Теория нерв-комплексов и её приложения

Актуальность темы

.

В настоящее время в комбинаторике и выпуклой геометрии стали находить применение методы коммутативной алгебры, алгебраической геометрии и топологии. Актуальным разделом алгебраической геометрии стала торическая геометрия, изучающая свойства торических многообразий. Каждому выпуклому многограннику в Мп с рациональными координатами вершин можно сопоставить алгебраическое многообразие с действием алгебраического тора (С*)п, являющееся эквивариантной компактификацией тора (С*)п относительно его действия на себе левыми сдвигами. С одной стороны, эта конструкция дает обширный класс примеров алгебраических многообразий, свойства которых можно эффективно описывать в терминах комбинаторных данных. С другой стороны, конструкция торического многообразия позволяет доказывать сильные результаты о комбинаторике многогранников при помощи методов алгебраической геометрии. Одним из таких результатов является д-теорема, дающая полную характеризацию /-векторов простых многогранников [22, 62].

М. Дэвис и Т. Янушкиевич в работе [32] ввели понятие квазиторического многообразия, являющееся топологическим аналогом торического многообразия. На квазиторическом многообразии М2п определено действие компактного тора Тт локально изоморфное стандартному действию Тп на Сп, а пространством орбит этого действия является простой многогранник Рп. Квази-торические многообразия представляют обширный класс примеров топологических пространств с богатой геометрией и топологией, причем их свойства можно описывать в комбинаторных терминах. В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов и Н. Рэй [12, 29] показали, что в размерностях, больших двух, каждый класс комплексных кобордизмов содержит связное квазиторическое многообразие с естественной стабильно комплексной структурой, согласованной с действием тора.

Для определения квазиторического многообразия над простым многогранником Рп с т гииергранями М. Дэвису и Т. Янушкиевичу потребовалась конструкция (га + п)-мерного многообразия 2р с каноническим действием тора Тт, для которого Р является пространством орбит. Каждое квазиторическое многообразие над простым многогранником Р, в случае если они существуют, гомеоморфно фактор-пространству многообразия 2р по свободному действию некоторого подтора Тт~п С Т’п. В своих работах В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов предложили рассматривать многообразия 2р как центральный объект исследования в торической топологии и развили различные подходы к изучению этих пространств, названных ими момент-угол многообразиями [8, 9, 11, 29]. Они дали несколько эквивалентных описаний момент-угол многообразия.

С одной стороны, для простого выпуклого многогранника Р имеется описание многообразия 2р как невырожденного пересечения вещественных квадрик в пространстве Ст = К2т, на котором тор Тт действует покоординатно. Это позволяет ввести на многообразии 2р гладкую структуру, такую что естественное действие тора Тш является гладким.

С другой стороны, в работе [9] показано, что существует более общая алгебро-топологическая конструкция, сопоставляющая каждому симплици-алыюму комплексу К на ш вершинах клеточный момент-угол комплекс Б1) с действием тора Тт. При помощи канонического разбиения простого многогранника на кубы В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов показали, что для простого многогранника Р момент-угол многообразие %р эквивариантно гомеоморфно момент-угол комплексу 51), где дР* — граница двойственного к Р симплициального многогранника [9]. Исходя из существования естественной клеточной структуры на комплексе 2к (02,51) В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов [9] вычислили кольцо когомологий над Z момент-угол комплексов и момент-угол многообразий простых многогранников. Они показали, что для произвольного симплициального комплекса К на т вершинах имеет место изоморфизм Н*(2к (Р>2,511) — Щ — Тог2[г-ь.5"т](21[К], Ж), где Ъ[К] алгебра Стенли-Райспера симплициального комплекса К. Их подход к исследованию когомологий получил развитие в работе И. В. Баскакова [3].

В диссертации исследован случай произвольного выпуклого многогранника Р, не обязательно простого. В этом случае также можно определить пространство с действием тора Тт как пересечение квадрик специального вида в пространстве Сп. Для непростых многогранников это пересечение уже не является невырожденным, поэтому имеет смысл называть Яр момент-угол пространством многогранника Р, но не многообразием. Первой задачей, которую мы решаем, является эффективное описание эквивари-антного гомотопического типа пространства Др в общем случае. Определена конструкция, которая каждому выпуклому многограннику Р сопоставляет симплициальный комплекс Кр, названный в работе нерв-комплексом многогранника. В случае, когда Р — простой многогранник, Кр = дР*, однако Кр определен в том числе и для непростых многогранников. В работе доказано, что для произвольного выпуклого многогранника Р пространство Др Тт-эквивариантно гомотопически эквивалентно пространству ЯКр (02, 51). Заметим, что гомеоморфизм этих пространств в случае непростых многогранников не имеет места.

Нерв-комплексы возникают естественным образом в торической геометрии. Торическое алгебраическое многообразие, соответствующее выпуклому рациональному многограннику, можно определить при помощи конструкции Батырева-Кокса [30]. Суть этой конструкции такова: рациональному многограннику Р с га гипергранями ставится в соответствие пространство Ст Ар дополнение до конфигурации координатных подпространств, а торическое многообразие определяется как категорный фактор этого дополнения по действию некоторой алгебраической подгруппы некомпактного тора (С*)7П. Алгебраическое многообразие Ст Ар является алгебраическим аналогом момент-угол пространства Др. Между конфигурациями координатных подпространств пространства Ст и симплициальными комплексами на т вершинах имеется естественная биекция, которая сопоставляет симплициальному комплексу К конфигурацию Ь/, где I// = {(^1,., гт) 6 Ст гг = О при г € /}. При такой биекции конфигурации плоскостей Ар из конструкции Батырева-Кокса соответствует нерв-комплекс Кр.

Когомологии и эквивариантные когомологии момент-угол пространства 2р выражаются в терминах алгебры Стенли-Райснера нерв-комплекса Кр. Таким образом, с точки зрения торической топологии симплициальный комплекс Кр является правильной заменой непростого выпуклого многогранника Р. Естественным является вопрос: какими свойствами обладают комплексы типа Кр? В случае простых многогранников Р комплекс Кр = дР* является симплициальной сферой, однако для непростых Р комплекс Кр не является ни сферой, ни многообразием. В работе введено понятие сферического нерв-комплекса, обобщающее симилициальные сферы, и показано, что комплексы Кр являются сферическими нерв-комплексами для любого выпуклого многогранника Р. Понятие общих нерв-комплексов является аналогом симплициальных многообразий.

Известным результатом в комбинаторике симплициальных комплексов и многогранников являются соотношения Дена-Соммервилля, согласно которым имеет место соотношение }ц (К) = кп-г (К) на /¿—числа симплициальной сферы К. Для границ выпуклых симплициальных многогранников они были доказаны Д. Соммервиллем в 1927 г. [59]. Существует много других доказательств. В. Кли [44] доказал соотношения Дена-Соммервилля в максимальной общности — для эйлеровых симплициальных комплексов. В. М. Бухшта-бером [5] было предложено доказательство в терминах дифференциальных гомоморфизмов кольца простых многогранников. Также имеется обобщение соотношений Дена-Соммервилля, согласно которому для симплициального многообразия К выполнены равенства.

Кг (Ю — Ы (К) = (-1 У (х (К) — Х^" 1)) ^.

Этот результат был доказан методами коммутативной алгебры Р. Стенли [64] и, независимо, В. М. Бухштабером и Т. Е. Пановым [9] при помощи топологических соображений. Мы показываем, что для для произвольных нерв-комплексов верен аналог соотношений Дена-Соммервилля, и как следствие получаем комбинаторное доказательство приведенного соотношения для симплициальных многообразий.

Алгебры Стенли-Райснера, введенные в работе [55], являются классическим объектом изучения в комбинаторике и коммутативной алгебре. Произ7 вольному конечному симплициальному комплексу К ставится в соответствие градуированная алгебра Стенли-Райснера над полем к. Такое сопоставление позволило изучать комбинаторные свойства симплициальных комплексов в терминах свойств их алгебр Стенли-Райснера при помощи развитой техники коммутативной и гомологической алгебры. Известно [64], что ряд Гильберта-Пуанкаре градуированной алгебры k[if] выражается формулой.

Hiib№]-t) = + ++ где 1гг (К) — компоненты /г-вектора симплициального комплекса К и dim К = п — 1. Р. Стенли [60] заметил, что если к [К] — алгебра Коэна-Маколея, то h-вектор комплекса К является М-вектором (то есть существует такая градуированная коммутативная алгебра, А = фг Аг, порожденная элементами степени 1, что Нг (К) = rk Аг [45]). На вопрос, для каких комплексов К алгебра к [К] обладает свойством Коэна-Маколея, полный ответ дает теорема Райснера [55]. Согласно этой теореме, алгебра к [К] (п — 1)-мерного симплициального комплекса К обладает свойством Коэна-Маколея в том и только том случае, когда #г (Нпкк /- к) = 0 для всех симплексов / Е К и г < п — 1 — |/|. Таким образом, свойство Коэна-Маколея определяется топологией комплекса К и линков его симплексов. Из результата Райснера следует, что, если К — симплициальная сфера, то k[if] — алгебра Коэна-Маколея. Это соображение позволило Р. Стенли доказать до этого открытую гипотезу о верхней границе для симплициальных сфер, согласно которой h-числа (п — 1)-мерной симплициальной сферы К на т вершинах удовлетворяют неравенствам Нг{К) < (««-п+г-lj } ПрИ i — 0, ., [|]. Впрочем, стоит отметить, что приложения комплексов Коэна-Маколея в комбинаторике не ограничиваются исследованием симплициальных сфер. Работа [61] содержит краткий обзор этого круга вопросов.

Имеется несколько доказательств теоремы Райснера. В статье Райснера [55], где она была впервые опубликована, использовалась сложная алгебраическая техника. Более простая версия этого доказательства приведена в монографии Стенли [64], но она по прежнему существенно опирается на свойства локальных когомологий коммутативных колец. Джеймсом Манкрсом [49] было предложено топологическое доказательство на основе спектральной последовательности Зимана в интерпретации МакКрори [46]. В той же работе была получена характеризация глубины кольца к [К] в топологических терминах и показано, что при фиксированном поле к величина depth kfA'] является топологическим инвариантом геометрической реализации К, то есть не зависит от конкретной триангуляции этого пространства.

Мы приводим простое комбинаторно-топологическое доказательство как теоремы Райснера, так и более общих результатов Манкрса. Первая часть доказательства, как и у Манкрса, основана на исследовании свободной резольвенты модуля к [К] и его биградуированных чисел Бетти. Биградуиро-ванными числами Бетти называются ранги модулей свободной резольвенты, ?3~г^(К) = rkTor², 7 и j (k[if], k). Согласно формуле Хохстера [41], би-градуированные числа Бетти определяются топологией полных подкомплексов: (З-^(К) = ^j^^jikHj-t-^Kjik). В работах В. М. Бухштабера и Т. Е. Панова было приведено новое доказательство этой формулы, основанное на интерпретации Tor-алгебры Tor², 7 v j (k[iT], k) как алгебры когомо-логий момент-угол комплекса Zk (D2, S1). Более того, И. В. Баскаковым [2] было описано умножение в Тог-алгебре в терминах полных подкомплексов.

Вторая часть нашего доказательства теорем Хохстера и Манкрса использует взаимосвязь топологии линков и топологии полных подкомплексов. Развитая в диссертации техника позволяет также дать топологическое доказательство теоремы Стенли [64] о характеризации горенштейновых* комплексов.

Приведенные результаты позволяют ответить на вопрос, какими свойствами обладают алгебры Стеили-Райеиера сферических нерв-комплексов. В диссертации показано, что глубина кольца Стенли-Райснера сферического нерв-комплекса равна его рангу. В случае, если Р — n-мерный многогранник, получаем depth k[Kp] = п.

Последняя часть диссертации посвящена исследованию свойств числа Бухштабера симплициальных комплексов. Если X — пространство с действием тора Тт, то можно определить число s (X) как максимальную размерность подторов Ts С Тт, индуцированное действие которых на X является свободным. В случае X — Zp или Zk (D2, Sl) число s (X) является характеристикой многогранника Р и комплекса К соответственно. В этих случаях число s (X) обозначается в (Р) и в (К) и называется числом Бухштабера. В 2002 году В. М. Бухштабер [11] поставил задачу: найти алгоритмический способ вычисления инвариантов й (Р) и з (К) по комбинаторике Р и К. Из существования эквивариантной гомотопической эквивалентности Яр ~Тт 2Кр (П2, 51) следует, что й (Р) = э (Кр), поэтому рассмотрение можно ограничить лишь симплициальными комплексами.

Изучение числа Бухштабера началось в 2001 году, когда И. В. Изместьев [16] доказал оценку в{К) ^ т — 7 (К), где у (К) — хроматическое число симплициального комплекса К. Частичным упрощением числа Бухштабера является его вещественный аналог ~~ максимальный ранг подгрупп группы Ъ&trade-, действующих свободно на вещественном момент-угол комплексе 5'°). Нетрудно доказать оценку в (К) ^ ^(К). Значительные результаты о вещественном числе Бухштабера остовов симплексов содержатся в работе М. Мацуды и Ю. Фукукавы [35]. Н. Ю. Ероховцом [13, 15] была развита теория числа Бухштабера простых многогранников. В своей диссертации [15] он исследовал, как меняется число Бухштабера при простейших операциях над простыми многогранниками: произведении, связной сумме, перестройках. Им также получены оценки на число Бухштабера циклического многогранника, а в случае, когда число гиперграней многогранника превосходит размерность не более чем на 3, Н. Ю. Ероховец показал, что число Бухштабера полностью определяется биградуированными числами Бетти алгебры Стенли-Райснера к[<9Р*].

Наш подход к изучению числа Бухштабера мотивирован с одной стороны оценкой Изместьева, в которой фигурирует хроматическое число, с другой стороны, понятием универсального комплекса Дэвиса и Янушкиевича. В работе [32] определено семейство универсальных симплициальных комплексов по одному в каждой размерности, и «квазиторических пространств» над этими комплексами, обладающее тем свойством, что любое квазитори-ческое многообразие над простым многогранником Рп индуцировано некоторым однозначно определенным характеристическим отображением из комплекса дР* в комплекс ип. Для произвольного симплициального комплекса К можно рассмотреть число г (К) — минимальное такое /, для которого существует невырожденное симплициалыюе отображение из К в Щ. В работе [15] отмечено, что в{К) = т — г (К), где т — число вершин комплекса К, а ¿-(А') — число Бухштабера. Таким образом, изучение числа Бухштабера можно вести в терминах инварианта г (К), при этом инвариант г (-ЙГ) можно рассматривать как обобщенный хроматический инвариант в смысле Р. Зивальевича [69]. Такой подход позволяет провести параллель между теорией числа Бухштабера и теорией хроматического числа в теории графов и получить новые результаты о числе Бухштабера маломерных симплициальных комплексов.

Основные результаты.

Основными результатами работы являются следующие.

1. Каждому выпуклому многограннику Р размерности п сопоставлен сим-плициальный комплекс Кр, являющийся нервом покрытия границы многогранника Р его гипергранями. Показано, что Кр является полным инвариантом комбинаторного многогранника Р. Введено общее понятие сферического нерв-комплекса и показано, что Кр является сферическим нерв-комнлексом ранга п.

Для произвольного сферического нерв-комплекса К ранга п доказана формула ш = (1 — Х{К)) +? (-1)™*^ +1)171,.

1?Г{К), 1ф0 где х{К) ~ эйлерова характеристика, а Р (К) — множество пересечений максимальных, но включению симплексов комплекса К, частично упорядоченное по включению с ранговой функцией гапк (-).

2. Показано, что для произвольного выпуклого многогранника Р с т гипергранями момент-угол пространство Яр эквивариантно гомотопиче-ски эквивалентно момент-угол комплексу 2кр (02, б" 1) относительно действия тора Тт. Каждому выпуклому многограннику сопоставлен бета-многочлен /^(я, = • (Кр)з~Ч2з, и доказаны формулы.

Ь) — 1 = (&>(*, *) — 1) • (Рд (з, I) — 1) • 5 и.

Зрхд (М) если dim Р > 0, dim Q > О.

3. Пусть к — поле. Скажем, что симплициальный комплекс L является р-ацикличиым (над к), если Hi (Lк) = О при г ^ р. При этом по определению Hi (0-k) = к. В диссертации доказано, что для симплициального комплекса К на т вершинах следующие условия эквивалентны: a) depth к[К] > s + 1- b) Для любого набора вершин J С [га] полный подкомплекс является (s — 1 — |</|)-ацикличным над к. c) Для любого симплекса / Е К симплициальный комплекс link/^J является (s — 1 — |/|)-ацикличным над к.

На основе этой эквивалентности получено новое доказательство теоремы Райснера и теоремы Манкрса. Показано, что для сферического нерв-комплекса К ранга п выполнено равенство depth k[K] = п. Доказаны соотношения на биградуированные числа Бетти нерв-комнлексов многогранников: a) P~^2j (KP) = 0 при г > га — пb) (3-(т~п^(КР) = 0 при j ф га- ?3-^т-п^2т{Кр) = 1- c) p-^2j (KP) = 0 при j — г > теd) ?3~l, 2i{Kp) = 0 при j — i = п и j ф т.

4. Для максимальной размерности s (K) торических подгрупп, действующих свободно на момент-угол комплексе Zk (D2, S1), и максимального ранга кs (K) подгрупп группы Z™, действующих свободно на вещественном момент-угол комплексе Zk{D1, S10), доказаны следующие результаты a) Rs (if) ^ га — \og2(l (K) + 1)], где 7(К) — хроматическое число симплициального комплекса Кb) s (K) = ms (K) = га — [log2(7(К) + 1)1, если dim К = 1- c) Существует такой симплициальный комплекс U, что s (U) ф rs (U). d) Существуют такие симплициальные комплексы Г і и Г2, что в (Гі * Г2) ф s{Гі) + s (r2) и Rs (ri * Г2) ф К5(Гі) + Rs{T2).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [70, 72, 71]. Содержание работы.

Здесь мы кратко опишем структуру работы. Диссертация разбита на главы, главы — на разделы. Теоремы, предложения, примеры, замечания и т. д. нумеруются в пределах раздела. В конце введения мы приводим список часто встречающихся обозначений.

1. J1. Л. Аврамов, Е. С. Голод, Об алгебре гомологии комплекса Козюля локалыюго кольца Горенштейна, Матем. заметки, Т.9, вып.1, стр.53−58, 1971.

2. И. В. Баскаков, Когомологии К-степеней пространств и комбинаторика симплици-альных разбиении, УМН, 57:5(347) (2002), стр. 147−148.

3. И. В. Баскаков, Тройные произведения Масса в когомологиях момент-угол комплексов, УМН. 58:5(353) (2003), стр.199−200.

4. И. В. Баскаков, В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Алгебры клеточных коцепей и действия торов, УМН, 59:3(357) (2004), стр.159−160.

5. В. М. Бухштабер, Н. Ю. Ероховец, Алгебра операторов на кольце многогранников и квазисимметрические функции, УМН, 65:2(392) (2010), стр.197−198.

6. В. М. Бухштабер, Н. Ю. Ероховец, Многогранники, числа Фибоначчи, алгебры Хопфа и квазисимметрические функции, УМН, 66:2(398), 2011.

7. В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Действия тора и комбинаторика многогранников, Труды МИАН им. В. А. Стеклова, 225, 1999, сгр.96−131.

8. В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Действия торов, комбинаторная топология и гомологическая алгебра, УМН, 55:5(335), стр.3−106, 2000.

9. В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Действия тора, эквивариантные момент-угол-комплексы и конфигурации координатных подпространств, Записки научных семинаров ПОМИ, Т.266, 2000.

10. В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов. Торические действия в топологии и комбинаторике. Москва, 2004.

11. В. М. Бухштабер, Н. Рэй, Торические многообразия и комплексные кобордизмы, УМН, 53 (1998), вып. 2, стр. 139−140.

12. Н. Ю. Ероховец Инвариант Бухштабера простых многогранников, УМН Т.63 N" 383, 2008, стр 187−188.

13. Н. Ю. Ероховец, Момент-угол многообразия простых n-мерных многогранников с п+3 гипергранями, УМН, 66−5(401) (2011), 187−188.

14. Н. Ю. Ероховец, Максимальные действия торов на момент-угол многообразиях. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. МГУ им. М. В. Ломоносова, мех.-маа. факультет, 2011.

15. И. В. Измесгьев Трехмерные многообразия, определяемые раскраской граней простого многогранника, Математические заметки, Т.69, № 3, 2001, стр. 375−382.

16. Ю. М. Устиновский, Операция удвоения многогранников и действия тора, УМН, 64−5(389) (2009), стр.181−182.

17. Ю. М. Устиновский, Гипотеза о торическом ранге для момент-угол комплексов, Ма-тем. заметки, 90 2 (2011), стр 300−305.

18. A. Bahri, М. Bendersky, F. R. Cohen, S. Gitler, The polyhedral product functor: A method of decomposition for moment-angle complexes, arrangements and related spaces, Advances in Mathematics. 225 3 (2010), pp. 1634−1668.

19. A. Bahri, M. Bendersky, F. R. Cohen, S. Gitler, A new topological construction of infinite families of tone manifolds implying fan reduction, arXiv:1011.0094v3.

20. D. Barnette, Diagrams and Schlegel diagrams, Combinatorial Structures and their Applications (Proc. Calgary Internat. Conf., Calgary, Alta.). New York: Gordon an Breach, 1970. pp. 1−4.

21. L. Billera, C. Lee, A proof of sufficiency of McMullen’s conditions for f-vectors of simphcial polytopes, Bull. Amor Math.Soc (N S.), 1980, V.2, № 1, pp. 181−185.

22. R. H. Bing, The geometric topology of 3-manifolds, American Mathematical Society, Colloquium Publications, V.40, 1983.

23. F. Bosio, L. Meersseman, Real quadrics in Cn, complex manifolds and convex polytopes, Acta Math., 197:1 (2006), pp. 53−127.

24. А. К Bousfield and Daniel Kan, Homotopy limits, completions and localizations, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 304, Springer-Verlag, 1972.

25. G. E. Bredon, Introduction to compact transformation groups. New-York: Academic Press, 1972. Русский перевод: Г. Бредон, Введение в теорию компактных групп преобразований. М.:Наука, 1980.].

26. W. Bruns, J. Gubeladze, Combinatorial mvariance of Stanley-Reisner rings, Georgian Mathematical Journal, V.3, № 4, (1996), pp. 315−318.132.

27. W. Bruns, J.Herzog. Cohen-Macaulay rings, revised edition. Cambridge 1993 (Cambridge Studies in Advanced MathematicsV.39).

28. V.M. Buchstaber, Т.Е. Panov, N. Ray, Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifolds, Moscow Math. J. V.7, №'2, 2007, pp. 219−242.

29. D. Cox, The homogeneous coordinate ring of a toric variety, J. Algebraic Geom. 4 (1995), pp. 17−50- arXiv: alg-gcom/921 0008v2.

30. D. A. Cox, Recent developments in toric geometry, Algebraic geometry Santa Cruz 1995, Providence, R.I.: AMS, 1997, pp. 389−436 (Proc. Symp. Pure Math.- V. 62) — arXiv: alg-geom/960 6016vl.

31. M. Davis, T. Januszkiewicz, Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions, Duke Math. J. 1991. V. 62, № 2, pp. 417−451.

32. F. Eftenberger and J. Spreer simpcomp a GAP toolkit for simplicial complexes, Version 1.3.3, 2010, http://www.igt.uni-stuttgart.de/LstDiftgeo/simpcomp.

33. M. Franz, The Integral Cohomology of Toric Manifolds, Геометрическая топология, дискретная геометрия и теория множеств, Сборник статей, Тр. МИАН, 252, Наука, М., 2006. стр.61−70.

34. Yukiko Fukukawa and Mikiya Masuda, Buchstaber invariants of skeleta of a simplex, Osaka J. Math. V. 48, № 2 (2011), 549−582- arXiv:0908.3448v2.

35. W. Fulton, Introduction to toric varieties, Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1993 (Ann. of Math. StudiesV.131).

36. The GAP Group GAP Groups, Algorithms, and Programming. Version 4−4-2008, http: //www.gap-system.org.

37. Branko Griinbaum, Convex polytopes, second edition, Graduate Texts in Mathematics 221, Springer, 2003.

38. Alex Heller, Homotopy in functor categories, Transactions of the AMS, V.272, № 1, 1982.

39. Philip S. Hirschhorn. Model Categories and Their Localizations. Volume 99 of Mathematical Surveys and Monographs, AMS, Providence, RI, 2003.

40. M. Hochster, Cohen-Macaulay rings, combinatorics, and simplicial complexes, in Ring theory, II (Proc. Second Conf., Univ. Oklahoma, Norman, Okla., 1975), Lecture Notes in Pure and Appl. Math., V. 26, pp. 171−223, Dekker, New York, 1977.

41. Mark Hovey. Model categories, Volume 63 of Mathematical Surveys and Monographs, AMS, Providence RI, 1999.

42. Wilberd van der Kallen, Homology stability for linear groups, Inventories Mathematicae, V.60, № 3, 1980.

43. V. Klee, A combinatorial analogue of Poincare duality theorem, Canad. J. Math. 1964. V.16. pp.517−531.

44. F. S. Macaulay, Some properties of enumeration on the theory of modular systems, Proc. London Math. Soc. V.26, pp. 531−555, 1927.

45. Clint McCrory, Zeeman’s filtration on homology, Transactions of the AMS, V.250, 1979, pp.147−166.

46. S. Maclane. Categories for the working mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer-Verlag, (1998).

47. S. Maclane. Homology. Springer-Verlag, Berlin, 1963. Русский перевод: С. Маклейн. Гомология. Москва: Мир, 1966.].

48. James R. Munkres, Topological results in combinatorics, Michigan Math. J., V. 31, Issue 1 (1984), pp. 113−128.

49. T. Panov, Cohomology of face rings and torus actions, London Math. Soc. Lecture Notes, V.347, Surveys in Contemporary Mathematics, Cambridge, 2008, pp. 165−201.

50. Taras Panov, Nigel Ray, Categorical aspects of toric topology, in «Toric Topology» (M.Harada et al, eds.), Contemporary Mathematics, V.460, American Mathematical Society, Providence, RI, 2000, pp. 293−322.

51. Taras Panov, Nigel Ray, Reiner Vogt, Colimits, Stanley-Reisner algebras and loop spaces, In: «Categorical Decomposition Techniques in Algebraic Topology» (G.Arone et al cds.). Progress in Mathematics, V.215, Birkhauser, Basel, 2004, pp. 261−291.

52. Robert J. Piacenza, Homotopy theory of diagrams and CW-cornplexes over a category, Can. J. Math. V.43(4), 1991, pp. 814−824.

53. Daniel G. Quillen. Homotopical algebra. Lecture Notes in Mathematics 43, Springer-Verlag, 1967.

54. G. Reisner, Cohen-Macaulay quotients of polynomial rings, Advances in Math., V.21, № 1, 1976, pp. 30−49.

55. G.-C. Rota, On the foundations of combinatorial theory I. Theory of Mobius Functions, Probability Theory and Related Fields V. 2, № 4, 1964.

56. C.P.Rourke, B.J.Sanderson. Introduction to piecewise-linear topology. Berlin: SpringerVerlag, 1972. (Springer Study Edition). Русский перевод: К. Рурк, Б. Сандерсон.

Введение

в кусочно-линейную топологию. Москва: Мир, 1974.].

57. Dean E. Smith, On the Cohen-Macaulay property in commutative algebra and simplicial topology, Pacific Journal of Mathematics, V. 141, JV-l, 1990.

58. D. M. Y. Sommerville, The relations connecting the angle sums and volume of a polytope in space of n dimensions, Proc. Roy. Son. London Ser. A, 1927. V.115, pp. 103−119.

59. R. Stanley, The upper bound conjecture and Cohen-Macaulay rings, Studies in Applied Math. 1975, V.54, Ш, pp. 135−142.

60. R. Stanley, Cohen-Macaulay complexes, Higher Combinatorics (M. Aigner, ed.), Reidel, Dordrecht/Boston, 1977, pp. 51−62.

61. R. Stanley, The number of faces of sim, plicial convex polytope, Advances in Math. 1980, V.35, №, pp. 236−238.

62. R.Stanley. Enumerative combinatorics. V.l. Wadsworth and Brooks/Cole, Monterey, California, 1986.

63. R. Stanley. Combinatorics and Commutative Algebra. Boston, MA: Birkhauser Boston Inc., 1996. (Progress in Mathematics V. 41).

64. Stefan Waner, Equivariant homotopy theory and Milnor’s theorem, Transactions of the AMS, V. 258, № 2, 1980. pp. 351−268.

65. Volkmar Welker, Giinter M. Ziegler, Rade T. Zivaljevic, Homotopy со limits — comparison lemm, as for combinatorial applications, Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). V. 1999, JV"509, pp. 117−149, 1999.

66. Stephen J. Wilson, Equivariant homology theories on G-complexes, Transactions of the AMS, V. 212, 1975, pp.155−171.

67. Giinter M. Ziegler. Lectures on Polytopes. Springer-Verlag, New York, 2007.

68. Rade T. Zivaljevic. Combinatorial groupoids, cubical complexes, and the Lovasz conjecture, Discrete and Computational Geometry, V.41, № 1, pp. 135−161- arXiv: math/51 0204v2.Работы автора по теме диссертации.

69. А. А. Айзенберг, Экспоненциальный закон для К-степени, УМН, 64:4(388) (2009), 175−176.

70. А. А. Айзенберг, В. М. Бухштабер, Момент-угол пространства и нерв-комплексы выпуклых многогранников, Труды Математического института им. В. А. Стеклова, Т.275, 2011. 22−54.

71. А. А. Айзенберг, Связь инвариантов Бухштабера и обобщенных хроматических чисел, Дальневост. матем. журн., 11:2 (2011), 113−139.