springer-Verlag, 1995.