Приведение в общее положение отображений одномерных полиэдров в непрерывной зависимости от параметра

В настоящей работе рассматривается вопрос о приведении в общее положение отображений одномерных полиэдров в евклидово пространство в непрерывной зависимости от параметра.

В работе L 4 ] А. В. Чернавский привел формулировку новой модификации леммы о поглощении, которая использовалась для доказательства существования стягиваемых окрестностей в группе гомеоморфизмов произвольного топологического многообразия. Модификация леммы о поглощении заключалась в переформулировке этой леммы с введением произвольного непрерывного параметра.

Доказательство переформулированной леммы проводится по индукции, как и доказательство первоначального результата, полученного еще в работах Столлингса, Зимана и Хирша, но отличается от первоначального доказательства тем, что проведение элементарных шагов индукции проводится в непрерывной зависимости от параметра. Трудность заключается в приведении кусочно линейных отображений в общее положение в непрерывной зависимости от параметра, пробегающего сильно паракомпактное пространство. Уже в простейших случаях отображения отрезка в R2 и в R общее положение нарушается неустранимым малым шевелением образом. Однако, измельчая триангуляции полиэдра, можно добиться аппроксимации первоначальных отображений кусочно линейными с не более чем нульмерным нарушением общего положения.

Сама лемма о поглощении была получена Столлингсом CilD, некоторые ее обобщения опубликованы в работе Зимана и Хирша Вопросы, связанные с доказательством переформулированной леммы с введением непрерывного параметра, ранее не рассматривались. Настоящая работа посвящена доказательству того, что измельчая триангуляции одномерного полиэдра, можно первоначальное отображение этого полиэдра в R аппроксимировать кусочно линейным отображением с не более чем нульмерным нарушением общего положения, причем сделать это в непрерывной зависимости от параметра, пробегающего сильно паракомпактное пространство. Работа состоит из трех глав" Перейдем к изложению основных результатов по главам.

Первая глава посвящена вопросу аппроксимации непрерывного отображения Ж одномерного полиэдра Р 1 в R ^ над сильно паракомпактным пространством параметров полулинейным отображением. Строится нерв звездно конечного покрытияпрост-ранства параметров и по нему строится отображение, аппроксимирующее первоначальное отображение полиэдра Р в.

R. Доказано /лемма I/, что аппроксимировать первоначальное отображение можно сколь угодно точно, если звездно конечное покрытие пространства параметров достаточно мелко. Далее, полученное отображение & аппроксимируется полулинейным отображением «*jP, причем доказано /лемма 2/, что если триангуляции полиэдра Р достаточно мелкие, то эта аппроксимация может быхь сделана сколь угодно точной. Эти результаты получены для произвольного полиэдра Р •.

Далее в работе рассматривается одномерный полиэдр Р. Вводится определение непрерывной зависимости триангуляций одномерного полиэдра Р от параметра и доказывается /лемма 3/, что одномерный полиэдр можно триангулировать так, что его триангуляции сколь угодно мелки и непрерывно зависят от параметра.

Вторая глава разбита на три параграфа. Первый параграф посвящен доказательству двух важных результатов о пространствах триангуляции одномерного симплекса, которые в дальнейшем используются для получения основного результата работы.

Первый результат /теорема I/ состоит в том, что пространство Л1 | триангуляции отрезка, имеющего не более, чем к внутренних точек разбиения, стягиваемо, если к — четно, В дальнейшем этот факт используется для продолжения триангуляций симплекса, имеющихся над границей некоторого множества, над внутренними точками множества.

Сформулируем второй результат этого параграфа. Теорема 2, Пусть J — отображение tмерного диска t> * в пространство триангуляций еМ^: j: t> ' — М причем где 5 1 1 = д 2) г .

Тогда найдется отображение (j, такое, что для некоторого конечного N ^ к з ¦¦ м' причем fls*" = ^g*'1 и.

Эта теорема позволяет непрерывно изменять триангуляции еимплек.

L ну ^ сов полиэдра Р так, что над границей симплекса V р1 из пространства параметров триангуляции симплексов полиэдра не изменяются, а над внутренними точками V каждый одномерный симплекс полиэдра Р всюду имеет одинаковое число точек разбиения".

Эти результаты получены впервые и ранее в литературе не рассматривались.

Второй параграф посвящен построению регулярной окрестности полиэдра у края в симплексе Vs из пространства параметров, Вводится определение регулярной окрестности у края и доказывается существование такой окрестности /лемма 5/. Доказательство леммы конструктивно и дает способ построения регулярной окрестности у края.

— ЦТ 6- 1.

В третьем параграфе строится множество X $ ^ полулинейных отображений одномерного симплекса. Показано, что хотя само множество У N не является полиэдром, но оно стра.

4 kfL тифицировано полиэдрами Lni JUL*R (L = О, ±,. «N).

Подробно описано отображение склейки множества, являющееся прообразом множества «У с N в А^х р ± s>14 iЦТ я в множество X ~ •.

S, /V.

В главе 3 проводится приведение построенного в главе I полулинейного отображения полиэдра Р1 в R * в почти общее положение, то есть, с нульмерным нарушением общего положения.

Глава состоит из трех параграфов. В первом конкретизирована задача о приведении полулинейного отображения полиэдра Р в почти общее положение. Проведен начальный шаг индукции и сделано индуктивное предположение по приведению отображения полиэдра Р в почти общее положение. Индукция проводится по размерности симплексов из пространства параметров. Далее, рассмотрен заключительный шаг индукции, то есть, симплекс 75из пространства параметров, над границей которого отображение полиэдра Р уже приведено в почти общее положение, и обсуждаются возможные типы нарушений общности положения, получающиеся при линейном продолжении триангуляций и отображений полиэдра Р с 9 V на Lnt V S. Выделяются два основных типа нарушений: «одномерный симплекс в образе над некоторыми точками itit Vs сжимается в точкуИ, образы двух одномерных симплексов /непересекающихся или имеющих лишь одну общую вершину в триангуляции полиэдра.

Р / над некоторыми точками lnt V S имеют общую одномерную часть. Каждый из параграфов 2 и 3 посвящен исправлению одного из двух типов нарушений общего положения. Во втором параграфе проводится исправление нарушений общего положения типа I. Используя теорему 2 главы 2, можно получить всюду над int Vs разбиение любого симплекса полиэдра Р с одинаковым числом вершин, эти подсимплексы можно занумеровать и рассматривать каждый подсимплекс отдельно.

Доказано, что с помощью малого изменения построенных полулинейных отображений, можно добиться, чтобы множество, А точек из V 5 * над которыми для отображений одномерного симплекса б*1 полиэдра Р происходит нарушение общего положения типа t, являлось полиэдром. При этом использует.

Y&i s N.

Исправление нарушений общего положения типа I проводится над регулярной окрестностью полиэдра, А у края в V. Основной результат этого параграфа:

Теорема. Можно так определить новые триангуляции симплекса б' = [ос ?'] «непрерывно зависящие от параметра, и построить такие полулинейные в новых триангуляциях.

А 1 отображения симплекса б" > близкие к старым отображениям, чтобы над Э1Г отображения не изменились, и над «У л 1 не было нарушений общего положения типа I для симплекса б # В процессе доказательства дается способ построения новых ч 4 триангуляций и отображений одномерного симплекса в полиэдра Р 1, удовлетворяющих условиям теоремы. Далее вновь используется теорема Z главы 2 для получения триангуляции симплекса § * с одинаковым числом точек разбиения над иit V s — указывается, как при этом изменяются триангуляции и отображения.

В третьем параграфе проводится исправление нарушений обще, «го положения типа it. Для этого последовательно рассматривается каждая пара симплексов полиэдра Р и для нее проводится исправление нарушений общего положения типа i i. Исправление проводится так, чтобы не нарушить уже исправленного и не получить новых нарушений общего положения типов i и и. Доказано, что малым изменением отображений можно добиться, чтобы множество В точек, над которыми для рассматриваемой пары симплексов нарушается общее положение, являлось полиэдром.

Далее, рассматривается регулярная окрестность множества 8 и проводится ее исправление. Необходимость исправления ре$ гулярной окрестности полиэдра В у края в V связана с тем, что симплексы над itli V уже не обязательно имеют одинаковое число точек разбиения. Над некоторыми точками Llit V в прообразе /то есть, в триангуляции полиэдра Р / одномерный симплекс может сжаться в точку, над такими точками V S исправлять отображения и триангуляции не требуется, поэтому их надо исключить из регулярной окрестности.

Основным результатом этого параграфа является следующая теорема:

Теорема. Можно так определить новые триангуляции симплекса б ± = Сf>'~, непрерывно зависящие от параметра, и построить такие полулинейные в новых триангуляциях л отображения симплекса (? i, близкие к старым отображениям, чтобы над дУ отображения не изменились, и над ЛГ не было нарушений общего положения типов I и Li для рассматриваемой пары симплексов б", и б 0. / Здесь «У» s" почти регулярная окрестность полиэдра В У края в V •/ Основные результаты диссертации изложены в [5″ - 9 «]. Пользуясь случаем, хочу выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю А. Л. Онищику и профессору А.В.Чер-навскому за большое внимание к работе.

1. К. Рурк, Б.Сандерсон.

Введение

в кусочно линейную топологию.-Москва: Мир, 1974.

2. Ху Сы-Цзян. Теория гомотопий.- Москва: Мир, 1964.

3. Чернавский А. В., Матвеев С. В. Основы топологии многообразий. Научные труды, Кубанский государственный университет, 1974, в.192.

4. Чернавский А. В. Стягиваемые окрестности в группе гомеоморфизмов.- ДАН СССР, 1974, T.2I7, № 2.

5. Чернавский А"В", Яблокова С. И. Лемма о поглощении в непрерывной зависимости от параметра.- Тезисы доклада, Международная топологическая конференция, Ленинград, 1982, с. 25.

6. Яблокова С. И. Приведение в общее положение отображений одномерных полиэдров в плоскость в непрерывной зависимости от параметра.- В сб. Геометрические методы в задачах алгебры и анализа, Ярославль, I960, с. 137 148.

7. Яблокова С.@. Приведение в общее положение отображений одномерных полиэдров, непрерывно зависящих от параметра.- В сб. Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений, Ярославль, 1980, с. 157 162.

8. Яблокова С. И" Теорема об исправлении отображения Ъмерного диска в пространство триангуляций.- Тезисы доклада, Математика и физика, Итоговая научно-практическая конференция молодых ученых, Ярославль, 1984.

9. Яблокова С. 1. Приведение отображения одномерного полиэдрав общее положение в непрерывной зависимости от параметра. ¦ Ярославль, 1985, 47с.- Рукопись представлена Ярославским ун-том. Депонирована в ВИНИТ! 8.02.85, № 1058−85 Деп.

10. M.W. Hirsch, Е.С. Zeeman. Engulfing. Bulletin of the American: Mathematical Society, 1966, v. 72, 1, part 1, pp. 113 — 115.

11. J. Stallings. The piecewise-linear structure of Euclidean space. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1962, vr. 58, m. 5, PP* 481 — 488.

12. E.C. Zeeman. Seminar on Combinatorial Topology (mimeographed notes), Institum des Hautes etudes Scienti-fiques, 1965.