Интегралы

Основные методы решения определенных интегралов.

1. Непосредственное интегрирование.

Этот способ основан на использовании свойств определенного интегра-ла, приведении подынтегрального выражения к табличной форме путем тож-дественных преобразований и применении формулы Ньютона-Лейбница.

2. Интегрирование подстановкой.

Для решения определенного интеграла методом подста-новки заменяют g (x)=t; dt=g'(x)dx и находят пределы изменения переменной t при изменении x от a до b из соотношений: g (a)=α и g (b)=β.

Тогда =, где F (t)-первообразная функции f (g (x))=f (t).

3. Интегрирование по частям.

При этом способе используют формулу: (**)

Подробные рекомендации по решению интегралов п частям даны в описании этого метода применительно к неопределенным интегралам.

Рассмотрим решение типовых задач.

Задача 1. Вычислить

Решение. Данный интеграл решим непосредственным интегрировани-ем. Сначала преобразуем подынтегральное выражение:

= .

Применим свойства 6 и 5, в результате чего получим

Так как оба интеграла табличные, записываем первообразные функции и применяем формулу Ньютона-Лейбница:

Задача 2. Вычислить

Решение. Решаем интеграл методом подстановки. Введем новую пере-менную t=4-x и продифференцируем данное равенство: dt=d (4-x); dx=-dt. Найдем новые пределы интегрирования из соотношения t= 4-x: при x1=0 по-лучаем t1=4,

при x2=2 получаем t2=2.

Делаем замену переменной в заданном интеграле:

Избавимся от знака минус перед интегралом, воспользовавшись свой-ством 3:

Задача 3. Вычислить

Решение. Будем решать интеграл методом интегрирования по частям. Обозначим lnx=u, dx=dv и найдем du=d (lnx)=dx/x и v=∫dx=x. Применяя к за-данному интегралу формулу интегрирования по частям, получим

.

Рассмотрим задачи на геометрические приложения определенного ин-теграла.

Задача 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Y=x-x2, y=0.

Решение. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функ-ции y=f (x), прямыми x=a, x=b и осью OX, равна

Найдем координаты точек пересечения графиков:

x-x2=0, x1=0, x2=1.

A (0,0), B (1,0).

Преобразуем уравнение параболы.

Y=-(x2-x+¼)+¼, y-¼=-(x-½)2.

Задача 5. Требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Решение. Найдем точки пересечения кривых.

Решаем биквадратное

уравнение.

т.к. значение должно быть положительным,

Таким образом, Ординаты этих значений

равны:

Вычислим площадь фигуры:

ед2.

Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной функциями

Решение.

Построим графики заданных функций.

Рис. 6.

Т.к. фигура лежит ниже оси ОХ, формула вычисления площади имеет вид:

Первое слагаемое есть площадь прямоугольника со сторонами 4 и 2, т.к. при y=-2 x=4, т. е. M (4; -2) точка пересечения линий.

Задача 7. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограни-ченной линиями y=e-x, y=0, x=0, x=1 вокруг оси OX.

Решение.

Используем формулу вычисления объема тела вращения:

(2)

Тогда, по формуле (2), искомый объем

Задача 8. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:

Решение.

Интеграл имеет особенность в точке x=, т.к. .

Разложим подинтегральную дробь на простейшие.